第五届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题
第五届精英赛笔试二试题解答初二
第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛笔试二试题及解答 (初二组)一、填空题 (每题20分, 共60分)1. 已知m 和n 是有理数, 且 ()361232+=+n m , 则 =+22n m . 答案：10解答.因为(22232m m n +=++, 所以,22312 26m n ,mn +==, 22340m n mn +-=,分解22340m n mn +-=, 得到：()()30m n m n --=.当m n =时, 代入3mn =, 得到：3±==n m , 与m 和n 是有理数不符； 当3m n =时, 代入3mn =, 得到：13n ,m ==或13n ,m =-=-. 所以, 22m n +=10.2. 若实数 x , y , z 和m 满足 5||242||2222222--+++≤+++m z y y m xy m z y x ,则()=+21||m xyz. 答案：2解答. 由题目条件得222222224250x y z m xy m y y z m +++----++≤,配方,()()()()22222222222222224252212144120x y z m xy m y y z m x xy y y m y m m z z x y y m z +++----++=-++-+++++-+=-+--+-≤, 所以,12x y m ,z ==+=,得到()21xyzm =+ 2.3. 正方形ABCD 的边长为2, O 是其对角线的交点. 以其四个顶点为圆心和对角线长的一半为半径画4个四分之一圆, 和正方形4条边的交点分别是E , F , G , H , M , N , P , Q, 如右图所示. 那么阴影部分的总面积等于 .（圆周率记作π） 答案：42π-解答. 易知题图中阴影部分由四个相同的“曲线三边形”组成, 只需计算其中一个的面积即可, 现在计算“曲线三边形”OFG 的面积.可设右图中4个阴影部分的面积均为x , 4个白色部分面积都是y . 易知：ABCD 对角线长的一半是, 则有下列两个等式：2244241242x y ,x y ,ππ+==+==解上面方程组, 可得：22x .π=-易知：题图中, 2FC GC ==等腰直角三角形CFG 的面积是：(2122()14232=-=- 所以, 题图中“曲线三边形”OFG 的面积是：(23122ππ⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭, 最后阴影部分的总面积41422.ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭二、 解答题 (每题20分, 共60分)4. 若52-n 和18+n 都是完全平方数, 则整数n 的最大值是多少? 答案：15解答. 设2225 81n x ,n y -=+=, 无妨设x 和y 是正整数, 则有228204 81n x ,n y -=+=,可得：22421137x y -=-=-⨯⨯,分解上等式左端, 可得：()()22137x y x y -+=-⨯⨯,其中2x y +是正整数, 2x y -是负整数, 故可得4组方程：22x y m,x y n,-=⎧⎨+=⎩ 整数组 {}{}{}{}{}1213773211m,n ,,,,,,,=----, 考虑到x 和y 是正整数, 上述方程组有解：{}{}{}51115x,y ,,,=, 代入2225 81n x ,n y -=+=,得到n =3和15, 故整数n 的最大值是15.5. 右图是一个轴对称图形, 其中圆O 的半径为1, 正方形ABCD 和等边三角形AEF 的顶点都在圆上. 问：正方形ABCD 和等边三角形AEF 重合部分的面积是多少？答案：94-解答. 连接AC , 交EF 于K 点, 由题设, 可知AC 是对称轴, AC 垂直于EF , 且AC 是正方形ABCD 对角线.记三角形与四边形重合的面积为V , CD 和EF , AF 分别交于L 和H , 由图形的对称, 可知：()2ACDCLkAHDV SSS=⨯--.（1） 易得：1ACDS=；（2） AC 是正方形ABCD 对角线, 因此, 45ACD ∠=︒, AC 垂直于EF , 可知三角形CLK 是等腰直角三角形.AC 也是圆O 和等边三角形AEF 的对称轴, 可知AC 过圆心, 且 30FAC ∠=︒. 连接OF , 根据OA=OF=1, 则30OFA FAC ∠=∠=︒, 所以30KFO ∠=︒.在直角三角形KFO 中, 30度角所对直角边长是斜边长二分之一, 1122OK OF ==, 故12CK OK ==.得到：三角形CLK 的面积为：11112228CLK S ∆=⨯⨯=.（3） 直角三角形AHD 的直角边AD=,一个锐角是15︒ .如右图, 在AD 上取一点M , 使得︒=∠15AHM .记x MH AM ==, 则x HD 21=, 可得：x x x MD 23222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=, 223==+AD x x , 所以,6224-=x ,62221-==x HD , 32622221Δ-=-⨯⨯=)(ADH S . 所以, 三角形与四边形重合部分的面积是：4932328112-=+--⨯)( . 6. 在正方体的8个顶点处分别放置1个实数, 与每个顶点相邻的3个顶点处的3个数的乘积分别是40, 18, 56, 24, 48, 70, 144和140. 问：这8个实数中最大和最小者各是多少? 答案：最大是8, 最小是1解答. 设正方体上底面四个点放置的实数记为a , b , c , d , 下底面的对应的四个点放置的实数记为1111a ,b ,c ,d , 如右图所示. 在每个顶点处, 与其相邻的3个顶点的3个实数的积分别记为1111a,b,c,d,a ,b ,c ,d , 依题意, 则有：1a a bd, =⑴ 1b b a c =, ⑵ 1c c b d , =⑶ 1 d d a c ,=⑷ 111a ab d , =⑸ 111b b a c ,= ⑹ 111 c c b d ,= ⑺ 111 d d a c .= ⑻ 由（5）和（7）, 可得：1111a c acb d ac , == ⑼由（5）和（2）, 可得：1111a c acb d bd == ⑽由（10）和（4）, 可得：211a c a acbd bd ==, ⑾由（11）和（9）, 可得：2211a c a ca c bd ==, ⑿由（11）和（12）, 可得：()()2311ca a c bd =, ⒀由（13）和（9）, 可得：()()()()()()()3224223611111ca a c a bd ,a c a bd ,==因此,()3121a bda c =.（*）注意到（*）式的规律, 类似可得：()3121a bda c =, ()3121b acb d =, ()3121c bdc a =, ()3121d acd b =,()31112ab d a c =, ()31112ba c b d =, ()31112cb d c a =, ()31112d a c d b =,将1111a,b,c,d,a ,b ,c ,d 数值40, 18, 56, 24, 48, 70, 144和140代入, 可得这8个实数是1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 故最大是8, 最小是1.