2009清华大学自主招生数学试题
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何
专题之7、解析几何一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=−1C.ρcos θ=1D.ρsin θ=−1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x−1B.y=−x+3C.2y=3x−4D.3y=−x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1−b2)≥1B.a2(1−b2)>1C.a2(1−b2)<1D.a2(1−b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2−6ρcos θ−4ρsin θ=0C.ρ2−ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆A.圆或直线线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y−20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=−16xD.y2=−8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x−4)2+(y−1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。
2009年北京大学自主招生数学试题及解答
2009年北京大学自主招生保送生考试
数学试题
第一题：圆内接四边形ABCD，其中AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求四边形ABCD 外接圆的半径。
第二题：已知一正无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为数列中的某一项。
第三题：是否存在实数x，使tanx+3与cotx+3都是有理数？
第四题：已知对任意实数x，acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值
第五题：某次考试共有333名学生参加，一共做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，做对6道及以上为优秀，不是所有人做对的题的数量的奇偶性相同，问不及格和优秀的人数哪个多？
2009年北京大学自主招生保送生考试
数学试题参考解答。
清华自主招生数学创新习题汇总
精心整理1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:((0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nnn k ka a a a a a a a ++++++++≥成立(当a 11231()11n n k k a a a a a k ++++++++≥+．（Ⅰ）令'(f x 当0当x故 （只要证：112311231(1)()()n n n n nn k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++…………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k +++=…………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++故12()[0,]ka a a g x k+++在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞在递增所以12()ka a a x g x k+++=当时，的最小值为12()ka a a g k+++………………10分121212()]()nk k k a a a a a a k k+++-++++ 121)()]n k k a a a ++++12)()]n n k k a k a a a -+++=111212(1)[()()]n n n n n n k k k k a a a a a a --++++-+++ 0故()0ka a g +++≥123(a a a ≥++++11231()n n k k a a a a a ++++++++≥.答案：5354321b b b b b b =∙∙∙∙3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于 A ．n B ．n +1 C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____ 答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。
2008-2010年清华大学自主招生试卷
2008年清华大学考题1.求()x e f x x=的单调区间及极值.2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.求1lim nk n k A →∞=∑.3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.求：（1）能听到立体声效果的概率；（2）听不到声音的概率.4.(1)求三直线60x y+=，1 2y x=，0y=所围成三角形上的整点个数；(2)求方程组21260y xy xx y<⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩的整数解个数.5.已知(1,1)A--，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线1(0)xy x=>一支上.(1)求证B 、C 关于直线y x =对称；(2)求△ABC 的周长.6.对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{}P R PP r M ∈<⊆.判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论.2009年清华大学自主招生数学试题第一天（共11题，艺术生做1－7，10－11，其他考生1－9题）1.求公差是8、由三个质数组成的数列。
2.证明：一个2n+1项的整数数列，它们全部相等的充分必要条件是满足条件p ，条件p 为任意取出2n 个数，都存在一种划分方法，使得两堆数每堆含有n 个数，并且这两堆数的和相等。
3.四面体ABCD,AB=CD,AC=BD,AD=BC 。
（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。
（2）设底面为BCD ，设另外三个面与面BCD 所形成的二面角为α，β，γ。
清华大学自主招生考试面试试题集锦
理科： 1、你最崇拜的一个科学家？为什么？ 2、班级里你最崇拜的一个同学？为什么？ 3、你最喜欢的一个数学公式？为什么？ 4、父亲和母亲哪一个对你的影响比较大？为什么？ 5、公理和定理有什么不同？ 6、“神六”发射的过程中，哪些现象能用物理原理解释？ 7、火箭喷射过程中有什么化学反应？ 8、台风过境哪些地区受到的影响最大？为什么？ 9、杭州到上海的距离，光速需要多少时间？ 10、如果你家里连续几天没人，怎么样才能让花盆里的花不被干死？ 11、为什么三角形的面积是底乘以高除以2？ 12、（面对一浙江考生）从北京到达浙江，光要行驶多长时间？ 13、在电视上，新闻节目主持人和远方记者通话，为何有时会出现远方记者“反应迟钝”、“慢一拍”的情形？ 文科： 1、你怎样理解鲁迅精神的？ 2、鲁迅笔名是怎么来的？ 3、你怎样理解巴金精神的？ 4、巴金的笔名是怎么来的？（部分笔试试题） 【数学】 1、对定义域为R的f(x)，有f(a,b)＝a·f(b)+b·f（a），且|f(x)|≤1，求证：f(x)恒为零。
