正、余弦定理综合
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
正弦定理
正弦定理、余弦定理及解三角形考纲导学 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．课前准备区: 知识梳理1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝常见变形(1)a＝，b＝，c＝；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝；(4)a sin B＝，b sin C=，a sin C＝cos A＝；cos B＝；cos C＝2.S△ABC＝＝＝＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在三角形ABC中有：A+B+C= ，sin(A+B)= ,cos(A+B)=4．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．预习自测区1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 2．(1)在△ABC 中，A ＞B 必有sin A ＞sin B ．( )(2)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则A ＝60°或120°.( ) (3)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.( )2．(2014·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．19B ．13 C ．1D ．723．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里4．(2014·福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________. 5．(人教A 必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________.课堂活动区 考点一 正、余弦定理的简单运用 【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，则c ＝________. (2)若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________.【训练1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)(2014·绍兴模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________.考点二正、余弦定理的综合运用【例2】(2014·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝3，cos A＝63，B＝A＋π2. (1)求b的值；(2)求△ABC的面积．规律方法有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．【训练2】(2014·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cos C的值；(2)若sin A cos2B2＋sin B cos2A2＝2sin C，且△ABC的面积S＝92sin C，求a和b的值．考点三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.微型专题解三角形中的向量法解三角形问题的一般解题策略有：公式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等．【例4】已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(5,0)，则sin A的值为________.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝13，则B＝()A．π4B．π3C．π6D．2π32．(2015·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为3 2，则BC的长为()A．32B．3C．23D．23．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为()A．23＋2B．3＋1 C．23－2D．3－14．(2014·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a ＝2b cos C”是“△ABC是等腰三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5(2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m, 则河流的宽度BC等于()A．240(3－1) m B．180(2－1) m C．120(3－1) m D．30(3＋1) m二、填空题6．(2014·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为________.7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝________.\8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.三、解答题9．(2015·广州测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7. (1)求角C 的大小； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3的值． 10．(2014·杭州检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，S △ABC ＝334. (1)求B ； (2)若b ＝2，求△ABC 的周长．能力提升题组11．(2014·东北三省四市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，满足b a ＋c ＋ca ＋b≥1，则角A 的范围是( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．313．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________ . 14．已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12. (1)求f (x )的最小正周期及对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝12，bc ＝6，求a 的最小值．三角函数、解三角形测试姓名 班级 得分 一、选择题1．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D．y＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 2．(2014·包头市测试)已知sin 2α＝23，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．13B ．12C ．34D ．563．函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－π12 B ．x ＝π3 C ．x ＝5π12D ．x ＝2π34．已知函数f (x )＝cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 5．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为( )A ．500(3＋1)mB ．500 mC ．500(2＋1)mD ．1 000 m6．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．23B ．32 C ．2 D ．37．将函数g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图象上所有点向左平移π6个单位，再将各点横坐标缩短为原来的12，得到函数f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增8．在△ABC 中，AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，且cos C ＝55，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°9．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x －m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个零点，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]10．(2014·天津卷)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A ．π2B ．2π3 C ．π D ．2π二、填空题11．(2014·南昌模拟)已知角α(－π＜α＜0)的终边与单位圆交点的横坐标是13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值是________.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α＝________.13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.14．如图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2图象的一部分，则其函数解析式是________.15．(2014·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.三、解答题16．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．17．(2014·东北三省四市联考)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期和最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)求f (x )的单调递增区间．18．(2014·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值．19．已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直线x ＝π3对称，其中ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52. (1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，锐角B 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π1225＝3，b＝2，求△ABC面积的最大值．。
正弦定理、余弦定理及解三角形
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考点突破 考点二 正、余弦定理的综合运用
【例题 2】(2014· 山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别 6 π 是 a，b， c.已知 a＝3，cos A＝ ， B＝ A＋ . 3 2 (1)求 b 的值；(2)求△ABC 的面积．
3 sin A＝ 1－cos A＝ ， 解析 (1)在△ABC 中，由题意知， 3
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考点突破 考点一 正、余弦定理的简单运用
例1 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. (1)若 a＝2 3，b＝ 6，A＝45° ，则 c＝________． (2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则 B＝________．
深度思考 解(1)法一 在△ABC 中，由正弦定理得 2 已知两边及其 6× bsin A 2 1 中一边所对的 因为 b＜a，所以 B＜A， sin B＝ ＝ ＝ ， a 2 2 3 角求另一边可 所以 B＝30° ， C＝180° －A－B＝105° ， 采用正弦定理 sin C＝sin 105° ＝sin(45° ＋60° ) 也可用余弦定 6＋ 2 理来解决，不 ＝sin 45° cos 60° ＋cos 45° sin 60° ＝ . 4
