2021-2022学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高二(上)开学数学试卷(附答案详解)
2022上海高二数学满分攻略(沪教版2020第一册)第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练)练习
第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练)一、平均变化率【例1】（2018·上海市吴淞中学高三期中）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y ＝f (x )的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·北京延庆·高二期末）函数2()f x x 在区间[2,4]上的平均变化率等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【例3】（2021·广西河池·高二阶段练习（理））在导数定义中“当0x ∆→时，()0yf x x∆→'∆”，x ∆（ ） A ．恒取正值 B ．恒取正值或恒去取负值 C ．有时可取0D ．可取正值可取负值，但不能取零【例4】（2021·江苏·高二专题练习）“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m 时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min 内将速度从约20000 km ／h 降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v ，着陆过程中速度的平均变化率为a ，则（ ） A ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈/ B ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈/ C ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈-/ D ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈-/ 二、瞬时变化率【例1】（2021·广西·高三阶段练习（文））已知某物体位移S （米）与时间t （秒）的关系是323S t t =-，则速度为9米/秒的时刻是（ ） A ．1秒末 B ．0秒末 C ．3秒末D ．1秒末或3秒末【例2】（2021·全国·高二课时练习）一物体的运动满足曲线方程s (t )＝4t 2＋2t －3，且s ′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（ ）A ．物体5 s 内共走过42 mB ．物体每5 s 运动42 mC ．物体从开始运动到第5 s 运动的平均速度是42 m/sD ．物体以t ＝5 s 时的瞬时速度运动的话，每经过1 s ，物体运动的路程为42 m 【例3】（2021·山东·高三阶段练习）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与直径d （单位：dm ）的关系式为36V d π=，估计当1d dm =时，气球体积的瞬时变化率为（ ）A ．2πB ．πC ．2π D ．4π 【例4】（2021·北京海淀·高二期中）一个小球作简谐振动，其运动方程为()10sin 3x t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中()x t (单位：)cm 是小球相对于平衡点的位移，t (单位：s )为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，t =（ ） A ．1B ．56C ．12D ．13【例5】（2021·重庆·高二期末）1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的含量M （单位：太贝克）随时间t （单位：年）的衰变规律满足函数关系：()573002t M t M -=，其中0M 为0=t 时碳14的含量，已知5730t =时，碳14的含量的瞬时变化率是ln 220-（太贝克/年），则()2865M =（ ）太贝克.A ．573BC ．D ．1146【例6】（2021·全国·高二课时练习）枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，其路程（单位：m ）与时间（单位：s ）的关系为()212s t at =，如果枪弹的加速度52510/a m s =⨯，且当31.610t s -=⨯时，枪弹从枪口射出，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．三、导数的概念【例1】（2021·全国·高二课时练习）已知物体做直线运动的方程为()s s t =，则()410s '=表示的意义是（ ）A ．经过4s 后物体向前走了10mB ．物体在前4秒内的平均速度为10m/sC ．物体在第4秒内向前走了10mD ．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s【例2】（2021·北京育才学校高三阶段练习）某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________.【例3】（2021·江苏·高二课时练习）已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值.【例5】（2021·全国·高二课时练习）一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2.（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t ＝2时的瞬时速度； （3）求t ＝0到t ＝2之间的平均速度．四、导数的几何意义【例1】（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线430x y +-=平行，则l 的方程为（ ）A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．x －4y ＋3＝0D ．4x ＋y ＋4＝0【例2】（2022·浙江·温州中学高三期末）如图，函数()3f x x =的图象Γ上任取一点()3,,0A m m m ≠，过点A 作其切线1l ，交Γ于点B ，过点B 作其切线2l ，交Γ于点C ，过点C 作其切线3l ，交1l 于点D ，则AD AB的取值（ ）A ．与m 有关，且存在最大值B ．与m 有关，且存在最小值C ．与m 有关，但无最值D ．与m 无关，为定值【例3】（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（ ）A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【例4】（2022·上海·高三专题练习）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 【例5】（江西省抚州市2021-2022学年高二上学期期末数学（理）试题）已知曲线()1e ln 1e=-+x f x x x 在点()()00,x f x 处的切线的斜率为1e ，则00ln x x +=______．