2016年安徽省江南十校联考文科数学试卷
【精品】2015-2016年安徽省江南十校联考高三(上)期末数学试卷(理科)与答案
2． （5 分）已知复数 z 满足 z•（1+i2015）=i2016（i 是虚数单位） ，则复数 z 在复平 面内所对应的点位于（ A．第一象限 ） C．第三象限 ） D．第四象限
B．第二象限
3． （5 分）下列命题中，真命题的是（ A．∀ x＞0，2x＞x2 B．∃ x0∈R，e ≤0
C．“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件 D．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件 4． （5 分）截至 11 月 27 日，国内某球员在 2015﹣2016 赛季 CBA 联赛的前 10 轮 比赛中，各场得分 xi（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运 动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（ ）
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A．8
B．7
C．6
D．5 sin2x
5． （5 分）将函数 y=cos2x 的图象向右平移 φ 个单位得到函数 y=cos2x﹣ 的图象，则 φ 的一个可能取值为（ A． B． ） C． D．
6． （5 分）某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个 班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一 所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分 配到上海交通大学的概率为（ A． B． ） C． D．
12． （5 分）函数 f（x）=1+x﹣ 的零点个数为（ A．1 ） B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相 应位置
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13． （5 分） 已知 （
+
5 ） 的展开式中的常数项为 80， 则x
2016年安徽省百强校联考高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2016年安徽省百强校联考高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，则||＝（）A．B．C．1D．2．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{1，2，4，5}，则∁U[A∩（∁U B）]＝（）A．{0，3}B．{2，4，5}C．{1，2，3，4}D．{1，2，4，5} 3．（5分）已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，＝﹣2，则下列结论正确的是（）A．∥B．∥C．⊥D．⊥4．（5分）设命题p：∀x∈R，f（x）•g（x）≠0，则￢p为（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0或g（x0）＝0B．∃x0∈R，f（x0）＝0且g（x0）＝0C．∀x∈R，f（x）＝0或g（x）＝0D．∀x∈R，f（x）＝0且g（x）＝05．（5分）已知一组数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x n的标准差为（）A．1B．C．2D．26．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+a n﹣1，则a n＝（）A．n﹣1B．n+1C．2n﹣1D．2n+17．（5分）执行如图所示程序框图，输出结果为（）A．6B．7C．8D．98．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），过点M（0，﹣2）可作C的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好过C的焦点，则P的值为（）A．1B．2C．4D．89．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象分别向左、右平移φ（φ＞0）个单位所得图象恰好重合，则φ的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）某建筑物是由一个半球和一个圆柱组成，半球的体积是圆柱体积的，其三视图如图所示，现需要在该建筑物表面涂一层防晒涂料，若每π个平方单位所需涂料费用为100元，则共需涂料费用（）A．6600元B．7500元C．8400元D．9000元11．（5分）已知函数f（x）＝的图象上存在关于y轴的对称点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2﹣）C．[﹣1，+∞）D．[2﹣，+∞）12．（5分）已知P是双曲线﹣＝1右支上任意一点，M是圆（x+5）2+y2＝1上任意一点，设P到双曲线的渐近线的距离为d，则d+|PM|的最小值为（）A．8B．9C．D．10二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知y＝f（x）为奇函数，若f（x）＝g（x）+x2且g（1）＝1，则g（﹣1）＝．14．（5分）已知数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，若数列{a n}与{S n+2}都是公比为q的等比数列，则q的值为．15．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝y﹣2x+m的最大值与最小值的差为．16．（5分）已知长方体的宽与高相等，其外接球的半径为2，则长方体体积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin A＝a cos C，c＝．（1）求角C；（2）求a cos B的取值范围．18．（12分）某机构为了解某地区居民收入情况，随机抽取了100，名居民进行调查，根据调查结果绘制的居民月收入的频率分布直方图如图所示，已知[3500，4500），[4500，5500），[5500，6500）月收入段的居民人数成等差数列．（1）求直方图中a，b的值，并估计这100名居民月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若月收入不低于6500元的称“高收入群体”，在月收入[5500，6500）段和[6500，7500）段按比例抽取5人，再从5人中随机选取3人了解其所从事的职业，求3人中至少有一人属于“高收入人群体”的概率．19．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，E，F分别为SA，SD的中点．（1）证明：EF∥平面SBC；（2）若平面BEF⊥平面SAD，求S﹣ABCD的体积．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点D（2，2）．（1）求C的方程；（2）若P（x0，y0）是第一象限C上异于点D的动点，过原点向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝8作切线交C于G，H两点，设直线OG，OH的斜率分别为k OG，k OH，证明：2k OG k OH+1＝0．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣ae x．（1）当a＝时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在[e，+∞）上为减函数，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别为M，N．（1）证明：O，M，E，N四点共圆；（2）若AB＝CD，证明：EO⊥BD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C1的参数方程为（α为参数，且α∈[π，2π]），曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（2）若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于M，N两点，求|PM|•|PN|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|2x﹣m|＜1的整数解有且仅有一个为2，其中m∈Z．（1）求m的值；（2）设ab＝m，a＞b＞0，证明：≥4．2016年安徽省百强校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，则||＝（）A．B．C．1D．【解答】解：．故选：B．2．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{1，2，4，5}，则∁U[A∩（∁U B）]＝（）A．{0，3}B．{2，4，5}C．{1，2，3，4}D．{1，2，4，5}【解答】解：∵A＝{x∈N|（x+1）（x﹣5）＜0}＝{0，1，2，3，4}，∁U B＝{0，3}，∴A∩（∁U B）＝{0，3}，∴∁U[A∩（∁U B）]＝{1，2，4，5}，故选：D．3．（5分）已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，＝﹣2，则下列结论正确的是（）A．∥B．∥C．⊥D．⊥【解答】解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，∴•＝||||cos60°＝1×1×＝，则•＝•（﹣2）＝2﹣2•＝1﹣2×＝1﹣1＝0，则⊥，故选：C．4．（5分）设命题p：∀x∈R，f（x）•g（x）≠0，则￢p为（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0或g（x0）＝0B．∃x0∈R，f（x0）＝0且g（x0）＝0C．∀x∈R，f（x）＝0或g（x）＝0D．∀x∈R，f（x）＝0且g（x）＝0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，命题p：∀x∈R，f（x）•g（x）≠0，则￢p 为所以∃x0∈R，f（x0）＝0或g（x0）＝0，故选：A．5．（5分）已知一组数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x n的标准差为（）A．1B．C．2D．2【解答】解：设数据x1，x2，…，x n的标准差为S，∵一组数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的方差为8，∴22S2＝8，解得S＝．∴数据x1，x2，…，x n的标准差为．故选：B．6．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+a n﹣1，则a n＝（）A．n﹣1B．n+1C．2n﹣1D．2n+1【解答】解：由题意得，S n＝n2+a n﹣1，①当n≥2时，，②①﹣②得，a n＝a n﹣a n﹣1+2n﹣1，则a n﹣1＝2n﹣1，∴当n≥2时，a n﹣1＝2n﹣1，又由a1＝3，∴a n＝2n+1，对于任意的n∈N+都成立，故选：D．7．（5分）执行如图所示程序框图，输出结果为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算s＝0+ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+ln （i+1）﹣lni＝ln（i+1），可得：当i＝6时，s＝ln7＜2，当i＝7时，s＝ln8＞2，此时输出的i＝8．故选：C．8．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），过点M（0，﹣2）可作C的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好过C的焦点，则P的值为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：根据抛物线的对称性可知A，B关于y轴对称，则A，B的纵坐标与抛物线焦点的纵坐标相同，∴A，B．又∵切线的斜率与曲线在切点处的导数相等，∴，解得p＝4．故选：C．9．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象分别向左、右平移φ（φ＞0）个单位所得图象恰好重合，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位可得y＝sin[2（x+φ）+]＝sin（2x+2φ+）的图象，将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位可得y＝sin[2（x﹣φ）+]＝sin（2x﹣2φ+）的图象，再根据所得图象恰好重合，可得所得图象恰好相差周期的整数倍，即2φ+＝2kπ﹣2φ+，k∈Z，即φ＝，取k＝1，可得φ的最小正值为，故选：C．10．（5分）某建筑物是由一个半球和一个圆柱组成，半球的体积是圆柱体积的，其三视图如图所示，现需要在该建筑物表面涂一层防晒涂料，若每π个平方单位所需涂料费用为100元，则共需涂料费用（）A．6600元B．7500元C．8400元D．9000元【解答】解：设圆柱的高为h，则根据题意可得，解得，则该建筑物的表面积S＝2πr2+2πrh＝66π，所以共需涂料费用6600元．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝的图象上存在关于y轴的对称点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2﹣）C．[﹣1，+∞）D．[2﹣，+∞）【解答】解：当x≥1时，f（x）＝2x﹣a，则此时函数f（x）＝2x﹣a关于y轴对称的函数为y＝﹣2x﹣a，x≤﹣1，若f（x）图象上存在关于y轴的对称点，则等价为e x＝﹣2x﹣a在x∈（﹣∞，﹣1]上有解，即y＝e x+2x+a在（﹣∞，﹣1]上有零点，因为y＝e x+2x+a为增函数，所以e﹣1+2×（﹣1）+a≥0，解得．故选：D．12．（5分）已知P是双曲线﹣＝1右支上任意一点，M是圆（x+5）2+y2＝1上任意一点，设P到双曲线的渐近线的距离为d，则d+|PM|的最小值为（）A．8B．9C．D．10【解答】解：设双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，根据题意可得：d+|PM|≥d+|PF1|﹣1＝d+6+|PF2|﹣1＝d+|PF2|+5，d+|PF2|的最小值为F2到渐近线的距离，因为F2到渐近线y＝±x的距离为4，所以d+|PM|的最小值为9．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知y＝f（x）为奇函数，若f（x）＝g（x）+x2且g（1）＝1，则g（﹣1）＝﹣3．【解答】解：因为f（1）＝g（1）+12＝2，y＝f（x）为奇函数，所以f（﹣1）＝f（﹣1）+1＝﹣2，∴g（﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．14．（5分）已知数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，若数列{a n}与{S n+2}都是公比为q的等比数列，则q的值为．