解析
高三正余弦定理、解三角形综合讲义
正余弦定理、解三角形综合讲义一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理：考点1 正弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝(2)a ＝ ，b ＝ ，c ＝(3)sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝考点2 余弦定理在ABC ∆中a 2＝ ，b 2＝ ，c 2＝ ．余弦定理可以变形为：cos A ＝ ， cos B ＝ ， cos C ＝ . 考点3 内角和定理面积公式: ．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 在三角形中大边对大角，反之亦然.1．(广州调研)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin A sin A ＋C＝( ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－322．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝( )A ．－725 B.725 C ．－2425 D.24253．(全国)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1 4．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，并且B 为锐角，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，CA ＝7，则AB →〃BC →＝( )A ．－152 B.152 C ．－15 32 D.15 326．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为______．8．在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B＝________.1．(广州海珠调研)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，A ＝π3.a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(cos B ，sin B )，n ＝(cos C ，－sin C )．(1)求m 〃n 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．2．(2011年广东深圳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，sin α2与向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，2cos α2垂直，其中α为第二象限角．(1)求tan α的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若b 2＋c 2－a 2＝2bc ，求tan(α＋A )的值．3．(2011年全国)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .己知a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .4．(2011年山东)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．5．(惠州调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m 〃n ＝12. (1)求角A 的值；(2)若a ＝2 3，b ＋c ＝4，求ABC 的面积．高考尝试1．(湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．2. ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.3.在ABC ∆中，3,2,600===∠BC AC A ，则AB 等于___________。
正弦定理和余弦定理公式大全
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示 三角形 边角关系的重要定理，直接运用它 可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方 便、灵活。
正弦定理
概述
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 正弦定理 [1] (Sine theorem)
（1 ）已知三角形的两角与一边， 解三角形
（2 ）已知三角形的两边和其中一边所对的角， 解三角形
（3 ）运用 a ： b ：c=sinA ： sinB ： sinC 解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的
正弦 。 [1]
Байду номын сангаас
证明
步骤 1 在锐角 △ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB=c 。作 CH ⊥ AB 垂足为点 H
CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b ·sinA 得到
a/sinA=b/sinB 同理，在 △ABC 中，
余弦
b/sinB=c/sinC 步骤 2. 证明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ： 如图， 任意三角形 ABC, 作 ABC 的 外接圆 O. 作直径 BD 交⊙ O 于 D.
专题 正弦定理和余弦定理
学 大 教 育 个 性 化 教 学 学案1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数 一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]姓 名 年 级 性 别课 题正弦定理和余弦定理教 学 目 的1.正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．教 学 重 难 点1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．教 学 过 程(内容可附后)1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin Csin B ＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c得： a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵0<B <π，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2a c cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A 2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△A BC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．代数化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．审题视角 (1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以 下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角． 规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，[6分]∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.[10分] 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形．(3)易错分析：①方法一中由sin 2A ＝sin 2B 直接得到A ＝B ，其实学生忽略了2A 与2B 互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)不少同学直接得到c 2＝a 2＋b 2，其实是学生忽略了a 2－b 2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC 为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．高考中的解三角形问题典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．考点分析 本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力．解题策略 根据三角形内角和定理可直接求得B ；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解． 规范解答解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以cos B ＝12.[4分](2)方法一 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，[8分] 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.[12分]方法二 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，解得a ＝c ，[8分]所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.[12分]解后反思 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向. 方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C － 2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.322． (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12B.12C ．－1D ．13． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.6． (2011·福建)若△AB C 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 7． 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．9． (12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定2． (2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则ba 等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 23． (2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4二、填空题(每小题5分，共15分)4． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________，△ABC 的形状为__________．5． 在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 的值为________．6． 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是______． 三、解答题7． (13分)(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[来源:学科网ZXXK]A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2.(2012·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )． A.31010 B.1010 C.510D.5153．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )．A. 2B. 3C.32D．24．(2012·湖南)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()．A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则角B的值为________．6．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC的周长等于( )． A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3 D.332二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3②若a ＋b >2c ，则C <π3③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．6．(13分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．。
