等高模型
等底等高模型小学奥数
等高（等底）模型【知识点分析】1 基础知识：三角形面积=底.K高昇斯哄：三角形面枳的丸小，取决于三角瞪底和高的乘积.若底不变，高越大（小），面积越大a卜）；若高不变，底越丸（小儿面积越大（小）；2. 模型结论：①两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；女！■图S] * —a * b②两个三角形底相等，面积比等于它们的髙之比：特殊:等底等高的两个三角形面积相等；（注意平行线）其他常用蛀论：（1）夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图$*=£*；反之，如果则可知宜线曲平行于CD.（2）等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；（3）三甫形罰积等于与它等底等高的平行四边珈圍积妁一半；（4）两个平行四边形高相等*面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.3、拓展结论：拓展1:图（1）:四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，贝US阴二扌S正证明：连接BH、CH,根据等高等底知：S©=S②，S云S空S⑥三S⑥，所以正图（2）：四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边三等分点，H是是AD上任意一点、,则S阴气S正（证明方法同上）图（3）:四边形ABCD为长方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，则S十丄S长（证明方法同上）2拓展2：图（2）: S赵S小正，证明同上（辅助线如图）图（3）: S阴二大正，证明同上（辅助线如图）图⑷：$阴=gs中正，证明：辅助线如图，根据平行s，、RE=S住阳,所以,S阴冷S中【典型例题】W 1：如右因，E在AD上.AD至直BC・ylD = 12 ^耒，DE = 3圧米.求三角形ABC的和积是三角形EBC面积的几倍？例2:长方形ABCD的面积为36, E> F. G为各边中点，H为AD边上任意一点, 问阴影部分面积是多少？例3:（第6届走美杯5年级决春第8題）央如图，A. B、C都是正方形边的中A, ACOD比AAOB大15平方厘米。
第23讲 等高模型
A
D
A
D
h
B
C
B
E
C
【解析】如右图，作AB的平行线DE.三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等 ，三角形DEC的面积就是三角形BDC与三角形ABD的面积差（10平方分米）.从 而，可求出梯形高（三角形DEC的高）是：2×10÷5=4（分米），梯形面积是 ：15×4÷2=30（平方分米）. 【答案】30
例4、如图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图
中阴影部分的面积是多少平方厘米？
A
B
E
F
D
C
【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4×3÷2=6（平 方厘米）. 【答案】6
例5、一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积 的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？
A
E
B
D
C
2
例12、已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD= BC，求阴3影部
分的面积。
例13、如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面 积分别是89，28，26.那么三角形DBE的面积是多少？
B
D
A
E
C
例14、如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积 比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分 米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．
AB
12cm2 36cm2 M N
24cm2
C
D
48cm2
例10、图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方 形ADEF，其面积为6.36平方厘米。连接BE交AD于P，再连接PC。则图中阴影部 分的面积是多少平方厘米。
等高模型经典例题
等高模型是一种用于解决优化问题的数学方法，它通过在决策变量空间中构建等高线来寻找最优解。
以下是一个经典的等高模型例题：问题描述：假设有一个生产过程，该过程由两个阶段组成。
在第一阶段，企业需要选择一个原材料供应商，并确定购买的数量。
在第二阶段，企业需要根据第一阶段的选择来决定产品的生产数量。
目标是使总成本最小化。
假设有两个原材料供应商 A 和 B，他们的价格分别为 10 和 15。
企业可以选择购买 0 到 100 的数量。