2、对于空间四边形ABCD，求AC＋BD的最大值。
【物理】 1、德布罗意波是由著名物理学家德布罗意提出的，它告诉了一个物体质量、速度及其德布罗意波长的关系。
已知：电子ME＝9.1×10－31kg，h ＝6.63×10－34，e＝1.6×10－16，现一个点子经过150V加速后，求：（1）求其德布罗意波长，（2）此电子发出的波在何波段？ 【英语】 作文：以“你理想中的父母与孩子关系”写一篇150字左右的作文。
注：所有题目均为受访学生回忆文字，可能表述有差异。
■自主招生申请材料有哪些？ 随着自主招生工作的推进，各校对学生申请材料的重视程度增加。
一般，自主招生申请材料除了申请表以外，需附上获奖证书复印件，由学生所在中学提供的申报大学保送生和自主招生中学推荐表（请校长或主管校长签名并盖章），学生高中三年历次期中和期末考试的原始成绩单，高三阶段提供每一次年级统一考试等的学生各种获奖证明。
2009年北京大学自主招生数学卷及答案
2009北京大学自主招生数学试题(理科)1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求圆半径。
2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。
求证：2009为数列中一项。
3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。
问不及格和优秀的人数哪个多？参考答案1、不妨设角ADC为a,那么角ABC=π-a。
由余弦定理可得AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa) 从而可解出cosa=5/7.即有sina=2(根号6)/7. 代入cosa=5/7,可得AC=根号（55/7). 所以圆的半径就是AC/2sina.2、设13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd. 那么我们可得a1+(m+499(k+m-2n))d=2009. 而实际上这道题是有漏洞的，因为(m+499(k+m-2n))可能是负的，也就是当这是递减的等差数列的时候，那么2009就不在这个数列中了。
3、挺简单，设a=tanx+（根3）,b=cotx+(根号3）,假设均为有理数。
那么由(a-（根号3））（b-（根号3））=1 可得（a+b）根号3=ab+2.若a+b非零，除过来就矛盾了。
所以必有a+b=0，此时ab+2也是0. 显然与a，b是有理数矛盾。
4、b=0的时候可知得有|a|≤1.,此时a+b≤1.下面考虑b不等于0的情况。
代入+1和-1后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有b≥-1) 对称轴的位置是x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候那么1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|. 分类讨论后就可以得出b≤1/3.此时a+b≤b+1+b≤5/3. 若对称轴在[-1,1]内，则可得a^2≤8（b-b^2)......(2) 这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有(1)式也成立。
自主招生考试试题解析——上海高校数学(2009年)
2009年上海高校自主招生考试数学试题解析浅谈上海高三毕业生应对高校自主招生的考试策略——自主招生考试数学试题解析华东师大二附中范端喜自从2006年复旦，交大等全国重点院校高考改革试“破冰”以来，各学校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台。
全国自主招生学校数目不断增加，而且各学校自主招生规模比例也在增加，引起了上海乃至全国教育界，家长等瞩目。
更引起广大中学教师对其命题的高度关注。
下面是作为一名数学教师的我个人的一些认识，仅供参考。
1. 试卷特点分析1.1 基础知识和基本技能仍是考查的重点我们将基础知识，基本技能称之为“双基”。
大家知题，能力与“双基”有着辩证关系；没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水，无本之木。
所以，“双基”训练是数学教学的重要任务之一，是培养学生能力的前提。
纵观复旦，交大，清华等高校近几年自主招生笔试题目，我们会发现，有60-70%左右的题目仍是比较基础的问题。
例如交大近三年来，填空题都是10题（50分），占试卷的一半，这些填空题比较常规，和高考试题难度相当。
复旦的30题左右的选择题中也多半是学生们平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点。
1.2 考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同复旦，交大等高校近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及到高中数学大纲的所有内容。
例如，函数，集合，数列，复数，三角，排列，组合，概率统计，向量，立体几何，解析几何等。
但毕竟高校自主招生试题命题是由大学数学教授完成的，更多会考虑到高等数学与初等数学的衔接，所以提请大家注意一下几个方面：函数和方程问题，排列组合和概率统计等。
笔者粗略统计了一下，2008年复旦自主招生试题中与函数和方程有关的试题多达10题，占31%。
复数。
复数通常在高考中要求也比较低，占的比分也较少，但在复旦自主招生中似乎复数仍占有一席之地（2008及2007年分别有2题和3题）。
矩阵和行列式。
目前还未纳入高考范围。
清华自主招生数学创新试题汇编
1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a L 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥L L 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +L 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分 当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分 （Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥ 故()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分 （Ⅲ）证明:要证： 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L只要证：112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++L L …………………7分 则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++L 令'()0g x =得12ka a a x k+++=L …………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++L 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++L故12()[0,]k a a a g x k +++L 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞L 在递增所以12()k a a a x g x k +++=L 