小学奥数：三角形等高模型与鸟头模型(一).专项练习及答案解析

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小学奥数-三角形等高模型与鸟头模型.题库学生版

板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例 2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．例题精讲三角形等高模型与鸟头模型（学生版）⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？【例 3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．F E CBA【例 4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BA【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．CDBAE D GCB【例 5】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【例 6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．【例 7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，12AD=厘米，3DE=厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC 面积的几倍？ED CBA【例 8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【巩固】如图，在ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？EDC BA【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODBA【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE的面积是多少？【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是平方厘米．A【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【例 11】如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．F E GDC BA【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？DD【例 12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【例 13】如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是．【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．DCBA【例 16】图中AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积． O CB DA【例 17】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．D BA【例 18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【例 19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？【例 20】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CH【例 21】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．BA【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．BA【例 22】在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？DC【例 23】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．A BCDEFG【例 24】如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFEB A【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？A BGC E F D【例 25】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．HGF EDCBA【例 26】如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．AEBFCD【巩固】如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1ADE S =△，求BEF △的面积．A BCD EF【例 27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【解析】4428⨯÷=．【例 28】如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KEBA【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．A【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．F【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【巩固】(人大附中考题)已知正方形ABCD 边长为10，正方形BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．GAB【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F ED CB A【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．BC【例 31】如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F DCA【例 32】如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．B【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E是AC 边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是平方厘米．E baOD CBA【例 34】如图，在梯形ABCD 中，:4:3AD BE =，:2:3BE EC =，且BOE ∆的面积比AOD ∆的面积小10平方厘米．梯形ABCD 的面积是平方厘米．OAB CDE【巩固】(第五届《小数报》数学竞赛初赛)如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，线段AE 与DC 平行，AE与BD 相交于O 点．已知三角形BOE 的面积比三角形AOD 的面积大4平方米，并且25EC BC =．求梯形ABCD 的面积．OA B CDE【例 35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？BE【例 36】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【例 37】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？DC【例 38】(2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC=,且2AD DE=．则两块地ACF和CFB的面积比是_________．FEDC BAFEDC BAGFEDC BA【例 39】(2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC=，21AC=，ABC∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK+=．KJIHGFEDCBA【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且OAB∆、ABC∆、BCD∆、CDE∆、DEF∆的面积都等于1，则DCF∆的面积等于．O【例 40】E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若5AD=，7BC=，5AE=，3EB=．求阴影部分的面积．QB CE【例 41】(2007年人大附中分班考试题)已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【例 42】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFE DC BA【巩固】(第四届希望杯)如图，点D 、E 、F 在线段CG 上，已知2CD =厘米，8DE =厘米，20EF =厘米，4FG =厘米，AB 将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形ADG 的面积是多少平方厘米？ABCD EFGGFED CBA【例 43】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是．AB【巩固】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形EFGH 的面积是．AB【例 44】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为．BA【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是平方厘米．NOMPDCBA【巩固】如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【巩固】(2008年清华附中考题)如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为．B【例 45】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？【例 46】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm ．【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？【巩固】已知正方形的边长为10，3EC =，2BF =，则ABCD S =四边形．FE DBA【例 47】如图，三角形AEF 的面积是17，DE 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．A B CDEF【例 48】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD 中，67AB =，30BC =．E 、F 分别是AB BC 、边上的两点，49BE BF +=．那么，三角形DEF 面积的最小值是．ABC D E F【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是．【例 50】如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS 的面积之比．【巩固】(2008年”希望杯”二试六年级)如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，FG 与FH交于点O ，1S 、2S 、3S 及4S 分别表示四个小四边形的面积．试比较13S S +与24S S +的大小．OS 4S 3S 2S 1H GFEDC BA【例 51】如图，四边形ABCD 中，::3:2:1DE EF FC =，::3:2:1BG GH AH =，:1:2AD BC =，已知四边形ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积= ．HG F EDCBA【拓展】如图，对于任意四边形ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH ，求四边形EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几？K JPON M HG ABCDEF【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、CA 的正中间分别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点P 、Q 、R ，使LP MQ NR ==，当PM 和RL 、PM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY XL =．这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．A BCN M QR P L XY Z【例 53】如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的23，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AME 、三角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE 的面积．CDNFEM BA【例 54】如图，已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，:1:2AD BC =，:1:3AOF DOE S S ∆∆=，224cm BEF S ∆=，求AOF ∆的面积．O FDECBA【例 55】（2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果ASM ∆、MTB ∆与DSN ∆的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为．MNTSDC BA板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 56】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBA【例 57】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【例 58】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【例 59】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FEDCBA【例 60】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDDC EB A【例 61】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【例 62】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【例 63】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【例 64】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A【例 65】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．A B CD EF GH【例 66】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？ABC DE F【例 67】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ．S GFE D CB A【例 68】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？A BC DEFG【例 69】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是． BDC EA。