另一解法：设正方体上底面四个点放置的实数记为a , b , c , d , 下底面的对应的四个点放置的实数记为1111a ,b ,c ,d , 如右图所示. 在每个顶点处, 与其相邻的3个顶点的3个实数的积分别记为1111a,b,c,d,a ,b ,c ,d , 依题意, 则有：1a a bd, =⑴ 1b b a c =, ⑵ 1c c b d , =⑶ 1 d d a c ,=⑷ 111a ab d , =⑸ 111b b a c ,= ⑹ 111 c c b d ,= ⑺ 111 d d a c .= ⑻ (2),(4),（5）左端乘左端, 右端乘右端, 可得：()23222311111a b d a c b d a c b d ⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯, ⑼将（7）代入（9）, 可得：()3121a bda c =.（*）注意到（*）式的规律, 类似可得：()3121a bda c =, ()3121b acb d =, ()3121c bdc a =, ()3121d acd b =,()31112ab d a c =, ()31112ba c b d =, ()31112cb d c a =, ()31112d a c d b =,将1111a,b,c,d,a ,b ,c ,d 数值40, 18, 56, 24, 48, 70, 144和140代入, 可得这8个实数是1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 故最大是8, 最小是1.。
浙江省七年级第五届“睿达杯”数学能力竞赛一试A卷答案
第五届“睿达杯”初中生数学能力竞赛（A 卷）七年级一试参考答案及评分标准一、填空题(本大题共18小题，每空5分，共90分)1．原式=201420132013201320133333323-=⨯-=⨯．2．∵2126237=⨯⨯，∴126的正约数有：23212⨯⨯=个． 3．55147(1)()12123320⎡⎤-÷÷⨯=⎢⎥⎣⎦． 4．等腰三角形的底边可以是1,3,5,7,9,11,13共7种．5．设542521m m m a -+--=，∵2013m =,∴0a <，∴原式=2012a a --=-2012． 6．∵ a ＋b ＋c ＝0，∴b ＋c ＝a -，a ＋c ＝b -，a ＋b ＝c -，且,,a b c 不可能同号，则||||||b c a c a b a b c +++++=||||||a b ca b c ---++=1±．7．∵3b =-，∴3(3)b +=36．8．由角平分线性质和同位角（或外角）可得． 9．∵314,1,2x -=-- ∴1,0,1x =-．10．65⨯个正方体（缺一面）面积/7个正方体体积． 11．∵ a=542=()1832，b=363=()1823，c =185，∴b a c >>．12．设高为x cm ,则长为5x cm ,宽为3x cm ,则153x =405，3x =cm ，表面积为()239315915⨯+⨯+⨯=414．13．当放好1枚硬币后，第2枚硬币在8个位置中有4个位置符合题意，故可能性为4182= （或者在总共36种放法中有18种符合要求）14．∵722x +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， ∴7212x +-≤<-， ∴ 119x -≤<- 15．16．设正方形的边长为a ,圆半径为r ,由题意，正方形与圆的面积相等，∴22r a π=，∴ar=． 17．∵()42a x b x -+=-+，∴()32a x b -=-，由题意3,2a b ==．18．最省时的方案：甲用自行车载上乙前进，同时丙步行，一段时间后，甲放下乙，回头接丙，同时乙步行，当他们同时到达B 地时，用时最少． 设乙、丙步行的路程都是x 千米，则：1111241216x x x --=+，得72x =， ∴最快需要时间：1134122x x -+=小时． 二、解答题(本大题共2小题，每小题15分，共30分)19．昨天爸爸买进的A 、B 两种股票每股分别为x 元、y 元，价格涨跌的百分率为m ，根据题意，得501002000(1)50(1)100(1)2000(2)x y x m y m +=⎧⎨-++=⎩ （5分）①-②，得 (2)0m x y -=∵m ≠0， ∴ 20x y -=， 即 2x y =．把2x y =代入①，得y =10，20x =． （7分） 答：昨天爸爸买进的A 、B 两种股票每股分别为20元和10元． （3分） 20．考虑a ，c ，d 用b 表示，则23318212a b c b d b =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， （5分） ∴ a ＋b ＋c +d =53-5b ，又由a ＜b 得，234b >， （5分） ∵b 为整数，所以b 最小值为6， ∴ a ＋b ＋c +d 的最大值是23，此时5,6,6,6a b c d ====． （5分）a 0 0 -2 2b -2 2 0 0。
数学初中竞赛 方程和不等式 专题训练(含答案)
数学初中竞赛方程与不等式专题训练一．选择题1．方程x2+2xy+3y2＝34的整数解（x，y）的组数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知两块边长都为a厘米的大正方形，两块边长都为b厘米的小正方形和五块长、宽分别是a厘米、b厘米的小长方形（a＞b），按如图的方式正好不重叠地拼成一个大长方形，若已知拼成的大长方形周长为78厘米，四个正方形的面积和为242平方厘米，则每个小长方形的面积为（）A．11平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．48平方厘米3．球赛入场券有10元、15元、20元三种票价，老师用480元买了40张入场券，其中票价为10元的比票价为20元的多的张数是（）A．12 B．16 C．20 D．244．由方程组消去y后化简得到的方程是（）A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 5．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）A．25本B．20本C．15本D．10本6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．7．如图是某汽车公司销售点的环形分布图．公司在年初分配给A、B、C、D四个销售点某种汽车各50辆．在销售前发现需将A、B、C、D四个销售点的这批汽车分别调整为40、45、54、61辆，但调整只能在相邻销售点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动辆次n为（一辆汽车从一个销售点调整到相邻销售点为一次）（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知在代数式a+bx+cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）A．0个B．1个C．10个D．无穷多个9．对于任意的有理数a，方程2x2+（a+1）x﹣（3a2﹣4a+b）＝0的根总是有理数，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．