课题学习(第一课时)
数学人教版八年级下册《课题学习方案设计》
课题学习·方案设计教案学科：数学年级：八年级执教人：李方莉时间5月16 日第16 周第1课时课题19.3课题学习选择方案（第一课时）课型新授教学目标1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．3、让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．教学重点 1.建立函数模型。
２．灵活运用数学模型解决实际问题。
教学难点教学设计学习过程1、例题讲解小刚家因种植反季节蔬菜致富后，盖起了一座三层楼房，现正在装修，准备安装照明灯，他和他父亲一起去灯具店买灯具，灯具店老板介绍说：一种节能灯的功率是10瓦(即0.01千瓦)的,售价60元．一种白炽灯的功率是60瓦(即0.06千瓦)的,售价为3元．两种灯的照明效果是一样的．使用寿命也相同（3000小时以上）父亲说：“买白炽灯可以省钱”．而小刚正好读八年级，他在心里默算了一下说：“还是买节能灯吧”．父子二人争执不下，如果当地电费为0.5元／千瓦.时，请聪明的你帮助他们选择哪种灯可以省钱呢？问题1节省费用的含义是什么呢？哪一种灯的总费用最少问题1节省费用的含义是什么呢？灯的总费用=灯的售价+电费电费=0.5×灯的功率(千瓦)×照明时间(时)问题3 如何计算两种灯的费用?设照明时间是x小时, 节能灯的费用y1元表示，白炽灯的费用y2元表示，则有：y1＝60＋0.5×0.01x; y2 =3+0.5×0.06x .观察上述两个函数若使用节能灯省钱,它的含义是什么？y1＜y2若使用白炽灯省钱,它的含义是什么？y1＞y2若使用两种灯的费用相等,它的含义是什么？? y1＝y2若y1＜y2，则有60＋0.5×0.01x＜3+0.5×0.06x解得：x>2280即当照明时间大于2280小时，购买节能灯较省钱若y1＞y2，则有60＋0.5×0.01x＞3+0.5×0.06x解得：x＜2280即当照明时间小于2280小时，购买白炽灯较省钱．•若y1＝y2，则有60＋0.5×0.01x＝3+0.5×0.06x解得：x＝2280即当照明时间等于2280小时，购买节能灯、白炽灯均可．解：设照明时间是x小时, 节能灯的费用y1元表示，白炽灯的费用y2元表示，则有：y1 ＝60＋0.5×0.01x;y2 =3+0.5×0.06x .若y1＜y2 ，则有60＋0.5×0.01x＜3+0.5×0.06x解得：x>2280即当照明时间大于2280小时，购买节能灯较省钱．若y1＞y2，则有解得：x＜2280即当照明时间小于2280小时，购买白炽灯较省钱．若y1＝y2，则有60＋0.5×0.01x＝3+0.5×0.06x即当照明时间等于2280小时，购买节能灯、白炽灯均可．能否利用函数解析式和图象也可以给出解答呢？解：设照明时间是x 小时, 节能灯的费用y 1元表示，白炽灯的费用y 2元表示，则有：y 1 ＝60＋0.5×0.01x ; y 2 =3+0.5×0.06x . 即： y 1 ＝0.005x ＋60 y 2 =0.03x + 3由图象可知，当照明时间小于2280时， y 2 <y 1，故用白炽灯省钱；当照明时间大于2280时， y 2>y 1，故用节能灯省钱；当照明时间等于2280小时， y 2＝y 1购买节能灯、白炽灯均可． 方法总结1、建立数学模型——列出两个函数关系式2、通过解不等式或利用图象来确定自变量的取值范围。
《课题学习—高度测量(第一课时)》教学设计
《课题学习—高度的测量(第一课时)》教学设计石狮石光华侨联合中学刘宏志一、教材分析：二、教学流程：附一：预测学生可能会设计的方案数学原理：三角形相似附二：教师示例和学生课堂练习材料问题：请设计一种方案，测量学校旗竿的高度。
测量旗竿的高度方案（1）1、工具：皮尺2、测量过程：（1）测量出绳子比旗竿长的部分，（2）把绳子拉直，测量出绳子移动的长度。
（3）画出图形。
（4）利用相关的数学知识计算（5）示例：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
3、数学原理：勾股定理测量方案（在以上方案中选择）：测量的物体：测量时间：一起测量的同学名单：测量后所得的数据：计算过程和结果：友情提示：采用同一种方案，要多测量几次，计算后取平均值，降低误差。
附三：《课题学习—高度的测量(第二课时)》上课思路:1.组织学生介绍、交流、整改设计方案2组织学生实地测量,然后返回教室计算3.选择最佳方案解答生活中的实际问题三、教学设计说明：1、主线：授人于鱼授人于渔悟其渔识。
“渔识”主要靠“悟”而不是“授”。
既有自发的悟，又可有意识地进行悟。
学生自发的悟，可能要多花时间，多走弯路。
我们在授人以鱼、授人以渔时，要有意识地分阶段引导学生去悟。
例如本课设计中，第一境界是一个小型实际问题（利用勾股定理解答）直接给学生（授人于鱼）。
第二境界是引导学生去探索如何自主设计模型，寻找解决的策略（授人于渔）。
第三境界是给学生一个具体的情景，发散思维，大胆的去设计方案，在这过程中渗透转化、建模的数学思想，使学生从中感悟到将来遇到新问题可采取的方法——构造数学模型，进而逐步形成自己的见识。
授人以鱼、授人以渔、悟其渔识三重境界是我们教学的必经过程，是教学的三个阶段。
2、灵活整合教材资源：新课程教材的编排对内容呈现的顺序不作限定，为教材的多样化和教师创造性地教学法留下了较大的空间。
13.4《最短路径问题(1)》教案
13.4《最短路径问题（1）》教案13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）13.4.1 将军饮马问题一、教学目标(一) 学习目标1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题.（三）教学难点教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.二、教学过程（一）课前设计1．预习任务前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等的问题，我们称它们为问题．【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径2．预习自测⑴如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是.【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备. 【知识点】两点之间、线段最短【答案】②，两点之间，线段最短（或者三角形中两边之和大于第三边）⑵已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小. 【知识点】两点之间线段最短【思路点拨】依据“两点(直线异侧)一线型”，和“两点之间，线段最短”，则师：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：问题1. 