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．3．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数 一解两解一解一解| 微 点 提 醒 |1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .(√)(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(√) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .(×)(4)在△ABC 中，“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．(√) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．(×)‖自主测评‖1．(教材改编题)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．(教材改编题)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由正弦定理得b sin A ＝a sin B ， 所以2a sin B ＝3a ，即sin B ＝32，又B 为非钝角，所以B ＝π3，故选C. 3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解C ．有一解D ．解的个数不确定解析：选B 因为a sin A ＝b sin B，所以sin B ＝b a ·sin A ＝2418×sin45°＝223.又因为a <b ，所以B 有两解.4．(教材改编题)已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则最大角为( ) A.2π3 B.3π4C.5π6D.7π12解析：选A 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3k 2)＋(5k )2－(7k )22×3k ×5k＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：由cos2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：12………………考点一 利用正、余弦定理解三角形……|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的边长【例1】 (2018届贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)(一题多解)求AB 边上的高CD 的长． [解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，∴a ＝3或a ＝－2(舍去)，∴a ＝3.(2)解法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，∴CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 解法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.角度二 求三角形的角或角的三角函数值【例2】 (1)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2018届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则A ＝________.[解析] (1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010，故选C.(2)在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A 可得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝4sin A cos A ，∴cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0，即cos A ＝0或sin B ＝2sin A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当sin B ＝2sin A 时，根据正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，结合c ＝2，C ＝π3，得a 2＋b 2－ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2，∴A ＝π6.综上可得，A ＝π2或π6.[答案] (1)C (2)π2或π6『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa 或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化；如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．|变式训练|1．(2018届福建莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．(2019届黄冈模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若23cos 2A ＋cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)∵23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， ∴cos 2A ＝125，又A 为锐角，∴cos A ＝15，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0， 得b ＝5(负值舍去)，∴b ＝5.(2)解法一：由正弦定理可得b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， 又0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴b ＋c ∈(3，23]． 解法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ， ∴(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈ (3，23]．………………考点二 判断三角形的形状…………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 (一题多解)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[解] 解法一：利用边的关系来判断 由正弦定理得sin C sin B ＝cb，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 解法二：利用角的关系来判断 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°， 所以C ＝60°，所以△ABC 为等边三角形.『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．|变式训练|在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， 所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .解法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B .所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 解法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， 所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.………………考点三 三角形面积的计算………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的面积【例1】 (2018届武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c . (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积． [解] (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ， 化简，得2sin B cos C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ， 即2cos B sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3.(2)由余弦正理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34.角度二 已知三角形的面积解三角形【例2】 (2018届沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b . (1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c . [解] (1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，∴2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0， ∵sin B ≠0，∴cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， ∴c ＝27.角度三 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题【例3】 (2018届沈阳市教学质量检测(一)) 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________． [解析] 由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，所以π4<A ＋π4<5π4，所以A ＋π4＝3π4，所以A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，所以bc ≤16，所以S 的最大值为8. [答案] 8『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．|变式训练|1．(2018年全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.。
正弦定理和余弦定理专题及解析
3 A. 2
B. 3
C.2 3
D.2
1
1
3
3
解析 因为 S＝2×AB×ACsin A＝2×2× 2 AC＝ 2 ，所以 AC＝1，
所以 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，
所以 BC＝ 3.
答案 B
5.在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为
.
解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，
asin B 21 由正弦定理得 b＝ sin A ＝13.
21 答案 (1)C (2)13
考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移)
【例 2】 (经典母题)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为( )
A.1 个
B.2 个
C.0 个
D.无法确定
(2)(2016·天津卷)在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C＝120°，则 AC＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(3)(2015·广东卷)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