在第二阶段，企业可以选择生产 0 到 200 的产品数量。
总成本包括原材料成本和生产成本，其中生产成本为常数 5。
现在，我们需要解决以下问题：1. 确定最优的原材料供应商和购买数量。
2. 根据第一阶段的选择，确定最优的产品生产数量。
等高模型：首先，我们需要将问题建模为等高模型。
设第一阶段的决策变量为 x（购买数量）和 y（选择的供应商），第二阶段的决策变量为 z（生产数量）。
1. 第一阶段的目标函数为：minimize f1(x, y) = 10x + 15(100 - x)2. 第二阶段的目标函数为：minimize f2(z, y) = 5z + (y-x) * (z-x) * (100-x)其中，y = 1 表示选择供应商 A，y = 0 表示选择供应商 B。
接下来，我们需要求解第一阶段的最优解，即最小化 f1(x, y)。
通过求解该目标函数，我们可以确定最优的购买数量 x 和选择的供应商 y。
然后，我们将第一阶段的最优解代入第二阶段的目标函数 f2(z, y)，并求解最小化 f2(z, y)。
通过求解该目标函数，我们可以确定最优的产品生产数量 z。
最后，我们比较两个阶段的最优解，并选择总成本最小的方案作为最终的解决方案。
三角形等高模型知识点
三角形等高模型知识点
三角形等高模型是一个三维几何模型，由等高线组成，用于表示地形高度或地形变化。
它的主要特点可以总结为以下几点：
1. 等高线：等高线是三角形等高模型的基本元素，它连接了相同高度的点，并形成一系列闭合的曲线。
等高线的间隔表示高度的变化幅度，等高线越密集表示地形变化越大。
2. 高度信息：三角形等高模型通过等高线的间隔和密度来表示地形的高度信息。
在模型中，等高线的密集程度越高，表示地形变化越剧烈，高度差也就越大。
3. 地形特征：通过观察三角形等高模型中的曲线形状和间隔，可以分析地形的特征。
例如，两个等高线之间的距离越近，表示地势越陡峭；等高线的形状越尖锐，表示地形的变化越快速。
4. 地形测量：三角形等高模型可以用于地形测量和地图制作。
通过测量不同点的高度信息，并在模型中绘制相应的等高线，可以准确地表示地形的变化和高度差。
5. 可视化应用：三角形等高模型可以应用于地理信息系统（GIS）、地形分析、城市规划等领域。
它可以帮助人们更直观地了解地形的特征，指导地理空间数据的分析和决策制定。
总的来说，三角形等高模型是用等高线表示地形高度和变化的三维几何模型，通过观察等高线的间隔和形状可以获取地形的各种特征和信息。
第12讲--等高模型与一半模型
H
B
CE
B
CE
答案
50
练习3
右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形 ABC的面积.
A B F
G
4
E
DC
答案
8
例题4
如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证
明它们的面积相等.
F
F
A
B
G
D
EC
A
B
G
D
EC
答案
无
练习4
如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为
10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
E
E
A
B
A
B
F
F
答案
6.4
DG
C
DG
C
如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点， DF=FC,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等. 已知梯形 ABCD的面积是32平方厘米. 求图中阴影部分的面积.
A
D
乙
答案
12.8
甲 BE
F
丙 C
一、两个三角形高相等, 面积比等于它们的底之比; 如图S1:S2=a:b
二、两个三角形底相等, 面积比等于它们的高之比;
特殊:等底等高的两个三角形面积相等; (注意平行线)
例题1
如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位: 厘米）
答案
9平方厘米
练习1
求下图中阴影部分的面积。
答案
4
一半模型
等高模型
利用高相等求图形面积
如图所示，一个面积是 100 的长方形分成 4 个不同的三角形．问：红色部分的面积和是多 少？
等高模型
例题讲解
练一练6：如图，三角形ABC中，D、E分别是BE、BC的中点 ，F是AC的三等分点 ，已知三角形 DEG的面积比三角形AGF的面积小1，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例7：如图，正方形ABCD中，E是AB的四等分点 ，F是BD的五等分点 ，已知正方形ABCD的面积 是10，求三角形CEF的面积.
巩固提升
作业3：如图，等腰三角形ABC被分成面积相等的5个小三角形，已知AB=AC=15厘米，求AD、AG 的长.
巩固提升
作业4：如图，正三角形ABC被分成面积相等的15个小三角形，已知正三角形ABC的边长是112， 求AD+BE+CF的长.
巩固提升
作业5：如图，正方形ABCD被分成面积相等的8个三角形，已知BI=5厘米，求正方形ABCD被的面 积.