如图，A为马厩，B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？【知识点】两点之间线段最短【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点C，到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线，则AC+BC 的最小值为线段AB的值.此情况可简称为“两点(直线异侧)一线型” .【答案】如图，则点C就是所求点，即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:●活动②整合旧知，探究新知师：问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A 位于河的同侧.如图，牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这就是著名的“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？l将问题2抽象为数学问题：如图，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l 上找到一点C，使AC与BC的和最小？【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线. 则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小”的数学问题. 此情况可简称为“两点(直线同侧)一线型”.【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.3．尝试解决数学问题●活动③大胆猜想，建立模型【解题过程】（1）作点B关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．【答案】如图，则点C就是所求的点，即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.学生若有困难，教师可作如下提示：⑴若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小；⑵现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB= CB′ ?⑶你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点B′吗？【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路. 通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.4．证明AC +BC“最短”●活动④反思过程，验证新知证明“最短作图”的正确性：追问1 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′，∴AC+BC=AC+C B′=AB′，AC′+ C′B= AC′+ C′B′．又在△AB′C′中，AB′﹤AC′+B′C′，∴AC+BC﹤AC′+BC′，即AC +BC 最短．●活动⑤集思广益，理解新知追问2：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.追问3：回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.●活动⑥反思总结，归纳新知【方法归纳】1、“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.练习有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A→B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置.(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）将树顶C，D抽象为两个点，将路径A→B抽象为一条直线；（2）如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点.【思路点拨】本题为“同侧两点一线型”，通过“作D关于AB的对称点D′”转化为“异侧两点一线型”，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，则点E就是所求的点.师：海伦善于观察与思考，一天他在旅游途中遇到了一个不同情景的“将军饮马问题”：探究二“一点两线型”的最短周长问题问题3. 如图，有一条河流和一块草地，马厩A 建在河流和草地所成的∠MON 内部.牧马人某一天要从A 牵出马，先到笔直的草地边牧马，再到笔直的河边饮马，然后回到马厩A . 请你帮他确定马这一天行走的最短路线. 【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短 【数学思想】转化、类比【解题过程】分别作点A 关于OM 、ON 的对称点A ′、A ′′，连接A ′A ′′分别交OM 、ON 于E 、F ，此时△AEF 周长有最小值；【思路点拨】（1）将OM ，ON 抽象为两条相交的直线，将马厩A 抽象为一个点；（2）抽象为数学问题：如图，点A 在∠MON 内部，试在OM 、ON 上分别找出两点E 、F ，使△AEF 周长最短；（3）当AE 、EF 和AF 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小，类比“探究一”作图.求三角形周长最短，即求AE +EF +AF 的最小值为A ′A ′′的值，根据轴对称的性质得AE =A ′E ，AF =A ′′F ，再由“两点之间，线段最短”解决.此情况简称为“一点两线型”. 【答案】作图如图1， 则此时点E 、F 使△AEF 周长有最小值．图1E D CA''A'ONM A图2FED CA''A'O NM AE'F'师：能不能类比探究一，证明一下“周长最短作图”的正确性：【理由简要分析】如图2，在OM 上任取一个异于E 的点E′，在ON 上任取一个异于F 的点F′，连接A E′，A ′E′，E′F′，A ″F′，A F′，则A E′＝A ′E′，A F′＝A ″F′，且A ′E′＋E′F′＋F′A ″＞A ′A ″=A ′E ＋EF ＋FA ″= AE ＋EF ＋FA ，所以△AEF 的周长最小，故E ，F 就是我们所求使△AEF 周长最短的点． 练习 如图所示，点P 为∠AOB 内一点，P 1、P 2分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于点E ，交OB 于点F .