数学鸟头模型

【答案】
1:1 【解析】三角形 ADG 与 CDE 中，角 ADG
与角 CDE 互补（ ADG CDE 360 90 90 180），故根据鸟头模型，两三角形的面积之比等于对应夹边之比的乘积（即 S△ADG AD GD ）；但由
S△CDE CD ED 于 ABCD 和 DEFG 都是正方形，故知 AD CD，GD ED，故知 S△ADG 1:1. S△CDE （2）如图，园林小路由白色正方形石板和红、绿两色的三角形石板铺成. 问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈绿色
第二组：
S△OAB : S△OAD S△OCB : S△OCD S△ABC : S△ADC a : b；相等的三角形：
S△OAD : S△OBC 1:1；（2）比值为 a2 的三角形（最小
b2 和最大三角形）
S△OAB : S△OCD a2 : b2 【解析】（1）观察右图，根据等高模型， AB : CD S△ABD : S△CDB，但根据风筝模型，
S△ABD : S△CDB OA : OC a : b，故 AB : CD a : b.
（2）根据鸟头模型，
S△OAB
:
S△OCD
OA OB OC OD
a a a2 :b2. bb
有了“沙漏模型”的基础，下面我们来看一看下左图的“金字塔模型”，图中 AB 与 CD 是平行线， CA 与 DB 交于点 O（为了更好地分析题目，右图连接了 AD 与 BC）；（3）你能用面积证明 OA: OC OB : OD吗？
第一组：
S△OAB : S△OCB S△OAD : S△OCD S△ABD : S△CBD a : b；第二组：
S△OAB : S△OAD S△OCB : S△OCD S△ABC : S△ADC a : b；相等的三角形：

