最新精编高中人教版必修三高中数学2.4 线性回归方程(1)公开课优质课教学设计
苏教版·高中数学必修Ⅲ教案 2.4.1线性回归方程
(x,y) 1） 称为样本点的中心 。 2） a , b 的意义是：以 a 为基数， x每增加1 个单位，y相应地平均增加 b 个单位。
ˆ= b
(x
i=1
i
- x)(yi - y) = - x)
2 i
x y - nxy
i i=1 n i
(x
i=1
n
x
i=1
2 i
- nx
2
解（1）列出下表：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1360
2250
3240
4450
5700
7140
8640
10350
1220 0
问题：有时散点图的各点并不集中在一条 直线的附近，仍然可以按照求回归直线方 程的步骤求回归直线，显然这样的回归直 线没有实际意义。在怎样的情况下求得的 回归直线方程才有实际意义？ 即建立的线性回归模型是否合理？ 如何对一组数据之间的线性相关程 度作出定量分析？
35
40
45
330 345
405 445
450 455
施化肥量x
水稻产量y
15
20
25
365
30
35
40
45
330 345
405 445
450 455
y
500 450 400 350 300 10
《2.4线性回归方程》课件1-优质公开课-苏教必修3精品
a＝y－bx.
1n 1n x＝ Σ xi，y＝ Σ yi ni＝1 ni＝1
要 点 导 航
注意
(1)用此法推导出的直线方程表示的直线上各
点与对应的散点的坐标差的平方和最小，这种方法叫做最 小平方法，利用的是二次函数的最值问题． ( 2 ) 由不具有线性相关关系的两个变量推出的回归方 程没有意义． (3)求线性回归方程的步骤． ①作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； ②如果散点在一条直线附近，用公式求出 a 、 b ，并写出 线性回归方程．
典 例 剖 析
分析： 两个有相关关系的变量间的关系可以用线性回归 方程来表示，而对总体的预测可由回归直线方程帮
助解决．
解析： 因为学习时间与学习成绩具有相关关系，可以列 出下表，并用科学计算器进行计算．
典 例 剖 析 i xi yi xiyi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 2 1 2 1 1 1 1 1 51 76 20 18 23 69 02 66 08 20 7 7 8 5 1 1 4 0 8 7 x＝17.4，y＝74.9. 10i＝1x＝3 182，10i＝1xiyi＝13 578
2．如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也是由
小变大，这种关系称为正相关 ________ ；反之，如果一个变量的
值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种关系称为 负相关 ． ________ 3n ．线性回归方程是_____ _＝ _ _bx _ _＋ __ y^ a_ _ _ _ ， 其 中 b ＝
要 点 导 航
当 y^＝bx＋a 使 Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn －bxn－a)2 取得最小值时， 就称 y^＝bx＋a 为拟合这 n 对数据的 线性回归方程，将该方程所表示的直线称为回归直线． 其中 Σ x y －nx y i＝1 i i b＝ n 2 ， 2 Σ x －nx i＝1 i
2[1].4 线性回归方程(1)
![2[1].4 线性回归方程(1)](https://img.taocdn.com/s3/m/47e9877f01f69e31433294f8.png)
D）
A.角的度数和正弦值
B.速度一定时，距离和时间的关系 C.正方体的棱长和体积
D.日照时间和水稻的亩产量
探究
气温和热茶卖出 去的杯数有什么 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机 样的关系？ 统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温 杯数
26 20
18 24
13 34
10 38
4 50
-1 64
气 温
26
18
13
10
4
-1 y
杯 数
20
24
34
38
50
64
F
60 50 40 30 20 10 -5 0 5 15 25 35
为了了解热茶销
售与气温的大致关系， 我们以横坐标x表示气 你发现这 温，纵坐标y表示热茶 些点有什 销量，建立平面直角坐 么规律？ 标系，将表中数据构成
b n xi yi
i 1 n
x y
i 1 i i 1 2
nБайду номын сангаас
n
i
n xi
i 1
n
2
n xi i 1
a y b x
特征:(1)回归直线经过数据中心 ( x, y )
特征:(2)回归直线的斜率是根据最小二乘法得到,直接用公式求
变式练习:
i 1
n
2
n xi i 1
a y b x
3、线性回归直线方程的特征： (1)回归直线经过数据中心 ( x, y )
(2)回归直线的斜率是根据最小二乘法得到,直接用公式求
课堂练习：教材P75 T1、T2
高中数学：2.4《线性回归方程课件》课件(苏教版必修三)
Part
02
线性回归方程的建立与求解
线性回归方程的建立方法
STEP 01
散点图观察
STEP 02
确定回归系数
通过绘制散点图，观察自 变量与因变量之间的关系 ，初步判断是否具有线性 关系。
STEP 03
检验残差
通过观察残差图或计算残 差平方和，检验模型的拟 合效果，判断是否需要进 一步调整模型。
根据最小二乘法原理，通 过计算得到回归系数，从 而确定线性回归方程的斜 率和截距。
以是( )
习题
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x + 5
C. ŷ = 1.23x + 4.5 D. ŷ = 1.23x + 3
3、题目：已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方 程可以是( )