【例6】（2022·山西吕梁·高二期末）若直线y kx b =+是曲线2e x y -=的切线，也是曲线1e 1x y +=-的切线，则b =__________．【例7】（2022·山东滨州·高二期末）曲线cos x y x =在点π,02M ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______．【例8】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））设曲线212y x =在点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与曲线ln y x x =在点P 处的切线互相平行，则点P 的坐标为___________. 【例9】（2022·辽宁·东北育才学校高三期末）若函数()()320,0f x mx nx px q m n =+++≠≠上相异的点()()(),1,2,3,4,5,6i i x f x i =，满足如下条件：①()()()1230f x f x f x ===；②函数()f x 关于点()()44,x f x 对称；③函数()f x 在点()()55,x f x 处的切线与其相交于点()()66,x f x ；则()12356412x xx x x x ++++=___________.【例10】（2022·山西·康杰中学高二期末）若实数a ，b ，c ，d 满足ln 11a c b d+==，则()()22a cb d -+-的最小值为______.【例11】．（2021·上海·高二专题练习）已知直线()()()11410a x a y a -++-+= （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数1y x x=+的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是___________．【例12】（2022·陕西·高三期末（理））若曲线ln y x =在点()e,1P 处的切线与曲线e ax y =相切，则=a ______．【例13】（2022·湖南·高二期末）已知函数()()21e ,e 1x xf xg x -+==-.(1)O 是坐标原点，()f x 的图象在2x =处的切线与,x y 轴分别交于,A B 两点，求OAB 的面积；(2)若直线y kx b =+是曲线()y f x =与()y g x =的公切线，求,k b 的值.【例14】（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)e (1)=-+-x f x x a x ，a R ∈． (1)求曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程； (2)若0a ≥，求()f x 的零点个数；(3)若()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：122x x +<．【例15】（2021·全国全国·模拟预测）已知函数()sin cos f x ax x b x =-，()ln 3g x x x =++．在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题．①0a b +=，②1a b -=，③1a b +=-．(1)（ⅰ）______，曲线()f x 在点()()π,πf 处的切线经过点()0,π1-，求实数a 的值； （ⅱ）求证：22y x =+是曲线()g x 的一条切线．(2)π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当2a =，0b =时，求证：()()πf x g x +>．一、单选题1．（2022·江苏徐州·高二期末）已知函数()f x 的定义域为R ，若()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·山西临汾·一模（文））已知函数22()2ln f x e x x =+，则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为（）A ．240ex y e -+=B ．240ex y e --=C ．240ex y e ++≡D ．240ex y e +-=3．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（河南省驻马店市2021-2022学年高三上学期期末数学（理科）试题）已知函数()222e x f x x -=，则曲线()y f x =在x =1处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．23B ．98C ．43D ．945．（2022·江西赣州·高三期末（理））曲线222e -=+x y x 在1x =处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．16．（2022·江苏镇江·高二期末）若点A 是函数4x y x e =-图象上的动点（其中e 的自然对数的底数），则A 到直线33y x =-的距离最小值为（ ）A B ．4910C D ．177．（2022·浙江·镇海中学高二期末）点A 是曲线23ln 2y x x =-上任意一点，则点A 到直线21y x =-的最小距离为（ ）A B C D 8．（2019·上海交大附中高一期末）函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知反双曲正切函数11()ln 21xf x x+=-，则（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的定义域是[1,1]-C ．曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =D ．函数()()sin g x f x x =-有且仅有3个零点三、填空题10．（2021·安徽·淮南第一中学高三阶段练习（理））曲线()e cos 1xf x x =+在点()()0,0f 处的切线方程为______.11．（2022·重庆南开中学高二期末）曲线()1e xf x +=在点()()0,0f 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为__________.12．（2022·福建福清·高二期末）若()()0002lim1t f x t f x t→+-=，则()0f x '=___．13．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））已知曲线()y f x =在点()()2,2M f 处的切线方程是25y x =+，则()()22f f '+的值为______．14．（2022·河南南乐·高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，直线y x b =-与曲线()ln y x a =+相切，则125221b a b +++的最小值是______． 15．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．16．