若P 1P 2=9，则△PEF 的周长是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 【知识点】轴对称知识【解题过程】因为P 1、P 2分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，根据轴对称的性F质得PE= P1E，PF=FP2，所以PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9 .【思路点拨】根据轴对称知识，PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F= P1 P2，故答案选C.【答案】C师：回到家的海伦继续思考：如果在草地和河流所成的区域里有马厩和帐篷，又怎样设计行走的最短路线呢？探究三“两点两线型”的最短路径问题问题4 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l饮马，然后回到帐篷B.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】(1) 作点A关于MN的对称点A′，作B点关于l的对称点B′；(2)连接A′B′，分别交MN于点C、交l于点D，则沿A→C→D→B的路线行走，马一天行走的路程最短．【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB 的最小值为A′B′的值，根据轴对称的性质得CA=CA′，DB=DB′，再由“两点之间，线段最短”即可解决.此情况简称为“两点两线型”.【答案】如图所示，牧马人沿A→C→D→B的路线行走，所行走的路线最短.练习某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图1所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再去拿糖果，然后到D处座位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.(保留作图痕迹，不写作法)图1图2【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】作法：(1)作点C关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA于P、交OB于Q，那么当小明沿C→P→Q→D 的路线行走时，所走的总路程最短.【思路点拨】“两点两线型”求路径最短，所求CP+PQ+QD的最小值为线段C1D1的值.【答案】作图如图2，小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短. 【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的综合能力.【方法归纳】“一点两线型”求三角形周长最短问题，先作点分别关于两直线的对称点，再连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形. “两点两线型”，也可以为求四边形CPQD的周长最短问题，类比“一点两线型”即可解决.3. 课堂总结师：让我们共同回顾一下古希腊著名的学者海伦所遇到的“将军饮马问题”，总结一下他所解决“最短路径问题”的所用的原理与方法.知识梳理1、利用轴对称知识解决最短路径问题，主要依据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”；2、运用轴对称的知识将“不在同一条直线上的两条线段”转化到“同一条直线上”，然后用“两点之间线段最短”解决问题.重难点归纳：最短路径问题的主要类型▲问题作法图形原理类型一lAB直线异侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小连接AB，线段AB与直线l的交点就是点P.lPABPA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短lBA⑴作点B关于直线l 的对称点B′；PA+PB的最类型二直线同侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小.⑵连接AB′，与直线l相交于点P．则点P即为所求．（同样可作点A的对称点）lPB'BA小值为AB′的值，PB=PB′，两点之间，线段最短类型三O BAP两条相交直线所成的角内有一点P：分别在边OA、OB上求一点E、F，使△EFP的周长最小.⑴分别作点P关于直线OA、OB 的对称点P′、P′′；⑵连接P′P′′，与直线OA、OB分别交于点E、F．则点E、F为所求的点．FEDCP''P'O BAPPE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，PE=P′E，PF=FP′′，两点之间，线段最短.类型四PABOQ两条相交直线所成的角内有两点P、Q：分别在边OA、OB上求一点M、N，使得四边形MNPQ的周长最小.⑴作点P、Q分别关于直线OA、OB 的对称点P′、Q′；⑵连接P′Q′，与直线OA、OB分别交于点M、N．则点M、N为所求的点．NMQ'P'PABOQPM+MN+MQ的最小值为P′Q′的值，PM=P′M，NQ=NQ′，两点之间，线段最短.（三）课后作业基础型自主突破1.如图，若将河看作直线l，河的同侧有两个村庄P、Q.现要在l上的某处修建一个水泵站，分别向P、Q两个村庄供水，图中实线表示铺设的管道，下面的四种修建方案中，所需管道最短的是（）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）作点P关于直线l 的对称点P′；（2）连接QP′，与直线l相交于点M；则在l上的点M修建一个水泵站所需管道最短．【思路点拨】根据“两点一线型”的最短路径模型，故选D.【答案】D2.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使得点P到点A、点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A. （-2 ，0）B.（4 ，0）C. （2 ，0）D.（0 ，0）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】如图，作点B 关于x轴的对称点B′（4，-2），过点A作AC⊥x 轴，B′C⊥y轴于E，AC和B′C相交于点C，连接A B′ 交x轴于点P，交y轴于点D∵A（-2，4），B′（4，-2）∴C（-2，-2），E（0，-2），AC=B′C=6. 又∵AC⊥B′C，∴∠CA B′=∠A B′C=45°. ∵DE∥AC，∠DE B′=90°，∴∠ED B′ =∠DB′E=45°，∴DE =EB′=4，D（0，2）.同理可得∠OD P =∠OP D =45°，OP=OD=2 ，∴P（2，0）【思路点拨】在直角坐标系中抽出“两点一线型”的最短路径模型：在直线x轴的同侧有点A和点B点，在直线x轴上找一点P，使PA+PB最小.