例题讲解
练一练3：如图，三角形ABC中，D、E、F是各边的三等分点，已知三角形ABC的面积是1平方厘 米，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例4：如图，三角形ABC中，BC=3BD，AC=3CE，AF=FG，DF=FH=HE，已知三角形ABC的面积 是10，求三角形GHE的面积．
例题讲解
练一练4：如图，三角形ABC中，D、E、F、G是BC边的五等分点，H、I、J是AB边的四等分点， 已知三角形EFI的面积是1，求三角形ABC的面积．
SABD：SACD BD：CD SABD：SABC BD：BC SACD：SABC CD：BC
例题讲解
例题讲解
例1：如图，三角形ABC中，AE：CE=2:3，BD：CD=3:4，已知三角形ADE的面积是12平方厘米， 求三角形ABC的面积.
分析：图中涉及到多组等高模型，根据已知C被分成7块面积相等的小三角形，其中AC=90厘米，BC=84厘米，求线段 EF和GH的长度.
第三章第七讲：三角形等高模型及鸟头模型例题精讲.doc
板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高 2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大( 小 ) ，三角形面积也就越大( 小) ；如果三角形的高不变，底越大( 小 ) ，三角形面积也就越大( 小) ；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1 ，则三角形面积与原来的一3样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 S1 : S2 a : bA BS1S2a b C D③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD S△BCD；反之，如果S△ACD S△BCD，则可知直线AB 平行于 CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ) ；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1 】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例 2 】如图，BD长 12 厘米，DC长 4 厘米，B、C和D在同一条直线上．⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍⑵ 求三角形 ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍AB【例 3 】 如右图， ABFE 和 CDEF 都是矩形， AB 的长是 4 厘米， BC 的长是 3厘米，D C平方厘米．那么图中阴影部分的面积是AB EFDC【例 4 】如图，长方形ABCD 的面积是 56 平方厘米， 点 E 、 、 分别是长方形 ABCD 边上的中点， H 为ADF G 边上的任意一点，求阴影部分的面积．HA D EGBFC【例 5 】长方形 ABCD 的面积为 36 cm 2 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少A H DE GBF C【例 6 】长方形 ABCD 的面积为36， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少A H DEGBF C2三角形等高模型与鸟头模型题库page 2 of 18v1.0 可编辑可修改A (H)DEGBFC【例 7 】如右图，E 在 AD 上，AD 垂直，AD 12 厘米，DE 3 厘米．求三角形 的面积是三角形EBCBCABC面积的几倍AEBDC【例 8 】如图，在平行四边形 ABCD 中， EF 平行 AC ，连结 BE 、AE 、 CF 、 BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形AFDEBC【解析】 AEC 、 AFC 、 ABF ．【例 9 】 ( 第四届”迎春杯”试题 ) 如图，三角形 ABC 的面积为 1，其中 AE 3AB ， BD2BC ，三角形 BDE的面积是多少BEABEACCDD【例 10 】( 2008 年四中考题 ) 如右图，AD ，EF FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，ABCDB AE的面积是平方厘米．BDAEF C【例 11 】如图是一个长方形， 点 、 F 和 分别是它们所在边的中点． 如果长方形的面积是36 个平ABCDE Gv1.0可编辑可修改方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．GDC E FAB【例 12 】如图，大长方形由面积是12 平方厘米、 24 平方厘米、 36 平方厘米、 48 平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．