三角形等高模型与鸟头模型：学习知识例题精讲.docx

.三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小 )，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小 )，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1 ，则三角形面积与原来的一3样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 S1 : S2 a : bA BS12Sa b CD③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD S△BCD；反之，如果 S△ACD S△BCD，则可知直线AB 平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等 (长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 )；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形；⑵ 4 个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例 2】如图，BD长 12 厘米，DC长 4 厘米，B、C和D在同一条直线上．⑴求三角形 ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？BD C.【例 3】如右图，ABFE 和CDEF都是矩形，AB 的长是 4 厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．A BE FDC【例 4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E、F、分别是长方形ABCD边上的中点，H为ADG边上的任意一点，求阴影部分的面积．HA DE GB F C【例 5】长方形 ABCD 的面积为36 cm2，E、F、 G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？A H DE GBF C【例 6】长方形 ABCD 的面积为36，E、F、 G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？A H DE GBF CA (H)DE GB F C【例 7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD12 厘米，DE 3 厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？.AEBDC【例 8】如图，在平行四边形ABCD 中，EF平行，连结、、、BF那么与V BEC等积的三角形一共AC BE AE CF有哪几个三角形？FA DEB C【例 9】 ( 第四届”迎春杯”试题)如图，三角形 ABC 的面积为1，其中 AE 3 AB ， BD2BC ，三角形BDE的面积是多少？ABE ABEC CD D【例 10】(2008 年四中考题 )如右图，AD DB ，AE EF FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是平方厘米．BDA E F C【例 11】如图ABCD是一个长方形，点E、 F 和 G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36 个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．GD CE FA B【例 12】如图，大长方形由面积是 12平方厘米、 24 平方厘米、 36 平方厘米、 48 平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．A B12cm 2 36cm212cm236cm2MN48cm248cm224cm224cm 2C D【例 13】如图，三角形 ABC 中，DC2BD ，CE3AE ，三角形ADE的面积是20 平方厘米，三角形 ABC.AEB D C【例 14】(2009 年第七届”希望杯”二试六年级 )如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE、三角形 BCD 的面积分别是89， 28， 26．那么三角形DBE 的面积是．BDA E C【例 15】(第四届《小数报》数学竞赛 )如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形 BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15 分米，它们的差是 5 分米．求梯形ABCD的面积．A DB C【例 16】图中 V AOB的面积为 15cm2，线段 OB 的长度为 OD 的3倍，求梯形 ABCD的面积．A DOB C【解析】在 VABD 中，因为S V AOB15cm2，且OB3OD ，所以有 S V AOD S VAOB 35cm 2．因为 VABD 和VACD等底等高，所以有S V ABD S V ACD．从而 S VOCD15cm2，在 VBCD 中， S VBOC3S VOCD 45cm2，所以梯形面积：15 5 15 45 80（ cm2）．【例 17】如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形．DAB C【例 18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，黄色三角形面积是 21cm 2 ．问：长方形的面积是多少平方厘米？.黄红红绿【例 19】O 是长方形 ABCD 内一点，已知 OBC 的面积是 5cm2，OAB的面积是 2cm2，求OBD的面积是多少？A DOPB C【例 20】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P作边的平行线EF 、GH，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？A G DE PFB H C【例 21】如右图，正方形ABCD 的面积是 20 ，正三角形BPC 的面积是 15 ，求阴影BPD 的面积．A DPB C【例 22】在长方形 ABCD 内部有一点 O ，形成等腰AOB 的面积为16 ，等腰DOC 的面积占长方形面积的 18% ，那么阴影AOC 的面积是多少？DCOA B【例 23】（ 2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E、F分别是其两腰 AB 、CD的中点，G是 EF 上的任意一点，已知2BCG 的面ADG 的面积为 15cm ，而积恰好是梯形ABCD 面积的7，则梯形 ABCD 的面积是cm 2．20A DE FGB C【例 24】如图所示，四边形ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．FA BGD E C【例 25】如图，正方形ABCD的边长为6， AE 1 .5 ， CF 2．长方形EFGH的面积为．HA DEBG F C【例 26】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果V ADE的面积为 4 平方厘米．求三角形CDF 的面积．D CFA E B【例 27】图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【例 28】如图，有三个正方形的顶点 D 、G、 K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．D CG F POQH KA B E【例 29】(2008 年”华杯赛”决赛)右图中， ABCD 和 CGEF 是两个正方形，AG 和 CF 相交于H，已知 CH 等于 CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．F EA DHB C G【例 30】(第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E、F分别是梯形 ABCD 的下底 BC 和腰 CD 上的点，DF FC ，并且甲、乙、丙 3 个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是 32 平方厘米．求图中阴影部分的面积．A D乙F甲丙B E C【例 31】如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形 ADB 的面积是3，三角形ACF的面积是 4 ，那么三角形 ABC 的面积是多少？A FCD B E【例 32】如图，在平行四边形ABCD 中， BE EC ， CF 2 FD ．求阴影面积与空白面积的比．A DH FGCBE.为 b 平方厘米．且 b a 是 2.5 平方厘米，那么三角形ABC 的面积是平方厘米．ADb OaEB C【例 34】如图，在梯形 ABCD 中， AD : BE4:3 ， BE : EC2:3 ，且BOE 的面积比AOD 的面积小 10平方厘米．