作图如图，再由图可构造得等腰直角△AC B′，求出坐标.【答案】C3.如图，等边△ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的一点.若AF=3，当EF+EC取得最小值时，∠ECF的度数是（）A.15°B.22.5°C.30°D.45°【知识点】等腰三角形的“三线合一”、轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）因为等边△ABC的边长为6，又AF=3，所以点F为AC中点.取AB中点F′，则点F与点F′关于直线AD对称；（2）连接CF′，与直线AD相交于点E，此时EF+EC取得最小值.因为CF′是等边△ABC的边AB上的中线，所以CF′平分∠ACB，则∠ECF的度数是30°.（做题前应先忽略原图中的点E，如图1，再根据“两点一线型”的最短距离的模型作图，如图2：）【思路点拨】分离出点F、点C和直线AD，找出“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键.连接CF′（或者连接BF）与直线AD交于点E，此时EF+EC取得最小值为CF′（或者BF），但题目要求∠ECF的度数，则只能连接CF′，根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.【答案】C4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，且BD⊥CD，∠ADB=∠C. 若P是BC边上的动点，则DP长的最小值为. 【知识点】等角的余角相等、角平分线的性质、垂线段最短【解题过程】过点D作DP⊥BC于P，∵∠A=90°，BD⊥CD，∴△BAD和△BDC都是直角三角形. 又∵∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠DBC. ∴BD是∠ABC 的平分线，∴垂线段DP=DA=3.【思路点拨】由题意可得△BAD和△BDC都是直角三角形，又因为∠ADB=∠C，所以∠ABD=∠DBC，则BD是∠ABC的平分线，根据“垂线段最短”和“角平分线的性质”求出DP长的最小值为3.【答案】35.如图，要在河道l边上建立一个水泵站，分别向A、B两个村庄引水，水泵站建在河道的什么地方，才能使输水管道最短？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）将村庄A、B两地抽象为两个点，将河道l抽象为一条直线；（2）作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l相交于点C.【思路点拨】“两点(直线同侧)一线型”，在直线l上找一点C，使AC+CB′最小，AC+CB′的最小值为线段AB′的值，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，点C即为水泵站建所在的位置：6.已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连接P′P′′交OA于E、交OB于F，此时△PEF周长有最小值，即乙站在E处、丙站在F处使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮路程和最短，所用的时间也最少.【思路点拨】甲、乙、丙三人的传球速度相同，则当路程和最短时所用的时间最少，这样就转化为“一点两线型”求三角形周长最短问题.在OA、OB上分别找点E、点F，PE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，根据轴对称的性质得PE=P′E，PF=FP′′，再由“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图所示，因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以当乙站在OA上的E处，丙站在OB上的F处时，才能使传球所用时间最少．能力型师生共研7.八年级（6）班同学做游戏，在活动区域边放了一些球（如图），则小明按怎样的线路跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】作“小明”关于小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交直线OP于点B，则按“小明”→B→A的线路跑，去捡B处的球，才能最快拿到球跑到目的地A.【思路点拨】“两点(直线同侧)一线型”，在直线l上找一点B，使AB+BA′最小，AB+BA′的最小值为线段AA′的值，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，小明行走的路线是:“小明”→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.8.如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=6cm，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的判定【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，此时△PMN周长有最小值= P1P2，∵根据轴对称的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，OP1 = OP =O P2，∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AOB= 2×30°=60°，∴△P1OP2为等边三角形，∴P1P2= OP1 =O P2 =6cm，即△PMN周长的最小值为6cm.【思路点拨】该题属于“一点两线型”求三角形周长最短问题，所求△PMN周长PM+MN+PN的最小值为P1P2的值；根据轴对称的性质可求得∠P1OP2=60°，OP1 = OP =O P2，△P1OP2为等边三角形，P1P2=6cm.【答案】6cm探究型多维突破9、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m. (1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处；(保留作图痕迹，不写作法)(2)求出最短路程.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、全等三角形的判定【解题过程】(1)作法：①如图作点A关于CD的对称点A′；②连接A′B交CD 于点M. (2)由(1)可得直线CD是点A与点A′的对称轴，M在CD上，∴AM＝A′M，A′C＝AC，又∵AC＝BD，∠A′CM=∠BDM=90°，∠A′MC=∠BMD，∴△A′CM≌△BDM，∴CM＝DM，A′M＝BM，∴M为CD的中点，且A′B＝2AM，∵AM＝500 m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程1000 m. 