人教A版高中数学必修5第二章数列2.1数列的概念与简单表示法课件
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 阅读与思考 斐波那契数列》优质课教案_0
随风潜人夜,润物细无声《神奇的斐波那契数列》教学设计《普通高中数学课程标准(实验)》在前言中指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。
数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。
数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。
数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。
在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。
数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。
《普通高中数学课程标准(实验)》将“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一并在教学建议中明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分,是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、开阔视野。
长期以来，在高考这根指挥棒下，学习逐渐服从于知识，服从于做题，服从于高考。
在数学教学上，老师教的许多内容既枯燥又抽象．大多数教师以做题为主要教学方法，以解题为主要目的，不关注数学问题的文化性; 学生在单一的数字、定义、定理、公理、公式的围攻下，对单纯的数学问题感到枯燥，厌倦，对数学的兴趣逐渐淡薄，认为数学毫无用处，数学问题被当成了获取分数的工具．因此如何将数学文化的内容有机地结合到日常的教学中,使学生在潜移默化中体会到数学的文化价值?这需要我们每位教师认真思考这个问题一、教材分析：本节课选自人教版《数学５》（必修）第二章《数列》第2.1节后的《阅读与思考》部分。
2018_2019版高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式课件新人教A版必
������������ 2������+3
=
(2������+53)(������2������+3)<0
恒成立.因为(2n+5)(2n+3)>0,
所以必有 3k<0,故 k<0.
反思感悟判断数列的增减性,一般是将其转化为比较相邻两项的大 小,常用的方法有作差法、作商法,作差法判断数列增减性的步骤 为:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论.作商法适用于各项都是同号的 数列,且应比较比值与1的大小关系.
解(1)由 an+1=an+n(n∈N*),得 an+1-an=n(n∈N*),所以 a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,…,an-an-1=n-1, 以上各式相加,得 (a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+(n-1),
即 an-a1=������(���2���-1).因为 a1=1,所以 an=������(���2���-1)+1=������2-2������+2.故数列{an}的通
3.通项公式和递推公式的区别:
通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,即可代入通项 公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列 任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将前面的各项 依次求出.
4.数列的表示方法:数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表
法、递推公式法.
2.数列作为特殊的函数,也具有单调性,对于递减数列
1 ������
,显然满足
a1>a2>…>an>an+1>…,反之,若数列满足 an>an+1,数列一定是递减数 列吗?若数列满足 an<an+1,数列一定是递增数列吗?
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》教案 新人教A版必修5
随着对折数面积依次为 , , , ,…, ,….
生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了.
师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？
无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1，….
生一些分数排成的一列数： ， ， ， ， ，….
二、新课学习：折纸问题
师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试
生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
师课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？
生1，3，6，10，….
师图2.1-2中的正方形数呢？
生1，4，9，16，25，….
师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生-1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
4，5，6，7，8，9，10…;②1, , , ,…③的图象.
高中数学必修五2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)
2.1 数列的概念与简单表示法2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)从容说课本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备 课件三维目标 一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程 导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？生 1，3，6，10，….师 图212中正方形数呢？生 1，4，9，16，25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课［合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,…. 生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］ 师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n .［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),…. 师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1+n n ;(2)a n =(-1)n ·n . 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5.师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n -+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+； (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象. 生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的反比例函数x y 1=的图象有关. 师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点. 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----; (3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-. 分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+•+n n n ； (3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯- 321⨯- 431⨯- 541⨯- ↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯- )12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯- 所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n . 2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕 (2)-32,83 ,154- ,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕 (3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕 点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系.3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么( )A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.