【解答】解：∵数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，{a n}与{S n+2}都是公比为q的等比数列，∴根据题意得：＝q，即＝q，解得q＝．故答案为：．15．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝y﹣2x+m的最大值与最小值的差为8．【解答】解：由z＝y﹣2x+m，得y＝2x+z﹣m，作出不等式对应的可行域，平移直线y＝2x+z﹣m，由平移可知当直线y＝2x+z﹣m经过点B（4，2）时，直线y＝2x+z﹣m的截距最小，此时z取得最小值，最小值为m﹣6，当直线y＝2x+z﹣m经过点A（0，2）时，直线y＝2x+z﹣m的截距最大，此时z取得最大值，最大值m+2，所以z max﹣z min＝8．故答案为：8．16．（5分）已知长方体的宽与高相等，其外接球的半径为2，则长方体体积的最大值为．【解答】解：设长、宽、高分别为a、b、b，则a2+b2+b2＝16，即a2+2b2＝16，，令，则，解得（舍去）或，当时，f′（x）＞0，时，f′（x）＜0，所以，即长方体体积的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin A＝a cos C，c＝．（1）求角C；（2）求a cos B的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知及正弦定理可得：，因为：，所以：，所以：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）根据正弦定理可知：，则：a cos B＝2sin A cos B，因为：，所以：，所以：＝，因为：，所以：，所以：，，18．（12分）某机构为了解某地区居民收入情况，随机抽取了100，名居民进行调查，根据调查结果绘制的居民月收入的频率分布直方图如图所示，已知[3500，4500），[4500，5500），[5500，6500）月收入段的居民人数成等差数列．（1）求直方图中a，b的值，并估计这100名居民月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若月收入不低于6500元的称“高收入群体”，在月收入[5500，6500）段和[6500，7500）段按比例抽取5人，再从5人中随机选取3人了解其所从事的职业，求3人中至少有一人属于“高收入人群体”的概率．【解答】解：（1）由题意知，解得a＝0.00015，b＝0.00025…（3分）（元）（6分）（2）根据题意可知月收入在[5500，6500）段抽取3人，在[6500，7500）段抽取2人，设[5500，6500）段抽取的3人为A，B，C，[6500，7500）段抽取的2人为a，b，则这5人中抽取3人的结果有：（A，B，C），（A，B，a），（A，B，b），（A，C，a），（A，C，b），（A，a，b），（B，C，a），（B，C，b），（B，a，b），（C，a，b），共10种，其中至少有一人属于“高收入群体”的结果有9种，所以3人中至少有1人属于“高收入群体”的概率为p＝．﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，E，F分别为SA，SD的中点．（1）证明：EF∥平面SBC；（2）若平面BEF⊥平面SAD，求S﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：因为E，F分别是SA，SD的中点，所以EF∥AD，又因为AD∥BC，所以EF∥BC，又BC⊂平面SBC，所以EF∥平面SBC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）．（2）解：取AD的中点G，连接SG交EF于点H，连接BH，BG，则由题意可得SG⊥EF，H是SG的中点，因为平面BEF⊥平面SAD，且平面BEF∩平面SAD＝EF，所以SG⊥平面BEF，SG⊥BH，所以BG＝BS＝，根据勾股定理可得，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点D（2，2）．（1）求C的方程；（2）若P（x0，y0）是第一象限C上异于点D的动点，过原点向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝8作切线交C于G，H两点，设直线OG，OH的斜率分别为k OG，k OH，证明：2k OG k OH+1＝0．【解答】解：（1）根据题意可得，解得a2＝24，b2＝12，所以C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）证明：（2）根据题意设切线方程为y＝kx，则，整理得，因为k OG，k OH是该方程的两个根，所以，又因为，即，所以，即2k OG•k OH+1＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝﹣ae x．（1）当a＝时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在[e，+∞）上为减函数，求a的取值范围．【解答】解：（1）当时，函数，则，当0＜x＜1时，，，所以f′（x）＞0；当x＝1时，f′（x）＝0；当x＞1时，，，所以f′（x）＜0所以f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，所以最大值为f（1）＝﹣1．（2）f（x）在[e，+∞）上为减函数，即f′（x）≤0在[e，+∞）上恒成立，则．①当a≥0时，因为x∈[e，+∞），所以1﹣lnx≤0，﹣ax2e x≤0，所以f′（x）≤0，符合题意；②当a＜0时，f′（e）＝﹣ae e＞0，与f′（x）≤0在[e，+∞）上恒成立矛盾，不符合题意．综合可知，a的取值范围是[0，+∞）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别为M，N．（1）证明：O，M，E，N四点共圆；（2）若AB＝CD，证明：EO⊥BD．【解答】解：（1）∵M为AB的中点，∴OM⊥AB；∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE＝180°，∴O，M，E，N四点共圆．（2）因为AB＝CD，所以，所以，∴∠ABD＝∠BDC，所以BE＝DE，连接OB，OD，设BD的中点为O1，则EO1⊥BD，OO1⊥BD，所以E，O1，O三点共线，所以EO⊥BD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C1的参数方程为（α为参数，且α∈[π，2π]），曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（2）若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于M，N两点，求|PM|•|PN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数，且α∈[π，2π]），消去参数可得x2+y2＝1，∵π≤α≤2π，∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤0，∴曲线C1是x2+y2＝1在x轴下方（包括x轴上的两点）的部分，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝1（π≤θ≤2π）．曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ即ρ2＝2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+（y ﹣1）2＝1．（Ⅱ）设P（x0，y0），则﹣1≤y0≤0，直线l的倾斜角为α，则直线l的参数方程为：（t为参数）．代入C2的直角坐标方程得，即t2+[2x0cosα+2sinα（y0﹣1）]t+1﹣2y0＝0，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|＝|1﹣2y0|，∵﹣1≤y0≤0，∴|PM|•|PN|∈[1，3]．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|2x﹣m|＜1的整数解有且仅有一个为2，其中m∈Z．（1）求m的值；（2）设ab＝m，a＞b＞0，证明：≥4．【解答】（1）解：|2x﹣m|＜1，即m﹣1＜2x＜m+1，解得＜x＜，因为不等式的整数解为2，所以得＜2＜，解得3＜m＜5，因为m∈Z，所以m＝4．…（5分）（2）证明：由题意可知ab＝4，a＞b＞0，所以a﹣b＞0，因为，（当且仅当，即时，取最小值）．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。
安徽省江南十校2016年高考数学考前热身卷(理科)(二) W
2016年安徽省江南十校高考数学考前热身卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合P={x∈R|（x﹣4）2＜9}，Q={x∈N*|∈N*}，其中N*值正整数集，则P∩Q=（）A．{1，2，3，4，5，6}B．{3，4，6}C．{2，3，4，6} D．{4，6}2．若纯虚数z满足（1+2i）z=a+，则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C．6 D．﹣93．已知O是△ABC内一点，λ+=，且△OAB的面积是△ABC面积的，则实数λ=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．已知命题p：a=﹣1是直线x﹣ay+1=0与x+a2y﹣1=0平行的充要条件；命题q：∃x0∈（0，+∞），x02＞2．下列命题为真命题的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∧（￢q）5．某人参加央视《开门大吉》节目，他答对第一首歌名的概率为0.8，连续答对第一、二首歌名的概率为0.6，在节目现场，他已答对了第一首歌名，那么接下来他能答对第二首歌名的概率为（）A．0.48 B．0.6 C．0.7 D．0.756．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．πR3D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．设实数x，y满足约束条件，则x+3y的取值集合中，整数的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．99．已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为16π，则该圆锥的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π10．已知实数a＞0，函数f（x）=，f（a3）=2，则a=（）A．1 B．2 C．1或2 D．1或411．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线被抛物线截得的线段长为25，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣8 B．x=﹣4 C．x=﹣2 D．x=﹣112．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣11，S n有唯一的最小值S6，且S n≥0的解集为{n∈N*|n≥12}，则数列{a n}的公差d的取值范围是（）A．[2，）B．（2，] C．[2，] D．（2，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．已知n∈N*，（x﹣y）2n+1展开式的系数的最大是为a，（x+y）2n展开式的系数的最大是为b，且a比b大80%，则n=．14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（|φ|＜）的部分图象如图所示，且线段PQ的长与函数f（x）的周期相等，则函数f（x）的解析式为．15．设a=log310，b=log，c=（），则a，b，c中最大的数是．16．已知函数f（x）=alnx﹣（x+1）2，若存在正数x1，x2，当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题。
2016年3月江南十校考试(文)_考生成绩利辛一中(文历)
188 186 194 188 171 166 154 146 138 150 146 131 126 185 123 107 140 148 116 137 149 126 154 127 121 123 133 111 155 148 112 125 130 119 126 124 96 117 148 107 101 134 122 95 82 117 84 78 84 93 89 81 97 109 90 101
2/0 4/0 1/0 2/0 6/0 7/0 9/0 16/0 19/0 11/0 16/0 23/0 26/0 5/0 31/0 42/0 18/0 13/0 38/0 20/0 12/0 26/0 9/0 25/0 34/0 31/0 22/0 40/0 8/0 13/0 39/0 29/0 24/0 35/0 26/0 30/0 47/0 36/0 13/0 42/0 44/0 21/0 33/0 48/0 55/0 36/0 53/0 58/0 53/0 50/0 52/0 56/0 46/0 41/0 51/0 44/0
2/0 4/0 1/0 6/0 7/0 8/0 23/0 20/0 9/0 12/0 17/0 15/0 27/0 4/0 32/0 27/0 21/0 3/0 35/0 10/0 32/0 23/0 10/0 14/0 39/0 27/0 41/0 51/0 23/0 16/0 21/0 23/0 18/0 50/0 18/0 32/0 51/0 41/0 13/0 27/0 39/0 37/0 45/0 58/0 56/0 44/0 37/0 51/0 54/0 49/0 45/0 54/0 45/0 35/0 58/0 41/0
安徽省江南十校2016届高三上学期摸底联考数学理试卷