【思路点拨】⑴该题为“两点(直线同侧)一线型”求最短路径问题，在直线l上找一点M，使A′M+MB最小，A′M+MB的最小值为线段A′B的值，再根据“两点之间，线段最短”解决;⑵由条件“AC＝BD”可推出△A′CM ≌△BDM，从而得到最短距离A′B=2AM=1000m【答案】(1)如图，点M即为所求的点; (2) 最短路程为1000 m.10.如图，在五边形ABCDE中，①在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；(保留作图痕迹，不写作法)②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短，三角形的内角（外角）知识【解题过程】①取点A关于BC的对称点P、关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，如图1，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，如图2；②如图3，∵∠BAE＝125°，∴在△APQ中，∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°，∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°【思路点拨】①转化为“一点两线型”求三角形周长最短问题，所求△AMN周长AM+MN+AN的最小值为线段PQ的值. ②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【答案】①作图如图2，此时△AMN周长最小；②∠AMN＋∠ANM＝110°.自助餐1. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，8）和（6，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A.（0，0）B.（0，2）C.（0，4）D.（0，6）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等腰直角三角形的知识【解题过程】作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′交y轴于点C′，当点C在C′处时△ABC的周长最小. 过点A作AE⊥x轴于点E，∵点A、B的坐标分别为（2，8）和（6，0），∴B′点坐标为（﹣6，0），E（2，0），AE=8，OE=2. ∴B′E=8，∴B′E =AE ，O B′=B′E－OE=6.又∵AE⊥B′B，∴∠A B′E=∠B′AE =45°，∵C′O∥AE，∠C′O B′=90°，∴∠C′B′O =∠B′C′O =45°，∴C′O = B′O =6，∴点C′的坐标是（0，6），当点C在C′处时△ABC的周长最小，故选D．【思路点拨】分离出“两点一线型”的最短路径模型：在y轴的同侧有点A和点B，点，在y轴上找一点C，使AC+CB最小.作图时应忽略图中的点C，再由图可构造等腰直角△AC B′，求出坐标.【答案】D2. 如图所示，点P为∠AOB内一点，OP=9，P1、P2分别是点P关于OA、OB 的对称点，P1P2交OA于点E，交OB于点F.当△PEF的周长是9时，∠AOB 的度数为（）A.15°B.30°C.45°D.60°【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的知识、P2分别是点P关于OA、OB的对【解题过程】连接O P1，O P2. ∵OP=9 ，P1称点，∴根据轴对称知识O P1=O P2=OP=9，PE= P1E，PF=FP2 .∴PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9，∴O P1=O P2= P1 P2，∴△OP1 P2是等边三角形.又∵由轴对称知识得∠P 1 OP 2=∠P 1 OP +∠POP 2=2（∠AOP +∠POB ）=2∠AOB ，∴2∠AOB=60°，∴∠AOB=30°【思路点拨】根据轴对称知识，PE +EF +PF = P 1E +EF + P 2F = P 1 P 2，如图连接O P 1， O P 2易得证△OP 1 P 2是等边三角形，故答案选B【答案】B3.如图，小河边有两个村庄A 、B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】垂直平分线的知识，轴对称知识，两点之间线段最短【解题过程】(1)作线段AB 的垂直平分线，与EF 交于点P ，交点P 即为符合条件的点．如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 作AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于21AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【思路点拨】 ⑴到A ，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又在河边EF 上，所以作AB 的垂直平分线与EF 的交点即为符合条件的点．⑵要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，结合 “两点一线型”的最短路径模型，作A (或B )点关于EF 的对称点，连接对称点与B 点 (或A )，与EF 的交点即为所求．【答案】(1)如图1，自来水厂部建在点P 处，到A ，B 村的距离相等．(2)如图2，自来水厂部建在点P 处，到A 、B 的距离和最短．4.公园内两条小河MO ，NO 在O 处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P (如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q 和R ，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连接P′P′′分别交OM、ON于Q、R，此时△PQR周长有最小值，即此时使在半岛上修建的三段小路路程和最小，才能使修路费用最少.【思路点拨】要使修路费用最少，则应使三段路程和最小，这样就转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题.【答案】如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置，修路费用最少．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，Q，R就是我们所求的小桥的位置．