习题
01
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x +5
预测性
利用线性回归方程可以对 未知数据进行预测。
线性回归方程的应用场景
经济预测
科学实验
通过对历史数据的分析，利用线性回 归方程预测未来经济指标的变化趋势 。
在科学实验中，通过控制变量法来研 究自变量和因变量之间的线性关系， 并利用线性回归方程进行数据分析。
销售预测
根据历史销售数据和市场调查，利用 线性回归方程预测未来产品的销售情 况。
增加自变量
增加自变量可以更好地解释因变 量的变化，从而优化线性回归方 程。
调整模型形式
根据实际情况调整模型形式，可 以更好地拟合数据，从而优化线 性回归方程。
Part
04
线性回归方程的实例分析
高中数学第二章统计2.4线性回归方程1教案苏教版必修320170717163
2.4 线性回归方程（1）教学目标：1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线用方程为ˆy bx a=+与图中六与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Q a b b a b a b a b a b a b a =+-++-++-++-++-+-+- 21286b =26140382046010172a ab b a ++--+说明： (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的 值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286a b -=-⨯时, Q取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012b a -=-时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y x =-+.当5x =- 时,ˆ66y≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：像这样能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）,该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即结论：1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==ni i y n y 11 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求． 四、数学运用例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动 车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线 性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．计算相应的数据之和：8888211111031,71.6,137835,9611.7ii i i i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑，将它们代入（*）式计算得0.0774, 1.0241b a ≈=-， 所以，所求线性回归方程为0.0774 1.0241y x =-．巩固深化，反馈矫正：1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103t ）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量． 2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：（1）画出散点图； （2）求线性回归方程． 五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求∑iiyx ；③计算∑2ix；④将结果代入公式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。
高中数学第2章统计2.4线性回归方程教材梳理导学案
2.4 线性回归方程庖丁巧解牛知识·巧学一、相关关系变量之间的常见关系：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.如正方形的边长l与面积S 之间就是确定性函数关系，可以用函数S=l2表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.如人的体重y与身高x有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.辨析比较函数关系与相关关系的区别与联系相同点：两者均是指两个变量间的关系；不同点：①函数关系是一种确定性关系，自变量的任一取值，因变量都有唯一确定的值与之对应；相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性；②函数关系是因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系；③相关关系的分析方向及方法，由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关性的过程中，统计发挥着重要的作用，而函数关系则可以通过函数的性质来进行研究.二、线性回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.1.散点图我们把表示具有相关关系的两个变量x、y的一组数据（x n，y n）（n=1，2，3，…）对应的一些点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图.如：某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：（单位：千克）施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455 观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现得不是很确切，需要对数据进行分析.