12cm236cm248cm224cm2【例 13 】如图，三角形 ABC 中， DC 2BD ，CE 3AE ，三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米， 三角形 ABC的面积是多少AEBDC【例 14 】 ( 2009 年第七届” 希望杯”二试六年级 ) 如图，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE 、三角形 BCD 的面积分别是 89， 28， 26．那么三角形 DBE 的面积是．BDA E C【例 15 】( 第四届《小数报》 数学竞赛 ) 如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分． 三角形 BDC的面积比三角形ABD 的面积大 10 平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15 分米，它们的差是 5 分米．求梯形ABCD 的面积．A DBCv1.0可编辑可修改【例 16 】图中AOB的面积为15cm2，线段 OB的长度为 OD的3倍，求梯形ABCD的面积．A DOB C【例 17 】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．DACB【例 18 】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米黄红红绿【例 19 】O 是长方形 ABCD 内一点，已知OBC 的面积是5cm2，OAB 的面积是2cm2，求OBD 的面积是多少A DOPB C【例 20 】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、 GH ，若PBD 的面积为8 平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米A G DE PFB H Cv1.0可编辑可修改【例 21 】如右图，正方形ABCD 的面积是 20，正三角形BPC 的面积是 15，求阴影BPD 的面积．A DPB C【例 22 】在长方形ABCD内部有一点O ，形成等腰AOB 的面积为16，等腰DOC 的面积占长方形面积的 18% ，那么阴影AOC 的面积是多少DCOA B【例 23 】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中， E 、 F 分别是其两腰AB 、 CD 的中点， G 是 EF 上的任意一点，已知ADG的面积为15cm2，而BCG 的面积恰好是梯形ABCD 面积的7 ，则梯形ABCD的面积是cm2．20A DE FGB C【例 24 】如图所示，四边形ABCD与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．FA BGD E C【例 25 】如图，正方形ABCD的边长为6，AE，CF2．长方形EFGH的面积为．HA D EBG F C【例 26 】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为 4 平方厘米．求三角形CDF的面积．D CFA E B【例 27 】图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【例 28 】如图，有三个正方形的顶点 D 、 G 、 K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10 厘米，求阴影部分的面积．D CG F POQH KA B E【例 29 】( 2008 年”华杯赛” 决赛 ) 右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG 和 CF 相交于 H ，已知 CH 等于 CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．F EA DHB C G【例 30 】( 第八届小数报数学竞赛决赛试题) 如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点， DF FC ，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是 32 平方厘米．求图中阴影部分的面积．A D乙F甲丙B E C【例 31 】如图，已知长方形ADEF 的面积 16 ，三角形 ADB 的面积是 3 ，三角形 ACF 的面积是 4 ，那么三角形 ABC 的面积是多少A FCD B E【例 32 】如图，在平行四边形ABCD 中， BE EC ， CF 2FD ．求阴影面积与空白面积的比．A DH FGB CE【例 33 】( 第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛) 如图所示，三角形ABC 中， D 是 AB 边的中点， E 是 AC 边上的一点，且 AE 3EC ，O 为 DC 与 BE 的交点．若CEO的面积为a平方厘米，BDO 的面积为 b 平方厘米．且 b a 是 2.5 平方厘米，那么三角形ABC 的面积是平方厘米．A Db OaEB C【例 34 】如图，在梯形 ABCD 中， AD : BE 4:3 ， BE : EC 2:3 ，且BOE 的面积比AOD 的面积小10 平方厘米．