5．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR 的周长最小．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】(1)作点P关于直线BC的对称点P′；(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点，如图所示．【思路点拨】P，Q为△ABC边上的两个定点，所以PQ长为定值，使△PQR的周长最小，只需要PR+QR最小.故分离出“一点两线型”的模型：在直线BC的同侧有点P和点Q，在直线BC上找一点R，使PR+QR最小.【答案】如图所示，点R就是所求作的点.6．如图，一艘游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上某处，再返回P 处，请画出游船航行的最短路径．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】转化思想【解题过程】如图1，作点P关于直线BC 的对称点P′，连接QP′，与直线BC 相交于点R. 则游船航行路线是：P→Q→R→P，即将游客送到河岸BC的R，游船航行的路径最短.（或作点Q关于直线BC 的对称点Q′同样得解，如图2）. 【思路点拨】将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”.由于P、Q为。
《20.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人
《课题学习体质健康测试中的数据分析》教学设计方案（第一课时）初中数学课程《课题学习体质健康测试中的数据分析》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握数据收集、整理、分析的基本方法，学会使用表格和图表呈现数据。
2. 学会使用统计中的一些基本概念，如平均数、中位数、众数等。
3. 通过对体质健康测试数据的分析，认识到数据在体育成绩评估中的重要性，培养数据分析和处理能力。
二、教学重难点1. 教学重点：学会收集、整理、分析数据的基本方法，掌握使用表格和图表呈现数据的方法。
2. 教学难点：理解并运用统计中的基本概念，如平均数、中位数、众数等。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、投影仪、数据表格和图表等。
2. 制作课件：包括数据分析和统计概念的相关示例和讲解。
3. 安排实验或实践活动：组织学生模拟体质健康测试数据的收集和整理，加深对教学内容的理解。
4. 布置预习任务：学生提前预习相关概念和基础知识，为课堂教学做好准备。
四、教学过程：1. 导入新课：通过展示学生体质健康测试的数据，引导学生发现数据中隐藏的信息，引出课题。
设计意图：通过实际数据，让学生感受到数据分析在生活中的应用，激发学习兴趣。
2. 基础知识讲解：介绍各种数据分析方法，如平均数、中位数、众数、极差、方差等，并解释它们在数据中的意义。
设计意图：让学生了解数据分析的基本概念和方法，为后续学习奠定基础。
3. 分组活动：将学生分成小组，每组选择一个体质健康测试项目（如身高、体重、肺活量、坐位体前屈、立定跳远等）的数据进行分析，运用所学知识进行数据的收集、整理和描述。
设计意图：通过分组活动，培养学生的合作意识和实践能力，加深对数据分析方法的理解和应用。
4. 成果展示与交流：各小组展示分析成果，分享数据分析的过程和结论，与其他小组进行交流和讨论。
设计意图：通过展示和交流，提高学生的表达能力和自信心，同时也能发现其他小组的优点和不足，进一步加深对数据分析方法的理解和应用。
《10.3课题学习从数据谈节水》作业设计方案-初中数学人教版12七年级下册
《课题学习从数据谈节水》作业设计方案（第一课时）初中数学课程《课题学习从数据谈节水》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计旨在通过数据收集、整理和初步分析，使学生能够理解节水的重要性，掌握数据的处理方法，培养数据分析能力和逻辑思维能力，并增强学生环保意识和社会责任感。
二、作业内容1. 数据收集与整理：学生需通过实地调查、网络搜索等方式，收集所在地区或全国的用水量、水资源分布、节水政策等数据信息。
要求数据来源可靠，并能够反映实际情况。
收集到的数据需进行分类整理，形成表格或图表。
2. 数据分析与讨论：学生根据收集到的数据，运用数学统计方法，对数据进行初步分析。
如计算平均用水量、用水量变化趋势等，并结合实际分析用水情况。
在此基础上，开展小组讨论，探讨节水措施和方案。
3. 案例研究与报告：选择一到两个具有代表性的节水案例（如某地区的节水项目），分析其成功原因和具体做法。
学生需撰写一份简短的报告，内容包括案例介绍、成功因素分析以及自己的见解和感悟。
4. 创意实践：学生可以结合所学知识，设计一个节水主题的数学游戏或应用题，如通过设计图表、解应用题等形式来体现节水知识，培养实际应用能力。
三、作业要求1. 数据收集过程中需注明数据来源，确保数据的真实性和可靠性。
2. 数据分析应运用适当的数学方法，注重数据的解释和讨论。
3. 报告应条理清晰，观点明确，有自己的见解和感悟。
4. 创意实践需体现数学与节水的结合，具有实际意义和可操作性。
5. 作业需在规定时间内完成，按时提交。
四、作业评价1. 教师根据学生提交的作业内容、格式、质量等方面进行评价。
2. 重点评价学生在数据收集、整理和分析过程中的态度和方法。
3. 对学生的报告和创意实践进行评价，鼓励创新和实际应用。
4. 结合学生在课堂上的表现和小组讨论情况，进行综合评价。
五、作业反馈1. 教师对学生的作业进行逐一反馈，指出优点和不足。
2. 对共性问题进行集体讲解和指导，对个别问题提供个性化辅导。
《13.4课题学习最短路径问题》作业设计方案-初中数学人教版12八年级上册
《课题学习最短路径问题》作业设计方案（第一课时）初中数学课程《课题学习最短路径问题》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《课题学习最短路径问题》的学习，使学生掌握最短路径问题的基本原理和解题方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，同时提高学生的数学应用能力。
二、作业内容1. 理论学习：学生需认真阅读教材中关于最短路径问题的理论部分，理解并掌握最短路径问题的基本概念和解题思路。
2. 案例分析：选取几个典型的最短路径问题案例，包括平面图形和立体图形中的最短路径问题，分析其解题过程，总结解题方法。
3. 实践操作：学生需完成以下实践操作题目：（1）在给定的平面图形中，找出所有可能的最短路径，并计算其长度。
（2）在立体图形中，如圆锥、圆柱等，找出从一点到另一点的最短路径，并说明理由。
（3）根据生活实际，设计一个最短路径问题的实际应用场景，如桥梁设计、道路规划等，并尝试解决该问题。