010．已知关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0（a＜b）的两根为p、q（p＜q，且pq＞0），则一定有（）A．a＜p＜q＜b B．＞C．＜＜＜D．＜＜＜11．为了预防甲流，某班级准备300元钱，计划购入一批体温计．已知有两种体温计可供选购，其中水银体温计3元/支，电子体温计10元/支，由于水银体温计容易破裂且水银具有毒性，所以希望尽可能多地购买电子体温计．如果该班级共53名同学，且要求每位同学有一支体温计，则最多可购买电子体温计（）支．A．20 B．21 C．30 D．3312．初二（1）班有48名同学，其中有男同学n名，将他们编成1号、2号、…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（）A．22 B．24 C．25 D．26二．填空题13．已知p，q都是正整数，方程7x2﹣px+2009q＝0的两个根都是质数，则p+q＝．14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．15．初三某班共有60名同学，学号依次为1号，2号，…，60号，现分成A，B，C三个小组，每组人数若干，若将B组的小俊（27号）调整到A组，将C组的小芸（43号）调整到B组，此时A，C两组同学学号的平均数都将比调整前增加0.5，B组同学学号的平均数将比调整前增加0.8，同时B组中的小营（37号）计算发现，她的学号数高于调整前B 组同学学号的平均数，却低于调整后的平均数．请问调整前A组共有名同学．16．“十一”国庆期间，某一商品搞清仓促销活动，从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，若“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，则10月4日这一天收入元．17．某小区打算购买100盆花装饰花园，20人分三组刚好搬完（假设每人都需要搬），每组人的搬花量如下表，请问第一组可能有人．组别第一组第二组第三组每人搬花盆数 5 4 1018．在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放个检票口．19．某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动，准备租某种客车若干辆．如果每辆车刚好坐满（即每个人都刚好有一个座位），就会余下14个人；如果多准备一辆车，那么每辆车刚好都空1个座位，则这种客车每辆的乘客座位有个．20．甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花元．三．解答题21．解方程组：22．已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2+2＝0有两个实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若|x1|﹣|x2|＝2，求k的值．23．将一个三位数分成4个数，使得第一个数乘以2，第二个数除以2，第三个数减1，第四个数加2，得到的结果相等，若该三位数比这四个数中最大的数的2倍大59，求这三位数．24．a、b、c为正整数，关于x的方程ax2+bx+c＝0的两实根的绝对值都小于，求a+b+c 的最小值．25．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如，ab＝1求证：＝1证明：原式＝＝＝1波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？解：∵x＞0，＞0∴，即x，∴当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知ab＝1，求下列各式的值：＝；②＝．（2）若abc＝1，解方程＝1（3）若正数a、b满足ab＝1，求M＝的最小值．参考答案一．选择题1．解：方程变形得：（x+y）2+2y2＝34，∵34与2y2是偶数，∴x+y必须是偶数，设x+y＝2t，则原方程变为：（2t）2+2y2＝34，∴2t2+y2＝17，它的整数解为，则当y＝3，t＝2时，x＝1；当y＝3，t＝﹣2时，x＝﹣7；当y＝﹣3，t＝2时，x＝7；当y＝﹣3，t＝﹣2时，x＝﹣1．∴原方程的整数解为：（1，3），（﹣7，3），（7，﹣3），（﹣1，﹣3）共4组．故选：B．2．解：依题意，得：，整理，得：，（①2﹣②）÷2，得：ab＝24．故选：C．3．解：分别设三种票买了x、y、z张．则根据题意，得，由②，得：y＝40﹣x﹣z，③将③代入①，得：x﹣z＝24．故选：D．4．解：，由①，得x＝y+1③，将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0，化简，得2x2﹣2x+5＝0，故选：D．5．解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意，得：，解得：，答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．故选：C．6．解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，∴2022用算筹可表示为故选：C．7．解：根据题意可得：互不相邻两点B、D，B处至少调动5辆次，D处至少调入11辆次，两处之和至少16辆次，因而四个销售点调动至少16辆次，又A、B的数量减少，C、D的数量增加，所以从A调11辆到D，从B调1辆到A，调4辆到C，共调整了11+1+4＝16辆．综上，最少调动16辆次．故选：B．8．解：根据题意，得，由②﹣①，得4b+40c＝1，③∵a、b、c都是整数，∴③的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选：A．9．解：∵方程的△＝（a+1）2+8（3a2﹣4a+b）＝（5a﹣3）2+8b﹣8≥0，∴当8b﹣8≥0时，必定△≥0，即方程必有实根，∴b≥1，当b＝1时，3a2﹣4a+1＝（3a﹣1）（a﹣1），∴十字因式分解得方程为（x﹣a+1）（2x+3a﹣1）＝0，∴b＝1成立，当b＝2时，3a2﹣4a+b＝3a2﹣4a+2不能因式分解，∴方程有可能为无理数解，同理可得b＝﹣1以及0时，方程有可能为无理数解，故b的值为1．故选：A．10．解：设y＝（x﹣a）（x﹣b），则此二次函数开口向上，当（x﹣a）（x﹣b）＝0时，即函数与x轴的交点为：（a，0），（b，0），当（x﹣a）（x﹣b）＝1时，∵p、q是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0的两实根，∴函数与y＝1的交点为：（p，1），（q，1），根据二次函数的增减性，可得：当a＜b，p＜q时，p＜a＜b＜q，故＜＜＜当p，q同为负数不合题意，故＞不成立，故选：C．11．解：设可购买电子体温计x支，则需买水银体温计（53﹣x）支，由题意，得．10x+3×（53﹣x）≤300．解得：x≤20∴最多可购买电子体温计20支，故选：A．12．解：一半同学是48÷2＝24人，1号给3＝2+1名打电话，2号给4＝2+2名打电话，3号给5＝2+3名打电话，…n号给2+n＝24名打电话，所以n＝22，48﹣22＝26，该班有女生26名，故选：D．