为此我们可以作统计图表，以便对两者有一个直观的印象和判断.除上述的统计图表外，我们还可以用另一种统计图——散点图来分析. 以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如图2-4-1：图2-4-1从散点图可以看出两变量的确存在一定关系，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.可见散点图能直观形象地反映各对数据的密切程度.注意：如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图2-4-2的形状，则这两个变量之间不具有相关关系.如学生的身高与学生的数学成绩就没有相关关系.图2-4-2可见利用散点图可以判断变量之间有无相关关系.所以在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手.学法一得画出散点图，可以作出如下判断：①如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即说明变量之间具有函数关系.②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则说明变量之间具有相关关系. ③如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系.2.最小二乘法一般地,设有n 个观察数据如下：x x 1x 2x 3…x n y y 1y 2y 3…y n设有一直线方程y?=bx+a ，Q(a,b)是直线y ?=bx+a 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,设法取a,b 的值,使Q(a,b)达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法).其中点Q=(y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+…+(y n -bx n -a)2取得最小值时,就称y ?=bx+a 为这n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.上述式子展开后，是一个关于a 或b 的二次函数，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值，即.,)())((2112111x b yax x ny x y x nbni i ni i ni i ni i ni ii （*）其中x =ni i x n11，ni i y ny11.求线性回归方程的步骤：计算平均数x ,y ；计算x i 与y i 的积，求∑ｘi y i ；计算∑ｘi 2；将结果代入公式求a ；用b=y -a x 求b ；写出回归方程. 深化升华求相关变量的回归直线的意义：回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的。
苏教版高中数学必修三课件2.4线性回归方程(1)
问题：举一两个现实生活中的问题，问题所涉及的
变量之间存在一定的相关关系。
例：（1）商品销售收入与广告支出经费之间的关系
（2）粮食产量与施肥量之间的关系（3）人体内 脂肪含量与年龄之间的关系
相关关系与函数关系的异同点：
相同点：均是指两个变量的关系． 不同点：函数关系是一种确定的关系；
相关关系是一种非确定关系.
通过统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系 有一个直观上的印象和判断。
5个学生的数学和物理成绩如下表：
ABCDE 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 画出散点图，
解： 80
物理成绩
75
70
50
60
70
80
90
有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气 温对热饮销销售的影响，经过统计，得到一个 卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
n
n
y (xi x)(yi y)
xi
nxy
i
b i1 n
(xi x)2
i1 n
xi2
n
2
x
,
i1
i1
a ybx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的 原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方 和最小，这一方法叫最小二乘法。
求解线性回归问题的步骤:
摄氏温度261813104-1 热饮杯数202434385064
为了了解热饮销量与气温的大致关系，我们以 气温为横轴，热饮销量为纵轴，建立直角坐标 系，
散点图
y
60
50
40
30
20 10
O
-5
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高中数学第2章统计2.4线性回归方程(1)教案苏教版必修3
