高二数学四种命题
1-1 命题与四种命题 ppt
三个概念
１、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个 命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那 么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个叫做原命题的逆命题。 ２、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题 的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果 把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命 题。 ３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第 二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做 互为逆否命题。
1.1.1-1.1.2命题 与四种命题
高二数学 选修 1-1
第一章
常用逻辑用语
歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天， 他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性 古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明， 一边高地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子 让路！”而对如此的尴尬的局面， 但只是歌德笑容可掏，谦恭的闪在一旁，一边有 礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反，”结果故作聪明 的批评家，反倒自讨没趣。
呢?
观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？
（1）若x>2，则x2≥4
（4）若x2≤4 ，则x<2。
互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是 原命题与其逆 否命题的真假 “两直线不平行，同位角不相等”。
你能分析此故事中歌德与批评家 的言行语句吗？
常用逻辑用语
“数学是思维的科学”
逻辑是研究思维形式和规律的科学.
逻辑用语是我们必不可少的工具.
通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑 用语的用法,,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用 逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.
高二数学选修1、1-1-2四种命题及其相互关系
1.1.2四种命题及其相互关系一、选择题1．(2009·重庆文，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是() A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”[答案] B[解析]考查命题与它的逆命题之间的关系．原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.2．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题[答案] D[解析]∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B[答案] A[解析]否命题是对命题的条件和结论都否定，故选A.4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的() A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[答案] C[解析]特例：p：若∠A＝∠B，则a＝br：若∠A≠∠B，则a≠bs：若a≠b，则∠A≠∠Bt：若a＝b，则∠A＝∠B.5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是()A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真[答案] D[解析]原命题为真，故逆否命题为真．6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．4B．3C．2D．0[答案] C[解析]当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，逆命题：△ABC为等腰三角形，则AB＝AC为假，故否命题为假．7．设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是() A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂β，c是α在β内的射影，若b⊥c，则a⊥bC．b⊂β，则b⊥α，则β⊥αD．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c[答案] C[解析]C选项的逆命题为“设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，b⊂β，若β⊥α，则b⊥α”，这个命题是假命题，b与α的位置关系除垂直外，还可能b与α相交或b∥α.8．与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题是()A．若m∈M，则n∉MB．若n∉M，则m∈MC．若m∉M，则n∈MD．若n∈M，则m∉M[答案] D[解析]原命题与逆否命题等价．9．有下列四个命题：(1)“若x－y＝0，则x，y为相等的实数”的逆命题；(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；(3)“若x>5，则x2－3x－10>0”的否命题；(4)“若a b是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案] B[解析](1)逆命题“x，y为相等实数，则x－y＝0”是真命题．(2)∵原命题为假，∴其逆否命题为假．(3)否命题“若x≤5，则x2－3x－10≤0”，假如x＝－3<5，但x2－3x－10＝8>0.为假命题．(4)逆命题“若a、b是无理数，则a b也是无理数”，假如a＝(2)2，b ＝2，则a b＝2是有理数．10．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题[答案] A[解析]因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.二、填空题11．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．[答案]真12．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．[答案]逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.13．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．