江南十校2016届新高三摸底联考卷理科数学本试卷分第I（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题．每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(1)已知集合A={x｜｜2x十｜＜3}，B＝｛x｜1｝，则A∩B＝（）A.｛x｜一2＜x ≤1 }B. ｛x｜一1≤x＜1}C. ｛x｜－1≤x≤1}D. ｛x｜－2＜x≤1}(2)设复数z的共扼复数为，若z +＝4，z·=5，且复数z在复平面上表示的点在第四象限，则z＝（）A. 2一B.一2iC.1一2iD.2一i(3)与函数有相同值域的函数是(4)已知图中阴影部分的面积为正整n，则二项式的展开式中的常数项为A. 240B.一240C. 60D.一60(5)平移函数y＝｜sinx｜的图象得到函数y＝｜cosx｜的图象，以下平移方法错误的是A.向左或向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左或向右平移个单位(6)在正方体ABCD一A1 B1C1D1中，四对异面直线,AC与A1D，BD1与AD,A1C 与AD1，BC与AD1，其中所成角不小于60°的异面直线有（）A.4对B. 3对C. 2对D. 1对(7)已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线的焦点相同，左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，且△PF1F2是以PF1为斜边的等腰直角三角形，则椭圆和双曲线的离心率之积为（）A．1 B.2＋3 C.2 D. 3一2(8)数列中的最大项是A.第11项B.第12项C.第13项D.第14项（9）若R)是偶函数，且f(1一m）＜f(m)，则实数m的取值范围是（）（10)定义两个互相垂直的单位向量为“一对单位正交向量”，设平面向量a i (i＝1，2,3,4)满足条件：，则（） C. a i (i＝1，2,3,4)中任意两个都是一对单位正交向量 D. a 1，a4是一对单位正交向量(11)设Z是整数集，实数x,y满足，若使得z＝ax + y取到最大值的点(x, y)有且仅有两个，则实数a的值是（）A.5B.一5C.1D.一1(12)已知函数的图象与函数1)的图象有一个交点，则实数a的取值范围是（）第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题．每小题5分．共20分．把答案坡在答题卡的相应位置）(13)执行如图所示的程序框图，则箱出的s的值为＿＿＿(14）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形切去了四个以顶点为圆心1为半径的四分之一圆，则该几何体的表面积为 (15）柳家为家里的小朋友萌萌订了一份鲜奶，牛奶公司的员工可能在早上6：30一7：30之间将鲜奶送到他家，萌萌早上上学的时间在7：00一7：40之间，则萌萌在上学前能得到鲜奶的概率为 (16）如图是函数的部分图象,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,R是该图象与x轴的一个交点，且PR⊥QR，△PQR的面积为2，则函数f（x）的最小正周期为＿ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步卑）（17)（本小题满分12分）已知函数.（I）若函数f (x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为x＋y一1 ＝0，求a,b 的值；（II）若函数f(x)在区间〔2，＋co）上单调递增，求实数a的取值范围．(18)（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDEFGH中，底面ABCDEF是边长为2的正六边形，AG＝DH＝3，且AG，DH都与底面ABCDEF垂直．（I）求证：平面ABG//平面DEH；（II）平面BCHG与平面DEH所成二面角的正弦值。
安徽省江南十校联考2016届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年安徽省江南十校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（）C．（0，1）D．∅2．已知复数z满足z•（1+i2015）=i2016（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列命题中，真命题的是（）A．∀x＞0，2x＞x2B．∃x0∈R，e≤0C．“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件D．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件4．截至11月27日，国内某球员在2015﹣2016赛季CBA联赛的前10轮比赛中，各场得分x i（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．7 C．6 D．55．将函数y=cos2x的图象向右平移φ个单位得到函数y=cos2x﹣sin2x的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C． D．6．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为（）A．B．C．D．7．已知实数x，y满足，且目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4，则k等于（）A．B．C．﹣D．﹣8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且a2=b2+c2﹣bc，则△ABC的面积S的最大值为（）A．B．C．D．9．已知△ABC的边BC上一动点D满足=n（n∈N*），=x+y，则数列{（n+1）x}的前n项和为（）A． B． C．D．10．若抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，则双曲线C2的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．一个三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．B ．1C ．D ．212．函数f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+﹣在区间[﹣2，2]上的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．已知（+）5的展开式中的常数项为80，则65x 的系数为______．14．已知正数x ，y 满足2x +y=1，则4x 2+y 2+的最小值为______．15．若对于任意实数t ，圆C 1：（x +4）2+y 2=1与圆C 2：（x ﹣t ）2+（y ﹣at +2）2=1都没有公共点，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象如图所示，若函数g （x ）=3[f （x ）]3﹣4f （x ）+m 在x 上有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡的指定区域17．已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=2，且2a 1，a 3，3a 2成等差数列． （Ⅰ）求等比数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若c n =a n •（），n=1，2，3，…，且数列{c n }为单调递减数列，求λ的取值范围．18．从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数；（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．20．已知椭圆C的左、右焦点F1，F2在x轴上，左顶点为A，离心率e=，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF1F2的周长为8+4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求四边形MF1NF2面积的最小值．21．已知函数f（x）=e﹣ax2（其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若f（x）≤0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=0，当x＞0时，求证：对任意的正整数n都有f（）＜n!x﹣n．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）CT2=AE•BF．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．选修4-5：不等式选讲24．设f（x）=|x+3|﹣a|2x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年安徽省江南十校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（）C．（0，1）D．∅【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；交集及其运算．【分析】利用函数的单调性可得：A=[0，+∞），B=，即可得出A∩B．【解答】解：A={y|y=x}=[0，+∞），B={y|y=（）x，x＞1}=，则A∩B=，故选：A．2．已知复数z满足z•（1+i2015）=i2016（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数单位的幂运算，然后利用复数的乘法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z满足z•（1+i2015）=i2016，可得z（1﹣i）=1，可得z===．对应点的坐标（）．故选：A．3．下列命题中，真命题的是（）A．∀x＞0，2x＞x2B．∃x0∈R，e≤0C．“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件D．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件【考点】特称命题；全称命题．【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断即可．【解答】解：A．若x=3，则23=8，32=9，此时2x＞x2不成立，故A错误，B．∵∀x∈R，e x＞0，∴∃x0∈R，e≤0不成立，故B错误，C．当c=0，当a＞b时，“ac2＞bc2”不成立，即“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件错误，故C错误，D．当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，即“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件成立，故D正确，故选：D4．截至11月27日，国内某球员在2015﹣2016赛季CBA联赛的前10轮比赛中，各场得分x i（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，得到程序的功能，由茎叶图写出所有的数据，计算得分超过20分（不包括20分）的场数即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得其功能是计算得分超过20分（不包括20分）的场数，有茎叶图知，各场得分的数据为：14，17，27，21，28，20，26，26，31，44，∴根据茎叶图可知得分超过20分（不包括20分）的场数有7场．故选：B．5．将函数y=cos2x的图象向右平移φ个单位得到函数y=cos2x﹣sin2x的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由和差角的公式化简可得y=2cos2（x ﹣），由三角函数图象变换的规则可得．【解答】解：∵y=cos2x ﹣sin2x=2cos （2x +）=2cos （2x ﹣）=2cos2（x ﹣），∴φ的一个可能取值为．故选：D ．6．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案，代入概率计算公式计算．【解答】解：将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每所高校至少有一个班级去，则共有24﹣2=14种分配方案．恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有2×2=4种，∴P==．故选：B ．7．已知实数x ，y 满足，且目标函数z=y ﹣x 取得最小值﹣4，则k 等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由题意可知，直线y=x +z 经过可行域，且在y 轴上的截距的最小值为﹣4时，直线kx ﹣y +2过点（4，0），由此求得k 的值．【解答】解：如图，由题意可知，直线y=x +z 经过可行域，且在y 轴上的截距的最小值为﹣4．∴直线kx ﹣y +2过点（4，0），从而可得k=．故选：D ．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且a2=b2+c2﹣bc，则△ABC的面积S的最大值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得cosA=，解得A=，由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA==，A为三角形内角，解得A=，∵a=，∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC=bcsinA=bc≤．故选：C．9．已知△ABC的边BC上一动点D满足=n（n∈N*），=x+y，则数列{（n+1）x}的前n项和为（）A． B． C．D．【考点】数列的求和；向量的共线定理．【分析】通过=n（n∈N*）可知=+，与=x+y比较可得x=，进而计算可得结论．【解答】解：∵=n（n∈N*），∴=+，又∵=x+y，∴x=，∴数列{（n+1）x}是首项、公差均为1的等差数列，∴则数列{（n+1）x}的前n项和为，故选：C．10．若抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，则双曲线C2的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，可得=，再利用抛物线的定义，结合抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，可得c2+1=5，从而可求双曲线的几何量，可得结论．【解答】解：抛物线C1：y=x2的焦点F（0，1），双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∵抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，∴=，∵直线y=﹣1是抛物线的准线，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，∴根据抛物线的定义可知，当P，F及双曲线C2的一个焦点三点共线时最小，∴c2+1=5，∴c=2，∵c2=a2+b2，∴b=，a=1，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：B．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．B ．1C ．D ．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该三棱锥为棱长为2的正方体切割得到的，作出图形，结合图形代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该三棱锥为棱长为2的正方体切割得到的．即三棱锥A 1﹣MCD ．∴V=××2×2×2=． 故选C ．12．函数f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+﹣在区间[﹣2，2]上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求导f ′（x ）=1﹣x +x 2﹣x 3+…+x 2014﹣x 2015，分类讨论以确定f （x ）的单调性，从而确定函数的极值的正负，从而利用函数的零点判定定理判断即可． 