二．填空题（共8小题）13．解：x 1+x2＝x 1x2＝＝287q＝7×41×qx 1和x2都是质数则只有x1和x2是7和41，而q＝1所以7+41＝p＝336所以p+q＝337故填：33714．解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．15．解：设A，B，C组调整前的人数分别是n A，n B，n C，则A，B，C调整后的人数分别是n A+1，n，n C﹣1，B设A，B，C组调整前各组的号码之和分别为w A，w B，w C，则A，B，C调整后各组的号码之和分别为w A+27，w+16，w C﹣43，B根据题意得：由③得，n B＝20∴36.2＜＜37，即724＜w B＜740又∵n A+n B+n C＝60∴n C＝40﹣n A④整理得：由①得∴w C+w A＝2500﹣56n A又∵∴w B＝1830﹣（2500﹣56n A）＝﹣670+56n A∴724＜﹣670+56n A＜740解得∵n A为正整数，所以n A＝25所以本题答案为2516．解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得ax+（x﹣50）（a+50）+（x﹣100）（a+100）+（x﹣150）（a+150）+（x﹣200）（a+200）+（x﹣250）（a+250）+（x﹣300）（a+300）＝308700，化简整理，得7ax+1050x﹣1050a﹣227500＝308700，两边除以7，得ax+150x﹣150a﹣32500＝44100，所以（x﹣150）（a+150）＝54100．即10月4日这一天收入54100元．故答案为：54100．17．解：设第一组x人，第二组y人，第三组（20﹣x﹣y）人，由题意得：5x+4y+10（20﹣x﹣y）＝100∴x＝∵x，y为正整数，∴100﹣6y为5的整数倍，∴y＝5或10或15∴x＝14或8或2故答案为：14或8或218．解：设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；a+30b＝30c①，a+10b＝2×10c②，a+5b≤5×x×c，由①﹣②得：c＝2b，a＝30c﹣30b＝30b，30b+5b≤5×x×2b，即35b≤10bx，∵b＞0，∴在不等式两边都除以10b得：x≥3.5，答：至少要同时开放4个检票口．19．解：设准备客车x辆，每辆客车有座位x个，根据题意知：xy+14＝（x+1）y﹣x﹣1，得y＝x+15，又知xy＞900，即x（x+15）＞900，x2+15x﹣900＞0，解得：x＞或x＜（舍去）即x＞23.43，当x ＝24时，y ＝39，xy ＝936，当x ＝25时，y ＝40，xy ＝1000（不符合题意）即这种客车每辆的乘客座位有39个，故答案为：39．20．解：因为甲店实行每买5枝送1枝，所以小王先到甲店花5元钱买了6枝，剩下7枝到乙店购买，用去了7×0.85＝5.95，所以小王一共花了：5+5.95＝10.95元．故填：10.95．三．解答题（共5小题）21．解：由①得，（ x +y ）2＝9，则x +y ＝3或x +y ＝﹣3， 与②组成方程组和， 解得，，， 所以原方程组的解为，．22．解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△＝[2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝8k ﹣4≥0，解得k ≥．（2）∵x 1、x 2是方程x 2+2（k +1）x +k 2+2＝0有两个实根，k ≥，∴x 1+x 2＝﹣2（k +1）＜0，x 1x 2＝k 2+2＞0，∴（|x 1|﹣|x 2|）2＝x 12﹣2|x 1•x 2|+x 22＝x 12+2x 1x 2+x 22﹣4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（2）2＝20，∴[﹣2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝20，即8k ﹣24＝0，解得：k ＝3．故k 的值为3．23．解：设这个相等的结果为x ，则由三位数分成的四个数分别为：、2x 、x +1、x ﹣2，则这个三位数为：+2x +（x +1）+（x ﹣2）＝﹣1 ∴100≤﹣1＜1000 ∴≤x ＜∴四个数、2x 、x +1、x ﹣2中，2x 最大，由题意得：﹣1＝2×2x +59 ∴＝60∴x ＝120 ∴这个三位数为：×120﹣1＝539答：这个三位数为539．24．解：由于a ，b ，c 是正整数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根， 则判别式△＝b 2﹣4ac ≥0，若方程的两根设为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则由题设可得x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝， 则﹣＜x 1≤x 2＜0．令f （x ）＝ax 2+bx +c ，即有f （﹣）＞0， 即﹣b +c ＞0，且﹣＜﹣＜0．整理可得：2a ＞3b ，且a +9c ＞3b ，且b 2＞4ac即有2a ＞3b ＞18c ．结合前者，可知，最小为a ＝16，b ＝9，c ＝1．则a +b +c 的最小值为26．25．解：（1）①∵ab ＝1∴a＝∴原式＝+＝+＝1故答案为：1②∵ab＝1∴a＝原式＝+＝1故答案为：1（2）∵＝1，且abc＝1，∴+＝15x＝1x＝（3）∵正数a、b满足ab＝1∴b＝，a＞0，b＞0，∴a+＝（﹣）2+2≥2∵M＝＝＝＝1﹣∴当a+＝2时，M的值最小，∴M最小值＝1﹣＝2﹣2。
第八届“锐丰杯”数学竞赛(参考答案(最终3月22日))
第八届“锐丰杯”初中数学邀请赛参考答案一．选择题1．解：C2．解：D3．解：B111113131313===-为有理数。
当n为自然数时，考虑4n+与2n+是否有可能同时取到完全平方数，假设它们都是完全平方数，令24n x+=，22n y+=则有222x y-=，即()()2x y x y+-=，又因为,x y都是大于0的整数且x y>所以只可能2x y+=，1x y-=没有整数解，与假设矛盾，所以)n为自然数不是有理数。
故有三个有理数13，0.2012，113。
4．解：C因为()()136a bcb cac a b+++=++=，而361362183124966=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯。
当ABC为等腰三角形时，36136218312=⨯=⨯=⨯底边只能是c，当1c=时，此时对应的腰9a b==满足条件；当2c=时，此时对应的腰a b==满足条件；当3649=⨯时，只能3c=，此时对应的92a b==不符整数条件或3,6a b==不符合三角形形成条件；当3666=⨯时，5c=，此时对应的腰3a b==满足条件或者5,1a b==也满足条件；故有4种不同的面积。
5．解：CAMN的面积与梯形MNCB的面积之比为4:5且//MN AB则可知,M N都是三等分点且21AM ANMB NC==，连结AG则可知21AGCBGCS AMS MB==，21ABGBGCS ANS NC==，所以5ABC BGC AGC ABGS S S S=++=6．答案：C解：因奇平方数模8余1，偶平方数模4余0，若2012为两数平方和，即222012a b+=，而2012模8余4，模4余0。