梯形ABCD 的面积是平方厘米．A DOB E C【例 35 】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13 ， 35 ， 49．那么图中阴影部分的面积是多少A D49 35E13B C【例 36 】图中是一个各条边分别为 5 厘米、 12 厘米、 13 厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分( 即未被盖住的部分) 的面积是多少平方厘米【例 37 】如图，长方形ABCD 的面积是 2 平方厘米，EC 2DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米A DF EBGC【例 38 】( 2007 年六年级希望杯二试试题) 如图，三角形田地中有两条小路AE 和 CF ，交叉处为 D ，张v1.0 可编辑可修改大伯常走这两条小路，他知道 DF DC ,且 AD 2DE ．则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是_________ ．C EB DFA【例 39 】( 2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图， BC 45 ， AC 21， ABC 被分成 9 个面积相等的小三角形，那么DI FK ．BDEH IGJAK CF【解析】由题意可知， BD : BC S BAD : S ABC 2 :9 ，所以 BD 2， CD BC BD 35 ；又BC 109DI : DC S DIF : S DFC 2 :5 ，所以 DI 2，同样分析可得FK 10 ，所以DC 145DI FK 14 10 24 ．【例 40 】 E 、 M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点，且DQ 、CP、ME彼此平行，若AD 5 ， BC7 ，AE 5 ， EB 3 ．求阴影部分的面积．ADQ MEB CP【例 41 】( 2007 年人大附中分班考试题) 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．( 丙是三角形HBC )v1.0可编辑可修改A甲乙D I J FM NH 丙B E C【例 42 】( 2009 年四中入学测试题) 如图，已知CD 5 ， DE 7 ， EF 15 ， FG 6 ，线段 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．A AC D E F C D E FG GBB【例 43 】( 2008 年仁华考题 ) 如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是．A DHGEB F C【例 44 】( 2008 年走美六年级初赛) 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB 8 ，AD 15 ，四边形 EFGO 的面积为．A DOGEB F C【例 45 】( 清华附中分班考试题) 如图，如果长方形ABCD 的面积是 56 平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米v1.0可编辑可修改D Q 3 C2M 5PA N 6 B【例 46 】( 2008 年日本第12 届小学算术奥林匹克大赛初赛) 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是cm 2 ．4cm1cm【例 47 】如图，三角形AEF 的面积是 17， DE 、 BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．A BFD E C【例 48 】( 2008 年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛) 如图，长方形ABCD 中， AB 67 ，BC 30 ． E 、 F 分别是 AB、BC 边上的两点， BE BF 49 ．那么，三角形 DEF 面积的最小值是．D CFA E B【例 49 】(2007 首届全国资优生思维能力测试) ABCD是边长为12 的正方形，如图所示，P 是内部任意一点， BL DM 4、 BK DN 5 ，那么阴影部分的面积是．v1.0 可编辑可修改A LB A(P) LBP K KN ND M C DM C【例 50 】如图所示，在四边形ABCD 中， E ， F ， G ， H 分别是 ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形 PQRS 的面积之比．HDAPE SG QRB F C【例 51 】如图，四边形ABCD 中， DE : EF : FC 3: 2:1 ， BG : GH : AH 3: 2:1 ， AD : BC 1: 2 ，已知四边形 ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG的面积．