答案：C点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A .4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001cm 就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k ,….你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为a n =2002n， 裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm ＞56 294 995 km ，大于地球到月球距离的146倍. 二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔. 达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？ 2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力.教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.教具准备 多媒体三维目标一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.师 你能举例说明吗？生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n -1(n ∈N *);1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n ≤3); 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n1 (n ∈N *). ［合作探究］数列的表示方法 师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, 21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.师 说得很好，还有其他的方法吗？生 ……师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法 知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.生 模型一：自上而下第1层钢管数为4,即14＝1+3;第2层钢管数为5,即25＝2+3;第3层钢管数为6,即36＝3+3;第4层钢管数为7,即47＝4+3;第5层钢管数为8,即58＝5+3;第6层钢管数为9,即69＝6+3;第7层钢管数为10,即710＝7+3.若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)生 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a 2+1.依此类推：a n =a n -1+1(2≤n ≤7).师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式. 推进新课1.递推公式定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n ≤8).2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法. ［例题剖析］【例1】 设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n ⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项. 师 分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+11-n a 我们将如何应用呢? 生 这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.师 请大家计算一下!生 解：据题意可知：a 1=1,a 2=1+11a =2,a 3=1+21a =32,a 4=1+31a =35,a 5=58师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例2】 已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想a n .师 由例1的经验我们先求前5项.生 前5项分别为2，4，8，16，32.师 对，下面来猜想第n 项.生 由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，我猜想a n =2n .师 很好!生 老师，本题若改为求a n 是否还可这样去解呢?师 不能.必须有求解的过程.生 老师，我由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1，即21=-n n a a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a …×1122-=n aa ，所以a n =a 1·2n -1=2n .师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法. ［知识拓展］已知a 1=2，a n +1=a n -4,求a n .师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢? 生1 写出：a 1=2，a 2=-2，a 3=-6，a 4=-10，…观察可得：a n =2+(n -1)(n -4)=2-4(n -1).生2 他这种解法不行，因为不是猜出a n ，而是要求出a n .我这样解：由a n +1-a n =-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,a n -a n -1=-4a n -1-a n -2=-4a n -2-a n -3=-4 …… )1(44a )112--=--=-+n a a a n ∴a n =2-4(n -1).师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.例如，由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项，若又知a 1=1，则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4=15,….(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.［学生活动］根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)(1)a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n -1)(n ∈N )；(2)a 1＝1，a n +1＝2+n n a a (n ∈N )； (3)a 1＝3，a n +1＝3a n -2(n ∈N ).(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16，∴a n ＝(n -1)2.(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝21=42，a 4＝52，a 5＝31 =62，∴a n ＝12+n . (3)a 1＝3＝1+2×30，a 2＝7＝1+2×31，a 3＝19＝1+2×32，a 4＝55＝1+2×33，a 5＝163＝1+2×34，∴a n ＝1＋2·3 n -1.注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.［合作探究］一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.爬一级梯子的方法只有一种.爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.若设爬一个n级梯子的不同爬法有a n种,则a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4),则得到a1=1,a2=2,a3=4及a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4)，就可以求得a8=81.课堂小结师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.生对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)布置作业课本第38页习题2.1A组第4、6题.预习内容：课本P41～P 44.数列的概念与简单表示法(二)一、定义二、例题讲解小结：7.递推公式：例1通项公式与例2 递推公式区别。
数列的概念(第一课时)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
函数值
=
自变量
项
n
an =
序号
问题1:你能求出这个函数的解析式吗?
数列通项公式
如果数列 的第n项与序号n之间的
关系可以用一个公式来表示,那么这
个公式就叫做这个数列的通项公式.
探究新知
, , , , ⋯
项
序号
1 2 3 4
=
, , , , , … .
解析 (3)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项统一成分数再观察:
, , , , , ⋯ .所以,它的一个通项公式为
=
.
(4)可看作＋,可看作＋,可看作＋,可看作＋,
人教A版同步教材名师课件
数列的概念
---第一课时
学习目标
学习目标
核心素养
了解数列的概念
掌握数列的几种表示方法
能由数列的递推关系写出数列的通项公式
数学抽象
数学运算
数学运算
学习目标
学习目标:
1.理解数列的概念.
2.掌握数列的通项公式及应用.
3.理解数列是一种特殊的函数,理解数列与函数的关系 .
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
=
, 为偶数, ∈ ∗ .
法二: =
即 =
+ + − + −
−
+
.