则,a b只能为偶数.记112,2a ab b==，化为2211503a b+=，而503模8余7则无论11,a b 为奇数或偶数都不能满足条件.故k≥3.当k=3时，设2222012a b c ++=，则同上分析可知,,a b c 只能为偶数.记1112,2,2a a b b c c ===，化为222111503a b c ++=.而503模8余7则无论111,,a b c 为奇数或偶数都不能满足条件.故k≥4. 当k=4时，设22222012a b c d +++=，当,,,a b c d 都为奇数时，或都为偶数时有可能成立，可以找到一组解222221012422012+++= 因此，k 的最小值为4. 二．填空题 1． 512． 82正中央所形成的四边形也为正方形，边长为n，所以有213362n ⎛= ⎝⎭ 即26742n =，所以82n =。
浙江省九年级第五届“睿达杯”数学能力竞赛二试A卷答案
九年级二试参考答案及评分标准
一、选择题(共 10 小题，每小题 5 分，共计 50 分) 题 号 答 案 提示： 1．由 f (1) f (2) 0 ， 解得 a 2, b 4 . 1 D 2 A 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B 9 D 10 A
1 2 x 72 . 2 1 2 x 72 0 2 由 y 0 、z 0 得 ， 解得 6 x 12 ． x(15 x ) ( 1 x 2 72) 0 2 显然， x 为偶数，于是， x 的取值为 6，8，10，l2．
化简得 y
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(4 分)
(4 分)
AG DE ，即点 G 在过 A 且与 AC 成 60 角的定直线上运动，由垂线段最
短，得 CG 长度的最小值为 2 ． 15．(1) m 为奇数时: 由 a 2 3a1 1 3m 1 为偶数，知 a3
3
(第 14 题)
3m 1 ， 2
a4
3m 1 3(3m 1) 7 或 a4 1 7 ，解得 m 9 或 1 ，经检验 m 9 ； 4 2
S ABC
1 ab 1 ； 2
第 2 页 , c 2 3 ，由 a b 2( 2 舍去； ③ 若a b 2 此时， S ABC
2 ) 2 3 c ,不能构成三角形，
(4 分)
2 , c 2 3 ，由 a b 2(2 2 ) 2 3 c ，能构成三角形，
(4 分)
1 2 3 (2 2) 2 ( 3) 2 9 12 2 ． 2
综上， S ABC 1 或 S ABC
小中 2021第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛
小中 2021第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛小中-2021第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛第五届华罗庚金杯两岸四地初中数学精英邀请赛笔试一解析（小学中年级，时间：60分）一、填写问题一（每个问题8分，共32分）1.在我国长度计量单位中，1米＝3尺，1丈＝10尺，1千米＝2里，那么1里＝丈．回答：150供题：桦树湾教育尹飞分析：1公里=1000米=3000英尺=300英尺，所以1英里=150英尺2.六个等腰直角三角形如图摆放，那么四个空白三角形的面积之和是两个着色三角形面积之和的两倍供题：华杯北京管委会陈平解析：设最小的三角形面积是1份，那么6个三角形的面积从小到大依次是1、2、4、8、16、32份，（2＋4＋16＋32）÷（1＋8）＝63.足球队中，每队有11名球员，其中一名是守门员，不参与后卫中场前锋的组建知后卫人数在3-5人之间，中场人数在3-6人之间，前锋人数在1-3人之间，那么，按照后卫-中场-前锋人数来说，有种阵型．答案：8标题：巨星教育分析：枚举法：后卫数是3时，可以343,352,361；后卫数是4时，可以433,442,451；后卫数是5时，可以532,541；总计8种．4.游轮从上游a地到下游B地需要一个小时。
返回原航线时，将船速提高至原航速2倍，也需要1个小时．那么，如果游轮从a地出发时也采用2倍船速，需要分钟可以到达b地．答案：36问题：孙家军，学而思佩尤解析：由两次都是1小时可知，提速后逆水速度=原顺水速度，即原船速＋水速＝2×原船速－水速，如果水速为1股，则船速为1股，提速后为4股。
原下游速度为3股，需要60分钟；提速后，顺水速度是5份，用时3×60÷5＝36（分钟）．中小型组5-1二、填空题ⅱ（每题10分，共40分）5.桌面上有10张卡片，编号为1、1、2、2、3、3、4、4、5和5。
现在把这10张牌放好片打乱，并从左至右排成一排，然后数出夹在两个1之间的卡片数、两个2之间的卡片数、两个3之间的卡片数、两个4之间的卡片数和两个5之间的卡片数．这5个数总和的最大值是．答案：20问题：花树湾教育的程俊峰解析：把10张卡片从左至右依次编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，而两张卡片之间的卡片数=这两张牌的编号之差－1，问题转化成在这10个编号中选5个数做被减数，另5个做减数．最大是（10＋9＋8＋7＋6）－（5＋4＋3＋2＋1）－5＝20．6.如图所示，在5×5中，在表格的每个网格中填写一个自然数（自然数包括0），使得每个2×2方格所填四个数的平均数都是100．那么，整个5×5表格所填25个自然数的平均数的最小值是．答案：64提问：华北地区北京管理委员会陈平解析：每个2×2小方格4个数的和是400，取左上角、左下角、右4.右上下角2×2个小正方形。
简英第五届精英赛笔试二试卷初二
第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛笔试二试卷 (初二组)(2014年7月23日，60分钟)Fifth Hua Luogeng Golden Cup Juvenile TalentsMathematics Competition(July 23, 2014，60 minutes)题号 Number 1 2 3 4 5 6 总分 Total分数 Score 评阅人Teacher一、填空题 (每题20分, 共60分)Fill Blanks (20 points for each, 60 points in total)1. 已知m 和n 是有理数, 且 ()361232+=+n m , 则 =+22n m .Let m and n be rational numbers satisfying ()361232+=+n m , then =+22n m .2. 若实数 x , y , z 和m 满足 5||242||2222222--+++≤+++m z y y m xy m z y x , 则()=+21||m xyz. If 4 real numbers x , y , z and m satisfy the inequality5||242||2222222--+++≤+++m z y y m xy m z y x ,then ()=+21||m xyz.3. 正方形ABCD 的边长为2, O 是其对角线的交点. 以其四个顶点为圆心和对角线长的一半为半径画4个四分之一圆, 和正方形4条边的交点分别是E , F , G , H , M , N , P , Q, 如右图所示. 那么阴影部分的总面积等于 .