1
π
a＝ 3，sin B＝2，C＝ 6 ，则 b＝
3 S△ABC＝ 2 ，符合条件，故 C＝60°.故选 C.
答案 C
2π 2.在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 A＝ 3 ，a＝2，b＝ 23
3 ，则 B 等于( )
又∵a2＋b2－c2＝ab. ∴2b2－c2＝b2，所以 b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c. ∴△ABC 为等边三角形. 法二 利用角的关系来判断： ∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)， 又∵2cos Asin B＝sin C，
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
人教版高中数学必修第二册6.4.3 第3课时 正弦定理和余弦定理的综合问题 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时正弦定理和余弦定理的综合问题同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.在△ABC中,若sin =cos ,则角C的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°2.已知锐角三角形ABC的面积为33,BC=4,CA=3,则角C的大小为()A.60°或120°B.120°C.60°D.30°3.在△ABC中,若A=60°,b=1,△ABC的面积S=3,则 sin =()B3C D.33=2,则△ABC外接圆的直4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,B=45°,S△ABC径为()A.5B.43C.52D.625.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2c cos C=b cos A+a cos B,则角C的大小为()A.2π3B.5π6C.π6D.π36.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2+2ab=a2+b2+6,C=2π3,则△ABC的面积是()A.3B2C D.337.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c cos B+b cos C=a sin A,△ABC的面积b2+a2-c2),则B=()A.90°B.60°C.45°D.30°8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2 + 2-cos2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c=()A.13B.7C.37D.6二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.在△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形的面积S=2203,则a的值为.10.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶3∶5,则2sin -sin sin =.11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.12.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若sin sin =5 2 ,sin S△ABCb的值为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-ab-2b2=0.(1)若B=π6,求角A,C的大小;(2)若C=2π3,c=14,求S△ABC.14.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos B+b cos A=0.(1)求角B的大小;(2)若b=3,△ABC的周长为3+23,求△ABC的面积.15.(5分)已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求角A的大小;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面积.参考答案与解析1.B[解析]∵sin =sin =cos ,∴cos C=sin C,∴C=45°,故选B.2.C[解析]∵S△ABC=12BC·CA·sin C=33,∴sin C∈(0°,90°),∴C=60°.3.A[解析]∵S=3=1bc sin A=12×1∴c=4,∴a2=b2+c2-2bc cos A=12+42-2×1×4×12=13,得a=13,∴ sin =4.C[解析]根据三角形的面积公式得,12×1×c×sin45°=2,所以c=42,则b2=a2+c2-2ac cos B=25,即b=5.设△ABC外接圆的半径为R,则直径为2R,由正弦定理得2R= sin =52,故选C.5.D[解析]由题意及正弦定理得,2sin C cos C=sin B cos A+sin A cos B=sin(A+B)=sin C,∵sin C ≠0,∴cos C=12,∴C=π3.故选D.6.C[解析]由c2+2ab=a2+b2+6,可得c2=a2+b2-2ab+6,由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cosC=a2+b2+ab,∴a2+b2-2ab+6=a2+b2+ab,∴ab=2,则S△ABC=12ab sin C.7.D[解析]由正弦定理及c cos B+b cos C=a sin A,得sin C cos B+sin B cos C=sin2A,即sin(C+B)=sin2A,即sin A=sin2A,所以sin A=1,因为0°<A<180°,所以A=90°.由余弦定理、三角形面积公式及b2+a2-c2),得12ab sin2ab cos C,整理得tan C=3,因为0°<C<90°,所以C=60°,故B=30°.故选D.8.A[解析]由2cos2 + 2-cos2C=1,可得2cos2 + 2-1-cos2C=0,则有cos2C+cos C=0,即2cos2C+cos C-1=0,解得cos C=12或cos C=-1(舍去).由4sin B=3sin A,得4b=3a①,又a-b=1②,联立①②得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2ab cos C=16+9-12=13,则c=13.9.49[解析]由12bc sin A=2203得c=55,所以a2=b2+c2-2bc cos A=2401,所以a=49.10.-15[解析]由条件得 =sin sin =15,∴sin A=15sin C.同理可得sin B=35sinC,∴2sin -sin sin =2×15sin -35sinsin =-15.11.2113[解析]因为cos A=45,cos C=513,且A,C为三角形的内角,所以sin A=35,sin C=1213,则sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=6365,又因为 sin = sin ,所以b= sin =21.12.14[解析]由sin sin =5 2 ,得 =5 2 ,所以a=52c①,由S△ABC=12ac sin sin得12ac=5②,联立①②得a=5,c=2.由sin B为锐角知cos B=34,故由余弦定理得b2=25+4-2×5×2×34=14,所以b=14.13.解:(1)由a2-ab-2b2=0结合正弦定理得sin2A-sin A sin B-2sin2B=0,又B=π6,所以上式化简并整理得2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=-12(舍去).因为0<A<π,所以A=π2,又A+B+C=π,所以C=π-π2-π6=π3.