4. 拓展延伸：鼓励学生自主寻找其他最短路径问题的实例，可以是生活中的实际问题或数学题目，通过小组讨论或个人思考的方式，探讨其解题思路和方法。
三、作业要求1. 理论学习要求：学生需认真阅读教材，理解并掌握最短路径问题的基本概念和解题思路，能够准确阐述相关原理。
2. 案例分析要求：学生需对案例进行详细分析，总结出解题方法和步骤，能够举一反三，触类旁通。
3. 实践操作要求：学生需独立完成实践操作题目，计算准确，思路清晰，答案完整。
对于立体图形的最短路径问题，需用图示或文字说明解题过程。
4. 拓展延伸要求：学生需积极寻找并分析其他最短路径问题的实例，可以是小组成员共同完成，也可以是个别学生独立完成。
四、作业评价1. 评价标准：本作业的评价将从理论掌握、案例分析、实践操作和拓展延伸四个方面进行综合评价。
2. 评价方式：采用教师批改、小组互评和自评相结合的方式进行评价。
教师批改主要关注学生的理论掌握和实践操作情况；小组互评和自评则侧重于评价学生的案例分析和拓展延伸情况。
七年级数学上册 课题学习(一) 课件 北师大版
588
576 500 384
体积随边长变化的条型折线图：
课后思考： 根据下面的统计图，是否可以认为x＝3cm时，体积 最大？结果真的如此吗？
长方体体积 600 512 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 252 128 36 0 10 小正方
形边长
588
576 500 384
看看怎么折
想一想： 怎样才能使制成的无盖长方体体积尽 可能大？
Hale Waihona Puke 帮你思考： ①如何计算纸盒的体积？ ②剪去的小正方形的边长和折成的无盖长方形的高 有什么关系？
③如果正方形纸片的边长为20cm，剪去的小正方形的
边长为x cm，你能用x来表示这个无盖长方体形纸盒 的容积吗？用公式表示。 ④根据上面的公式，要使长方体的体积尽可能大，剪去 的小正方形的边长x尽可能大行吗？ x尽可能小行吗？
看看你的表中的数据和下表中的 数据是否一样？
小正方形的 边长(cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
长方体体积 324 512 588 576 500 384 252 128 36 3 (cm )
体积随边长变化的条型统计图：
长方体体积 600 512 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 252 128 36 0 10 小正方
北师大版七年级数学上册
课题学习：
制作一个尽可能大的 无盖长方体形盒子
(第一课时)
提出问题,学生动手操作：
如果要用一张正方形的纸片制成一个如下图的无盖的 长方体纸盒，应该怎样剪？请你试试看！
帮你思考：
1、你能否画出无盖长方体展开后的形状？
人教版九年级化学上第七单元课题一第一课时燃烧条件与灭火原理优秀教学案例
5.全面发展的教育目标：本节课的教学目标涵盖了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个部分，注重培养学生的综合素质。在教学过程中，教师关注每一个学生的学习情况，充分调动学生的积极性，使他们在探究过程中感受到科学的魅力，培养他们热爱科学、追求真理的情感。同时，注重培养学生的团队协作精神，使学生在探究过程中互相学习、共同进步。
3.引导学生运用燃烧与灭火知识，进行实践操作，提高学生的动手能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对化学实验的兴趣，激发学生探究科学的热情。
2.培养学生安全意识，提高学生自我保护能力。
3.通过灭火方法的讲解和实践，使学生认识到科学知识在生活中的重要性，培养学生的社会责任感。
在教学过程中，我将关注每一个学生的学习情况，充分调动学生的积极性，使他们在探究过程中感受到科学的魅力，培养他们热爱科学、追求真理的情感。同时，注重培养学生的团队协作精神，使学生在探究过程中互相学习、共同进步。
1.教师引导学生对实验过程进行反思，总结燃烧与灭火的原理和经验。
2.组织学生进行评价，互相提出建设性的意见和建议，提高学生的自我改进能力。
3.教师对学生的表现进行评价，关注学生的全面发展，培养学生的自信心和自尊心。
（五）作业小结
1.布置作业：要求学生结合课堂所学，分析生活中的燃烧与灭火现象，并提出自己的观点和见解。
2.引导学生分析灭火的方法与原理，讨论各种灭火方法的优缺点。
3.鼓励学生提出自己的问题，共同探讨，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
《13.4课题学习最短路径问题》作业设计方案-初中数学人教版12八年级上册
《课题学习最短路径问题》作业设计方案（第一课时）初中数学课程《课题学习最短路径问题》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次课题学习，使学生掌握最短路径问题的基本知识和基本技能，培养空间观念和逻辑推理能力，为进一步学习和应用最短路径问题打下坚实的基础。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括：1. 理论学习：阅读并理解最短路径问题的基本概念和基本理论，包括几何图形的最短路径问题和现实生活中的最短路径问题。
2. 经典例题分析：分析几道经典的最短路径问题例题，理解其解题思路和解题方法。
3. 动手实践：通过绘制图形、计算距离等方式，解决一些简单的最短路径问题。
4. 拓展延伸：结合生活实际，提出一些最短路径问题的实际问题，并尝试解决。
三、作业要求1. 理论学习部分：学生需认真阅读教材和相关资料，理解最短路径问题的基本概念和基本理论，并做好笔记。
2. 经典例题分析部分：学生需仔细分析例题，理解其解题思路和解题方法，并尝试独立完成例题。
3. 动手实践部分：学生需利用所学的知识，通过绘制图形、计算距离等方式，解决一些简单的最短路径问题。
在实践过程中，要注意绘图准确、计算精确。
4. 拓展延伸部分：学生需结合生活实际，提出一些最短路径问题的实际问题，并尝试解决。
要求问题具有现实意义，解决方案合理可行。
5. 所有作业需在规定时间内完成，字迹工整，格式规范。
四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 理论学习部分：评价学生对最短路径问题基本概念和基本理论的理解程度。
2. 经典例题分析部分：评价学生的解题思路和解题方法是否正确，是否能够独立完成例题。
3. 动手实践部分：评价学生的实践过程是否准确、计算是否精确，以及实践结果是否符合预期。
4. 拓展延伸部分：评价学生提出的问题是否具有现实意义，解决方案是否合理可行。
5. 综合评价学生的作业质量、完成情况和时间性等方面。
五、作业反馈教师将对学生的作业进行批改和点评，指出存在的问题和不足之处，并给出改进意见和建议。
《 4.4 课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数