E FCDA H G B【拓展】如图，对于任意四边形ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH ，求四边形EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几BMNAKEFJH GD O P C【例 52 】( 2008 年日本小学算数奥林匹克大赛决赛) 有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分v1.0 可编辑可修改别取点 L 、 M 、 N ，在边 AL 、 BM 、CN 上分别取点 P 、Q 、 R ，使 LP MQ NR ，当 PM 和 RL 、PM 和 QN 、 QN 和 RL 的相交点分别是 X 、 Y 、 Z 时，使 XY XL ．这时，三角形 XYZ 的面积是三角形 ABC 的面积的几分之几请写出思考过程．A PLNZXY RBQMC【例 53 】如图：已知在梯形 ABCD 中，上底是下底的2，其中 F 是 BC 边上任意一点，三角形AME 、三3角形 BMF 、三角形 NFC 的面积分别为14 、 20、 12 ． 求三角形 NDE 的面积 ．A BMEFNDC【例 54 】如图，已知 ABCD 是梯形， AD ∥ BC ， AD : BC 1: 2 ， S AOF : S DOE 1:3 ， S BEF24cm 2 ，求AOF 的面积 ．ADFO EBC【例 55 】（ 2009 年迎春杯决赛高年级组） 如图，ABCD 是一个四边形， M 、 N 分别是 、 的中点．如AB CD果 ASM 、 MTB 与 DSN 的面积分别是 6、7 和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为．14三角形等高模型与鸟头模型题库page 14 of 18DASM NTBC板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比．如图在△ ABC 中，D , E分别是AB , AC上的点如图⑴ ( 或D在BA的延长线上， E 在 AC 上)，则 S△ABC : S△ADE ( AB AC ) : ( AD AE )DAADEEB CB C图⑴图⑵【例 56 】如图在△ABC中，D, E分别是AB, AC上的点，且AD : AB 2:5 ， AE : AC 4:7 ，S△ADE16 平方厘米，求△ ABC的面积．AADDE EBC B C【例 57 】如图在△ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 AB : AD 5: 2 ，AE : EC 3: 2 ，S△ADE12平方厘米，求△ ABC 的面积．D DA AEEB C B C【例 58 】如图所示，在平行四边形ABCD中， E为 AB的中点， AF 2CF ，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为 8 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米D CFA E B【例 59 】已知△DEF的面积为7平方厘米，B E CE, AD 2BD ,CF 3AF ，求△ABC的面积．AFDBEC【例 60 】如图，三角形ABC 的面积为 3 平方厘米，其中AB : BE 2:5 ， BC : CD 3: 2 ，三角形 BDE 的面积是多少B BA E A EC CD D【例 61 】( 2007 年”走美”五年级初赛试题) 如图所示，正方形ABCD 边长为 6 厘米， AE 1AC ，3CF 1BC ．三角形DEF的面积为 _______平方厘米．3A DEBv1.0可编辑可修改【例 62 】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长 AB 至 D ，使 BD AB ；延长 BC 至 E ，使 CE2BC ；延长 CA 至 F ，使 AF 3AC ，求三角形DEF 的面积．FACEBD【例 63 】如图，平行四边形ABCD ， BE AB ， CF 2CB ， GD 3DC ， HA 4AD ，平行四边形ABCD 的面积是 2 ，求平行四边形ABCD 与四边形 EFGH 的面积比．HA BEG CDF【例 64 】如图，四边形EFGH 的面积是 66 平方米， EA AB ， CB BF ， DC CG ， HD DA ，求四边形 ABCD 的面积．HC GDA BFE【例 65 】如图，将四边形ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F 、 G 、 H ，若四边形 ABCD 的面积为5，则四边形EFGH的面积是．FEB AC GDHv1.0 可编辑可修改【例 66 】如图，在△ ABC 中，延长 AB 至 D ，使 BD AB ，延长 BC 至 E ，使CE 1BC ，F是AC的2中点，若△ABC 的面积是 2 ，则△DEF 的面积是多少AFB CED【例 67 】如图，S△ABC1 ，BC5BD ， AC 4EC ， DG GS SE ， AF FG ．求S FGS．AFEGSB CD【例 68 】如图所示，正方形ABCD边长为 8 厘米， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点， G 是 BF 的中点，三角形 ABG的面积是多少平方厘米EA DFGB C【例 69 】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．FH AEBG CD。