（圆周率记作π）In the right figure, ABCD is a square of side length 2, O is the intersection point of its diagonals. Draw 4 quarter-circles of radius being a half length of the diagonal, with centers at A , B , C and D , respectively. They intersect 4 sides of the square at points E , F , G , H , M , N , Pand Q . Then the total area of shaded parts in the figure is . ( Denote t he circumference ratio by π.)二、解答题 (每题20分, 共60分)Solve Problems (20 points for each, 60 points in total)4. 若52-n 和18+n 都是完全平方数, 则整数n 的最大值是多少?If 52-n and 18+n both are perfect squares, please find the greatest value of integer n .学校____________ 姓名_________ 参赛证号 联系电话 电子邮件密 封 线 内 请 勿 答 题5.右图是一个轴对称图形, 其中圆O的半径为1, 正方形ABCD和等边三角形AEF的顶点都在圆上. 问: 正方形ABCD和等边三角形AEF重合部分的面积是多少?The right figure shows an axially-symmetric graph. Here circle O isof radius 1, all vertices of square ABCD and regular triangle AEF arelocated on the circle. Find the area of overlapped part of triangle AEF and square ABCD. 6.在正方体的8个顶点处分别放置1个实数, 与每个顶点相邻的3个顶点处的3个数的乘积分别是40, 18, 56, 24, 48, 70, 144和140. 问：这8个实数中最大和最小者各是多少?A cube has 8 vertices, on which there are 8 real numbers placed separately. It is knownthat the products of three real numbers on the 3 vertices next to each vertex are 40, 18, 56, 24, 48, 70, 144 and 140 respectively. Please find the maximum and minimum of these 8 real numbers on vertices.。
初中竞赛数学第四届“创新杯”数学邀请赛(复试)初中一年级试题(含答案)
第四届“创新杯”数学邀请赛（复试）初中一年级试题一、选择题（每小题5分，共40分）1．若有理数a，b，c满足abc=-2005，a+b+c=1，则a，b，c中负数的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）32．根据图1中骰子的三种不同状态显示的数字，推出x处的数字是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）6（1）（2）3．如图2，∠1=65°，∠2=85°，∠3=60°，∠4=40°，则∠5=（）（A）45°（B）50°（C）55°（D）60°4．n个连续自然数按规律排成下表：0 3→4 7→8 11 …↓↑↓↑↓↑1→2 5→6 9→10这样，从2003到2005，箭头的方向应为（）（A）↑→（B）→↑（C）↓→（D）→↓5．甲、乙两人连续7年调查某县养鸡业的情况，分别提供的信息如下图所示：可得到的正确判断是（）（A）该县第2个养鸡场产鸡的数量为1．3万只（B）该县第2个养鸡场产鸡的数量低于第一年养鸡场产鸡的数量（C）该县这7年养鸡场产鸡的数量逐年增长（D）这7年中，第5年该县养鸡场产鸡的数量最多6．平面上六条直线两两相交，其中仅有3条直线经过同一点，•则它们彼此截得不重叠线段有（）条．（A）36 （B）33 （C）24 （D）217．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（1，1），C（4，1），将△ABC•向右平移4个单位，得△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点A′逆时针旋转90°，得到△A″B•″C″，则点C″的坐标是（）（A）（9，4）（B）（8，5）（C）（5，2）（D）（4，9）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A•～F•共16个计数符号．这些符号与十进制的对应关系如下表：例如，用十六制表示：E+D=1B．则A×B（）（A）6E （B）72 （C）5F （D）B0二、填空题（每小题5分，共40分）9．设p，q均为质数，且p+q=99，则p、q的积pq=________．×（x+1）=1的解是x=______．10．定义运算：○×：x○×y=x·（y-x），则方程（x-1）○11．现有A，B两个班级，每个班级各有45名学生参加测试，每位参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这10种不同分值中的一种，测试结果A 班如表，B 班如图3所示，•若两班合计共有60人合格，则合格的分数线是________分．12．如图4，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE ，垂足为E ，ED ∥AC ，∠BAE=36°，•那么∠BED=_________度．（3） （4） 13．计算：[（11+14+17）-（12+23+29）]÷[（11-34-37）-（12-23-29）]=________． 14．某文具店只有8元一支和9元一支两种规律的钢笔，甲、乙两人到该店购买钢笔，已知两人购买的支数相同，且一共花费了172元，则每人在该店购买了______支钢笔． 15．一只蚂蚁从原点出发，在数轴上爬行，向右爬行12个单位长度后，向左爬行22个单位长度；再向右爬行32个单位长度后，向左爬行42个单位长度．这样一直爬下去，最后向右爬行92个单位长度后，向左爬行102个单位长度，到达A 点则A 点表示的数是____． 16．假设a ，b ，c ，d 都是不等于0的数，对于四个数ac ，-bd ，-cd ，-ab ，考察下述说法： ①这4个数全是正数； ②这4个数全是负数；③这4个数中至少有一个为正数； ④这4个数中至少有一个为负数； ⑤这4个数的和必不为0其中正确说法的序号是______．（把你认为正确说法的序号都填上） 三、解答题（第17、18题各20分，第19题30分，共70分）17．如图是德国1998年发行的纪念在柏林召开的国际数学家大会的邮票，它的图案是一个长方形，这个长方形被分割成大小各不相同的11个正方形．如果这个分割图中所有的正方形的边长都是整数，•那么这个长方形的周长最小是多少？18．