南京航空航天大学 2005年运筹学 考研真题及答案
2011 运筹学(试题)参考答案 南京航空航天大学 硕士研究生入学考试试题
南京航空航天大学2011年硕士研究生入学考试参考答案科目代码：824科目名称：运筹学一、（本题15分，3分×5=15分）判断下列说法是否正确。
若正确打“√”，错误打“×”。
1. 若线性规划问题的可行解为最优解，则该可行解必定是基可行解。
(√)2. 若X 1,X 2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X 1+λ2X 2也是该线性规划问题的最优解，其中λ1，λ2为正实数。
(×)3. 指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一常数，不影响最优指派方案。
(√)4. 若需将某工程项目工期缩短到10天，简单可行的方法是：做生意找出该项目网络中一条关键路线，采取必要措施将其缩短到10天即可。
(×)5. 运输问题按照最小元素法给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出且仅能找出唯一的闭合回路。
(×)二、（本题30分，5分×6=30分）简答题1. 简述影子价格及其经济意义。
答：影子价格是根据资源在生产中做出的贡献而作出的估价。
其含义：（1） 市场价格随市场供求变化，影子价格则有赖于资源的利用情况。
（2） 影子价格是一种边际价格，表示每增加一个单位资源时目标函数值的增量。
（3） 影子价格是一种机会成本，当市场价格低于影子价格时，应购进该种资源，反之则应出售该种资源。
（4） 影子价格为0时表示该种资源未得到充分利用，大于0时表示已耗费完毕。
（5） 影子价格可作为公司内部结算价格，以便控制有限资源的合理利用。
2. 简述对偶问题的“互补松弛性”。
答：在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格的等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零，也即：如ˆ0,i y >果则1ˆ.n ijj i j a x b ==∑ 如果1ˆ,n ijj i j a x b =<∑则ˆ0.i y= 3. 简述割平面法的基本思想。
2005年全国考研数学二真题答案解析.doc
1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x xx x e y x x +⋅++⋅='+，从而π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得x xx x y ys i n 1c o s )s i n 1l n (1+++='， 于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x xx x x y x +⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→x x x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。
这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x )(lim∞→=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则=--⎰1221)2(x xxdx⎰-202cos )sin 2(cos sin πdt t t tt=.4)arctan(cos cos 1cos 20202πππ=-=+-⎰t tt d【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 4...【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为x y x y ln 2=+'，于是通解为⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x x C dx ex ey dxx dxx=2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为x x xy y x ln 222=+'，即x x y x ln ][22='，两边积分得 Cx x x xdx x y x +-==⎰332291ln 31ln ，再代入初始条件即可得所求解为.91ln 31x x x y -=5…【分析】 题设相当于已知1)()(lim0=→x x x αβ，由此确定k 即可.【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim )()(limkx xx x x x x x -+=→→αβ=)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim20x x x kx x x x x ++-+→=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k x x x x x ，得.43=k 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.6…【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有.221941321111=⨯=⋅=A B【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。
南京大学2005年高等代数考研试题及参考答案
123451231231231121311222321231323331424341525351121311.(,,,,),1,2,3;(,,),1,2,3,,.,,0i i i i i i j j j j a a a a a i a a a j a a a a a a x a a a a a a a a a a a a α==β==αααβββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ααα=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一、判断题设正确！如果线形相关，则，，线形相关如果线形相关，齐次线性方程有非零解所以秩1112131222322122231323333132331424341525351112132122231233132333,30a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a a a ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥< ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪=βββ ⎪ ⎪⎝⎭所以秩〈，那么齐次线性方程也有非零解，所以，，线形相关1232.,.2102004211100212210010120123..101101014.A B n AB A B AB AB n A B A B A B A B A ，B V V V 是线性空间V 的子空间⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设都是阶正定的矩阵，则也是正定的错误！设，，，显然非对称如果阶方阵，有完全相同的特征值，则，相似错误！，，，有完全相同的特征值，但不相似，，123112112211225..00，而且任意两个的交为0V V V V P A ，B C V A AB AC B C V P A ，B C V A A B B C C AB AC B C+==ε=εε=ε=εε=εε=ε+εε===，则+是直和。
正确！设是数域上的有限维线性空间，，都是上的线性变换，并不是零变换如果，则错误！设是数域上的二维线性空间，定义，都是上的线性变换，；，；，得出，但！ ,65432414243441.()106_310580201115(12)2005200311202.,2340246813573.(1,2,1),(1,2,1),(1,2,1),(2,3,1)(1,2,0),f x x x x x x x f D A A A A A diag B diag C diag D diag G diag B D C G 与A 相似的矩阵是：B与A 合=-+-+-==+++==-=-=--=-=二、填空则则在实数域上，，，，中，32200.21043det()?(210)3425.||111()()()(1)3333100100310033同，但不相似的矩阵是：D与A 等价，但不合同，也不相似的矩阵是：C4A B A A E B A A A f ⎛⎫- ⎪==+-= ⎪ ⎪⎝⎭=λ=λ++λ+-λ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，，1是三级正交矩阵，迹为，，则的特征多项式为？若当标准型为？