几何第12讲_等底等高模型(学生版)A4
一．等底等高三角形三角形的面积等于底乘以高除以2，于是我们就可以得到：等底等高的两个三角形面积相等．也就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等．但注意这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 二．常见两类情况1．两个三角形有一个公共顶点，而这个公共顶点所对的边在一条直线上且相等．如图，三角形ABC 与ACD ，它们有公共顶点A ，边BC ，CD 在同一直线上且BC CD =，那么就有三角形ABC 与三角形ACD 的面积相等．2．两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边所对的顶点在一条与底边平行的直线上．如图中的三角形1A BC 与2A BC 、3A BC 的面积都相等．三．梯形翅膀相等如图，梯形ABCD 为任意梯形，则有ABO CDO S S ∆∆=． 重难点：会找与所求三角形面积相等的三角形． 熟练应用梯形翅膀相等来解题． 题模一：快乐三角仔例1.1.1图中的两个三角形都是等边三角形，面积分别是20平方厘米和30平方厘米．B 点和C点都是三角形边上的中点．求阴影部分的面积．几何第12讲_等底等高模型B AC DBC例1.1.2如图，两个正方形放在一起，大正方形半场为10厘米，求阴影部分的面积．例1.1.3已知右图中两个正六边形的面积分别是20和4，则阴影部分的面积是__________．例1.1.4如右图，ABC 是直角三角形，DE 与AC 平行，已知18BD =，10CF =，那么BEF 的面积是_______．例1.1.5正方形ABCD 、ECGF 、HGJI 并排放在一起，其中E 是CD 的中点，H 是GF 的中点，E 在线段AH 上．如果正方形HGJI 的对角线HJ 长8厘米，那么三角形AHJ 的面积是_______平方厘米．C ABDE F例1.1.6如图，有两个小正方形和一个大正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍，阴影部分三角形面积为240，请问三个正方形的面积和是_________．例1.1.7如图，正六边形边长2.4，以六边形的一组对边为边长向外作正方形，那么阴影三角形的面积是___________．例1.1.8如图，四边形EFCD 是平行四边形．如果梯形ABCD 的面积是320，四边形ABGH 的面积是80，那么三角形OCD 的面积是__________．题模二：梯形蝴蝶翅膀相等例1.2.1如图，长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是13平方厘米，三角形BCH 的面积是25平方厘米，四边形EGFH 的面积是多少平方厘米？CGD E F BAGH CDFEABO例1.2.2如图，在长方形中有几部分的面积已经标出，那么四边形ABCD 的面积=_______．例 1.2.3如图，四边形ABCD 与四边形CNMP 都是平行四边形．若三角形DFP 与三角形AEF 的面积分别是21和43，则三角形BNE 的面积为多少？例1.2.4在梯形ABCD 中，OE ∥AD ，如果△AOB 的面积是7平方厘米．则△DCE 的面积是_________平方厘米．例1.2.5如图所示，梯形ABCD 的面积为117平方厘米，AD ∥BC ，EF =13厘米，MN =4厘米，又已知MN ⊥EF 与O 点，那么阴影部分的总面积为________平方厘米．随练1.1如图，已知正方形ABCD 边长是8厘米，正方形DEFG 边长是5厘米．则三角形ACFABCDF EGHDCBA 463110A ODCBEONMED CBA的面积是____________平方厘米．随练1.2如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是5厘米和6厘米．则阴影部分的面积是________平方厘米．随练 1.3如图，梯形ABCD 的AD 平行于BC ，对角线AC 、BD 交于点E ，已知三角形ADE 的面积是64平方厘米，三角形BEC 的面积是25平方厘米，三角形ABC 的面积是65平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？随练1.4如图，在长方形ABCD 中，三角形ADP 的面积为20平方厘米，三角形CBQ 的面积为35平方厘米．那么阴影四边形的面积是________平方厘米．作业1三个正方形ABCD ，BEFG ，HKPF 如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于24厘米．求图中阴影部分的面积．DABCE作业2如图，大小三个正方形，其中AB =8，BE =6；求阴影部分面积．作业3面积为8的长方形AEFG 和面积为20的长方形ABCD 如图放置（A 、E 、D 三点在一条直线上），BF 交AD 于P ，连接PC 、EC ，求图中阴影部分面积．作业4如图，两个正方形放在一起，4AB ，求阴影部分的面积．