2.4 线性回归方程 1整体设计教材分析在实际问题中，变量之间的关系有两类：一类是确定性关系，变量之间的关系可以用函数表示.例如，正方形的面积S与边长a 之间就是确定性关系，可以用函数s=a2表示.还有一类是非确定性关系，例如“学生数学成绩与物理成绩之间的关系”“粮食的产量与施肥量之间的关系”“商品的销售额与广告费支出之间的关系”“人体的脂肪百分比和年龄之间的关系”等贴近学生的实际问题，它不能由一个变量的数值精确地确定另一个变量的数值.像这种自变量取一定值时，因变量的取值带有一定随机性，这样的两个变量之间的关系，我们称之为相关关系.“线性回归方程”这一节是为了帮助我们了解变量之间的相关关系，使学生学会区别变量之间的函数关系与变量相关关系，从而达到正确判断实际生活中两个变量之间的相关关系并会作出变量相关关系的散点图；通过散点图的直观性，看各点是否在某条直线附近摆动来为判断两个变量之间的相关关系打下坚实的基础.通过对人体脂肪百分比和年龄之间的关系散点图的分析，引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型），使学生通过探索用多种方法确定线性回归直线，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，掌握计算回归方程的斜率与截距的方法，求出回归直线方程.通过典型的求解，强化回归思想的建立，理解回归直线与观测数据的关系. 通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，培养学生的创新精神，不断收取信息，学会用统计知识对实际问题进行数学分析.通过课堂目标检测达到强化所学知识点，提高学生对现代化教学工具的应用能力.三维目标1.通过实例，使学生感受到现实世界中变量之间除了函数关系外，还存在着虽无确定的函数关系，但却有一定的关联性的相关关系，相关关系是一种非确定性关系.2.通过收集实际问题中两个有关联变量的数据作出散点图，直观认识变量间的相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，运用最小二乘法的思想，发现可用线性回归方程近似地表示两个具有相关关系的变量之间的关系，并能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.重点难点教学重点：1.会区别变量之间的函数关系与变量相关关系；会举例说明现实生活中变量之间的相关关系.2.会作散点图，并由此对变量间的关系作出直观的判断，会求回归直线.教学难点：1.对变量之间的相关关系的理解；变量之间的函数关系与变量相关关系的区别.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课（多媒体播放四个问题，组织学生分析、思考）问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为________________.问题2：圆的面积S与半径r之间的函数关系式为________________.问题3:小麦的产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间的关系如下表：从表里数据能得出小麦的产量y与施肥量x之间的函数关系式吗？问题4：人的体重y与身高x之间有什么关系呢？分析问题1：因为是以均匀的速度注入桶里，所以注入的油量y与注入的时间t成正比例关系，由表格数据知，注入的油量y与注入的时间t之间的函数关系式为y=2x(x≥0).因为是实际问题，所以要特别注意自变量的取值范围要有实际意义.分析问题2：这是大家熟悉的面积公式，所以圆的面积S与半径r之间的函数关系式为S=πr2(r>0).第1、2两个问题中的变量间的函数关系是确定的，在我们的现实生活，两个变量之间存在确定性的关系是极少的，而两个变量之间存在不确定性的关系是很普遍的，那么问题3中两个变量之间是确定性的函数关系，还是不确定性的关系呢？学生甲分析问题3：此问中两个变量之间是确定性的函数关系，设为y=kx+b，当x=10时，函数值y为420；当x=20时，函数值y为440，代入可得函数关系式为y=2x+400(x≥0).学生乙：学生甲的回答是错误的，若函数关系式为y=20x+400(x≥0)，当x=30时，函数值为460，而不是470.但是可以感觉到施肥量越大，小麦的产量就越高.教师分析：从表格里容易发现施肥量越大，小麦的产量就越高.但是，施肥量并不是影响小麦产量的唯一因素，小麦的产量还与土壤的质量、降雨量、田间管理等诸多因素的影响有关，更何况当施肥量超出一定范围时，还会造成小麦的倒塌，以致颗粒无收.这时两个变量之间就不是确定性的函数关系，那么这两个变量之间究竟是什么关系呢？这就是我们本节课所要研究的问题——变量之间的相关关系.(引入新课，书写课题)推进新课新知探究由学生举出现实生活中的相关关系的例子，教师归纳概念！1.变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达，即当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系（有因果关系，也有伴随关系）.通过上述三个问题请学生思考相关关系与函数关系有什么区别与联系？相关关系与函数关系的异同点如下：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.注意：问题3中小麦的产量是在土壤的质量、降雨量、田间管理等诸多变量共同作用下的结果，本节课只研究其中两个主要变量之间的相关关系.我们只能得出经验性的结论：施肥量越大，小麦的产量就越高.但是经验再丰富，也容易犯经验性的错误.施肥量过大，反而容易造成粮食的减产.由学生解决问题4, 人的体重y与身高x之间是一种非确定关系的相关关系，因为，一般说来，身高越高，体重就越重，而无法写出具体的函数关系.应用示例例1 某班学生在一次数学测验和物理测验中，学号1到20的学生的成绩如下表：从表里数据你能得出什么样的经验性结论呢？分析：即是考虑两门学科成绩之间是否具有一定的相关关系.解：数学成绩好的同学则物理成绩就好，反之，数学成绩差的同学则物理成绩就差.点评：注意，只是问的“得出什么样的经验性结论”，并不完全绝对.例2 下面提供四个问题，让各组同学共同探究：第一小组探究的问题是：调查一下本组所有成员的视力与各自的学习成绩关系.第二小组探究的问题是：商品的销售额与广告费支出之间的关系.第三小组探究的问题是：调查一下本组所有成员的身高与各自的体重之间的关系.第四小组探究的问题是：气温的高低与空调的销售量间的关系.分析：根据变量的相关关系讨论.解：第一小组：通过对本组所有成员的调查我们得到结论是：学习成绩好的同学的视力都不太好，都佩带了近视眼镜，但是，我们发现这个结论对我们全班来说就不成立，例如，我们班第一名同学的视力却是很棒，所以我们只能说学习成绩好的同学的视力一般都不太好，人的视力还与用眼卫生习惯、遗传因素等有密切关系.第二小组：通过本组所有成员的共同探讨，我们得到结论是：商品的销售额与广告费支出之间有密切的关系，但商品的销售额不仅与广告费支出多少有关，还与商品的质量、居民收入以及售后服务的质量等诸多因素有关.