【解答】解：∵f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+﹣，∴f ′（x ）=1﹣x +x 2﹣x 3+…+x 2014﹣x 2015， 当x=﹣1时，f ′（x ）=2016＞0，当x ≠﹣1时，f ′（x ）=，故当﹣2＜x ＜﹣1或﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＞0； 当1＜x ＜2时，f ′（x ）＜0；故f （x ）在[﹣2，1]上单调递增，在（1，2]上单调递减， 又∵f （﹣2）＜0，f （1）＞0，f （2）＜0，∴f （x ）在（﹣2，1）和（1，2）内各有一个零点， 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．已知（+）5的展开式中的常数项为80，则65x 的系数为 40 ．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于80求得实数a 的值，从而求得65x 的系数．【解答】解：∵（+）5的展开式中的通项公式为 T r+1=•a r •，令=0，求得r=3，即常数项为•a 3=80，求得a=2．故展开式中的通项公式为 T r+1=•2r•，令r=2，可得则65x 的系数为40，故答案为：40．14．已知正数x ，y 满足2x +y=1，则4x 2+y 2+的最小值为 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由基本不等式可得0＜xy ≤，令t=xy ，0＜t ≤，由4t ﹣在0＜t ≤递增，可得最小值．【解答】解：正数x ，y 满足2x +y=1， 可得2x +y ≥2， 即有0＜xy ≤，则4x 2+y 2+=（2x +y ）2﹣4xy +=1﹣（4xy ﹣），令t=xy ，0＜t ≤，由4t ﹣在0＜t ≤递增，可得t=时，4t ﹣取得最大值，且为﹣，则4x2+y2+在xy=时，取得最小值，且为1+=．故答案为：．15．若对于任意实数t，圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1都没有公共点，则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】通过两个圆的方程求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系即可求解．【解答】解：圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1的圆心在直线y=ax﹣2上，∴要使圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1没有公共点，必须使圆心C1（﹣4，0）到直线y=ax﹣2的距离大于两圆半径之和，即d=＞2，∴a＜﹣或a＞0．故答案为：a＜﹣或a＞0．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象如图所示，若函数g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m在x上有4个不同的零点，则实数m的取值范围是[，）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系．【分析】利用由y=Asin（ωx+φ）的部分图象可求得A，T，从而可得ω，又曲线经过（，0），|φ|＜，可得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式，将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，由导数求出单调区间，结合函数f（x）的图象，即可确定m的取值范围．【解答】解：由图知T=4（﹣）=2π，∴ω=1，∴f（x）=sin（x+φ），∵f（）=0，∴+φ=kπ，k∈Z．∴φ=kπ﹣，k∈Z．又|φ|≤，∴φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+）．由f（x）的图象可知，对于f（x）∈[，1）上的每一个值，对应着[﹣，]上的两个x值，又g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m=0，⇔m=﹣3[f（x）]3+4f（x）有4个不同的零点，令f（x）=t，则m=﹣3t3+4t．∵m′=﹣9t2+4=﹣9（t+）（t﹣），∴m=﹣3t3+4t在[，]上单调递增，在[，1]上单调递减，而当t=时，m=；当t=时，m=；当t=1时，m=1，结合图象可知，对于m∈[，）上的每一个值，对应着t=f（x）∈[，1）上的两个值，进而对应着[﹣，]上的4个x值．故答案为：[，）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡的指定区域17．已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•（），n=1，2，3，…，且数列{c n}为单调递减数列，求λ的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q=2，进而得到所求通项；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式a n代入c n=2n•（﹣λ），由c n+1﹣c n分离λ后，求出﹣的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由2a1，a3，3a2成等差数列，可得2a 3=2a 1+3a 2，即为2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，可得2q 2﹣3q ﹣2=0，解得q=2（﹣舍去）， 则a n =a 1q n ﹣1=2n ；（Ⅱ）c n =a n •（）=2n •（），由数列{c n }为单调递减数列，可得则c n+1﹣c n =2n+1•（﹣λ）﹣2n •（）=2n •（﹣﹣λ）＜0对一切n ∈N *恒成立，即﹣﹣λ＜0，即λ＞﹣==，当n=1或2时，n +取得最小值，且为3，则﹣的最大值为=，即有λ＞．即λ的取值范围是（，+∞）．18．从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数；（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算数据的平均值是各小矩形底边中点与对应的频率乘积的和；（Ⅱ）首先分别求质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，然后求出X=0、1、2时的概率，进而求出X 的分布列及数学期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，这40件样本该项质量指标的平均数=162.5×0.05+167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325+182.5×0.1+187.5×0.05=174.75cm ；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，∴X的可能值为：0，1，2；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，数学期望E（X）=0×+1×+2×=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接DF，EF，由已知结合三角形中位线定理可得四边形DFEC是平行四边形，从而得到CE∥DF．再由线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由题意证明OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．求出所用点的坐标，求得的坐标，再求出底面ABCD的一个法向量，则AE与底面ABCD所成角的正弦值可求；（Ⅲ）分别求出平面APD与平面PCD的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，则二面角A﹣PD﹣C的正弦值可求．【解答】解：（Ⅰ）当E为PB的中点时，CE∥平面PAD．证明如下：取PA的中点F，连接DF，EF，则EF∥，．由已知CD，CD=，则EF∥CD，EF=CD．∴四边形DFEC是平行四边形，∴CE∥DF．又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，∴CE∥平面PAD；（Ⅱ）取AD中点O，AB的中点G，连接OP，OG，∵PA=PD，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．由已知可得AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，又OG∥BD，∴OG⊥AD，∴OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．A（），P（0，0，），B（），E（），D（），C（，，0）．∴，是平面ABCD的一个法向量，设AE与底面ABCD所成角为θ，则sinθ=|cos|==；（Ⅲ）平面APD的一个法向量为，，=（，，﹣）．再设平面PCD的一个法向量为，由，得，取z=1，则x=﹣1，y=﹣1，∴．∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值的绝对值为=．∴二面角A﹣PD﹣C的正弦值为．20．已知椭圆C的左、右焦点F1，F2在x轴上，左顶点为A，离心率e=，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF1F2的周长为8+4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求四边形MF1NF2面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）根据e=，2a+2c=8+4，求解即可；（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），求出的坐标，然后求的值即可；（Ⅲ）先把四边形MF1NF2面积表示出来，然后求其最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，2a+2c=8+4，∴a=4，c=2，∴b=2，故椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣4，0），∴直线PA的方程为y=，∴M（0，）．同理，直线QA的方程为，∴N（0，），又F 1（﹣2，0），∴，，∴=12+（Ⅲ）|MN |=||=||=||=|，∴四边形MF 1NF 2的面积S==，∵|y 0|∈（0，2]，∴当y 0=±2时，S 有最小值8．21．已知函数f （x ）=e﹣ax 2（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性；（Ⅱ）若f （x ）≤0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a=0，当x ＞0时，求证：对任意的正整数n 都有f （）＜n!x ﹣n ．【考点】函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）利用定义判断，先判断定义域关于原点对称，再判断f （﹣x ）=f （x ）；（Ⅱ）不等式可整理为a ≥恒成立，只需求出右式的最大值即可，利用构造函数令g（x ）=，求出导函数g'（x ）=﹣（2x +1），得出函数的单调性，求出最大值；（Ⅲ）若a=0，f （x ）=，得出x n ＜n!e x ，利用数学归纳法证明不等式对一切n ∈N *都成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称， ∵f （﹣x ）=f （x ），∴函数f （x ）为偶函数；（Ⅱ）由偶函数性质可知，只需求当x ∈（﹣∞，0）时， f （x ）=﹣ax 2≤0恒成立，∴a ≥恒成立，令g （x ）=，g'（x ）=﹣（2x +1），当x ∈（﹣∞，）时，g'（x ）＞0，g （x ）递增，当x ∈（，0）时，g'（x ）＜0，g （x ）递减，∴g（x）的最大值为g（﹣）=4e﹣2，∴a≥4e﹣2，（Ⅲ）若a=0，f（x）=e，当x＞0时，f（x）=，f（）=e﹣x＜n!x﹣n．∴x n＜n!e x，（i）当n=1时，设g（x）=e x﹣x，（x＞0），∵x＞0时，g'（x）=e x﹣1＞0，∴g（x）是增函数，故g（x）＞g（0）=1＞0，即e x＞x，（x＞0）所以，当n=1时，不等式成立（ii）假设n=k（k∈N*）时，不等式成立，即x k＜k!•e x当n=k+1时设h（x）=（k+1）!•e x﹣x k+1，（x＞0）有h'（x）=（k+1）!•e x﹣（k+1）x k=（k+1）（k!•e x﹣x k）＞0故h（x）=（k+1）!•e x﹣x k+1，（x＞0）为增函数，所以，h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x k+1＜（k+1）!•e x，这说明当n=k+1时不等式也成立，根据（i）（ii）可知不等式对一切n∈N*都成立，故原不等式对一切n∈N*都成立．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）CT2=AE•BF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）证明B，C，T，F四点共圆，可得∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，利用△PBF∽△PTC，△PAE∽△PTC，结合切割线定理，即可证明CT2=AE•BF．【解答】证明：（Ⅰ）∵OT⊥EF，BF⊥AB，∠CTF=∠CBF=90°，∴∠CTF+∠CBF=180°，∴B，C，T，F四点共圆，∴∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，则△PBF∽△PTC，∴=①，△PAE∽△PTC，∴=②①×②=由切割线定理可得PT2=PA•PB，∴CT2=AE•BF．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）用x，y表示出cosθ，sinθ，根据正余弦的平方和等于1消参数得到普通方程；（II）写出直线l的参数方程，代入曲线的普通方程得到关于参数t的一元二次方程，根据参数的几何意义解出AB．【解答】解：（1）∵（θ为参数），∴cosθ=，sinθ=，∴．∴曲线C的普通方程为．（II）直线l的参数方程为（t为参数）．将l的参数方程代入得7t2+22t+14=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=2．∴t1，t2符号相同．∴|AB|=|t1﹣t2|===．选修4-5：不等式选讲24．设f（x）=|x+3|﹣a|2x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，对x分类讨论，去绝对值，分别求出f（x）＞3，得解集为（，1）；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，对x分类讨论：当x=时，a∈R；当x≠时，||≥a对[﹣1，）∪（，1]恒成立，只需求出左式的最小值即可．利用分离常数法得出=+∈（﹣∞，﹣）∪（4，+∞），进而求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，当x＜﹣3时，f（x）=x﹣4，f（x）＞3，∴无解当﹣3≤x≤时，f（x）=3x+2，f（x）＞3，∴＜x，当x＞时，f（x）=4﹣x，f（x）＞3，∴x＜1，∴解集为（，1）；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，∴|x+3|≥a|2x﹣1|恒成立，当x=时，a∈R，当x≠时，∴||≥a对[﹣1，）∪（，1]恒成立，∵=+∈（﹣∞，﹣）∪（4，+∞），∴||的最小值为，∴a≤．2016年9月14日。