[答案]假[解析]如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．14．(1)命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“____________________”．(2)命题“整数是有理数”的否命题是“________________”．(3)命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是“________________”．[答案](1)偶数一定是末位是2的整数．(2)不是整数的数就不是有理数．(3)在一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．三、解答题15．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)奇数不能被2整除．[解析](1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2)逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．16．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理，故逆否命题为假．17．写出下列命题的否定和否命题．(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；(2)0的平方等于0.[解析](1)命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等；否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．(2)命题的否定：0的平方不等于0否命题：不等于0的数的平方不等于0.18．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[分析]直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假．[解析]原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．。
高二数学四种命题的相互关系
爬犁论张，不论辆。
每张爬犁由两匹马拉。林区冬季气温在零下四十几度，赶爬犁的人身穿羊皮袄，头戴狗皮帽子，脚穿棉靰鞡，也叫毡疙瘩，浑身上下包裹得还算严实。长鞭一甩，嘎！
“嘚驾！”马爬犁载着滚圆的木材，在雪地里在冰面上就欢欢地跑起来了。
一张马爬犁一般运三五根木材，来来回回地跑，马跑得汗气腾腾。马鬃上眉梢上挂满了霜，鼻孔喷出一团一团的热气。爬犁是用柞木做成的。柞木结实，性子稳定，不易劈裂。爬犁脚的底部镶上铁 条，在雪里或者冰上跑起来就轻快无比了。
那时候，伐木人的生产作业还是有一些行话的。比如“磨骨头”就是用肩杠抬木头装车，“小套房”就是集材的意思，“大套房”就是运材的意思。“上楂子”是指从伐木、打枝、造材到归楞的多 道工序的统称，而“下楂子”则是指顺着河道水运流送的过程。
场又分山楞、中楞、大楞。
山上伐倒的木头，简单集中到一起，叫山楞；把山楞的木材再集中运到路边，归成楞堆，叫中楞；把中楞的木材，用马爬犁运到苏呼河两岸归成楞垛，以备流送，称为大楞。据说，苏呼河大楞场， 一个冬天要贮存木材达到三万立方米。
高二数学命题及其关系试题答案及解析
高二数学命题及其关系试题答案及解析1.分别写出下列命题的逆命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）若q＜1，则方程x2+2x+q=0有实根；（2）若x2+y2=0，则x，y全为零．【答案】（1）见解析（2）见解析）【解析】逆命题是交换原命题条件和结论,逆否命题是交换原命题条件和结论并否定. (Ⅰ)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1。
为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(Ⅱ)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．试题解析：(Ⅰ)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1。
为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(Ⅱ)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．【考点】四种命题之间的关系2.下列命题正确的个数是( )①命题“”的否定是“”；②函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；③在上恒成立在上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】(1)把存在量词改为全称量词，同时把结论否定，正确. (2)函数最小正周期为，则；当，函数的周期为，函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，正确.(3)在上恒成立在上恒成立；(4)“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是,且，错误.【考点】命题的真假性.3.命题r：如果则且；若命题r的否命题为p，命题r的否定为q，则A．P真q假B． P假q真C． p，q都真D． p,q都假【答案】A【解析】由已知有命题r：如果则且，是真命题；由于命题r的否命题为p，则命题p为：如果则或，其逆否命题为：如果且则显然是真命题，故知命题P也是真命题；又因为命题r的否定为q，所以命题q是假命题；故选A．【考点】简易逻辑．4.已知命题函数在区间上是单调递增函数；命题不等式对任意实数恒成立.若是真命题，且为假命题，求实数的取值范围.【答案】或.【解析】首先分别求出命题和命题为真命题时实数的取值范围，然后由是真命题，且为假命题知，真假或假真.最后分别求出这两种情况下的实数的取值范围即可.试题解析：若命题为真，则，若命题为真，则或，即.∵是真命题，且为假命题∴真假或假真∴或，即或.【考点】复合命题的真假.5.下列说法中正确的是（）A．命题“若,则”的否命题为假命题B．命题“使得”的否定为“,满足”C．设为实数，则“”是“”的充要条件D．若“”为假命题，则和都是假命题【答案】C【解析】命题“若,则”的否命题为“若,则”，由指数函数的单调递增性，可知为真命题，A错；命题“使得”的否定为“,满足”B错；若“”为假命题，则和至少有一个假命题,D错；由对数函数单调性可知C正确．【考点】否命题，特称命题的否定，充要条件，简单的复合命题．6.下列说法中正确的是（）A．命题“若,则”的否命题为假命题B．命题“使得”的否定为“,满足”C．设为实数，则“”是“”的充要条件D．若“”为假命题，则和都是假命题【答案】C【解析】（1）原命题：“若,则”。
1.1四种命题及其关系
高二数学自主学习学案【课题】四种命题及其间的相互关系【学习目标】1..了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
2..会分析四种命题的相互关系。