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C,即142=a2+b2-2ab cos2π3,所以a2+b2+ab=196①.由a2-ab-2b2=0得(a+b)(a-2b)=0,因为a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b②,联立①②解得b=27,a=47,=12ab sin C=143.所以S△ABC14.解:(1)由已知及正弦定理得(sin A+2sin C)cos B+sin B cos A=0,即(sin A cos B+sin B cos A)+2sin C cos B=0,即sin(A+B)+2sin C cos B=0,∵sin(A+B)=sin C,且sin C≠0,∴cos B=-12,又0<B<π,∴B=2π3.(2)由余弦定理,得9=a2+c2-2ac cos B,∴a2+c2+ac=9,则(a+c)2-ac=9.∵a+b+c=3+23,b=3,∴a+c=23,∴ac=3,∴S=12ac sin B=12×3△ABC15[解析]由题意得AC= 2+ 2=5,所以sin∠BAC= =3,cos∠BAC= =45.在△ABD中,由正弦定理得 sin∠ t = t sin∠ ,而AB=4,∠ADB=3π4,所以cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cosπ4cos∠BAC+sinπ4sin∠16.解:(1)因为m ∥n ,所以a sin B-3b cos A=0,由正弦定理,得sin A sin B-3sin B cos A=0,又sin B ≠0,所以tan A=3.由于0<A<π,所以A=π3.(2)方法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a=7,b=2,A=π3,所以7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0,即(c-3)(c+1)=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin 方法二:由正弦定理,得=sin ,7sin π3=2sin,从而sin又由a>b ,知A>B ,所以cos故sin C=sin (A+B )=sin B+π3=sin B cos π3+cos B sin π3=所以△ABC 的面积为12ab sin。
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龙文教育个性化辅导授课案
教师： 学生 时间： 年_ 月__日__段 第__ 次课
课题
正、余弦定理
考点分析
重点难点
正、余弦定理
授课内容
一、知识点
（一）正弦定理：2,sinsinsinabcRABC其中R是三角形外接圆半径.
2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC
；sin,sin,sin222abcABCRRR；
::sin:sin:sinabcABC
（二）余弦定理：
222=+-2cos,abcbcA222
=+-2cos,bacacB
222
=+-2coscababC
222222222cos,cos,cos.222bcaacbabcABCabacab
注：2a＞22cbA是钝角；2a=22cbA是直角；2a＜22cbA是锐角；
（三）三角形面积公式：
（1）111sin=sin=sin=2224abcSabCbcAacBR（2）1(++)(2Srabcr为内切圆半径）
（四）正余弦定理的基本应用：（四种题型：）
（1）已知两角一边用正弦定理； （2）已经两边及一边对角用正弦定理；
（3）已知两边及两边的夹角用余弦定理；（4）已知三边用余弦定理
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二、基础训练
1.在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b. 若2sinB=3b,则角A等于 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
2.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若coscossinbCcBaA,
则△ABC的形状为 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
3.在ABC,角,,ABC所对的边长分别为,,.abc1sincossincos,2aBCcBAb,abB且则
A．6 B．3 C．23 D．56
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 （ ）
A．2+2 B．+1 C．2-2 D．-1
5.ABC的内角ABC、、的对边分别是abc、、,若2BA,1a,3b,则c （ ）
A．23 B．2 C．2 D．1
6.设ABC的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc,若2,3sin5sinbcaAB,则角C=
（ ）
A．3 B．23 C．34 D．56
7.已知锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,223coscos20AA,7a,6c,则b
A．10 B．9 C．8 D．5
8.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a,b,c.若2220aabbc,
则角C的大小是 。
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三、综合提高
1.设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,()()abcabcac.
(I)求B
(II)若31sinsin4AC,求C.
2.在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知sin3sinbAcB, a = 3, 2cos3B.
(Ⅰ) 求b的值;
(Ⅱ) 求sin23B的值.
3.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
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4.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且2223abcbc.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)设3a,S为△ABC的面积,求3coscosSBC的最大值,并指出此时B的值.
5.在ABC中,角,,ABC的对边分别为,,abc,且3cos()cossin()sin()5ABBABAc.
(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)若42a,5b,求向量BA在BC方向上的投影.
6.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c. 已知cos23cos()1ABC.
(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若△ABC的面积53S,5b,求sinsinBC的值.
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课后作业：
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：________
教师评定：
1、学生上次作业评价： ○特别满意 ○满意 ○一般 ○差
2、学生本次上课情况评价： ○特别满意 ○满意 ○一般 ○差
教师签字：________
教师评语:
教务处审核：
教导主任签字：________ 教务主管签字：__________
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