安徽省江南十校2016届高三下学期联考数学(理)试卷
2016年安徽省“江南十校”高三联考 数学试题（理科） 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合，，则中的元素个数为 (A) (B) (C) (D) （2）若复数满足，则的实部为 (A) (B) (C) (D) （3）“”是“函数为奇函数”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 （4）已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为 (A) (B) (C) (D) （5）在平面直角坐标系中，满足的点的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系中，满足，的点的集合对应的空间几何体的体积为 (A) (B) (C) (D) （6）在数列中，，为的前项和.若，则数列的前项和为 (A) (B) (C) (D) （7）设是所在平面内一点，，则 (A) (B) (C) (D) （8）执行如图所示的程序框图，如果 输入的，则输出的 (A) (B) (C) (D) （9）已知函数的最小正周期为，且对，有成立，则的一个对称中心坐标是 (A) (B) (C) (D) （10）若满足约束条件则的取值范围为 (A) (B) (C) (D) （11）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为 (A) (B) (C) (D) （12）已知函数存在极小值，且对于的所有可能取值，的极小值恒大于，则的最小值为 (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）年月日我国全面二孩政策实施后，某岁以下的约人，岁至岁的约人，岁以上的约人.为了解存在显著差异用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本进行调查岁至岁的女性中抽取的人数为人，则 . （14）的展开式中，的系数为 . （15）椭圆，经过原点的直线交椭圆两点，若，，则椭圆的离心率为 . （16）已知为数列的前项和，，，若存在唯一的正整数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. (17)(本小题满分12分) 如图，平面四边形中，，， ，，，求 （Ⅰ）（Ⅱ）. (18)(本小题满分12分) 如图，多面体中，四边形边长为2的正方形，四边形为等腰梯形，，平面平面. （Ⅰ）平面; （Ⅱ）的面积为，求二面角的余弦值. (19)(本小题满分12分) 第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）. 第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国 38 51 32 28 16 俄罗斯24 23 27 32 26 （Ⅰ）（Ⅱ），丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为，求的分布及数学期望 (20)(本小题满分12分) 已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴. （Ⅰ）的长； （Ⅱ）和的动直线交于点和，交于点，若直线、、的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由. (21)(本小题满分12分) 已知函数. （Ⅰ）时，讨论的单调性； （Ⅱ），讨论的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有和的区间）. 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号. (22)(本小题满分10分) 选修外一点作的两条切线，其中为切点，为的一条直径，连并延长交的延长线于点. （Ⅰ）； （Ⅱ）,求的值. (23)(本小题满分10分)选修中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，，圆的方程为 （Ⅰ）中圆的标准方程； （Ⅱ）为圆上的任意一点，求面积的最大值. (24)(本小题满分10分)选修，记的解集为（Ⅰ）； （Ⅱ）,比较与的大小2016年安徽省“江南十校”高三联考 数学（理科）试题参考答案与评分标准 （1）B【解析】，，中有3个元素，故选B （2）A【解析】由，得，的实部为，故选A （3）C【解析】的定义域为，关于原点对称 当时，， ，故为奇函数； 反之，当为奇函数时， 又，故 所以“”是“函数为奇函数”的充要条件，故选C （4）C【解析】，不妨设的方程为，设 由 得，故到轴的距离为，故选C （5）B【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，为半径的球位于第一卦限的部分，体积为，故选B （6）C【解析】的前项和为 ，故选C （7）D【解析】，故选D （8）B【解析】第一次运行后；第二次运行后；第三次运行后；第四次运行后；第五次运行后；第六次运行后；此时不满足，输出，故选B （9）A【解析】由的最小正周期为，得.因为恒成立，所以，即，由，得，故.令，得，故的对称中心为，当时，的对称中心为，故选A （10）B【解析】作出可行域，设直线，平移直线，易知当过与的交点时，取得最大值；当与抛物线相切时取得最小值 由，消去得：，由，得，故，故选B （11）D【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为，两个底面面积之和为；半圆柱的侧面积为，两个底面面积之和为，所以几何体的表面积为，故选D （12）A【解析】 因为存在极小值，所以方程有两个不等的正根 故 由得，，分析易得的极小值点为， 因为，所以 设，则的极小值恒大于等价于恒大于 因为，所以在单调递减 故，解得，故，故选A （13）【解析】由题意可得，故 （14）【解析】的系数为 （15）【解析】不妨设点在第一象限，由对称性可得，因为在中，，故，易得，代入椭圆方程得：，故，所以离心率 （16）或【解析】时， 整理得，又，故 不等式可化为： 设，由于，由题意可得 ，解得或 (17) 【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理得： ， …………………2分 在中，由余弦定理得： …………………4分 所以 …………………6分 （Ⅱ）因为，，所以 因为 …………………8分 所以 …………………12分 （18）【解析】（Ⅰ）设的交点为，则为的中点，连接 由，得 所以四边形为平行四边形，故 …………………3分 又平面,平面 所以平面 …………………6分 （Ⅱ）方法一：因为平面平面，交线为， 所以平面，作于，连 平面，，又 平面，, 故为二面角的平面角. ……………………8分 取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，故 因为 所以.由，得 因为 所以，故 …………………10分 所以 故二面角的余弦值为 …………………12分 方法二：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，故，又平面平面，交线为，故平面，如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系. 因为 所以, 因此 …………………8分 设平面的法向量为 由，得，令，则 因为，所以平面， 故平面的法向量为 …………………10分 于是 由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角的余弦值为 …………………12分 (19) 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下 …………………3分 通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。
2016届安徽省江南十校联考高三(上)期末数学试卷(理科)解析版
2015-2016学年安徽省江南十校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2015秋•安徽期末）已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，） B．（）C．（0，1）D．∅2．（5分）（2015秋•安徽期末）已知复数z满足z•（1+i2015）=i2016（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）（2015秋•安徽期末）下列命题中，真命题的是（）A．∀x＞0，2x＞x2B．∃x0∈R，e≤0C．“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件D．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件4．（5分）（2015秋•安徽期末）截至11月27日，国内某球员在2015﹣2016赛季CBA联赛的前10轮比赛中，各场得分x i（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．7 C．6 D．55．（5分）（2015秋•安徽期末）将函数y=cos2x的图象向右平移φ个单位得到函数y=cos2x ﹣sin2x的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C． D．6．（5分）（2015秋•安徽期末）某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（2015秋•安徽期末）已知实数x，y满足，且目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4，则k等于（）A．B．C．﹣D．﹣8．（5分）（2015秋•安徽期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且a2=b2+c2﹣bc，则△ABC的面积S的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2015秋•安徽期末）已知△ABC的边BC上一动点D满足=n（n∈N*），=x+y，则数列{（n+1）x}的前n项和为（）A． B． C．D．10．（5分）（2015秋•安徽期末）若抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，则双曲线C2的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．（5分）（2015秋•安徽期末）一个三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．1 C．D．212．（5分）（2015秋•安徽期末）函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+﹣在区间[﹣2，2]上的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．（5分）（2015秋•安徽期末）已知（+）5的展开式中的常数项为80，则x的系数为．14．（5分）（2015秋•安徽期末）已知正数x，y满足2x+y=1，则4x2+y2+的最小值为．15．（5分）（2015秋•安徽期末）若对于任意实数t，圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1都没有公共点，则实数a的取值范围是．16．（5分）（2015秋•安徽期末）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象如图所示，若函数g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m在x上有4个不同的零点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡的指定区域17．（12分）（2015秋•安徽期末）已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•（），n=1，2，3，…，且数列{c n}为单调递减数列，求λ的取值范围．18．（12分）（2015秋•安徽期末）从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数；（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）（2015秋•安徽期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．20．（12分）（2015秋•安徽期末）已知椭圆C的左、右焦点F1，F2在x轴上，左顶点为A，离心率e=，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF1F2的周长为8+4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求四边形MF1NF2面积的最小值．21．（12分）（2015秋•安徽期末）已知函数f（x）=e﹣ax2（其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若f（x）≤0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=0，当x＞0时，求证：对任意的正整数n都有f（）＜n!x﹣n．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015秋•安徽期末）已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）CT2=AE•BF．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015秋•安徽期末）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．选修4-5：不等式选讲24．（2015秋•安徽期末）设f（x）=|x+3|﹣a|2x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年安徽省江南十校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2015秋•安徽期末）已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，） B．（）C．（0，1）D．∅【分析】利用函数的单调性可得：A=[0，+∞），B=，即可得出A∩B．【解答】解：A={y|y=x}=[0，+∞），B={y|y=（）x，x＞1}=，则A∩B=，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（5分）（2015秋•安徽期末）已知复数z满足z•（1+i2015）=i2016（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数单位的幂运算，然后利用复数的乘法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z满足z•（1+i2015）=i2016，可得z（1﹣i）=1，可得z===．