梯形ABCD 的面积是平方厘米．A DOB E C【例 35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13 ， 35 ， 49 ．那么图中阴影部分的面积是多少？A D4935E13B C【例 36】图中是一个各条边分别为 5 厘米、 12 厘米、 13 厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【例 37】如图，长方形ABCD 的面积是 2 平方厘米， EC 2DE ，F是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？A DF EBGC【例 38】(2007 年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF，交叉处为 D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC ,且AD 2DE．则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是．.CEBDFA【例 39】( 2008 年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级 2 试 )如图， BC 45 ， AC 21 ， ABC 被分成 9个面积相等的小三角形，那么DIFK．BDEHIGJAFK C【例 40】(2007 年人大附中分班考试题 )已知 ABC 为等边三角形，面积为 400 ， D 、 E 、 F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143 ，求阴影五边形的面积． (丙是三角形 HBC )A甲乙DI JFMNB H 丙CE【例 41】(2009 年四中入学测试题 )如图，已知 CD 5 ， DE 7 ， EF 15 ， FG 6 ，线段 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形 ADG 的面积是．AC DE FGB【例 42】(2008 年仁华考题 ) 如图，正方形的边长为10 ，四边形 EFGH 的面积为 5，那么阴影部分的面积是．ADHGEB F CAD 15 ，四边形 EFGO 的面积为．A DOE GB F C【例 44】(清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56 平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？D Q 3C D Q 3C223M5M53P PA N6B AN6B【例 45】(2008年日本第 12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是cm 2．4cm1cm【例 46】如图，三角形AEF 的面积是17， DE 、 BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．A BFD E C【例 47】(2008 年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛) 如图，长方形ABCD 中， AB 67 ，BC30 ．E、F分别是 AB、 BC 边上的两点， BE BF49 ．那么，三角形DEF面积的最小值是．D CFA E B【例 48】(2007 首届全国资优生思维能力测试) ABCD 是边长为12 的正方形，如图所示，P是内部任意.一点， BL DM 4、BK DN 5 ，那么阴影部分的面积是．A LB A(P)L BPKKN ND M C DM C【例 49】如图所示，在四边形ABCD 中，E，F， G ，H分别是 ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形 PQRS 的面积之比．HDAPE SGQRB F C【例 50】如图，四边形ABCD 中， DE : EF : FC 3: 2:1 ， BG : GH : AH 3: 2:1 ， AD : BC 1: 2 ，已知四边形 ABCD 的面积等于 4 ，则四边形EFHG 的面积．EDF CA H G B【例 51】(2008 年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形 ABC ，在边AB、 BC 、 CA 的正中间分别取点 L 、 M 、N，在边 AL 、 BM 、CN上分别取点 P 、Q、 R ，使LP MQ NR ，当PM和RL、PM 和QN、QN和 RL 的相交点分别是 X 、 Y 、 Z 时，使 XY XL ．这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．APL NZXYRB Q M C【例 52】如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的2 ，其中F是BC边上任意一点，三角形AME、三3角形 BMF 、三角形NFC的面积分别为 14、20、 12．求三角形NDE的面积．..A BMEFND C【例 53】如图，已知 ABCD 是梯形，AD∥ BC ， AD : BC1: 2 ， S AOF : S DOE1: 3 ， S BEF24cm 2，求AOF 的面积．A DOFEB C【例 54】（2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果ASM 、MTB与 DSN 的面积分别是 6、7 和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为．DASM NTBC板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角 )两夹边的乘积之比．如图在△ ABC 中，D, E分别是AB, AC上的点如图⑴ (或D在BA的延长线上， E 在AC上)，则 S△ABC: S△ADE ( AB AC ) : ( AD AE )DAADEEB C B C图⑴图⑵.【例 55】如图在△ ABC中，D,E分别是AB, AC上的点，且AD : AB2:5 ， AE : AC4:7 ，S△ADE16 平方厘米，求△ ABC的面积．ADEB C【例 56】如图在△ ABC 中，D在BA的延长线上，E在 AC 上，且 AB : AD5: 2 ，AE : EC 3: 2 ， S△ADE 12 平方厘米，求△ ABC 的面积．DAEB C【例 57】如图所示，在平行四边形ABCD 中， E 为 AB 的中点，AF2CF ，三角形AFE(图中阴影部分 )的面积为8 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？DFCA E B【例 58】已知△ DEF 的面积为 7 平方厘米，BE CE, AD 2BD,CF3AF ，求△ABC的面积．AFDBCE【例 59】如图，三角形ABC 的面积为 3 平方厘米，其中 AB : BE2:5 ， BC : CD3: 2 ，三角形BDE的面积是多少？ABE ABEC CD D【例 60】(2007 年”走美”五年级初赛试题) 如图所示，正方形ABCD 边长为 6厘米， AE 1AC ，3CF1BC ．三角形DEF的面积为平方厘米．3.A DEBF C【例 61】如图，已知三角形ABC 面积为 1 ，延长AB至D，使BD AB ；延长BC至 E ，使CE 2 BC ；延长 CA 至F，使 AF 3 AC ，求三角形DEF的面积．FACEBD【例 62】如图，平行四边形 ABCD ，BE AB ，CF2CB ， GD 3DC ，HA4AD ，平行四边形ABCD 的面积是 2 ，求平行四边形ABCD与四边形 EFGH 的面积比．HA B EG CDF【例 63】如图，四边形EFGH 的面积是 66 平方米，EA AB ，CB BF ， DC CG ，HD DA ，求四边形 ABCD 的面积．HC GDBAFE【例 64】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB、CD、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F 、G、 H ，若四边形 ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．FB AEC GDH..【例 65】如图，在 △ ABC 中，延长 AB 至 D ，使 BDAB ，延长 BC 至 E ，使 CE1 BC ， F 是 AC 的2中点，若 △ ABC 的面积是 2，则 △ DEF 的面积是多少？AFBCED【例 66】如图， S △ ABC 1 ， BC 5BD ， AC4EC ， DGGS SE ， AFFG ．求 S VFGS ．AFGEBSCD【例 67】如图所示，正方形 ABCD 边长为 8 厘米， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点， G 是 BF 的中点，三角形 ABG 的面积是多少平方厘米？ AEDFGBC【例 68】四个面积为 1 的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．.。