第三小组：通过对本组所有成员的调查我们得到结论是：身材高的同学的体重一般来说大多都比较大，但是，人的体重还与饮食习惯、遗传因素等有密切关系.第四小组：通过本组所有成员的共同探讨，我们得到结论是：气温的高低与空调的销售量之间有密切的关系，但空调的销售量不仅与气温的高低有关，还与空调的质量、居民收入以及售后服务的质量等诸多因素有关.点评：通过此例使学生养成考虑问题要多方面思考的习惯.例3 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高解析：利用变量的函数关系与相关关系解决问题.角度和它的余弦值是一个确定的函数关系y=cosx；正方形边长和面积：s=a2；正ｎ边形的边数和它的内角和：s=(n-2)×180°，而人的年龄和身高具有相关关系.答案：D点评：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.例 4 “强将手下无弱兵”可以理解为将军的本事越高，他手下的士兵的本事也越高.那么，将军的本事与士兵的本事成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？分析：这是与生活、生产、工作、学习息息相关的相关关系，语言功底好的同学更显优势.解：此题与“名师出高徒”相对应.另外举例有：水涨船高.点评：此题加强了与其他学科的联系，学生会对数学很有亲切感.知能训练1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，人体脂肪含量和年龄之间有怎样的关系？2.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：根据上述数据，气温与热茶销售量之间有怎样的关系？解答：1.观察表中的数据，大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也在增加.2.观察表中的数据，大体上来看，气温越高，卖出去的热饮杯数越少.点评：使学生学会全面考察现实生活中变量之间的相关关系，并为下一节课作铺垫.课堂小结(让学生进行小结，帮助他们回顾反思、归纳概括.)1.变量之间的相关关系；2.变量之间的函数关系与变量相关关系的区别；3.学会全面考察现实生活中变量之间的相关关系.作业阅读、预习课本中本节下一部分内容.举出生活中具有相关关系的例子.设计感想通过生活中存在相关关系的一些典型事例，如“学生数学成绩与物理成绩之间的关系”“粮食的产量与施肥量之间的关系”“商品的销售额与广告费支出之间的关系”等贴近学生的实际问题，介绍与函数关系不同的两个变量之间的相关关系，在教学设计时，通过复习变量之间的函数关系引出变量相关关系，由熟悉到生疏的过程便于学生理解，同时分成四个小组同学共同探究以下四个问题：（1）调查一下本组所有成员的视力与各自的学习成绩关系；（2）商品的销售额与广告费支出之间的关系；（3）调查一下本组所有成员的身高与各自的体重之间的关系；（4）气温的高低与空调的销售量间的关系.通过讨论来强化学生对所学内容的理解.。
江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修三：2.4 线性回归方程(2)
教学目标：1．了解非确定性关系中两个变量的统计方法；2．掌握散点图的画法及在统计中的作用；3．掌握回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、复习练习1．已知回归方程ˆ0.50.81=-，则x＝25时，y的估计值为y x3,10,(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ D ）2．三点()A．ˆ 5.75 1.75=+y x=-B．ˆ 1.75 5.75y xC．ˆ 1.75 5.75=+y x=- D．ˆ 5.75 1.75y x3．我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下：模型1：64=++．y x ey x=+；模型2：64（1）如果3,1==，分别求两个模型中y的值；x e（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解：（1）模型1：6464318=+=+⨯=；y x模型2：64643119y x e =++=+⨯+=（2）模型1中相同的x 值一定得到相同的y 值，所以是确定性模型；模型2中相同的x 值，因δ的不同，所得y 值不一定相同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型．二、数学运用 1．例题讲解．例1 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性 回归方程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有 线性相关关系．由测得的数据表可知：1010102211155,91.7,38500,87777,55950i i i i i i i x y x y x y ========∑∑∑∴ 1011022211055950105591.70.66838500105510i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑ 91.70.6685554.96a y bx =-=-⨯≈，因此，所求线性回归方程为$0.66854.96y bx a x =+=+．例2 已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：x(血球体积,ml)，y（红血球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程且画出图形．解：（1）（2）1(45424648423558403950)44.5010x=+++++++++=，1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y=+++++++++＝7.37，设回归直线方程为$y bx a=+，则10110221100.17510i iiiix y x ybx x==-==-∑∑，a y bx=-0.418-，所以所求回归直线的方程为$0.1750.148y x=-图形：说明：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b的计算公式，算出,a b．