322212312312132323(,,)255448222254245det()(1)(10)()10(1,2,2)'()1(2,1,0)',(2,0,1)'f x x x x x x x x x x x x E A i ii =+++--⎛⎫- ⎪- ⎪⎪--⎝⎭λ-=λ-λ-λ=α=-λ=α=-α=12三、用正交线性变换将二次型化为标准型，并写出正交线性变换该二次型对应的矩阵A=当，对应的特征向量当，对应的特征向量然后用施23(1,2,2)';(2,1,0)';(2,4,5)'β=-β=-β=1密特法正交化12311111111111(,,),000000n n n C X CY四、设A ，B 都是数域上的n 阶方阵，A 有n 个不同的特征值，AB =BA 证明B 相似于对角阵A n A T T AT AB =BA T ATT BT T BTT AT T BT T BT -------=βββ=⎛⎫λ ⎪=λλ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭=⎛⎫λλ ⎪= ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭ 令变换由于有个不同的特征值，所以可以对角化也就是存在可逆矩阵，使得，，，互不相同由于，所以即1111111111111111111111000000n n n n nn n n nn n n nn n n m mn n a a a a T BT a a a a a a a a a a a T BT a a a --⎛⎫ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫λ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫λ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设，所以化简得出为对角阵，即n ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即证((),())1()((),())1,(),(),()()()()1,()()()()()0,()(),|()||()|||1()!0,f f(A)m f i m f m f A m A A f A E m A A f A E A f A E f A f(A)λλ⇔λλ=λλ=μλνλμλλ+νλλ=μ+ν==ν=ν===五、设m()是数域P 上n 阶方阵A 的最小多项式，()是数域P 上的任意多项式证明：可逆若所以存在多项式使得所以又因为所以所以从而可逆(((),())()()|(),()|()()0()0)|()|()()|0,1若f(A)可逆m f d d m d f d m A d d A d(A)=0d f f A f(A)d λλ=λ∴λλλλλλ=λλ=λλλλ=λ0000ii)，设如果是的一个解，那么是的一个解也就意味着是的一个特征值，且()是(的一个特征值所以|,由于，所以|这与可逆矛盾()=。
2005年考研数学试题答案与解析(数学一)
2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线的斜渐近线方程为【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=，，于是所求斜渐近线方程为（2）微分方程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为，于是通解为=，由得C=0，故所求解为（3）设函数，单位向量，则=.【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量}的方向导数为：因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为，，，于是所求方向导数为=（4）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则.【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】=（5）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么2 .【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有=，于是有（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】=+++=二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当时，；当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ A ]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).（9）设函数, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A). （B）.(C). (D). [ B ] 【分析】先分别求出、、，再比较答案即可.【详解】因为，，于是，，，可见有，应选(B).（10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分别求出三个偏导数，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=, 则，，，且，，. 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A). (B). (C). (D). [ B ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令，则，.由于线性无关，于是有当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).方法二：由于，可见，线性无关的充要条件是故应选(B).（12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则(A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得.(C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得.[ C ]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得，于是，即,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为X Y 0 10 0.4 a1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1,b=0.4 [ B ]【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5又事件与相互独立，于是有，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(A)(B)(C)(D)[ D ]【分析】利用正态总体抽样分布的性质和分布、t分布及F分布的定义进行讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，，可排除(A);又，可排除(C); 而，不能断定(B)是正确选项.因为，且相互独立，于是故应选(D).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令，.则==（16）（本题满分12分）求幂级数的收敛区间与和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记则由于所以又从而（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0,; f(3)=2,由分部积分，知==（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（）存在使得；（）存在两个不同的点，使得【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在使得，即.（）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是（19）（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（）求函数的表达式.【分析】证明（）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可.Y【详解】（）l2 Co X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则.（）设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有.①②比较①、②两式的右端，得④③由③得，将代入④得所以，从而（20）（本题满分9分）已知二次型的秩为2.（）求a的值；（）求正交变换，把化成标准形；（）求方程=0的解.【分析】（）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；（）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（）二次型对应矩阵为，由二次型的秩为2，知，得a=0.