（重点、难点）【导学流程】一、了解感知1.四种命题的概念（1）互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的. （2）互否命题，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的和，这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的.（3）互为逆否命题：其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的和，这样的二、深入学习把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）正数的平方根不等于0；（2）当x=0时，x2+x-6=0；原命题：原命题：逆命题：逆命题：否命题：否命题：逆否命题：逆否命题：（3）对顶角相等。
（4）若mn<0，则方程mx2-x+n=0有两个相等的实数根原命题：原命题：逆命题：逆命题：否命题：否命题：逆否命题：逆否命题：三、迁移运用1.命题“a>b,则2a>2b-1”的否命题为2.命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是3.命题“整数是有理数”的否命题是4.命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是5.命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是，是命题（真、假）6.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断其真假（1）负数的平方是正数；（2）正方形的四条边相等.班级：小组：姓名：第一页。
人教B版高中数学高二选修1-1课件 1.3.2 命题的四种形式
规律方法 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的 相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断 真假时，一定要对有关知识熟练掌握.
跟踪演练2 有下列四个命题： ①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题； ②“如果x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题； ③“同位角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是________.
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆否命题.
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
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解析 ①逆命题为：“若x，y互为倒数，则xy＝1”，真命题. ②否命题为：“不相似的三角形的周长不相等”，假命题. ③Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4>0，∴原命题为真，故逆否命题 为真. ④命题“若A∪B＝B，则A⊇B”为假命题，其逆否命题为假命题. 答案 C
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3.命题“如果平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题 是 _如__果__平__面__向__量__a_，__b_的__方__向__不__相__同__，__则__a_，__b_不__共__线___ ， 它 是 __假______命题(填“真”或“假”).
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4.给出以下命题： ①“如果x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是________.
(3)条件和结论“ 换质 ”(分别否定)：
如果綈p，则綈q，这称为原命题的 否命题 ；
(4)条件和结论“ 换位 ”又“ 换质 ”：
如果綈q，则綈p，这称为原命题的 逆否命题 .
命题的定义及四种命题
写成“若p则q”的形式为： 若两个平面垂直于同一条直线，则这
两个平面平行。
例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
1) 若整数a能被2整除，则a是偶数； 2) 菱形的对角线互相垂直且平分。
解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。
1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 2. 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系？
1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
(1) 空集是任何集合的子集. （是，真） (2)若整数a是素数,则a是奇数（. 是，假） (3)指数函数是增函数吗?（不是命题）
(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.
（是，真）
(5) (2)2 2 （是，假）
(6)x>15. （不是命题）
练习 判断下列语句是否是命题 .
（1）求证 3 是无理数。
3. 把下列命题改写成“若p则q”的形 式,并判定真假。
(1) 负数的平方是正数. (2) 偶函数的图像关于y轴对称.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行
(4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
命题及其关系
1.1.2 四种命题
下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系？
2. 若f(x)是周期函数，p 则f(x)是正弦函数；q
q
p
四种命题的真假关系
假（ ）
否命题：已知a，b是实数，若a+b不是无理数，则a，b不都是无理数；假(此时两个数都不是无理数)
逆否命题：已知a，b是实数，若a，b不都是无理数，则a+b不是无理数；假
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2+y2=0；真
否命题：若x2+y2≠0,则x，y不全为零；真
教学用具：PPT
教学内容
师生活动
备注
复习回顾
1．四种命题的形式是什么？
2．四种命题的基本关系是什么？
引例1：写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假：
(1)若x<y，则y>x；
(2)若a=0，则ab=0；
(3)当x∈R时，若f(x)过原点，则f(x)是奇函数。
解：(1)原命题：若x<y，则y>x；真
任课教师
白杰
授课班级
高二(9)、(10)班
授课日期
10.8
教学课题：四种命题的真假关系
教学目标：
1，正确理解四种命题之间的真假关系；
2，会应用它们之间的真假关系处理问题；
3，培养学生逻辑推理能力。
教学方法：讲授法、讲练结合、探究法、自学法
教学重点：正确理解四种命题之间的真假关系
教学难点：会应用它们之间的真假关系处理问题
②“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;
③“全等三角形的面积相等”的否命题;
④“若ab≠0,则a≠0”的否命题.