（2015·上海·高三阶段练习）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+(k ，b 为常数)，对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x mh x g x m <-<⎧⎨<-<⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为{|1}D x x =>的四组函数如下：①()2f x x =，()g x = ②()102xf x -=+，()23x g x x-=； ③21()x f x x+=,ln 1()ln x x g x x +=；④22()1x f x x =+,()()21xg x x e -=--其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是________．四、解答题17．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）设点P 是曲线()32f x x =-+上的任意一点，k 是该曲线在点P 处的切线的斜率． (1)求k 的取值范围；(2)求当k 取最大值时，该曲线在点P 处的切线方程．18．（2022·江苏·高二）设函数()2ln f x x a x =-，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线2710x y ++=垂直．(1)求()f x 的解析式；(2)设曲线()y f x =在1x =处的切线为l ，求l 与两直线0x =和1y x =-+所围成的三角形的面积．19．（2022·河北衡水·高二期末）设()sin cos f x x x x =-，证明：曲线()f x 在点ππ,22P f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1．20．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ． (1)当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程；(2)若0(P x ，0)y 是C 上的任意点，求证：P 点处的切线的斜率为012k x =； (3)证明：以AB 为直径的圆恒过点M ．21．（2022·江西吉安·高二期末（理））（1）求与直线112y x =-+垂直，且与曲线ln y x =相切的直线方程；（2）求过原点，且与曲线x y e =相切的直线方程.22．（2022·全国·高三专题练习）已知222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使04()5f x ≤，求a 的值．23．（江西省重点中学协作体2022届高三2月第一次联考数学（理）试题）已知函数2()e sin ,()31x f x x x g x ax x =++=++．(1)求()f x 在x ＝0处的切线方程；(2)当0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求a 取值范围．24．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数()ln f x x =，()bg x a x=+(1)若函数()f x 在e x =处的切线与函数()·y x g x =的图象平行，求a ，b 满足的条件； (2)若()10g =，且()()(1)f x g x x >>恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当1b =-时，讨论方程()()af x g x =的根的个数.25．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知函数()()ln 2f x x x =+. (1)求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若12,x x 为方程()f x k =的两个不相等的实根，证明： （i ）()1f x x --；（ii ）12111ln2x x k ⎛⎫-≤++ ⎪⎝⎭.。
2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．若()1,2,3AB =-，()1,1,5BC =--，则AC =（ ）A B C ．5 D ．10 【答案】A【分析】先求出AC ,再利用向量的模长计算公式即可【详解】因为(1,2,3)(1,1,5)(0,1,2)AC AB BC =+=-+--=-所以2||0AC =故选:A2．直线420x ay -+=与直线2x －y +7=0平行，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】根据直线平行可得方程4(1)()2a ⨯-=-⨯，即可得到答案.【详解】两直线平行，所以有4(1)()22a a ⨯-=-⨯⇒=,故选：B.3．在等比数列{}n a 中，且3944a a a =，则8a =（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 【答案】C【分析】利用等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，即可计算出8a 的值.【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；所以483944a a a a a ==，因为40a ≠，所以84a =.故选：C.4．已知{},,a b c 是空间向量的一个基底，{,,}a b a b c +-是空间向量的另一个基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．(4,0,3)B ．(1,2,3)C ．(3,1,3)D ．(2,1,3)【答案】C【分析】设出p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，利用对照系数，得到方程组，求出结果.【详解】∵p 在基底{},,a b c 下的坐标为(4,2,3)∴=423p a b c ++设p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(),,x y z则()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+=++-+ 对照系数，可得：423x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得：313x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为()3,1,3故选：C5．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根极值与导函数的关系确定()f x '在2x =-附近的正负，得()xf x '的正负，从而确定正确选项．【详解】由题意可得()20f '-=，而且当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，此时()0xf x '>，排除B 、D ； 当()2,0x ∈-时，0f x ，此时，()0xf x '<，若()0,x ∈+∞，()0xf x '>，所以函数()y xf x '=的图象可能是C ．故选：C6． 如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是A ．277B ．52C ．72D ．7【答案】C【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒，可得222214962c a a a =+-⨯， 2247c a =，所以双曲线的离心率为：72e =． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．7．若圆221:20C x y x m +--=与圆222:40C x y y m +++=恰有2条公切线，则m 的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．()1,4-C ．()1,0-D ．[)0,4【答案】B 【分析】由两圆相交可得参数范围．【详解】因为圆221:(1)1C x y m -+=+与圆222:(2)4C x y m ++=-恰有2条公切线，所以10,40,m m ⎧+>⎪⎪->⎨< 解得1 4.m -<<故选：B ．8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”.如取3m =，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得7n =.则下列命题错误的是（ ）A ．若2n =，则m 只能是4B ．当17m =时，12n =C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若7n =，则m 的取值集合为{}3,20,21,128【答案】C【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可判定.【详解】对于A ，2n =，逆推124→→，m 只能是4，故A 对；对于B ，17m =时，175226134020105168421→→→→→→→→→→→→，12n =，故B 对；对于C ，3m =时，7n =，4m =时，421→→，2n =，故C 错，对于D ，7n =时，逆推128326421124816205103⎧⎧→→⎨⎪⎪⎩→→→→→⎨⎧⎪→→⎨⎪⎩⎩，故D 对. 故选：C.二、多选题9．两个学校1W ，2W 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()1W t ，()2W t 与时间t （天）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．1W 比2W 节能效果好B ．1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大【答案】AB【分析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项.【详解】由图象可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()1W t W =在1=t t 处的切线比曲线()2W t W =在1=t t 处的切线要“陡”，所以1W 比2W 节能效果好，A 正确，C 错误； 由图象可知，()()()()1012020000W t W W t W t t --<， 则1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 选项正确； 由于曲线()1W t W =和曲线()1W t W =不重合，D 选项错误．故选：AB10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1333AB AD AA ===，点P 为线段1A C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．当112AC A P =时，1B ，P ，D 三点共线 B ．当1AP AC ⊥时，1AP D P ⊥C ．当113AC A P =时，1//D P 平面1BDC D ．当115AC A P =时，1A C ⊥平面1D AP 【答案】ACD【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点P 的坐标，根据空间向量公式，可得答案.【详解】由题意，如图建系：则1(0,0,0)3,0)(0,0,1)D C D ，，，11(1,0,0)(1,0,1)(13,0)3,1)A A B C ，，，，设11AC k A P =，1(13,1)AC =--，则1131A P k k ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 可得11111311D P D A A P k k ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，11131AP AA A P k k ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 对于A ：当112AC A P =时，则点P 为对角线1A C 的中点， 根据长方体性质可得1,,B P D 三点共线，故A 正确；对于B ：当1AP AC ⊥时， ∴113110AP AC k k k⋅=++-=，解得5k =， 所以13455AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，143155D P ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭则113443143405555252525AP D P ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-+-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1AP D P ⊥不正确，故B 错误；对于C ：当113AC A P =时，12133D P ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，1(1,3,0),(0,3,1)DB DC ==，∴0n DB x ⋅==，130n DC y z ⋅=+=，当1y =-时，x =z =(3,n =-，∴121033n D P ⋅==，∴1n D P ⊥， 又1D P ⊄平面1BDC ，∴1//D P 平面1BDC ，故C 正确；对于D ：当115AC A P =时，可得1455AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1(1,01)D A =-， 设平面1D AP 的法向量为(,,)m a b c =，则14055m AP a c ⋅=-++=，10m D A a c ⋅=-=，取1a =-，则1b c ==-，∴(1)m =--，而1(11)AC =--，∴1//AC m ，∴1A C ⊥平面1D AP ，故D 正确． 故选：ACD11．已知抛物线2:4C x y =，其焦点为F ，准线为l ，PQ 是过焦点F 的一条弦，点)(2,2A ，则下列说法正确的是（ ）A ．焦点F 到准线l 的距离为2B ．焦点)(1,0F ，准线方程:1l x =-C ．PA PF +的最小值是3D ．