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的步骤：计算平均数,x y ；计算i x 与i y 的积，求i i x y ∑；计算2i x ∑；将结果代入公式求b ；用a y bx =-求a ；写出回归直线方程．2．巩固深化，反馈矫正．（1）下面是南京市与哈尔滨2001年12个月的月平均气温（单位：︒C ）试分析这两个城市的月平均气温是否具有相关关系，若有，求出线性回归方程；若没有，说明理由．（2）已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料：设y 对x 程线性相关关系．试求：①线性回归方程ˆy bx a =+的回归系数,a b ；②估计使用年限为10年时，维修费用多少？三、归纳整理，整体认识 求线性回归方程的步骤： 1. 计算平均数 x y ， ； 2. 计算x i 与y i 的积，求i i x y ∑； 3. 计算∑x i 2，y i 2 ；4. 将上述有关结果代入公式，求b ，a ，写出回归直线方程．5.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 2.4.1 线性回归方程》
课题线性回归方程【学习目标】1能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系2了解线性回归的方法【学习重点】会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程【学习难点】了解最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法【教学设计】【问题提出】1函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，那么这两个变量之间的关系就是一个函数关系2在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题〞按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能到达多少，影响物理成绩的因素很多，但这两个变量数学成绩和物理成绩是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系类似于这样的两个变量之间的关系相关关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义【构建数学】1两个变量之间的常见关系有:〔1〕确定性的函数关系,变量之间的关系可以用函数表示〔2〕相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示。
【数学应用】例1 在以下两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系练习：1、圆的面积和圆的半径具有〔〕A 函数关系B 相关关系C 不确定关系D 无任何关系2、以下两个变量之间的关系不是函数关系的是〔〕A 角的度数和正弦值B 速度一定时，距离和时间的关系C 正方体的棱长和体积D 日照时间和水稻的亩产量【实例探究】某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数样本数据与当天气温的对照表：问题1：当某天的气温是18度时，其热茶销量一定是24杯吗？问题2：当某天的气温是-50C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗问题3：能否用某个函数近似地表示这个相关关系？用怎样的函数可以近似地表示这个相关关系？为了了解热茶销量与气温的大致关系,我们以横坐标表示气温，纵坐标表示热茶销量，建立直角坐标系将表中数据构成的6个数对表示的点在坐标系内标出，得到以下图。
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教学目标：
1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直
观认识变量间的相关关系；
2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性
回归方程进行预测；
3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方
程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．
教学重点：
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
教学难点：
回归直线方程的求解方法．
教学方法：
引导发现、合作探究．
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在
的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联
系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说 事实上数学和物理
成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函
数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．
二、学生活动
提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？
（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；
（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．
说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量