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A ，B 的坐标分别为（0，a ）和（9，a ），•点E 在AB 上，且AE=13AB ，点F 在OC 上，且OF=13OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为20，△GFB•的面积为16，试求a 的值．19．某租赁公司拥有100辆汽车．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．•当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月公司需要维护费150元，未租出的车每辆每月公司需要维护费50元．（1）已知1月份每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？（2）已知2月份的维护费开支为12900元，问该月租出了多少辆车？（3）比较1、2两月的月收益，哪个月的月收益多？多多少？（4）试推测，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？（第4问只要求写出结果，不要求写出推算过程）．（注：月收益等于该月的租金与维护费之差）．参考答案一、1．B 2．D 3．B 4．D 5．D 6．D 7．A 8．A 二、9．194 10．32 11．4 12．126 13．142514．10 15．-55 16．③，④三、17．设最小、次小和中间小正方形的边长依次为x ，y ，z （如图，正方形边长均写成正方形内），则其它正方形的边长如图所示，从而，最大正方形的边长为x+3y+2z=3y+8x-z ， 化简得：7x=3z ． ① 又考虑长方形的宽，可得 6x+5y+2z=3x+8y+z ， 化简得：3x-3y+z=0 ② 由①，②得：73,169.x z x y =⎧⎨=⎩由于x ，y ，z 都是正整数，则x 的最小值为9，从而y 和z 的最小值依次为16，21，•此时长方形的邻边长分别为： 9x+6y=177， 6x+5y+2z=176．因此所求最小周长为（177+176）×2=706．18．设G 之坐标为（0，b ），b>0，∵S 长方形OABC -S △GEC =S △OGC +S △AGE +S △BEC ． ∴9a-20=12·9b+12·3（a-b ）+12·6a ． 解得b=32a-203． 同理，∵S 长方形OABC -S △GFB =S △ABG +S △OGF +S △BFC ． ∴9a-16=12·9（a-b ）+12·3b+12·6a ， 化简得3a=32-6b ． 将b=32a-203代入上式得 3a=72-9a ，解得a=6．19．（1）月租金为3600元时，未租出的车辆数为（3600-3000）÷50=•12，•故租出了100-12=88辆．（2）设2月份租出了x 辆，则 150x+50（100-x ）=12900，解得x=79，因此2月份租出了79辆车．（3）1月份的收益为（3600-150）×88-50×12=303000元，2•月份的月收益为3000+50×21=4050元，所以2月份的月收益为4050×79-12900=307050元， 故2月份收益多，多4050元．（4）月租金为4050元时，收益最大．。
2017全国初中数学邀请赛
一、选择题（每小题7分，共35分）1.已知m>2，直线l 1：22m y x m-=+，直m 线l 2：y=－x+2m 与y 轴围成的三角形面积为30.则m 的值为（ ）.（A ）6 （B ）12 （C （D ） 2.已知五个互不相同的正整数之和为10001.则这五个正整数的最小公倍数的最小值为（ ）.（A ）2016 （B ）4032 （C ）2130 （D ）43803.记[x]表示不超过实数x 的最大整数设数列{}n a 满足a 1=1，n a = .则a 2017的值为（ ）. （A ）2015 （B ）2016 （C ）2017 （D ）20184.在四边形ABCD 中，AB=2，BC=3，CD=1，∠ABC=75°，∠BCD=120°.则∠CDA=（ ）.（A ）45° （B ）60° （C ）75° （D ）90°5.将1，2，…，9这九个数分别填入3×3的方格表中，使得相邻（具有公共边）两格中的数之差的绝对值之和达到最大.则此最大值为（ ）.（A ）57（B ）58（C ）59（D ）60二、填空题（每小题7分，共35分）6.求所有满足方程组[x 3+9x 2y=10，①1y 3+xy 2=2， ②的实数对（x ，y ）=7.在八进制的十位自然数中能被7整除且各位数字均为0或5的自然数有 个.8.若a 、b 、c 为不同的整数，则3a 2+2b 2+4c 2－ab －3bc －5ca 的最小值为 .9.如图1，在△ABC 中，AB=9，BC=8，CA=7，⊙O 1经过点A ，且与直线BC 切于点B ，⊙O 2经过点A ，且与直线BC 切于点C.设⊙O 1与⊙O 2除点A 之外的另一个交点为D.则AD=10.已知二次三项式ax 2+bx+b 的一个根与二次三项式ax 2+ax+b 的一个根的乘积等于1.则这两个根的平方和为三、解答题（每小题20分，共80分）11.已知二次函数y=x 2+2mx －3m+1，自变量x 及实数p 、q 满足221492,312p q x pq +=+= ，且y 的最小值为1.求m 的值. 12.已知正整数N 恰有九个正约数，其中三个正约数a 、b 、c 满足a+b+c=2017，ac=b2.求N 的值.13.如图2，△ABC的内切圆⊙I与边BC、CA、AB的切点分别为A1、B1、C1，△BC1B1，的外接圆⊙O1，与直线BC交于另一点K，△CB1C1的外接圆⊙O2与直线BC交于另一点L证明：C1L、B1K、A1I三线共点.14.已知半径为1的圆的内部共有130个互不相同的点，任意两点间有直线段联结.证明：这些直线段中至少有20173.如图1，在边长为10的正六边形ABCDEF中，H为边DE的中点，G为边BC上的一点，满足∠AGB=∠CGH.则五边形AFEHG的面积为4.已知甲、乙两个施工队各有若干名工人.若甲队借调给乙队90名工人，则乙队的工人总数将为甲队的2倍；若乙队借调给甲队若干名工人，则甲队的工人总数将为乙队的6倍.甲施工队原来最少有名工人.5.在平面上有200个点，任何三个点均不共线，且每个点均标注了数1、2、3中的一个，将标有不同数的所有点对均用线段联结，每条线段上均标注一个数1、2或3，此数与该线段端点标注的数不同，结果呈现出写在平面上的三个数1、2或3中的每一个均恰有n次.则n的值为二、（15分）能否选出10个连续的偶数，且将其分为五个对子（a k，b k）（k=1，2，…，5），使得方程x2+a k x+b=0（k=1，2，…，5）均具有整数根？若能，试举一例；若不能，请说明理由.三、（15分）如图2，D为锐角△ABC内一点，使得∠ADB=∠ACB+90°，且AC·BD=AD·BC，延长AD、BD、CD，分别与△ABC的外接圆Γ交于点G、E、F.证明：（1）EF=FG；（2）1 EFGSSπ∆ΘΓ=四、（15分）（1）证明：2018可表示为两个正整数的平方和；（2）证明：存在这样的三角形，可把它分割为2018个全等的三角形..。
初中数学(初一)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)