小学奥数几何五大模型鸟头模型.

三角形等高模型与鸟头模型模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角 )两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延伸线上，E在AC上如图2)，则S△ABC:S△ADE(AB AC):(AD AE)ADADEEB C B C图⑴图⑵【例1】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，S△ADE16平方厘米，求△ABC的面积．AAD DE EB C B C【分析】连结BE，S△ADE:S△ABE AD:AB2:5(24):(54)，S△ABE:S△ABC AE:AC4:7(45):(75)，所以S△ADE:S△ABC(24):(75)，设S△ADE8份，则△35份，△16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的SABC SADE面积是平方厘米．由此我们获得一个重要的共角定理：共角三角形的面积比等于(相70定理，对应角等角或互补角)两夹边的乘积之比．page1of7【坚固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，假如三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？A ADE D EB CB C【分析】连结BE．∵EC3AE∴S ABC3S ABE又∵AB5AD∴S ADE S ABE5 S ABC 15，∴S ABC15S ADE15．【坚固】如图，三角形ABC被分红了甲(暗影部分)、乙两部分，BD DC 4，BE 3，AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？A AEB甲【分析】连结AD．∵BE3，AE6∴AB3BE，SABD乙E乙甲C B CD D3S BDE又∵BD DC4，∴S ABC2S ABD，∴S ABC6S BDE，S乙5S甲．【例2】如图在△ABC中，D在BA的延伸线上，E在AC上，且AB:AD5:2，AE:EC3:2，S△ADE12平方厘米，求△ABC的面积．D DA AEEB C B C【分析】连结BE，S△ADE:S△ABE AD:AB2:5(23):(53)S△ABE:S△ABC AE:AC3:(32)(35):(32)5，所以S△ADE:S△ABC(32):5(32)6:25，设S△ADE6份，则S△ABC25份，S△ADE12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们获得一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】以以下图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF2CF，三角形AFE(图中暗影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？page2of7D CFAEB【分析】连结FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的 2倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（32） 6倍．所以，平行四边形的面积为648(平方厘米)．【例 4】已知△DEF 的面积为7平方厘米，BE CE,AD2BD,CF 3AF ，求△ABC 的面积．AFDBCE【分析】S △BDE :S △ABC(BD BE):(BABC)(1 1):(2 3) 1:6，S△CEF:S△ABC(CE CF):(CBCA)(1 3):(2 4) 3:8S △ADF :S △ABC(AD AF):(AB AC)(21):(3 4)1:6设△ ABC 24份，则 △BDE 4份，△ 4份，△ CEF 9份，△24 4 497份，恰巧是7S S S ADFSS DEF平方厘米，所以S △ABC 24平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为 3平方厘米，此中 AB:BE2:5，BC:CD3:2 ，三角形BDE 的面积是多少？ABEABEC CDD【分析】因为ABC DBE 180，所以能够用共角定理，设 AB2份，BC3份，则BE5份，BD 3 25份，由共角定理 S △ABC :S △BDE (AB BC):(BE BD)(23):(55)6:25，设S△ABC6份，恰巧是 3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.5 12.5平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5 平方厘米【例 6】(2007年”走美”五年级初赛试题)以以下图，正方形ABCD 边长为6厘米，AE1AC ，CF1BC ．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．3 3ADEBF Cpage3of7【分析】由题意知AES △CEF :S △ABC11 2AC ．依据”共角定理”可得，AC 、CFBC ，可得CE333(CFCE):(CB AC)12:(3 3)2:9；而△ABC662 18；所以△CEF4；SS同理得，S △CDE :S △ACD 2:3;，S △CDE 18 3212，S △CDF 6故△ △ △ △4 126 10(平方厘米)．S DEF S CEF S DEC S DFC【例 7】如图，已知三角形 ABC 面积为1 ，延伸AB 至D ，使BDAB ；延伸BC 至E ，使CE2BC ；延伸CA 至F ，使AF 3AC ，求三角形DEF 的面积．FFA EAEBCBCDD【分析】(法1)此题是性质的频频使用．连结AE 、CD ．S ABC 11 ，∵，S ABCS DBC 1∴S DBC1．同理可得其他，最后三角形 DEF 的面积18．