=
+ − + −
方法归纳
1.常见数列的通项公式归纳
(1)数列, , , , …的一个通项公式为＝;
人教版高中数学必修五知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：专题2.1 数列的概念与简单表示法
第二章 数 列2.1 数列的概念与简单表示法知识1．数列的相关概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做__________），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成123,,,,,,n a a a a L L 简记为{}n a ．2．数列的分类（1）根据数列项数的多少分有穷数列 项数_______的数列，例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列项数_______的数列，例如数列1，2，3，4，5，6，L 是无穷数列（2）根据数列项的大小分递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项_______的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的__________．我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项．4．数列表示方法的优缺点通项公式法 优点：便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 缺点：一些数列的通项公式表示比较困难列表法 优点：内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项缺点：表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 _______法 优点：能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势 缺点：数列项数较多时用图象表示比较困难递推公式法优点：可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系缺点：不容易了解数列的全貌，计算也不方便5．递推公式的定义如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项)，且从第2项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1n a - (或前n 项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的__________． 注意：递推公式也是数列的一种表示方法．知识参考答案：1．首项2．有限 无限 相等3．通项公式4．图象5．递推公式重点重点 数列的表示方法、通项公式及其应用，根据递推公式写出数列的前几项 难点 根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 易错对递推公式变形时注意n 取值的变化根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：（1）观察数列的前几项是否具有以下几个特征：各项的符号特征、各项能否分拆、分式的分子与分母的特征、相邻项的变化规律等；（2）寻找各项与对应的项的序号之间的规律．根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）1，3，5，7，9，…； （2）32，154，356，638，9910，…； （3）0，2，0，2，0，2，…；（4）1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； （5）3，5，9，17，33，…． 【答案】见解析．【解析】（1）数列的各项是连续的正奇数，它的一个通项公式为a n ＝2n -1； （2）分子是连续的正偶数，分母为分子的平方减去1，它的一个通项公式为a n ＝2241nn -；（3）将数列变形为1234561(1),1(1),1(1),1(1),1(1),1(1)+-+-+-+-+-+-，…，易知它的一个通项公式为a n ＝1(1)n+-；（4）将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，类似于（3）可得它的一个通项公式为a n ＝n ＋2)1(1n-+；（5）将数列变形为1234521,21,21,21,21+++++，…，可得它的一个通项公式为a n ＝21n +． 【名师点睛】寻找各项与对应的项的序号之间的规律的方法：（1）熟记一些特殊数列的通项公式，如2=,21,2,n n n n n a n a n a a n =+==等；（2）将数列的各项分解成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分子、分母分别求通项；（3）当数列各项的符号出现“+”“-”相间时，可用(1)n -或1(1)n +-来实现．数列1，579,,,81524--的一个通项公式是A ．1*221(1)()n n n a n n n ++=-∈+NB ．1*221(1)()3n n n a n n n --=-∈+N C ．1*221(1)()2n n n a n n n+-=-∈+ND ．1*221(1)()2n n n a n n n-+=-∈+N 【答案】D 【解析】A 中132a =，B 中114a =，C 中113a =，D 中11a =，因此排除A 、B 、C ，故选D ．数列中项的判断与求解（1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项；（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n 的值．若求出的n 为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．已知数列{}n a 的通项公式(1)(21)nn a n =--，则（1）12a a +=_____________；（2）12310a a a a ++++=L _____________． 【答案】（1）2；（2）10．【解析】（1）因为121,3,a a =-=所以122a a +=．（2）观察可知12349102,2,,2,a a a a a a +=+=+=L 故12310a a a a ++++=L 10．