当时，的最小值为12()ka a a g k+++L ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n n k k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++L L L L L =1121212(1)[()()(1)()]n n n n nn n k k k nk k a a a a a a k a a a k -++++++++-++++L K L =11212(1)[()()]n n n n n n k k nk k a a a k a a a k -++++-+++L L =1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++L L 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥L L 故12()0ka a a g k+++≥L故112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L即: 12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L .…………………………..14分2、用类比推理的方法填表答案：5354321b b b b b b =••••3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则K ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。
2009年北京大学自主招生考试数学试题和参考答案
2009年北京大学自主招生考试数学试题解答题：（共5小题，每题20分，共100分）1．（本题20分）已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为1,2,3AB BC CD ===，4DA =，求四边形ABCD 外接圆的半径．2．（本题20分）已知一个无穷正项等差数列中有三项分别是13，25，41，汪明：这个数列中有一项等于2009．3．（本题20分）是否存在实数x ，使得tan x cot x4．（本题20分）已知对任意实数x 有cos cos 21a x b x +-≥，求a b +的最大值．5．（本题20分）在一次考试中333个同学共答对了1000道题．至多答对3题者为不及格，至少答对6题者为优秀，已知不是所有同学答对的题的个数的奇偶性都相同．成绩不及格者和成绩优秀者人数哪个多？2009年北京大学自主招生考试试题参考答案解答题（本大题共100分）1．[解答]设DAB θ∠=，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴DCB πθ∠=-． 由余弦定理，得()222222cos 2cos BD AB AD AB AD CD CB CB CD θπθ=+-=+--， 即178cos 1312cos θθ-=+，解得1cos ,5DB θ== 又由正弦定理，得四边形ABCD的外接圆半径2sin 24DB R θ==． 2．[解答]设等差数列{}n a 的公差为d ，13p a =，25q a =，41r a =．依题意，0d >．且p q r <<，p 、q 、r ∈N *．由()()12,28,q p d r p d -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得37q p r p -=-． 设()3,7q p k k N r p k*-=⎧∈⎨-=⎩，解得3,7q p k r p k =+⎧⎨=+⎩且4kd =． 又因为2009-13＝1996＝499kd ．所以数列的第499p k +项，4994992009p k p a a kd +=+=．即这个数列中有一项等于2009．3．[解答]假设存在实数x，使tan ,cot x p x q ==，其中p q Q ∈、．则(tan cot 1p q x x ==，即)31pq p q ++=． 若0p q +≠2pq Q p q +=∈+，矛盾． 若0p q +=，则tan cot tan cot 1,x x x x ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩即tan cot x x 、是方程210t ++=的两根．解得tan x =tan x =tan x Q 矛盾． 综上所述，不存在实数x，使得tan xcot x4．[解答]取23x π=，得11122a b ---≥，即2a b +≤． 下面证明当42,33a b ==时，不等式cos cos 21a x b x +-≥对一切x R ∈恒成立．因为24cos cos 21cos 2cos 133a xb x x x ++=++ 2212cos 2cos 32x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ()212cos 103x =+≥ 恒成立，所以()max 2a b +=．[评注] 在题设条件下，用类似的方法可求()min a b +．取0x =，得1a b +-≥，令41,55a b =-=-，则 ()()224123cos cos 2cos 2cos 1cos 15555a xb x x x x +=---=-++ 83155-+=-≥， 所以()min 1a b +=-．5．[解答]设不及格的有x 人，优秀的有y 人，则x ＋y ≤333．因为不是所有同学答对的题的个数的奇偶性都相同，所以这333个人至少答对了()643331y x y +--+道题，否则所有人答对0、4或6道题，矛盾．()643331133342y x y x y +--+=-+()133333332100033x y y x y ---+=-+≥，即1000331000x y -+≤． 等号成立当且仅当,333,x y x y =⎧⎨+=⎩即3332x y ==，不符合实际情况． 所以1000331000x y -+<．推出x y >．所以成绩不及格者比成绩优秀者多．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-08
1
2009年清华大学自主招生数学试题
1. 设5151的整数部分为a，小数部分为b．
（1）求a，b；（2）求222abab；（3）求2lim()nnbbb…．
2. （1）x，y为实数，且1xy，求证：对于任意正整数n，222112nnnxy；
（2）a，b，c为正实数，求证：3abcxyz，其中x，y，z为a，b，c的一种排列．
3. 请写出所有三个数（正数）均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论．
4. 已知椭圆22221xyab（0ab）过椭圆左顶点,0Aa的直线l与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原
点与l平行的直线与椭圆交于P．求证：AQ，2OP，AR成等比数列．
5. 已知sincos1tt，设cossinstit，求21nfssss…．
6. 随机挑选一个三位数I．
（1）求I含有因子5的概率；
（2）求I中恰有两个数码相等的概率．
7. 四面体ABCD中，ABCD，ACBD，ADBC．
（1）求证：每个面的三角形均为锐角三角形；
（2）设三个面与底面BCD所成的角为,,，求证：coscoscos1．
8. 求证：当p、q均为奇数时，抛物线222yxpxq与x轴交点横坐标为无理数．
9. 设1221,,,naaa均为整数．性质P为：对1221,,,naaa中任意2n个数，存在一种分发将其分为两组，
每组n个数，使得两组所有元素的和相等．求证：1221,,,naaa全部相等当且仅当1221,,,naaa具备
性质P．
10.