(法2)用共角定理∵在 ABC 和CFE 中，ACB 与FCE 互补，S ABC AC BC 1 11∴FC CE 4 2．SFCE8又S ABC1，所以S FCE 8 ．同理可得S ADF 6，S BDE3．所以S DEF S ABCSFCESADFSBDE 186318．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB ，CF 2CB ，GD 3DC ，HA 4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比．HHA B EABEGDCGDCFF【分析】连结AC 、BD ．依据共角定理∵在△ABC 和△BFE 中， ABC 与 FBE 互补，S△ABC AB BC 1 1 1．∴BE BF 1 3 3S△FBE又S △ABC 1，所以S △FBE 3．同理可得S△GCF8，S △DHG 15，S △AEH 8．page4of7所以S EFGH S△AEH S△CFG S△DHG S△BEF S ABCD8815+3+236．SABCD21所以36．SEFGH18【例9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CB BF，DC CG，HD DA，求四边形ABCD 的面积．H HD C GDC GA BF A BFE E【分析】连结BD．由共角定理得S△BCD:S△CGF(CDCB):(CG CF)1:2，即S△CGF2S△CDB同理S△ABD:S△AHE1:2，即S△AHE2S△ABD所以S△AHE S△CGF2(S△CBDS△ADB)2S四边形ABCD连结AC，同理能够获得S△DHG S△BEF2S四边形ABCDS四边形EFGH S△AHES△CGFS△HDGS△BEFS四边形ABCD5S四边形ABCD所以S四边形ABCD66513.2平方米【例10】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延伸两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是．F FE B A E B AG C GCD DH H【分析】连结AC、BD．因为BE2AB，BF2BC，于是S BEF4S ABC，同理S HDG4S ADC．于是S BEF S HDG4S ABC4S ADC4S ABCD．再因为AE3AB，AH3AD，于是S AEH9S ABD，同理S CFG9S CBD．于是S AEH S CFG9S ABD9S CBD9S ABCD．那么S EFGH S BEF S HDG S AEH S CFG S ABCD4S ABCD9S ABCD S ABCD12S ABCD60．【例11】如图，在△ABC中，延伸AB至D，使BD AB，延伸BC至E，使CE 1，F是AC的BC中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？2AFB C ED【分析】∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，page5of7∴S△ABC AC BC224．S△FCE FC CE111又S ABC2，所以S FCE0.5．同理可得S△ADF2，S△BDE3．所以S△DEF S△ABC S△CEF S△DEB S△ADF20.5323.5【例12】如图，S△ABC1，BC5BD，AC4EC，DG GS SE，AF FG．求S FGS．AFG SEB CD【分析】此题题目自己很简单，但它把本讲的两个重要知识点交融到一同，既能够看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的频频运用，也能够看作是找点，最妙的是此中包括了找点的3种状况．最后求得S△432111．FGS的面积为△S FGS4322105【例13】以以下图，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？A ED AEDF FB GC BGC【分析】连结AF、EG．因为S△BCF1216，依据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积S△CDE84比等于夹这个角的两边长度的乘积比”SAEF8，S EFG8，再依据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，获得S BFC16，S ABFE32，SABF24，所以S ABG12平方厘米．【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求暗影三角形的面积．F HA EBG CD【分析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形．假定正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4 2 1 7，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角page6of7形构成的，所以一个单位小正三角形的面积为1，三角形DEF 的面积为49．66因为FA 4a ，FB3a ，所以AFB 与三角形DEF 的面积之比为4 3 12．77 49同理可知BDC 、AEC 与三角形DEF 的面积之比都为12，所以ABC 的面积占三角形DEF 面积49的112 313，所以ABC 的面积的面积为 49 13 13．49 49649 6【坚固】已知图中每个正六边形的面积都是 1，则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是．EA DB C【分析】从图中能够看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中能够看出，每个三角形都是一个正六边形面积的 1，所以虚线外图形的面积等于 1 3 1 2 31，所以五边形的面积是10 3162．6 6 333精选文档page7of7。