已知数列{}n a 的通项公式是2=2n a n n -，那么A ．30是数列{}n a 的一项B ．44是数列{}n a 的一项C ．66是数列{}n a的一项D ．90是数列{}n a 的一项【答案】C【解析】注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，则问题就可以解决了.易得1234567=1=615,28,45,66,91a a a a a a a =====，，．故选C ．【名师点睛】若出现的数比较大，可以用解方程的方法加以解决（看求出的解是否为正整数）．根据数列的递推公式求n a由递推公式求通项公式的常用方法：（1）归纳法．根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式； （2）迭代法、累加法或累乘法．已知12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想n a ．【答案】前五项分别为2,4,8,16,32，猜想2nn a =．【解析】由题可得123452,4,8,16,32a a a a a =====．故前五项分别为2,4,8,16,32．由12a =，22222a =⨯=，233222a =⨯=，…观察，猜想2nn a =．【解题技巧】（1）本题若是求n a ，则由a n +1=2a n 可得a n =2a n －1，即21=-n na a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们相乘，有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a L ×1212n a a -=，所以a n =a 1·2n －1=2n ．这种方法通常叫叠乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项公式的问题中是比较常用的方法，对应的还有叠加法．（2）应注意的是：数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．已知12a =，12nn n a a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =A ．2122n n -+B ．2122n n ++C ．2222n n -+D ．2222n n --【答案】C【解析】由12nn n a a +=可得12n n n a a +=，当2n ≥时，2212122112122222n n n n n n n n n a a a a a a a a -+-----=⋅⋅=⋅⋅=，经检验，12a =也符合上述通项公式．故选C ．数列的单调性数列单调性的判断方法和应用思路：（1）比较数列{}n a 中任意相邻两项+1n a 和n a 的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法； （2）利用数列的单调性：数列{}n a 递增+1n a ⇔>n a ，数列{}n a 递减+1n a ⇔<n a ． 对于通项较复杂的数列问题，常采用“特值探路”的策略，并结合数列的单调性求解．已知数列{}n a 的通项公式为2()n a n n n =+∈*N ，判断数列{}n a 的单调性．【答案】数列{}na 是递增数列．【解析】方法1：221,(1)(1),n n a n n a n n +=+=+++ 则221(1)(1)()2n n a a n n n n n +-=+++-+=+20>，即+1n n a a >()n ∈*N ，故数列{}n a 是递增数列．方法2：221,(1)(1),n n a n n a n n +=+=+++则212(1)(1)21n n a n n n a n n n+++++==>+， 又0n a >，故+1n n a a >，即数列{}n a 是递增数列．方法3：令2y x x =+，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为112x =-<，则函数2y x x =+在[1)+∞，上单调递增，故数列{}n a 是递增数列．【名师点睛】方法3借助于数列对应的函数，运用我们熟知的函数的单调性进行求解，更加简捷．数列的最大（小）项的求法数列的最大（小）项问题有如下两种求法： （1）利用数列的单调性确定数列的最大（小）项．当数列不单调时，还需解不等式+10n n a a ->（或+11n na a >，此时应注意n a 的符号）； （2）通过解不等式组来确定．设第(1)k k k ∈>*N ，项是数列的最大（小）项，则11k k k k a a a a -+≥⎧⎨≥⎩11()k k kk a a a a -+≤⎧⎨≤⎩，求出k 的正整数值即得最大（小）项，这样就不必再判断数列的单调性了．已知数列{}n a的通项公式4()5nna n=⋅()n∈*N，试问数列{}n a是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由．【答案】数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．【解析】方法1：作差比较+1na与na的大小，判断{}na的单调性．1+14444=(1)()()()5555n n nn nna a n n+--+⋅-⋅=⋅，当4n<时，+10n na a->，即+1n na a>；当4n=时，+1n na a-=，即+1n na a=；当4n>时，+10n na a-<，即+1n na a<．故12345678a a a a a a a a<<<=>>>>L，所以数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．方法2：作商比较+1na与na的大小，判断{}na的单调性，1+14(1)()445=.45()5nnnnna na nn++⋅+=⋅令+11nnaa>，解得4n<；令+11nnaa=，解得4n=；令+11nnaa<，解得4n>．故12345678,a a a a a a a a<<<=>>>>L所以数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．方法3：假设{}n a中有最大项，且最大项为第n项，则11n nn na aa a-+≥⎧⎨≥⎩，即1144()(1)()5544()(1)()55n nn nn nn n-+⎧⋅≥-⋅⎪⎪⎨⎪⋅≥+⋅⎪⎩，即54nn≤⎧⎨≥⎩，故数列{}n a有最大项为4a或5a，且545441024==5625a a=．