其中真命题的个数是( C )
A.0个B.1个C.2个D.3个
评注：真命题为：①②
人教A版数学高二选修2-1学案1.1第2课时四种命题及四种命题间的相互关系
第2课时四种命题及四种命题间的相互关系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P4～P8的内容，回答下列问题．观察教材P4“思考”中的4个命题：(1)这4个命题的条件和结论各是什么？提示：命题(1)的条件：f(x)是正弦函数，结论：f(x)是周期函数；命题(2)的条件：f(x)是周期函数，结论：f(x)是正弦函数；命题(3)的条件：f(x)不是正弦函数，结论：f(x)不是周期函数；命题(4)的条件：f(x)不是周期函数，结论：f(x)不是正弦函数．(2)命题(1)的条件和结论与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间有什么关系？提示：命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题(3)的条件的否定和结论的否定；命题(1)的条件和结论分别是命题(4)的结论的否定和条件的否定．(3)根据上述四种命题的概念，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？提示：命题(2)(3)互为逆否命题；命题(2)(4)互为否命题；命题(3)(4)互为逆命题．2．归纳总结，核心必记(1)四种命题的概念①互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．②互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．③互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．(2)四种命题结构(3)四种命题间的相互关系(4)四种命题的真假性一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[问题思考](1)命题“若a≠0，则ab≠0”的逆命题、否命题和逆否命题各是什么？提示：逆命题：若ab≠0，则a≠0；否命题：若a＝0，则ab＝0；逆否命题：若ab＝0，则a＝0．(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不是．原命题是指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式．(3)如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：一定为真命题，因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)四种命题的概念是：；(2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？；(3)四种命题的真假性有什么关系？．讲一讲1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若x>－2，则x＋3>0;(2)两条对角线相等的四边形是矩形．[尝试解答](1)逆命题：若x＋3>0，则x>－2；否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2.(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．[注意]如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．练一练1．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：(1)正数的平方根不等于0；(2)若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0.解：(1)逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数．(2)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0(x，y∈R)；否命题：若x2＋y2≠0(x，y∈R)，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0(x，y∈R)．[思考1]若原命题为真，则它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？名师指津：由于原命题的真假性与它的逆命题、否命题的真假性之间没有关系，所以无法判断它的逆命题、否命题的真假性．[思考2]若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性．讲一讲2．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3;(4)若x∈A，则x∈A∩B.[尝试解答](1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.真命题．(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题；否命题：若x∉A，则x∉A∩B.真命题；逆否命题：若x∉A∩B，则x∉A.假命题．判断一个命题的真假，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，尤其是当命题本身不易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现．