小学奥数-鸟头模型含解析

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．三角形等高模型与鸟头模型【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D C B A A B C D E【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=．于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△．又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCB【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【解析】连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是．BDCA【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．。

4-2-2三角形等高模型与鸟头模型题库学生版

4-2-2三角形等高模型与鸟头模型题库学生版三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生1变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一3样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S1:S2a:bABS1aS2bCD③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACDS△BCD；反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD 的面积是三角形ADC面积的多少倍？ABDC【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．AEDBFC【巩固】(2022年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．ABFDEC【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．AEBHDGFC【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．ADGEBFC【例5】长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGBFC【例6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGB【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．FCADPBC【例7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD12厘米，DE3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？AEBDC【例8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF 那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？FADEBC【巩固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？AEB【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？AOBCDDC【例9】(第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中AE3AB，BD2BC，三角形BDE的面积是多少？ABCDEA【例10】(2022年四中考题)如右图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC4-2-2．三角形等高模型与鸟头模型学生版page4of25的面积是平方厘米．BDAEFC【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？AEFBDC【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB24厘米，BC8厘米，求三角形ZCY的面积．DZAYCB【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．AFBDEC【巩固】如图，在三角形ABC中，BC8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？AEBFC【例11】如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．DEAGCFB【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2ANBN.那么，阴影部分的面积是多少？ANBCMD【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．36cm2212cm48cm224cm2【例13】如图，三角形ABC中，DC2BD，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABCCE3AE，的面积是多少？AEBDC【例14】(2022年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是．BDAEC【例15】(第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．ADBC【例16】图中AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积．AOBCD【例17】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．DABC【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米？黄红绿红【例19】O是长方形ABCD内一点，已知OBC的面积是5cm2，OAB的面积是2cm2，求OBD的面积是多少？DAOPBC【例20】如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？AEPFGDBHC【例21】如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形BPC的面积是15，求阴影BPD的面积．APDB【巩固】如右图，正方形ABCD的面积是12，正三角形BPC的面积是5，求阴影BPD的面积．APCDB【例22】在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰AOB的面积为16，等腰DOC的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC的面积是多少？DOCCAB【例23】（2022年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中，E、F分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知ADG的面积为15cm2，而BCG的7面积恰好是梯形ABCD面积的，则梯形ABCD的面积是cm2．20ADFEGB【例24】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．CFABGDEC【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？EAFDGCB【例25】如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH 的面积为．HAEDGBFC【例26】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．DCFAEB【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA 延长线于F，若S△ADE1，求△BEF的面积．CEDABF【例27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【例28】如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积．DCGQFOHEKPAB【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．ABGEDF4C【巩固】(2022年西城实验考题)如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．AHEGDBFC【巩固】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形EFGH的面积是．AHEGDBFC【例44】(2022年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB8，AD15，四边形EFGO的面积为．ADOEBFGC【巩固】(2022年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米．三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米．【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．DMOAPNCB【巩固】(2022年清华附中考题)如图，长方形ABCD的面积是36，E 是AD的三等分点，AE2ED，则阴影部分的面积为．AOBED【例45】(清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？D2MQ3C5PC【例46】(2022年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是cm2．AN6B4cm1cm【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？【巩固】已知正方形的边长为10，EC3，BF2，则S四边形ABCD．ABDFEC【例47】如图，三角形AEF的面积是17，DE、BF的长度分别为11、3．求长方形ABCD的面积．ABFDEC【例48】(2022年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD中，AB67，BC30．E、F分别是AB、BC边上的两点，BEBF49．那么，三角形DEF面积的最小值是．DCFAEB【例49】(2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意一点，BLDM4、BKDN5，那么阴影部分的面积是．APNLBKDMC【例50】如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS的面积之比．DHAPESRBFGQC【巩固】(2022年”希望杯”二试六年级)如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O，S1、S2、S3及S4分别表示四个小四边形的面积．试比较S1S3与S2S4的大小．DGCS4S3BS1HOS2AEF【例51】如图，四边形ABCD中，DE:EF:FC3:2:1，BG:GH:AH3:2:1，AD:BC1:2，已知四边形ABCD的面积等于4，则四边形EFHG的面积．EDFCA【拓展】如图，对于任意四边形ABCD，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH，求四边形EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几？BNMAKFEJHDOGPCHGB【例52】(2022年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分别取点L、M、N，在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R，使LPMQNR，当PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交点分别是某、Y、Z时，使某Y某L．这时，三角形某YZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程．APL某BQYMZNRC【例53】如图：已知在梯形ABCD中，上底是下底的2，其中F是BC边上任意一点，三角形AME、三3角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12．求三角形NDE的面积．ABMEFNDC【例54】如图，已知ABCD是梯形，AD∥BC，AD:BC1:2，SAOF:SDOE1:3，SBEF24cm2，求AOF的面积．ADFOEBC【例55】（2022年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、如CD的中点．果ASM、MTB与DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为．DASMTC4-2-2．三角形等高模型与鸟头模型学生版page20of25NB板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)DAADEEB图⑴图⑵CBC【例56】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，S△ADE16平方厘米，求△ABC的面积．ADEBC【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？ADECB【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BDDC4，BE3，AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AEB甲D乙C【例57】如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD5:2，AE:EC3:2，S△ADE12平方厘米，求△ABC的面积．DAEBC【例58】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？DCFAEB【例59】已知△DEF的面积为7平方厘米，BECE,AD2BD,CF3AF，求△ABC的面积．AFDBEC【例60】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE2:5，BC:CD3:2，三角形BDE的面积是多少？ABCDEAC【例61】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE1AC，31CFBC．三角形DEF的面积为_______平方厘米．34-2-2．三角形等高模型与鸟头模型学生版page22of25ADEB【例62】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使CE2BC；延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积．FCFABDCE【例63】如图，平行四边形ABCD，BEAB，CF2CB，GD3DC，HA4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HAGDFBCE【例64】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积．HDAECBGF【例65】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是．FBCADH【例66】如图，在△ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使CE中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？EG1BC，F是AC的2AFBD【例67】如图，S△ABC1，BC5BD，AC4EC，DGGSSE，AFFG．求SFGSCE ．AFGBDESC【例68】如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？AEFGDB【例69】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．C。