作业5正方形ABCD 的面积为9平方厘米，正方形EFGH 的面积为64平方厘米．如图所示，边BC 落在EH 上．已知三角形ACG 的面积为 6.75平方厘米，则三角形ABE 的面积为___________平方厘米．KHPFGD C EB A FG PEDC BAD BAHF作业6如图，在钝角三角形ABC 中，M 为AB 边的中点，MD 、EC 都垂直于BC 边．若BDE ∆的面积是3平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少？作业7梯形ABCD 中，8AB cm =，6BC cm =，4AF cm =，求AEF S △．作业8图中的长方形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么阴影部分的面积是多少？作业9如图在梯形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，OE 平行于AB 交腰BC 于E 点，如果三角形OBC 的面积是115平方厘米，则三角形ADE 的面积为__________平方厘米．HGF E DCB AA BCDEM作业10如图，梯形ABCD 的对角线相互垂直．三角形AOB 的面积是12，OD 的长是4，则OC 的长为______．A ．5B ．6C ．7D ．8O D ECBA ABCDO。
等高模型的技巧
等高模型的技巧
以下是一些提高等高模型质量的技巧：
1. 数据准备：确保数据集的质量和多样性，包括广泛涵盖各个类别的样本，并检查和处理数据集中可能存在的噪声、离群值或缺失值。
2. 特征选择和工程：选择与等高模型相关的特征，并进行适当的特征工程。
例如，可以对连续特征进行分箱、标准化或归一化处理，对分类特征进行独热编码等。
3. 模型选择和调参：根据具体任务和数据集的特点选择合适的等高模型，如随机森林、支持向量机、决策树等。
同时，通过交叉验证和参数调优，找到最佳的超参数组合，提高模型的泛化能力。
4. 解决类别不平衡问题：如果数据集中存在类别不平衡问题（某一类样本数量远远多于其他类别），可以使用过采样、欠采样或者集成方法（如SMOTE、ADASYN、集成采样等）来平衡样本。
5. 模型集成：通过使用集成学习方法（如随机森林、梯度提升树等）综合多个模型的预测结果，可以提高模型的准确性和稳定性。
6. 模型评估和优化：使用适当的评估指标（如准确率、召回率、精确率、F1得
分等）对模型进行评估，并针对评估结果进行模型优化和改进。
7. 特征重要性分析：了解模型中各个特征对最终预测结果的重要性，可以帮助进一步优化模型和特征工程的过程。
8. 模型解释性和可解释性：对于等高模型，特别是决策树等可解释性较强的模型，可以通过可视化树结构、特征重要性图等方法解释模型的预测结果，增加模型的可解释性。
9. 模型稳定性：通过使用交叉验证、重复实验等方法对模型的稳定性进行评估，可以减少模型对数据扰动的敏感性，提高模型的鲁棒性。
希望以上技巧对您有所帮助！。
等高模型公式
等高模型公式
等高模型（ElevationModel）是一类地理信息系统（GIS）中常
见的栅格数据，是数字模型，用来描述地表高程数据。
它通过一个三元组栅格（x，y，z）来精确描述一个位置的高程数据，其中x、y表示栅格的横坐标和纵坐标，z表示栅格对应位置的高程，是一个简洁、明确的数据表示方式，也是快速描述地理空间高程变化的有力工具。
等高模型公式是用来描述等高模型的一种数学公式，用来描述栅格的高程变化。
该公式通过一个三元组来表示数据，每个三元组的第一个值表示横坐标，第二个值表示纵坐标，第三个值表示高程，可以用以下公式来描述：z(x,y) = f（x,y）。
等高模型公式也可以应用于具体的栅格数据，通过此公式可以推算出某一位置的高程数据。
例如，栅格数据每一个栅格的大小为5m
×5m，则可以用以下公式推算出具体一个栅格中点的高程z：z（x，y）=f（x+2.5，y+2.5），其中x、y表示栅格左上角的横坐标和纵坐标。
等高模型的应用范围很广泛，分布在不同的领域。
在地质勘探方面，等高模型公式可以用来推算某一地区的山脉高程，监测其变化趋势，有助于地质调查。
在气候学研究领域，可以利用等高模型公式来推算某一地区气候特征，从而更好地预测其变化趋势。
等高模型公式还可以应用于农业方面，可以推算出某一地区土壤的质量和有效成分，有助于农业生产。
等高模型公式的应用范围很广，是一种有效的数字模型，可以用
来快速描述地理空间中高程变化的趋势，并且应用范围也很广泛，已经在地质勘探、气候研究、农业生产等领域得到广泛应用，也期待着在更多领域得到更多的应用。
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1 如图， 长 厘米， 长 厘米， 、 和 在同一条直线上．
求三角形 的面积是三角形 面积的
倍．
2 已知三角形 的面积是
的面积是 平方厘米， 平方厘米．
的长为 厘米，
的长为 厘米，则三角形
3 已知三角形 的面积是
的面积是 平方厘米， 平方厘米．
的长为 厘米，
的长为 厘米，则Βιβλιοθήκη 角形4 如图是由大、小两个正方形组成的，它们的边长分别是 厘米和 厘米，求三角形
积是
．
的面
5 如图，正方形 厘米，则正方形
和正方形 的面积为
中， 在同一条直线上，且阴影三角形面积为 平方 ？