练一练2．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．3．在命题“若a>－3，则a>－6”的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．解析：容易判断，命题“若a>－3，则a>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若a≤－3，则a≤－6”，是假命题，而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题．答案：2[思考]我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？名师指津：可以通过证明它的逆否命题为真命题来解决．讲一讲3．(1)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．(2)(链接教材P7－例4)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[尝试解答](1)法一：原命题的逆否命题：“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．”真假判断如下：因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．法二：先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，所以a≥1.所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(2)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”∵当a＋b<0时，a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．练一练4．证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．由于m＋n>2，则m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2，所以m2＋n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是四种命题的概念以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲2.(2)用原命题和逆否命题的等价性解决相关问题，见讲3.3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。
高中数学 1.1.2四种命题
四种命题(30分钟50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.(2021·长春高二检测)命题“假设a∉A,那么b∈B”的否命题是( )A.假设a∉A,那么b∉BB.若a∈A,那么b∉BC.假设b∈B,那么a∉AD.若b∉B,那么a∉A【解析】选B.命题“假设p,那么q”的否命题是“若p,那么q”,“∈”与“∉”互为否定形式.2.以下命题的否命题为“邻补角互补”的是( )A.邻补角不互补B.互补的两个角是邻补角C.不是邻补角的两个角不互补D.不互补的两个角不是邻补角【解题指南】解答此题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.【变式训练】“△ABC中,假设∠C=90°,那么∠B,∠A满是锐角”的否命题为( )A.△ABC中,假设∠C≠90°,那么∠A,∠B全不是锐角B.△ABC中,假设∠C≠90°,那么∠A,∠B不满是锐角C.△ABC中,假设∠C≠90°,那么∠A,∠B中必有一个钝角D.以上均不对【解析】选B.否命题条件与结论别离是原命题的条件与结论的否定,应选B.【误区警示】解答此题易显现选A的错误,致使显现这种错误的缘故是混淆了“满是”的否定是“不满是”,而非“全不是”.3.(2021·烟台高二检测)以下命题中为真命题的是( )A.命题“假设x>y,那么x>|y|”的逆命题B.命题“x>1,那么x2>1”的否命题C.命题“假设x=1,那么x2+x-2=0”的否命题D.命题“假设x2>0,那么x>1”的逆否命题【解析】选A.关于A:逆命题为假设x>|y|,那么x>y,真命题.关于B:否命题为假设x≤1,那么x2≤1,显然此命题为假,比如x=-2命题不成立.关于C:否命题为“假设x≠1,那么x2+x-2≠0”,此命题是假命题,如x=-2命题不成立.关于D:逆否命题为:假设x≤1,那么x2≤0,显然此命题是假命题,应选A.4.关于命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的表达正确的选项是( )A.命题的逆命题为真命题B.命题的否命题为真命题C.命题的逆否命题为真命题D.以上都正确【解析】选C.命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的逆命题为“若a≠b,那么|a|≠|b|”,是假命题.命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的否命题为“假设|a|=|b|,那么a=b”,是假命题.命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的逆否命题为“若a=b,那么|a|=|b|”,是真命题.5.命题“假设x2+y2=0,那么x=y=0”的逆否命题是( )A.