三角形等高模型与鸟头模型(一)

【巩固】(2009 年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．
【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也
等于平行四边形面积的一半，为 50 2 25 平方厘米．【答案】25
1 (1 22
AB )
(1 BC ) 2
1 36 8
4.5
．
所以阴影部分的面积是： S阴影 18 SEBF 18 4.5 13.5 ．【答案】13.5
【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接,求阴影部分面积．
【解析】 △ABD 与△ ACD，△ABC 与△ DBC，△ ABO 与△ DCO．
【答案】△ ABD 与△ ACD，△ABC 与△DBC，△ABO 与△DCO
【例 8】如图，三角形 ABC 的面积为 1，其中 AE 3AB ， BD 2BC ，三角形 BDE 的面积是多少？
A
B
E
A
B
E
C
C
D
那么阴影部分的面积就是 AEF 与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 ABCD
面积的 1 和 1 ，所以阴影部分面积为长方形 ABCD 面积的 1 1 3 ，为 36 3 13.5 ．
84
848
8
（法 2）寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如右上图．
可得： SEHB
A
E
BDC来自【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答
【解析】3 个，△AEC、△ BED、△ DEC．

小高奥数几何三角形五大模型及例题解析

小高奥数几何-三角形五大模型及例题解析三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。

重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．DC BAb二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16三、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S3=a2︰b2②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ;③S的对应份数为（a+b）2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：S4S3s2s1ODC BAS4S3s2s1ba两个三角形对应边城比例，对应角相等。

(2)判断相似的方法：①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。

hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ；S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级 ※）如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【例3】（难度等级 ※）如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？G H F E D CB A FE DCB A【例4】（难度等级 ※※※）如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。

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