对递推公式变形时忽略n的取值已知数列{}n a满足3123=()na a a a n n∈*NL，则数列{}na的通项公式na=_____________．【错解】由3123=n a a a a n L ，可得31231(1)n a a a a n -=-L ，两式相除可得33=(1)n n a n -．【错因分析】31231=(1)n a a a a n --L 仅适用于n ∈*N 且2n >时的情况，故不能就此断定33=(1)n n a n -就是数列{}n a 的通项公式． 【正解】当1n =时，11a =；当2n ≥时，由3123=n a a a a n L ，可得31231(1)n a a a a n -=-L ，上述两式相除可得33=(1)n n a n -，故331,1,1,(1)n n a n n n n =⎧⎪=⎨>∈⎪-⎩*N． 【名师点睛】在对递推公式变形时，常常会改变n 的取值，因此求出的n a 不一定适用于n ∈*N ．基础训练1．数列1,2,4,8,16,32,的一个通项公式是 A ．21n a n =- B ．12n n a -= C ．2nn a =D ．12n n a +=2．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是A ．1(11)n n a +=+- B ．(1)1nn a =--C ．(1)1nn a =+-D ．1cos n a n =-π3．数列{}n a 中，nn n a )1(-+=，则=+54a aA ．7B ．8C ．9D ．104．在数列{}n a 中，11a =，211(1)n n a a n +=-≥，则12345a a a a a ++++=A ．1-B ．1C ．0D ．25．600是数列12⨯，23⨯，34⨯，45⨯，…的 A ．第20项 B ．第24项 C ．第25项D ．第30项6．数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则{}n a 的通项公式为A ．45n -B ．43n -C ．23n -D ．21n -7．数列{}n x 中，若11x =，1111n n x x +=-+，则2018x = A ．1- B ．12- C ．12D ．18．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是A ．21n +B ．3nC ．222n n +D ．2322n n ++9．已知数列{}n a 的通项公式为1(1)nn a =+-，则2018a =______________． 10．数列{}n a 中，276n a n n =-+，那么满足0n a <的有______________项．11．数列{}n a 中，已知(1)nn a n a =-+（a 为常数），且1423a a a +=，则100a =______________．12．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，推测第6行的第3个数字为______________．13．数列{2{}2n n }中的最大项是______________．14．已知数列{}n a ，其通项公式为2*3()n a n n n =-∈N ，判断数列{}n a 的单调性．15．已知数列{}n a 的通项公式为53n a n =+．（1）求9a 的值；（2）试判断80是否为数列{}n a 中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由．能力提升16．不能作为数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式的是A ．π|sin|2n n a =B ．(1)π|cos|2n n a += C ．(1)12n n a --=D ．11(1)2n n a ++-=17．在数列{}n a 中，112()2121()2n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，若145a =，则1001a 的值为A ．53B ．54 C ．25D ．1518．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律，第n 个图形中有_____________个正方形．19．若数列{}n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a _____________． 20．已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=，则23a a +=_____________．21．若无穷数列{}n a 满足：只要(,)p q a a p q =∈*N ，必有1p a +=1q a +，则称{}n a 具有性质P ．若{}n a 具有性质P ，且2452,3,2a a a ===，678a a a ++=21，则3a =_____________．22．已知{}n a 是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为_____________．23．已知数列{}n a 的通项公式278n a n n =--．（1）数列中有多少项为负数?（2）数列{a n }是否有最小项?若有，求出其最小项．24．数列{}n a 中，)2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a ．25．已知数列{}n a 中，11a =，*1()()n n n a n a a n +=-∈N ，求数列{}n a 的通项公式．真题练习26．（2018新课标全国Ⅲ文节选）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=，求{}n a 的通项公式.参考答案1．【答案】B【解析】观察数列的前6项知，每一项与项数n 的关系为12-=n n a ，故选B ．2．【答案】C【解析】验证易知，只有C 选项中的式子不能作为已知数列的通项公式．故选C ．3．【答案】C【解析】因为n n n a )1(-+=，所以444(1)5,a =+-=555(1)4,a =+-=所以459.a a +=故选C ．5．【答案】B【解析】由数列12⨯，23⨯，34⨯，45⨯，…可得通项公式为(1)n a n n =+，令(1)600n n +=，求解得24n =，故选B ．6．【答案】A【解析】因为223n S n n =-，所以当2n ≥时，2121))(3(1n S n n -=---，两式相减可得n n a S =-145n S n -=-，又当1n =时，111a S ==-，满足上式，故选A ．