对应点的坐标（）．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3．（5分）（2015秋•安徽期末）下列命题中，真命题的是（）A．∀x＞0，2x＞x2B．∃x0∈R，e≤0C．“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件D．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断即可．【解答】解：A．若x=3，则23=8，32=9，此时2x＞x2不成立，故A错误，B．∵∀x∈R，e x＞0，∴∃x0∈R，e≤0不成立，故B错误，C．当c=0，当a＞b时，“ac2＞bc2”不成立，即“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件错误，故C错误，D．当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，即“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件成立，故D正确，故选：D【点评】本题主要考查含有量词的命题的判断，根据特称命题和全称命题的定义是解决本题的关键．4．（5分）（2015秋•安徽期末）截至11月27日，国内某球员在2015﹣2016赛季CBA联赛的前10轮比赛中，各场得分x i（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】模拟执行程序框图，得到程序的功能，由茎叶图写出所有的数据，计算得分超过20分（不包括20分）的场数即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得其功能是计算得分超过20分（不包括20分）的场数，有茎叶图知，各场得分的数据为：14，17，27，21，28，20，26，26，31，44，∴根据茎叶图可知得分超过20分（不包括20分）的场数有7场．故选：B．【点评】解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．5．（5分）（2015秋•安徽期末）将函数y=cos2x的图象向右平移φ个单位得到函数y=cos2x ﹣sin2x的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C． D．【分析】由和差角的公式化简可得y=2cos2（x﹣），由三角函数图象变换的规则可得．【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=2cos（2x+）=2cos（2x﹣）=2cos2（x﹣），∴φ的一个可能取值为．故选：D．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数图象的变换，属基础题．6．（5分）（2015秋•安徽期末）某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案，代入概率计算公式计算．【解答】解：将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每所高校至少有一个班级去，则共有24﹣2=14种分配方案．恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有2×2=4种，∴P==．故选：B．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，是基础题．7．（5分）（2015秋•安徽期末）已知实数x，y满足，且目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4，则k等于（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由约束条件作出可行域，由题意可知，直线y=x+z经过可行域，且在y轴上的截距的最小值为﹣4时，直线kx﹣y+2过点（4，0），由此求得k的值．【解答】解：如图，由题意可知，直线y=x+z经过可行域，且在y轴上的截距的最小值为﹣4．∴直线kx﹣y+2过点（4，0），从而可得k=．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）（2015秋•安徽期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且a2=b2+c2﹣bc，则△ABC的面积S的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由已知及余弦定理可得cosA=，解得A=，由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA==，A为三角形内角，解得A=，∵a=，∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC=bcsinA=bc≤．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．9．（5分）（2015秋•安徽期末）已知△ABC的边BC上一动点D满足=n（n∈N*），=x+y，则数列{（n+1）x}的前n项和为（）A． B． C．D．【分析】通过=n（n∈N*）可知=+，与=x+y比较可得x=，进而计算可得结论．【解答】解：∵=n（n∈N*），∴=+，又∵=x+y，∴x=，∴数列{（n+1）x}是首项、公差均为1的等差数列，∴则数列{（n+1）x}的前n项和为，故选：C．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10．（5分）（2015秋•安徽期末）若抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，则双曲线C2的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用抛物线C1：y=x2的焦点F 到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，可得=，再利用抛物线的定义，结合抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，可得c2+1=5，从而可求双曲线的几何量，可得结论．【解答】解：抛物线C1：y=x2的焦点F（0，1），双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∵抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，∴=，∵直线y=﹣1是抛物线的准线，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，∴根据抛物线的定义可知，当P，F及双曲线C2的一个焦点三点共线时最小，∴c2+1=5，∴c=2，∵c2=a2+b2，∴b=，a=1，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：B．【点评】本题主要考查了抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．（5分）（2015秋•安徽期末）一个三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．1 C．D．2【分析】由三视图可知该三棱锥为棱长为2的正方体切割得到的，作出图形，结合图形代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该三棱锥为棱长为2的正方体切割得到的．即三棱锥A1﹣MCD．∴V=××2×2×2=．故选C．【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．12．（5分）（2015秋•安徽期末）函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+﹣在区间[﹣2，2]上的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求导f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014﹣x2015，分类讨论以确定f（x）的单调性，从而确定函数的极值的正负，从而利用函数的零点判定定理判断即可．【解答】解：∵f（x）=1+x﹣+﹣+…+﹣，∴f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014﹣x2015，当x=﹣1时，f′（x）=2016＞0，当x≠﹣1时，f′（x）=，故当﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；故f（x）在[﹣2，1]上单调递增，在（1，2]上单调递减，又∵f（﹣2）＜0，f（1）＞0，f（2）＜0，∴f（x）在（﹣2，1）和（1，2）内各有一个零点，故选：B．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了零点的判定定理的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．（5分）（2015秋•安徽期末）已知（+）5的展开式中的常数项为80，则x的系数为40．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于80求得实数a的值，从而求得x的系数．【解答】解：∵（+）5的展开式中的通项公式为T r+1=•a r•，令=0，求得r=3，即常数项为•a3=80，求得a=2．故展开式中的通项公式为T r+1=•2r•，令r=2，可得则x的系数为40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14．（5分）（2015秋•安徽期末）已知正数x，y满足2x+y=1，则4x2+y2+的最小值为．【分析】由基本不等式可得0＜xy≤，令t=xy，0＜t≤，由4t﹣在0＜t≤递增，可得最小值．【解答】解：正数x，y满足2x+y=1，可得2x+y≥2，即有0＜xy≤，则4x2+y2+=（2x+y）2﹣4xy+=1﹣（4xy﹣），令t=xy，0＜t≤，由4t﹣在0＜t≤递增，可得t=时，4t﹣取得最大值，且为﹣，则4x2+y2+在xy=时，取得最小值，且为1+=．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查配方法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．15．（5分）（2015秋•安徽期末）若对于任意实数t，圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1都没有公共点，则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞0．【分析】通过两个圆的方程求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系即可求解．【解答】解：圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1的圆心在直线y=ax﹣2上，∴要使圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1没有公共点，必须使圆心C1（﹣4，0）到直线y=ax﹣2的距离大于两圆半径之和，即d=＞2，∴a＜﹣或a＞0．故答案为：a＜﹣或a＞0．【点评】本题考查两个圆的位置关系的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．16．（5分）（2015秋•安徽期末）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象如图所示，若函数g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m在x上有4个不同的零点，则实数m的取值范围是[，）．【分析】利用由y=Asin（ωx+φ）的部分图象可求得A，T，从而可得ω，又曲线经过（，0），|φ|＜，可得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式，将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，由导数求出单调区间，结合函数f（x）的图象，即可确定m的取值范围．【解答】解：由图知T=4（﹣）=2π，∴ω=1，∴f（x）=sin（x+φ），∵f（）=0，∴+φ=kπ，k∈Z．∴φ=kπ﹣，k∈Z．又|φ|≤，∴φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+）．由f（x）的图象可知，对于f（x）∈[，1）上的每一个值，对应着[﹣，]上的两个x值，又g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m=0，⇔m=﹣3[f（x）]3+4f（x）有4个不同的零点，令f（x）=t，则m=﹣3t3+4t．∵m′=﹣9t2+4=﹣9（t+）（t﹣），∴m=﹣3t3+4t在[，]上单调递增，在[，1]上单调递减，而当t=时，m=；当t=时，m=；当t=1时，m=1，结合图象可知，对于m∈[，）上的每一个值，对应着t=f（x）∈[，1）上的两个值，进而对应着[﹣，]上的4个x值．故答案为：[，）．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ的值是关键，也是难点，考查识图与运算求解能力，此外还考查了复合函数零点的个数，一元二次方程的实根分布，以及换元法和数形结合法的解题思想，属于基本知识的考查．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡的指定区域17．（12分）（2015秋•安徽期末）已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•（），n=1，2，3，…，且数列{c n}为单调递减数列，求λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q=2，进而得到所求通项；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式a n代入c n=2n•（﹣λ），由c n+1﹣c n分离λ后，求出﹣的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由2a1，a3，3a2成等差数列，可得2a3=2a1+3a2，即为2a1q2=2a1+3a1q，可得2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2（﹣舍去），则a n=a1q n﹣1=2n；（Ⅱ）c n=a n•（）=2n•（），由数列{c n}为单调递减数列，可得则c n+1﹣c n=2n+1•（﹣λ）﹣2n•（）=2n•（﹣﹣λ）＜0对一切n∈N*恒成立，即﹣﹣λ＜0，即λ＞﹣==，当n=1或2时，n+取得最小值，且为3，则﹣的最大值为=，即有λ＞．即λ的取值范围是（，+∞）．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和，考查了数列的函数特性，训练了分离变量法求参数的取值范围，是中档题．18．