以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切【答案】ACD【分析】对A ：由抛物线方程及焦点F 到准线l 的距离为p 即可求解；对B ：由抛物线方程即可求解；对C ：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解； 对D ：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【详解】解：对B ：由抛物线2:4C x y =，可得()0,1F ，准线 :1l y =-，故选项B 错误；对A ：由抛物线2:4C x y =，可得24p =，即2p =，所以焦点F 到准线l 的距离为2p =，故选项A 正确；对C ：过点P 作PP l '⊥，垂足为P '，由抛物线的定义可得PF PP ='， 所以PA PF PA PP +=+'≥3d =（d 为点)(2,2A 到准线l 的距离），当且仅当A 、P 、P '三点共线时等号成立， 所以PA PF +的最小值是3，故选项C 正确；对D ：过点P 、Q 分别作PP l '⊥，QQ l '⊥，垂足分别为P '、Q '，设弦PQ 的中点为M ，则弦PQ 为直径的圆的圆心为M ，过点M 作MM l '⊥，垂足为M '，则MM '为直角梯形PP Q Q ''的中位线，()12MM PP QQ '''=+， 又根据抛物线的定义有PP PF '=，QQ QF '=，所以()1122MM PF QF PQ '=+=， 所以以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切，故选项D 正确；故选：ACD.12．函数()()1cos 02f x x x x =+>的所有极值点从小到大排列成数列{}n a ，设n S 是{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．4176a π=C ．3a 为函数()f x 的极小值点D ．20211sin 2S = 【答案】BD【分析】首先求出函数的导函数，令()0f x '=，根据正弦函数的性质即可求出函数的极值点，再求出2021S ，利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为()()1cos 02f x x x x =+>，所以1sin 2f x x ， 令()0f x '=，即1sin 2x =可得26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈， 易得函数的极值点为26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈， 从小到大为6π，56π，136π…，不是等差数列，A 错误； 4517266a πππ=+=，B 正确； 函数()f x 在区间513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在区间1317,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，所以3a 为函数()f x 的极大值点，C 错误；2021122021513171010266666S a a a ππππππ⎛⎫=+++=++++++⨯ ⎪⎝⎭， 1351751010210092666666ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⨯+++++⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 则根据诱导公式得2021sin s 16in2S π==，D 正确； 故选：BD ．三、填空题13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若130a a +=，721S =，则公差d =__________.【答案】32【分析】根据题意列出方程，即可求得答案.【详解】由题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，130a a +=，721S =，可得10a d +=，且172121a d +=，则1a d =-，且133a d +=，解得32d =， 故答案为：3214．一条直线l 经过)3P-，并且倾斜角是直线y =的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________．【答案】y =【分析】先求出直线3y x =的倾斜角，从而可求得直线l 的倾斜角，则可求出直线l 的斜率，进而可求出直线l 的方程 【详解】因为直线3y x =的斜率为3， 所以直线3y x =的倾斜角为3π， 所以直线l 的倾斜角为23π， 所以直线l 的斜率为2tan33π=-， 因为直线l 经过()3,3P -， 所以直线l 的方程为33(3)y x +=--，即3y x =-，故答案为：3y x =-15．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成的角的余弦值是_______．【答案】【详解】试题分析：以A 为坐标原点, 射线,,AB AD AQ 所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系．令两正方形边长均为2．则()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,1,2A E F M ,()()1,1,2,2,1,0EM AF ∴=-=,21030cos ,3065EM AF EM AF EM AF⋅-++∴〈〉===-⨯⋅,设异面直线EM 与AF 所成的角为θ,30cos cos ,30EM AF θ∴=〈〉=． 【解析】异面直线所成的角．四、双空题16．如图，圆O 与离心率为32的椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>相切于点M (0,1)，过点M 引两条互相垂直的直线l 1，l 2，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合)．若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d1，d2，则2212d d +的最大值是_________；此时P 点坐标为_________．【答案】163； 4213⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【详解】分析：由题意首先求得椭圆方程，然后结合勾股定理可得2212d d +的数学表达式，结合纵坐标的取值范围和二次函数的性质即可求得最终结果. 详解：由题意知：22231,c b c b a a ==+=解得2,1,3a b c === 可知：椭圆C 的方程为2214x y +=，圆O 的方程为221x y +=.设()00,P x y ，因为12l l ⊥,则()2222212001d d PM x y +==+-, 因为220014x y +=，所以()2222212000116441333d d y y y ⎛⎫+=-+-=-++ ⎪⎝⎭, 因为011y -，所以当031y =-时，2212d d +取得最大值为163,此时点421()3P -. 点睛：本题主要考查椭圆的方程的求解，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.五、解答题17．已知函数()ln a x f x bx=+在1x =处的切线方程为220x y --=. (1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=的距离的最小值. 【答案】(1)()2ln xf x x=；【分析】（1）由题可得()()21ln a x f x x -'=，然后利用导数的几何意义即求； （2）由题可得切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，即得.