假设x=y=0,那么x2+y2≠0B.假设x,y都不为0,那么x2+y2≠0C.假设x,y中至少有一个不为0,那么x2+y2≠0D.假设x,y中至少有一个不为0,那么x2+y2=0【解析】选C.将“x=y=0”否定得“x,y中至少有一个不为0”,故原命题的逆否命题为“假设x,y 中至少有一个不为0,那么x 2+y 2≠0”,应选C【误区警示】解答此题易显现选B 的错误,致使显现这种错误的缘故是对“x,y 全为0”的否定弄不清楚所致.事实上,x,y 全为0的否定为x,y 中至少有一个不为0.6.命题“若α=π4,那么tan α=1”的逆否命题是( ) A.假设α≠π4,那么tan α≠1 B.若α=π4,那么tan α≠1 C.假设tan α≠1,那么α≠π4 D.假设tan α≠1,那么α=π4【解题指南】由逆否命题的概念知,否定原命题的条件,“α≠π4”作结论;否定原命题的结论,“tan α≠1”作条件.【解析】选C.原命题的逆否命题是“假设tan α≠1,那么α≠π4”,应选C. 二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·九江高二检测)原命题:“设a,b,c ∈R,假设a>b,那么ac 2>bc 2”和它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数是 .【解析】逆命题:假设ac 2>bc 2,那么a>b,真命题.否命题:假设a ≤b,那么ac 2≤bc 2,真命题.逆否命题:假设ac 2≤bc 2,那么a ≤b,假命题.答案:28.(2021·天津高二检测)请写出命题“假设a+b=2,那么a 2+b 2≥2”的否命题: .【解析】依照否命题的形式,原命题的否命题为“假设a+b ≠2,那么a 2+b 2<2”.答案:假设a+b ≠2,那么a 2+b 2<29.“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题是 命题(填真、假).【解析】命题“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题为“常数列是等差数列”,是真命题.答案:真三、解答题(每题10分,共20分)10.(2021·武汉高二检测)设命题p:假设m<0,那么关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.(2)判定命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)【解析】(1)p的逆命题:假设关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根,那么m<0.p的否命题:假设m≥0,那么关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.p的逆否命题:假设关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根,那么m≥0.(2)命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.11.判定以下命题的真假:(1)“假设x∈A∪B,那么x∈B”的逆命题与逆否命题.(2)“假设自然数能被6整除,那么自然数能被2整除”的逆命题.【解析】(1)逆命题:假设x∈B,那么x∈A∪B.依照集合“并”的概念,逆命题为真.逆否命题:假设x∉B,那么x∉A∪B.逆否命题为假.如2∉{1,5}=B,A={2,3},但2∈A∪B.(2)逆命题:假设自然数能被2整除,那么自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22等都不能被6整除. (30分钟50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.(2021·重庆高二检测)已知直线l1:x+ay+1=0,直线l2:ax+y+2=0,那么命题“假设a=1或a=-1,那么直线l1与l2平行”的否命题为( )A.假设a≠1且a≠-1,那么直线l1与l2不平行B.假设a≠1或a≠-1,那么直线l1与l2不平行C.假设a=1或a=-1,那么直线l1与l2不平行D.假设a≠1或a≠-1,那么直线l1与l2平行【解析】选A.命题“假设A,那么B”的否命题为“若A,那么B”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,因此选A.【触类旁通】假设此题中条件不变,那么原命题的逆命题是.【解析】将原命题中,条件与结论互换即可.即逆命题为“假设直线l1与l2平行,那么a=1或a=-1”.答案:假设直线l1与l2平行,那么a=1或a=-12.以下四个命题:①“假设x+y=0,那么x,y互为相反数”的否命题;②“假设a>b,那么a2>b2”的逆否命题;③“假设x≤-3,那么x2-x-6>0”的否命题;④“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )B.1【解析】选B.①否命题:假设x+y≠0,那么x,y不互为相反数,真命题.②逆否命题:假设a2≤b2,那么a≤b,假命题.③否命题:假设x>-3,那么x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是同位角,假命题.3.给出命题:假设函数y=f(x)是幂函数,那么函数y=f(x)的图象只是第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )B.2【解析】选C.逆命题与否命题错误,逆否命题正确,应选C.4.