《4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒》教学设计方案（第一课时）初中数学课程《4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒》教学设计方案（第一课时）一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握长方体形状的包装纸盒的设计与制作方法。
通过学习，学生应能够理解长方体的基本特征，并运用所学数学知识计算包装纸盒的各部分尺寸。
同时，通过实践操作，培养学生动手能力和空间想象力，提升数学知识的应用能力。
二、教学重难点本节课的教学重点是长方体纸盒的尺寸计算与制作方法。
教学难点在于如何引导学生将数学理论与实际操作相结合，准确计算并制作出符合设计要求的包装纸盒。
四、教学过程：一、导入新课在课堂开始之初，教师首先通过展示一些日常生活中常见的长方体形状的包装纸盒实例，如食品包装、文具包装等，激发学生的兴趣。
随后，教师可以提出问题：“这些包装纸盒的形状有什么共同特点？它们是如何制作的呢？”通过问题引导学生思考，为后续的课题学习做好铺垫。
二、新课讲解1. 认识长方体教师利用多媒体课件展示长方体的几何特征，如长、宽、高，并让学生自己动手用纸片制作一个简单的长方体模型，加深对长方体形状的理解。
2. 包装纸盒的设计原则讲解设计制作长方体形状的包装纸盒的基本原则，包括美观性、实用性、环保性等。
强调设计时需要考虑的因素，如包装内容物的形状、体积以及消费者的使用习惯等。
3. 制作步骤与方法详细介绍制作包装纸盒的步骤和方法，包括材料准备、设计图纸、裁剪、折叠、粘贴等环节。
强调在制作过程中需要注意的安全问题，如使用剪刀等工具时的安全操作。
4. 实例演示教师展示一个具体的包装纸盒制作实例，从设计到完成的整个过程，让学生直观地了解制作流程。
同时，教师可以邀请学生参与，共同完成一个简单的包装纸盒制作。
三、实践操作1. 分组合作将学生分成若干小组，每组负责设计并制作一个长方体形状的包装纸盒。
教师提供必要的材料和工具，让学生们自由发挥创意。
2. 指导与交流教师在学生制作过程中巡回指导，解答学生在制作过程中遇到的问题。
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综合与实践
制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子
学生起点分析
本节是学生初中阶段第一次实行“综合与实践”，他们对简单几何体的侧面展开图，列代数式，代数式的求值，统计图的画法等知识已具有一定的认知水平，因为学生在本学期的数学学习过程中，经历了多次探索性学习，所以他们具备了一定的探索、研究水平，基本适合了自主学习，小组合作学习等学习方式，为学习本节课打下了一定的知识以及水平基础。
教学任务分析
“综合与实践”对学生来说是一种新的学习形式，它需要学生综合本学期所学的数学知识、技能与方法，通过解决问题的方式去获得对相关知识与方法的进一步理解，体会各部分内容之间的联系。
本课题所涉及的内容有：长方体的展开、代数式表示、借助代数式值寻求规律、统计表;所涉及的活动有：制作无盖长方体形盒子、无盖长方体形盒子的容积表示、无盖长方体形盒子容积的规律、寻求尽可能大的容积。
让学生经历试验、想象、分析、猜测、交流、推理和反思等过程。
课题从学生熟悉的折纸活动开始，进而通过操作、抽象和交流，形成问题的代数表达；再通过收集相关数据，推断“容积变化与边长变化之间的联系”。
最终，通过交流与验证等活动获得问题的解决，并对求解的过程作出反思。
教学目标
1.综合使用相关知识解决问题，提升解决问题的水平和综合使用水平。
2.经历试验、猜测、分析、推断和反思等数学学习活动，发展推理水平。
3.感受数学与生活的联系，增强应用意识和水平。
教学过程设计
本节课设计了四个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：提出问题，动手操作；；第三环节：活动探究，得出结论；第四环节：活动反思，课堂小结；第五环节：布置作业，延续深化.
第一环节课前准备
准备下列材料：边长为20cm的正方形纸片，剪刀，胶带，计算器.
第二环节：提出问题，动手操作
1、将边长为20cm的正方形纸片的四个角落剪去部分，设法折成一个无盖的长方体形纸盒，并用胶带粘好。
同座两人一组，合作完成。
2、在剪去4个角落的过程中要注意些什么？你有哪些挫折和收获？
3、你得到的盒子的容积是多少，你是怎么算的？与同伴交流。
第三环节：活动探究，得出结论
4、根据你们的交流，哪一组的纸盒容积最大？能不能改变四个角落剪去的图形的大小，使得得到的纸盒的容积更大呢？说说你的感觉。
5、大家都是从4个角落剪去相
同的正方形折成长方体纸盒的。
剪去正方形的大小直接影响着长方体的
形状和容积。
为了研究方便，按照剪去的正方形边长a 从小到大的顺序，
将得到的长方体纸盒的容积填到下
表中。
随着a 的增大，容积V 有怎样的变化规律？
6、你估计a 在什么范围内时容积最大？
在这个范围内，具体地a 等于多少时，容积最大呢？不放在这个范围再多选几个数
据算一算！
学生理解到：不必在具体做出这些纸盒了，只要将纸盒的容积用a 的式子表示出来，算一算就能够了。
7、现在你们得到的容积最大的长方体的容积是 ，相对应的a 是 。
按照这种方式，纸盒的容积还可能更大吗？ 第四环节：活动反思，课堂小结
1、前面我们都是将四个角落剪去4个小正方形，然后粘贴成一个纸盒的。
有没有其他办法，不用剪去这四个正方形，仍然能够粘贴成长方体纸盒呢？
20cm
20cm
a
a
a
a
a
2、你是否能想到不同于本节课所使用的剪法，如能够将剪掉的部分也用起来，也许容积可能更大，最大的容积是多少？
第五环节：布置作业，延续深化
1、撰写一篇研究报告，写清你的研究过程、结论和收获。
2、2人一组，选择某个生活中的问题，实行研究，并实行班级交流。
教学反思
在课的一开始，让学生剪一个长方体纸盒，实施过程中，可能并不像我们想象中那么自不过然，事实上，学生在探究过程中，可能直接考虑，平面要变立体，自然要将边折起，在折的过程中学生可能会发现角上有多余部分，所以就考虑将四个角剪掉再折叠，但是，学生在剪的过程中，可能会出现错误：就是在四个角上剪掉四个任意大小的正方形，或者剪掉四个长方形,此时老师要留给学生充分的时间，让他们通过持续的反复操作实行自我修正，从而发现：在正方形纸片的四个角上剪掉四个完全相同的小正方形，才能将原来的正方形纸片制成一个无盖长方体形盒子。
此环节教师做两手准备，如果学生遇到困难，老师可引导学生思考：既然折叠和展开是两个互逆过程，那么将原无盖长方体形盒子展开，找到平面展开图与正方形卡纸的差异，就能够解决问题。
然后，再让学生动手试验。
这种思路体现的是逆向思维在解决问题时的应用。
不论学生表现如何，老师一定要参与学生的小组合作，这样既能够注重学生参与活动的情况，又能够即时发现问题，给予点拨和指导。