间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天
卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温/0C
26 18 13 10 4
1
杯数 20 24 34 38 50 64
如果某天的气温是
5
0
C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数
吗？
从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示
热茶销量与气温之间的关系.
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？
我们有多种思考方案：
（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；
（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；
（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,
作为所求直线的斜率、截距；
……
怎样的直线最好呢?
三、建构数学
1．最小平方法：
用方程为ˆybxa的直线拟合散点图中的点，应使得该直线
与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆybxa与图中六
个点的接近程度呢？
我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:
26,18,13,10,4,babababababa
.这六个值与表中相应的实际值应该越
接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和
2222
22
(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Qabbabababababa
21286b2
6140382046010172aabba
说明： (,)Qab是直线ˆybxa与各散点在垂直方向(纵轴方
向)上的距离的平
方和,可以用来衡量直线ˆybxa与图中六个点的接近程度,所以,
设法取,ab的
值,使(,)Qab达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘
法)（method of
least square）.
先把a看作常数,那么Q是关于b的二次函数.易知,当140382021286ab时, Q
取得最小值.同理, 把b看作常数,那么Q是关于a的二次函数.当
14046012ba
时, Q取得最小值.因此,当14038202128614046012abba时，Q取的最小值，由此解得
1.6477,57.5568ba.所求直线方程为ˆ1.647757.5568yx
.当5x
时,ˆ66y,故当气温为
5
0
C
时,热茶销量约为66杯.
2．线性相关关系：
像这样能用直线方程ˆybxa近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner
correlation).
3．线性回归方程：
一般地,设有n个观察数据如下：
x
1
x
2
x
3x … n
x
y
1y 2
y
3y … n
y
当,ab使
222
1122()()...()nn
Qybxaybxaybxa
取得最小值时,就
称ˆybxa为拟合这n对数据的线性回归方程（linear regression equation）,
该方程所表示的直线称为回归直线．
上述式子展开后，是一个关于,ab的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为
最小值时的,ab的值．即
结论：1112211()()()nnniiiiiiinniiiinxyxybnxxaybx,（*） niixnx11, niiyny11
说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求．
四、数学运用
例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动
车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线
性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．
机动车辆数x／千台 95 110 112 120 129 135 150 180
交通事故数y／千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13
1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103 t）试分别估计1996
年和2004年我国居民生活污水排放量．
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
排放量 151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.3
2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）
之间有如下一组数据：
x
1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07
y
2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程．
五、归纳整理，整体认识
1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，
再依系数,ab的计算公式，算出,ab．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术
手段，认真细致，谨防计算中产生错误．
2.求线性回归方程的步骤：
①计算平均数yx,；②计算
ii
yx与
的积，求iiyx；③计算2ix；④将结果
代入公式求a；⑤用 xayb求b；⑥写出回归方程