7．【答案】B【解析】将11x =代入1111n n x x +=-+，得212x =-，再将2x 代入1111n n x x +=-+，得31x =，所以数列周期为2，所以2018212x x ==-，故选B ． 8．【答案】D 【解析】由11n n a a n -=+-，再根据累加法得1211(3(34)5)n n n a a a a a a -=+-+-=++++++1n +＝2322n n ++，故选D ． 9．【答案】2【解析】因为1(1)n n a =+-，所以201820181(1)112a =+-=+=．10．【答案】4【解析】由二次函数知识可知，该数列为二次函数276y x x =-+图象上的整数点，当2,3,4,5n =时满足0n a <，故满足0n a <的有4项．11．【答案】97【解析】由(1)n n a n a =-+可得12341,2,3,4a a a a a a a a =-=+=-=+，因为1423a a a +=，所以143(2)a a a -++=+，解得3a =-，所以(1)3n n a n =--，所以100100397a =-=．12．【答案】15【解析】由题图可知，从第3行开始，每个数字都等于其“肩上”的两数之和，那么第6行的数字为1,6,15,20,15,6,1，故第3个数字为15．14．【答案】数列{}n a 是递增数列．【解析】方法1：2*3()n a n n n =-∈N ，2*+13(1)(1)(),n a n n n =+-+∈N则2213(1)(1)(3)6+20,n n a a n n n n n +-=+-+--=> 即*1()n n a a n +>∈N ，故数列{}n a 是递增数列.方法2：2*3()n a n n n =-∈N ，2*+13(1)(1)(),n a n n n =+-+∈N 则2123(1)(1)3n n a n n a n n ++-+==-132 1.31n n n n ++⋅>- 即数列{}n a 是递增数列． （注：这里要确定n a 的符号，否则无法判断+1n a 与n a 的大小）方法3：令23y x x =-，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为116x =<， 则函数23y x x =-在1(,)6+∞上单调递增，故数列{}n a 是递增数列． 15．【答案】（1）32；（2）见解析．【解析】（1）因为数列{}n a 的通项公式为53n a n =+，所以953932a =+⨯=．（2）80是数列{}n a 中的项．理由如下：假设80是数列{}n a 中的项，则8053n =+，解得*25n =∈N ，所以80是数列{}n a 中的项，且为第25项．16．【答案】C【解析】因为数列 ,1,0,1,0,1的前几项为摆动数列，因此通过验证可知A ，B ，D 都适合，C 选项不适合．故选C ．18．【答案】(1)2n n + 【解析】设数列为，由图知，11a =，212a =+，3123a =++，41234a =+++，所以由此猜想：(1)1232n n n a n +=++++=． 19．【答案】12【解析】由已知得111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=，451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=． 20．【答案】34【解析】由211(21)20n n n n a a a a ++---=，令1n =，解得212a =，同理可得314a =，所以2334a a +=． 21．【答案】16【解析】因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==， 于是678332a a a a ++=++，又67821a a a ++=，所以316a =． 22．【答案】(-3，+∞)【解析】由{a n }为递增数列，得a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn =2n+1+λ>0恒成立，即λ>-2n-1在n ≥1时恒成立，令f (n )=-2n-1，n ∈*N ，则f (n )max =-3．只需λ>f (n )max =-3即可.故实数λ的取值范围为(-3，+∞) ．23．【答案】（1）7；（2）当3n =或4时，数列{}n a 有最小项，且最小项3420a a ==-．24．【答案】5432,,,a a a a 的值分别为2121,,,3253，12+=n a n ． 【解析】 )2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ， ∴3222112=+=a a a ， 232221242a a a ===+， 5222334=+=a a a ， 454221263a a a ===+， 由 ,62,52,42,32,22可以归纳出12+=n a n ． 25．【答案】n a n =．【解析】方法1(累乘法)：∵*1()()n n n a n a a n +=-∈N ，即11n n a n a n ++=， ∴2121a a =，3232a a =，4343a a =，…，1(2)1n n a n n a n -=≥-． 以上各式两边分别相乘，得12341231n a n a n =⨯⨯⨯⨯-． 又11a =，∴(2)n a n n =≥，∵11a =也适合上式，∴n a n =．方法2(迭代法)：由11n n a n a n -=-知，2121a a =，3232a a =，4343a a =，…， 则31241123212341112321n n n n n a a a a a n n a a n a a a a a n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--． 26．【答案】122-=n a n ． 【思路分析】先由题意得2≥n 时，)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n ，再作差得122-=n a n ，同时应验证1=n 时是否也满足上式． 【解析】因为123(21)2n a a n a n +++-=， 故当2n ≥时，1213(23)22n a a n a n ++++-=-． 两式相减得(21)2n n a -=，所以2(2)21n a n n =≥-． 又由题设可得12a =，从而{}n a 的通项公式为221n a n =-．。
高中数学_数列的概念及表示方法教学课件设计
1
堆 放 的 钢 管
4，5，6，7，8，9，10.