初一数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数|，则必有|或|．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例题与求解【例1】已知三个质数，，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江苏省竞赛试题) 解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为( )A．质数B．可为质数，也可为合数C．合数D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．⑵若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A级1．若，，，为整数，=1997，则=________．2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )A．4B．8C．12D．06．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有()A．1个B．3 个C．5个D．6 个(“希望杯”邀请赛试题) 8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B级1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，=×，则的值为__________．3．自然数，，，，都大于1，其乘积=2 000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题) 4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 5．若，均为质数，且满足＋=2 089，则49－=_________．A．0B．2 007C．2 008D．2 010(“五羊杯”竞赛试题) 6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是()A．，都是质数B．，都是合数C．，一个是质数，一个是合数 D．对不同的，以上皆可能出现(江西省竞赛试题) 7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴6个数中任意两个都互质；⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x ＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。
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P
B
C
A
D
A B
C D
A1 C1 B1
D1
P
N
M
F
ED
C
B
A
第七届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题
(满分150分)
一． 选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，每题有且只有一个答案）
1．化简23215215得（ ）
A215 B215 C5 D35
2．如图，已知P是正方形ABCD内一点，PBC是等边三角形，
若PAD的外接圆半径为a，则正方形ABCD边长为（ ）
A．1 2a B．32a C．a D． 2a
3．函数277ykxx的图像和x轴有交点，则k
A．74k B．74k C．74k且0k D． 74k且0k
4．对于一个正整数n，若能找到正整数,ab使得nabab，则称n为一个“好数”，例如：
31111
，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有( )．
A 8个 B 10个 C 12个 D 13个
5．凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等。则四边形ABCD
一定是（ ）
A 正方形 B 菱形 C 等腰梯形 D 矩形
6. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，一蚂蚁从A点
出发，沿长方体表面爬到C1点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为（ ）
（A）14 （B）32
（C）25 （D）26
二． 填空题（本大题共6小题，每小题9分，共54分
7．.已知直线32xy与抛物线2xy相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积
等于__ .
8. 如图，正六边形ABCDEF中，P是ED上一点，直线DC与射线,APAB
相交于,.MN，当AMN面积与正六边形ABCDEF面积相等时，
EP
PD
座位号
9. 已知三个非负实数cba,,满足：523cba和132cba，若cbam73，则m的最小值为
10．满足方程532xx的x的取值范围是
11．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程21x时，突发奇想：21x在实数范围内无解，
如果存在一个数i，使21i，那么若21x,则xi，从而xi是方程21x的两个根。据此可知：①i可以运算，
例如：321iiiii，则 2011i ，②方程2220xx的两根为 （根用
i
表示）
注：①问空3分，②问空6分
12．已知对任意正整数n都有3123naaaan，则
2342011
1111
1111aaaa
三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分)
13．规定符号[]x表示不超过x的最大整数，例73.13,3,663，
求：方程22xx大于3的x的解
14．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，
6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．
（1）求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）连结BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；
（3）连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与
△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
y
xO
A
B
C
D
E
M
15. 如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作1DDAB、
1
EEAB
，垂足分别为1D、1E．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，
（1）如图（1），当∠ACB＝90°，AC=4，BC=3时，求11DDEE的值；
（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，11DDEE的值为定值；
（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．
E
1
D1FA
B
G
C
E
D
图（1）
E1D1FAB
G
C
E
D
图（2）
E
1
D1FAB
G
C
E
D
图（3）