（12分）（2015秋•安徽期末）从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数；（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算数据的平均值是各小矩形底边中点与对应的频率乘积的和；（Ⅱ）首先分别求质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，然后求出X=0、1、2时的概率，进而求出X的分布列及数学期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，这40件样本该项质量指标的平均数=162.5×0.05+167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325+182.5×0.1+187.5×0.05=174.75cm；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，∴X的可能值为：0，1，2；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，数学期望E（X）=0×+1×+2×=．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用问题，考查了分布列以及数学期望，解答此题的关键是要熟练掌握利用频率分布直方图，计算数据的平均值的方法．19．（12分）（2015秋•安徽期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接DF，EF，由已知结合三角形中位线定理可得四边形DFEC是平行四边形，从而得到CE∥DF．再由线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由题意证明OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．求出所用点的坐标，求得的坐标，再求出底面ABCD的一个法向量，则AE与底面ABCD所成角的正弦值可求；（Ⅲ）分别求出平面APD与平面PCD的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，则二面角A﹣PD﹣C的正弦值可求．【解答】解：（Ⅰ）当E为PB的中点时，CE∥平面PAD．证明如下：取PA的中点F，连接DF，EF，则EF∥，．由已知CD，CD=，则EF∥CD，EF=CD．∴四边形DFEC是平行四边形，∴CE∥DF．又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，∴CE∥平面PAD；（Ⅱ）取AD中点O，AB的中点G，连接OP，OG，∵PA=PD，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．由已知可得AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，又OG∥BD，∴OG⊥AD，∴OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．A（），P（0，0，），B（），E（），D（），C（，，0）．∴，是平面ABCD的一个法向量，设AE与底面ABCD所成角为θ，则sinθ=|cos|==；（Ⅲ）平面APD的一个法向量为，，=（，，﹣）．再设平面PCD的一个法向量为，由，得，取z=1，则x=﹣1，y=﹣1，∴．∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值的绝对值为=．∴二面角A﹣PD﹣C的正弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求线面角和面面角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．20．（12分）（2015秋•安徽期末）已知椭圆C的左、右焦点F1，F2在x轴上，左顶点为A，离心率e=，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF1F2的周长为8+4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求四边形MF1NF2面积的最小值．【分析】（Ⅰ）根据e=，2a+2c=8+4，求解即可；（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），求出的坐标，然后求的值即可；（Ⅲ）先把四边形MF1NF2面积表示出来，然后求其最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，2a+2c=8+4，∴a=4，c=2，∴b=2，故椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣4，0），∴直线PA的方程为y=，∴M（0，）．同理，直线QA的方程为，∴N（0，），又F1（﹣2，0），∴，，∴=12+（Ⅲ）|MN|=||=||=||=|，∴四边形MF1NF2的面积S==，∵|y0|∈（0，2]，∴当y0=±2时，S有最小值8．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，向量的数量积以及四边形的面积，属于中等题．21．（12分）（2015秋•安徽期末）已知函数f（x）=e﹣ax2（其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若f（x）≤0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=0，当x＞0时，求证：对任意的正整数n都有f（）＜n!x﹣n．【分析】（Ⅰ）利用定义判断，先判断定义域关于原点对称，再判断f（﹣x）=f（x）；（Ⅱ）不等式可整理为a≥恒成立，只需求出右式的最大值即可，利用构造函数令g（x）=，求出导函数g'（x）=﹣（2x+1），得出函数的单调性，求出最大值；（Ⅲ）若a=0，f（x）=，得出x n＜n!e x，利用数学归纳法证明不等式对一切n∈N*都成立即可．【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数；（Ⅱ）由偶函数性质可知，只需求当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣ax2≤0恒成立，∴a≥恒成立，令g（x）=，g'（x）=﹣（2x+1），当x∈（﹣∞，）时，g'（x）＞0，g（x）递增，当x∈（，0）时，g'（x）＜0，g（x）递减，∴g（x）的最大值为g（﹣）=4e﹣2，∴a≥4e﹣2，（Ⅲ）若a=0，f（x）=e，当x＞0时，f（x）=，f（）=e﹣x＜n!x﹣n．∴x n＜n!e x，（i）当n=1时，设g（x）=e x﹣x，（x＞0），∵x＞0时，g'（x）=e x﹣1＞0，∴g（x）是增函数，故g（x）＞g（0）=1＞0，即e x＞x，（x＞0）所以，当n=1时，不等式成立（ii）假设n=k（k∈N*）时，不等式成立，即x k＜k!•e x当n=k+1时设h（x）=（k+1）!•e x﹣x k+1，（x＞0）有h'（x）=（k+1）!•e x﹣（k+1）x k=（k+1）（k!•e x﹣x k）＞0故h（x）=（k+1）!•e x﹣x k+1，（x＞0）为增函数，所以，h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x k+1＜（k+1）!•e x，这说明当n=k+1时不等式也成立，根据（i）（ii）可知不等式对一切n∈N*都成立，故原不等式对一切n∈N*都成立．【点评】考查了偶函数的判定，恒成立问题的转换和数学归纳法的应用．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015秋•安徽期末）已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）CT2=AE•BF．【分析】（Ⅰ）证明B，C，T，F四点共圆，可得∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，利用△PBF∽△PTC，△PAE∽△PTC，结合切割线定理，即可证明CT2=AE•BF．【解答】证明：（Ⅰ）∵OT⊥EF，BF⊥AB，∠CTF=∠CBF=90°，∴∠CTF+∠CBF=180°，∴B，C，T，F四点共圆，∴∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，则△PBF∽△PTC，∴=①，△PAE∽△PTC，∴=②①×②=由切割线定理可得PT2=PA•PB，∴CT2=AE•BF．【点评】本题考查切割线定理的运用，考查三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015秋•安徽期末）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．【分析】（I）用x，y表示出cosθ，sinθ，根据正余弦的平方和等于1消参数得到普通方程；（II）写出直线l的参数方程，代入曲线的普通方程得到关于参数t的一元二次方程，根据参数的几何意义解出AB．【解答】解：（1）∵（θ为参数），∴cosθ=，sinθ=，∴．∴曲线C的普通方程为．（II）直线l的参数方程为（t为参数）．将l的参数方程代入得7t2+22t+14=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=2．∴t1，t2符号相同．∴|AB|=|t1﹣t2|===．【点评】本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数方程在求距离中的应用，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2015秋•安徽期末）设f（x）=|x+3|﹣a|2x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=1时，对x分类讨论，去绝对值，分别求出f（x）＞3，得解集为（，1）；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，对x分类讨论：当x=时，a∈R；当x≠时，||≥a对[﹣1，）∪（，1]恒成立，只需求出左式的最小值即可．利用分离常数法得出=+∈（﹣∞，﹣）∪（4，+∞），进而求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，当x＜﹣3时，f（x）=x﹣4，f（x）＞3，∴无解当﹣3≤x≤时，f（x）=3x+2，f（x）＞3，∴＜x，当x＞时，f（x）=4﹣x，f（x）＞3，∴x＜1，∴解集为（，1）；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，∴|x+3|≥a|2x﹣1|恒成立，当x=时，a∈R，当x≠时，∴||≥a对[﹣1，）∪（，1]恒成立，∵=+∈（﹣∞，﹣）∪（4，+∞），∴||的最小值为，∴a≤．【点评】考查了绝对值函数的求解和恒成立问题的转换．。
安徽省“江南十校”2016届高三学生冲刺联考理数试题Word版含答案.doc
理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}|{2x x x M ≥=，},13|{R x y y N x ∈+==，则=N M （ ） A ．}1|{>x x B ．}1|{≥x x C ．0|{≤x x 或}1>x D ．}10|{≤≤x x2.已知复数z 满足i z i 32)31-=+（（i 为虚数单位），则复数z 则复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知数列}{n a 满足151=a ，3432=a ，且212+++=n n n a a a ，若01<⋅+k k a a ，则正整数=k （ ）A ．21B ．22C ．23D ．244.设点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点，点F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为61：，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．022=±y x B ．022=±y x C ．023=±y x D ．023=±y x5.在空间直角坐标系xyz O -中，已知某四面体的四个顶点坐标分别是)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)2,0,0(C ，)2,1,1(D ，则该四面体的正视图的面积不可能为（ ）A ．2B ．3C ．214D ．22 6.设A 是由x 轴、直线)10(≤<=a a x 和曲线2x y =围成的曲边三角形区域，集合}10,10|),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，点P 落在区域Ω内的概率为1921，则实数a 的值是（ ） A ．161B ．31-C ．23- D ．2-7.执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值是（ ） A ．2 B ．81 C ．41 D ．218.若把函数）（6sinπω-=x y 的图象向左平移3π个单位，所得到的图象与函数x y ωcos =的图象重合，则ω的一个可能取值是（ ） A ．2 B ．23 C ．32 D ．21 9.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03020y x y x x 表示的平面区域上，则1222+-+=x y x z 的最小值为（ ） A ．1 B ．55 C ．2 D ．552 10.对于平面向量，给出下列四个命题： 命题1p ：若0>⋅，则a 与b 的夹角为锐角； 命题2p ：“||||||b a b a ⋅=⋅”是“b a //”的充要条件；命题3p ：当,为非零向量时，“0=+b a ”是“||||||||-=+”的必要不充分条件； 命题4p ：若||||b b a =+，则|2||2|+≥ 其中的真命题是（ ）A ．1p ，3pB ．2p ，4pC ．1p ，2pD ．3p ，4p11.已知直线l 是曲线1C ：2x y =与曲线2C ：)1,0(,ln ∈=x x y 的一条公切线，若直线l 与曲线1C 的切点为P ，则点P 的横坐标t 满足（ ）A ．210<<t B ．121<<t C ．222<<t D ．32<<t 12.已知点N M ,是抛物线24x y =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足135=∠MFN ，弦MN 的中点P 到直线l ：161-=y 的距离记为d ，若22||d MN ⋅=λ，则λ的最小值为（ ） A ．22B ．221-C ．221+D ．22+二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-2,32),1()(x x x f x f x，则=)2(log 3f .14.已知5)1)(223(xx x a x -+的展开式中的各项系数和为4，则2x 项的系数为 . 15.已知在梯形ABCD 中，CD AB //，AB AD ⊥，2=AB ，1==CD AD ，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥ABC D -，当二面角B AC D --是直二面角时，三棱锥ABC D -的外接球的表面积为 .16. 设数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数n a n n a n n ,,2，记n S 是数列}{n a 的前n 项和，则=1-22016S .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=⋅-.（1）求角C 的大小；（2）设)s i n (22si n 342B C A y -+-=，求y 的最大值并判断当y 取得最大值时ABC ∆的形状.18.4月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而获得更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动。