2
1. 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 2．正整数的倒数 1, 1 , 1 , 1 , 1
2345
3．1的正整数次幂：1, 1, 1, 1,… 4．无穷多个1排成一列数：1, 1, 1, 1,…
3.1 数列的概念与简单表示法 1、定义：按一定次序排列的一列数叫做数列
1
an1
(n
2, n N ).
答案：(1)an n2 2n 1
(2)an n
14
五、小结： 1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式 3.已知前n项和求通项公式 4.由递推公式求数列的通项公式
15
练作习作业业
P31 习题2.1A组；
16
如 数列2可以记作
数列与函数
1 n
（1）数列的实质：从函数的观点看，数列可以
看作是一个定义域为正整数集 （或它的有限
子集{1，2，…，n}）的函数f(n)，当自变量从
小到大依 次取值时对应的一列函数值,
即 f(1),f(2),f(3),…f(n)…,通常用an代替f(n)。6
（2）．通项公式:an 与 n 之间的函数关系式 通项公式即相应的函数解析式an=f(n).
(n 1) (n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.若Sn=2n2－3n，求an
1.a)
2.an＝4n 5
13
例3
分别求出满足下列条件的数列的通项公式。
(1)a1 0, an1 an (2n 1（) n N );
(2)a1
1, an
n
高中数学课件-第1讲 数列的概念与简单表示法
第六章 数列第1讲 数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通考试要求项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.01聚焦必备知识知识梳理1.数列的有关概念(1)数列的定义一般地，我们把按照__________________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是__________，对应的函数值是________________，记为a n＝f (n).数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.提醒2.数列的表示法解析式法、表格法、____________.3.数列的单调性从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，__________________的数列叫做常数列.4.数列的通项公式和递推公式(1)如果数列{a n}的__________________与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用_______________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.提醒(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.5.数列的前n项和公式如果数列{a n}的前n项和S n与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )夯基诊断√××√(2)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，则a n ＝____________.答案：2n －1当n＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，且a 1＝1也满足此式，故a n ＝2n －1，n ∈N *.(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝____________.答案：5n －4由a1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，归纳可知a n ＝5n －4.02突破核心命题考 点 一由an与S n的关系求通项公式C(2)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2n＋2－3，则a n＝_____.已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写.反思感悟训练1 (1)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n a n＝n·2n，则数列{a n}的通项公式为a n＝____________.(2)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n S n＋1＝－a n＋1(n∈N*)，则a10＝____________.例2 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________.考 点 二由数列的递推关系求通项公式考向1累加法例3 已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝_______.2累乘法反思感悟B考 点 三数列的性质考向 1数列的单调性D2数列的周期性答案：13数列的最值A反思感悟训练3 (1)如表，定义函数f (x )：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2，3，4，…，则a 2023＝( )A.1B.2C.5D.4C x12345f (x )54312C 由题意，a1＝4，a n＝f(a n－1)，所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，a7＝f(a6)＝f(1)＝5，…，则数列{a n}是以4为周期的周期数列，所以a2023＝a2020＋3＝a3＝5，故选C.突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 4103限时规范训练(四十)ADB4.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为( )CA.760B.800C.840D.924BCD6.(2023·珠海质检)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2且a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，则该数列的前40项之和为( )A.－170B.80C.60D.230C C 由a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，得a 2k ＋2＝a 2k ＋1，a 2k ＋1＝a 2k －1－1，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝a 2k －1＋a 2k ＝…＝a 1＋a 2＝3，所以数列{a n }的前40项之和为20(a 1＋a 2)＝60.。
人教a版必修五课件：数列的递推公式(60页)
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典例导悟
类型一 [例1] 由递推公式求数列中的项 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由
an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； an (2)通过公式bn＝ 构造一个新的数列{bn}，写出数 an＋1 列{bn}的前4项．
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1.体会递推公式是数列的一种表示方法． 2．理解递推公式的含义，能根据递推公式写出数列的 前n项，了解数列的函数性质． 3．掌握一些简单的递推公式来求数列的通项公式.
递推法 ． 方法叫做________
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思考感悟
1．通项公式与递推公式的区别与联系
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