命题“假设-1<x<1,那么x2<1”的逆否命题是( )A.假设x≥1或x≤-1,那么x2≥1B.假设x2<1,那么-1<x<1C.假设x2>1,那么x>1或x<-1D.假设x2≥1,那么x≥1或x≤-1【解析】选D.假设原命题是“假设p,那么q”,那么逆否命题为“若q,那么p”,故此命题的逆否命题是“假设x2≥1,那么x≥1或x≤-1”.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·广州高二检测)以下四个命题中:①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题;②“假设k>0,那么方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;③“全等三角形的面积相等”的否命题;④“假设ab≠0,那么a≠0”的否命题.其中真命题的序号是.【解析】①逆命题为“假设一个三角形的三内角均为60°,那么那个三角形为等边三角形”,是真命题;②Δ=4+4k,当k>0时,Δ>0,因此原命题为真命题,其逆否命题是真命题;③不全等的两个三角形面积也有可能相等,因此③是假命题;④否命题为“假设ab=0,那么a=0”,是假命题.综上可知,真命题是①②.答案:①②【变式训练】有以下四个命题,其中真命题是__________.①“假设xy=1,那么x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“假设b≤0,那么方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④“假设A∪B=B,那么A⊇B”的逆否命题.【解析】①逆命题是:“假设x,y互为倒数,那么xy=1”,是真命题;②逆命题是:“假设两三角形的周长相等,那么它们相似”,是假命题,因此原命题的否命题也是假命题;③由b≤0得Δ=4b2-4(b2+b)≥0,因此③是真命题,其逆否命题也是真命题;④假设A∪B=B,那么A⊆B,因此原命题是假命题,其逆否命题也是假命题,因此④是假命题.综上可知①③为真命题.答案:①③6.(2021·成都高二检测)给出以下三个命题:①假设x2-3x+2=0,那么x=1或x=2;②假设-2≤x<3,那么(x+2)(x-3)≤0;③假设x,y∈N+,x+y是奇数,那么x,y中一个是奇数,一个是偶数,其中逆命题为真命题是.【解析】①③逆命题为真,②逆命题为假.答案:①③三、解答题(每题12分,共24分)7.写出命题:假设x+y=5,那么x=3且y=2的逆命题、否命题与逆否命题,并判定它们的真假.【解析】逆命题:假设x=3且y=2,那么x+y=5,是真命题.否命题:假设x+y≠5,那么x≠3或y≠2,是真命题.逆否命题:假设x≠3或y≠2,那么x+y≠5,是假命题.【变式训练】写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判定其真假.(1)实数的平方是非负数.(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.(3)弦的垂直平分线通过圆心,并平分弦所对的弧.【解析】(1)逆命题:假设一个数的平方是非负数,那么那个数是实数,真命题.否命题:假设一个数不是实数,那么它的平方不是非负数,真命题.逆否命题:假设一个数的平方不是非负数,那么那个数不是实数,真命题.(2)逆命题:假设两个三角形全等,那么这两个三角形等底等高,真命题.否命题:假设两个三角形不等底或不等高,那么这两个三角形不全等,真命题.逆否命题:假设两个三角形不全等,那么这两个三角形不等底或不等高,假命题.(3)逆命题:假设一条直线通过圆心,且平分弦所对的弧,那么这条直线是弦的垂直平分线,真命题.否命题:假设一条直线不是弦的垂直平分线,那么这条直线只是圆心或不平分弦所对的弧,真命题.逆否命题:假设一条直线不通过圆心或不平分弦所对的弧,那么这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.8.(2021·苏州高二检测)在公比为q的等比数列{a n}中,前n项的和为S n,假设S m,S m+2,S m+1成等差数列,那么a m,a m+2,a m+1成等差数列.(1)写出那个命题的逆命题.(2)判定公比q 为何值时,逆命题为真?公比q 为何值时,逆命题为假?【解题指南】解答此题第一需依照逆命题的概念正确写出逆命题,然后依照等差数列的性质判定何时为真命题,何时为假命题.【解析】(1)逆命题:在公比为q 的等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,假设a m ,a m+2,a m+1成等差数列,那么S m ,S m+2,S m+1成等差数列.(2)由{a n }为等比数列,因此a n ≠0,q ≠0.由a m ,a m+2,a m+1成等差数列,得2a m+2=a m +a m+1,因此2a m ·q 2=a m +a m ·q,因此2q 2-q-1=0.解得q=-12或q=1. 当q=1时,a n =a 1(n=1,2,…),因此S m+2=(m+2)a 1,S m =ma 1,S m+1=(m+1)a 1,因为2(m+2)a 1≠ma 1+(m+1)a 1,即2S m+2≠S m +S m+1,因此S m ,S m+2,S m+1不成等差数列.即q=1时,原命题的逆命题为假命题.当q=-12时,2S m+2=2·a 1(1−q m +2)1−q ,S m+1=a 1(1−q m +1)1−q ,S m =a 1(1−q m )1−q ,因此2S m+2=S m+1+S m ,因此S m ,S m+2,S m+1成等差数列.即q=-12时,原命题的逆命题为真命题.。