安徽省“江南十校”2016届高三3月联考数学(理)试题
2016年安徽省“江南十校”高三联考数学试题（理科）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II 卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. (D)8（9）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且对x R ∀∈，有()()3f x f π≤成立，则()f x 的一个对称中心坐标是(A)2(,0)3π- (B)(,0)3π- (C)2(,0)3π (D)5(,0)3π （10）若,x y 满足约束条件230,40,1,2x y x y y x ⎧⎪-≥⎪+-≤⎨⎪⎪≥⎩则z y x =-的取值范围为(A) []2,2-(B) 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C) []1,2- (D) 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（11）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(A) 416π++(B)516π++(C) 416π++(D)516π++侧视图32正视图俯视图（12）已知函数21()ln 2f x a x x bx =-+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为 (A)3e -(B)2e - (C)e - (D) 1e-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N = . （14）5(2)x y -的展开式中，23x y 的系数为 .（15）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P Q 、 两点，若=PQ a ，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为 .（16）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，1=1a ，2=(1)n n S n a +，若存在唯一的正整数n 使得不等式2220n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. (17)(本小题满分12分)如图，平面四边形ABCD中，AB =，AD =，CD =，30CBD ∠=，120BCD ∠=，求（Ⅰ）ADB ∠；（Ⅱ）ADC ∆的面积S .(18)(本小题满分12分)ABDC如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面⊥EFBD 平面ABCD . （Ⅰ）证明：DE //平面ACF ;（Ⅱ）若梯形EFBD 的面积为3，求二面角A BF D --的余弦值.(19)(本小题满分12分)第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .(20)(本小题满分12分)已知抛物线2:2C y px =经过点(2,2)M ，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线1l 经过点中国俄罗斯1 2 3 4 5CAN 且垂直于x 轴.（Ⅰ）求线段ON 的长；（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数2()=21xf x e ax ax +--. （Ⅰ）当1=2a 时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设函数()()g x f x '=，讨论()g x 的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有-∞和+∞的区间）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分) 选修4-1 :几何证明选讲 如图，过O 外一点E 作O 的两条切线EA EB 、，其中A B 、为切点，BC 为O 的一条直径，连CA 并延长交BE 的延长线于D 点. （Ⅰ）证明：ED BE =；（Ⅱ）若3AD AC =,求:AE AC 的值.OAC(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，），（），，（33233ππB A ，圆C 的方程为θρcos 2=（Ⅰ）求在平面直角坐标系xOy 中圆C 的标准．．方程； （Ⅱ）已知P 为圆C 上的任意一点，求ABP ∆面积的最大值.(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数12)(--=x x x f ，记1)(->x f 的解集为M . （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）已知M a ∈,比较12+-a a 与a1的大小. 2016年安徽省“江南十校”高三联考 数学（理科）试题参考答案与评分标准（1）B 【解析】132A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}0,1,2A B ⋂=，A B ⋂中有3个元素，故选B（2）A 【解析】由11z i i i -=-+（），得z ===，z的实部为12，故选A （3）C 【解析】()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称 当=0a 时，1()sin f x x x=-， 111()sin()sin (sin )()()f x x x x f x x x x-=--=-+=--=--，故()f x 为奇函数；反之，当1()sin f x x a x=-+为奇函数时，()()0f x f x -+= 又11()()sin()sin 2()f x f x x a x a a x x-+=--++-+=-，故=0a 所以“=0a ”是“函数1()sin f x x a x=-+为奇函数”的充要条件，故选C（4）C 【解析】12(F F ，不妨设l 的方程为y =，设00()P x由21200000(,),)360PF PF x x x ⋅=⋅=-=得0x =P 到x 02=，故选C（5）B 【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为3141836ππ⨯⨯=，故选B（6）C 【解析】1{}n n a a ++的前10项和为12231011a a a a a a +++++=12101112()a a a a a +++-102102120S =+⨯=，故选C（7）D 【解析】1322BD AD AB AC CD AB AC AB AB AC AB =-=+-=--=-，故选D（8）B 【解析】第一次运行后1,3,2===n a s ；第二次运行后2,5,5===n a s ；第三次运行后3,9,10===n a s ；第四次运行后4,17,19===n a s ；第五次运行后5,33,36===n a s ；第六次运行后6,65,69===n a s ；此时不满足t s <，输出6=n ，故选B（9）A 【解析】由)sin()(ϕω+=x x f 的最小正周期为π4，得21=ω.因为()()3f x f π≤恒成立，所以max ()()3f x f π=，即12()232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，由2πϕ<，得3πϕ=，故)321sin()(π+=x x f .令1()23x k k Z ππ+=∈，得22()3x k k Z ππ=-∈，故()f x 的对称中心为))(0,322(Z k k ∈-ππ，当0=k 时，()f x 的对称中心为)0,32(π-，故选A （10）B 【解析】作出可行域，设直线:l y x z =+，平移直线l ，易知当l 过30x y -=与40x y +-=的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线212y x =相切时z 取得最小值由212z y xy x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y 得：2220x x z --=，由480z ∆=+=，得12z =-，故122z -≤≤，故选B（11）D 【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为16242=⨯⨯，两个底面面积之和为3232212=⨯⨯⨯；半圆柱的侧面积为ππ44=⨯，两个底面面积之和为ππ=⨯⨯⨯21212，所以几何体的表面积为32165++π，故选D（12）A 【解析】2()a x bx af x x b x x-++'=-+=因为()f x 存在极小值，所以方程20x bx a -++=有两个不等的正根故12122+0040x x b x x a b b a ⎧=>⎪⋅=->⇒>⎨⎪∆=+>⎩由()0f x '=得1x =2x =()f x 的极小值点为1x ，因为b >1x == 211111()=()ln 2f x f x a x x bx =-+极小值 2221111111ln ln 22a x x x a a x x a =-+-=+-设21()ln (02g x a x x a x =+-<<，则()f x 的极小值恒大于0等价于()g x 恒大于0 因为2()0a a x g x x x x+'=+=<，所以()g x在单调递减故3()ln 02g x g a a >=≥，解得3a e ≥-，故3min a e =-，故选A （13）200【解析】由题意可得360060=2400+3600+6000N，故200N = （14）40-【解析】23x y 的系数为40)1(23235-=-⨯⨯C（15）5【解析】不妨设点P 在第一象限，由对称性可得22PQ a OP ==，因为AP PQ ⊥在Rt POA ∆中，1cos 2OP POA OA∠==，故60POA ∠=，易得1()4P a ，代入椭圆方程得：116316122=+b a ，故222255()a b a c ==-，所以离心率552=e （16）21t -<≤-或112t ≤<【解析】2n ≥时， 11(1)22n n n n n n a na a S S --+=-=- 整理得11n n a a n n -=-，又1=1a ，故n a n = 不等式2220n n a ta t --≤可化为：2220n tn t --≤设22()2f n n tn t =--，由于2(0)20f t =-≤，由题意可得22(1)120(2)4220f t t f t t ⎧=--≤⎪⎨=-->⎪⎩，解得21t -<≤-或112t ≤< (17) 【解析】（Ⅰ）在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 3sin CD BD BCD CBD =⋅∠==∠， …………………2分在ABD ∆中，由余弦定理得：222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅==…………………4分 所以45ADB ∠= …………………6分 （Ⅱ）因为30CBD ∠=，120BCD ∠=，所以30CDB ∠=因为6sin sin(4530)ADC ∠=+= …………………8分 所以1sin 2S AD CD ADC =⋅⋅∠12=⨯=…………………12分（18）【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，连接OF由BD EF BD EF 21,//=，得OD EF OD EF =,// 所以四边形EFOD 为平行四边形，故OF ED // …………………3分 又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF 所以DE //平面ACF…………………6分（Ⅱ）方法一：因为平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，AO BD ⊥ 所以AO ⊥平面EFBD ，作BF OM ⊥于M ，连AM AO ⊥平面BDEF ，AO BF ∴⊥，又=OM AO O ⋂ BF ∴⊥平面AOM ，AM BF ⊥∴,故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角. ……………………8分 取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥ 因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形132OP =⨯⨯= 所以2=OP .由12PF OB ==BF OF ===因为1122FOB S OB OP OM BF ∆=⋅=⋅ 所以OB OP OM BF ⋅==，故AM == …………………10分 所以2cos 3OM AMO AM ∠== 故二面角A BF D --的余弦值为23…………………12分 方法二：取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥，又平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，故OP ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.CC因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形132OP =⨯⨯= 所以2=OP , )2,220(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，F C B A -因此(2,20),(0,AB BF =-=-， …………………8分 设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =由00n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得002y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，则(2,2,1)n = 因为AO BD ⊥，所以AO ⊥平面EFBD ，故平面BFD 的法向量为(2,0,0)OA =…………………10分 于是22cos ,32OA n OA n OA n⋅<>===⋅ 由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角A BF D --的余弦值为23…………………12分(19) 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下…………………3分通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。