（）这里，可求出其特征值为.解，得特征向量为：，解，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=（）由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1）若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：,不妨设,则其通解为为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（） (X,Y)的边缘概率密度；（）的概率密度【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（）关于X的边缘概率密度===关于Y的边缘概率密度===（）令，1）当时，；2）当时，=;3) 当时，即分布函数为：故所求的概率密度为：（23）（本题满分9分）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记求：（）的方差；（）与的协方差【分析】先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方差，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】由题设，知相互独立，且，（）==（）=====。
2005年考研数学二试题及答案
2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= .（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.（3）=--⎰1221)2(xxxdx（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222yux u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222y u x u ∂∂=∂∂. (C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ]（12）设函数,11)(1-=-x xex f 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ] （14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分） 如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： xx y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(xxx x e y x x +⋅++⋅='+，从而 π=x dy=.)(dx dx y ππ-='方法二： 两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得xx x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='， 于是 ]sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(xxx x x y x+⋅++⋅+='，故π=x dy=.)(dx dx y ππ-='【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=,1)1(lim )(lim23=+=+∞→+∞→xx x x x f x x[]23)1(lim)(lim 2323=-+=-=+∞→+∞→xxx ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.23+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。
2005年考研数学试题答案与解析(数学一)
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y(x, z) 和 z = z(x, y)
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x(y, z) 和 y = y(x, z)
(11)设 1,2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别
为 α1,α2 ,则 α1 , A(α1 + α2) 线性无关的充分必要条件是
xy y 2
(D)
2u xy
=
2u x 2
(10)设有三元方程 xy − z ln y + exz =1 ,根据隐函数存在定理,存在点
(0,1,1) 的一个邻域,在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z(x, y)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x(y, z) 和 z = z(x, y)
A = (1, 2 , 3 ) ，B = ( 1 + 2 + 3 , 1 + 2 2 + 4 3 , 1 + 3 2 + 9 3 ) ，
如果 A = 1 ，那么 B = 2 .
【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 可.
【详解】 由题设，有
B = ( 1 + 2 + 3 , 1 + 2 2 + 4 3 , 1 + 3 2 + 9 3 )
证明: (1)存在 (0,1), 使得 f () = 1− .
(2)存在两个不同的点, (0,1) ,使得 f () f ( ) = 1.
(19)(本题满分 12 分)
设函数(y) 具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲
2005年考研数学二试题及答案
2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= 。
（2） 曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.（3）=--⎰1221)2(xxxdx（4） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为(5)当0→x 时,2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .二、选择题(本题共8小题，每小题4分,满分32分。
每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A ） 处处可导. （B) 恰有一个不可导点。
(C) 恰有两个不可导点. (D ） 至少有三个不可导点。
[ ] （8）设F(x)是连续函数f （x ）的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N"，则必有(A) F （x)是偶函数⇔f(x)是奇函数。
（B) F(x)是奇函数⇔f （x)是偶函数.(C) F （x)是周期函数⇔f （x ）是周期函数. (D) F （x ）是单调函数⇔f(x ）是单调函数。
［ ］(9）设函数y=y(x ）由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A ） 32ln 81+. (B ） 32ln 81+-. （C) 32ln 8+-。
（D) 32ln 8+. [ ](10)设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a ，b为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A ） πab . (B)π2ab 。
专业技法与理论2015年南京航空航天大学硕士研究生考试真题
科目代码：995科目名称：专业技法与理论 第1页 共1页 南京航空航天大学
2015年硕士研究生入学考试初试试题
A 卷 科目代码: 995 科目名称: 专业技法与理论 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无
效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
美术史论综合部分（50分）
一、简述题（30分，每题10分，所有方向考生必答）
1、新造型主义或风格派
2、用明暗表现形体
3、清初“四王”山水是指那四位画家？并简述其绘画特色及影响。
二、论述题（20分，2题任选其1）
1、《开国大典》——“油画民族论”的创作观念及审美追求
2、试论颜真卿作为与王羲之相提并论的大书家其在楷书、行草书上的艺
术成就及其在历史上对后世书家的影响
专业技法部分（100分）
一、默画室外有人物的场景画（100分，默画有两个以上人物组合的有室外场
景的单色画一幅。
限定为01油画创作、03数字媒体美术图形图象、04壁画创作、05素描造型技法、06中国画创作方向考生的考题）
二、书法专业理论(100分，不得少于1500字，限定为02书法创作方向考生
的考题)
根据你对当前书法界个方面情况的了解，请论证一下你心目中最理想的书法家应该具备哪些修养、能力？
梦想不会辜负每一个努力的人。