【详解】（1）∵函数()ln a xf x b x =+，∴()f x 的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x x -'=， ∴()f x 在1x =处切线的斜率为()12k f a '===，由切线方程可知切点为()1,0，而切点也在函数()f x 图象上，解得0b =， ∴()f x 的解析式为()2ln xf x x=； （2）由于直线220x y --=与直线230x y -+=平行，直线220x y --=与函数()2ln xf x x=在()1,0处相切，所以切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，最小值为d ==，故函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=18．已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前三项．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)21n a n =+，12n n b +=(2)2(21)24n n S n +=-⋅+【分析】（1）设公差为d ，由23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列，利用“1,a d ”法和“1,a q ”法求解；（2）由（1）得到1(21)2n n n n c a b n +==+⋅，利用错位相减法求解.【详解】（1）解：因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==， 即得37a =，设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，433314a a a d a d +=++=+，又因为21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前三项， 所以()()()2324311a a a a +=-⋅+，即64(6)(14)d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去）， 所以132743a a d =-=-=，所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故得21n a n =+，由题意得，1214b a =-=，2318b a =+=，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列，故11422n n n b -+=⋅=.（2）设1(21)2n n n n c a b n +==+⋅，则2341325272(21)2(21)2n n n n n S +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅①，在上式两边同时乘以2得，341223252(21)2(21)2n n n S n n ++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，②，-①②得，()23412322222(21)2++-=⋅+++⋅⋅⋅+-+⋅n n n S n ，24(12)2+=-+-⋅n n ,所以2(21)24n n S n +=-⋅+．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ，B ，C 坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2)，E 为线段BC 上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ．(1)当E 点坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭时，求过点E 且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程；(2)求BOE 与ABE △面积之和S 的最小值． 【答案】(1)30x y -=或20x y +-=或10x y -+=；(2)【分析】（1）根据给定条件，分直线过原点与不过原点，结合直线方程的截距式求解作答. （2）设点E 的横坐标为t ，根据给定条件求出t 的范围，再将S 表示为t 的函数，并求出最小值作答.【详解】（1）令过点13(,)22E 且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为l ，当直线l 过原点时，直线l 在x ，y 轴上的截距都为0，其方程为3y x =，当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a +=或1x y a a+=-，于是得13221a a +=或13221a a +=-，解得=2a 或1a =-，直线l 的方程为2x y +=或1x y -=-， 所以所求方程为：30x y -=或20x y +-=或10x y -+=.（2）依题意，直线:122x yBC +=，因点E 在线段BC 上，则设点(,2)E t t -，02t ≤≤，设00(,0),0A x x <，0(,1),(,1)PE t t PA x =-=-，由//PE PA 得：0(1)x t t -=-，显然1t ≠，则01tx t=--，有01t <<， 111||(2)2,||(2)(2)(2)2221BOE ABE t SOB t t S AB t t t =⋅-=-=⋅-=+--， 1(2)112(2)(2)2(2)2[3(1)]212(1)21t t t S t t t t t t t -=-++-=-+=+-+---22≥=+当且仅当13(1)1t t -=-，即1t =时取等号，所以BOE 与ABE △面积之和S 的最小值20．如图，四棱锥P ABCD -中，PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点.（1）证明：//CE 平面PAB ； （2）求直线CE 与平面PAB 间的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）55. 【分析】（1）取PA 的中点M ，连接BM ､EM ，易证四边形BCEM 为平行四边形，故//CE BM ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由//CE 平面PAB ，知点E 到平面PAB 的距离即为所求.设1BC =，取AD 的中点N ，连接BN ､PN ，可证PNAD ，BN AD ⊥，进而推出BC ⊥平面PNB ；于是以B 为原点，BC ､BN 分别为x ､y 轴，在平面PNB 内，作Bz ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，可证BC PB ⊥，从而求得3PB =，120PNB ∠=︒，写出点P ､E 的坐标，根据法向量的性质求得平面PAB 的法向量n ，由点E 到平面PAB的距离·n BE d n=即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点M ，连接BM ､EM ，E 为PD 的中点，//EM AD ∴，12EM AD BC ==， ∴四边形BCEM 为平行四边形，//CE BM ∴，CE ⊄平面PAB ，BM ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB .（2）//CE 平面PAB ，∴点E 到平面PAB 的距离即为所求. 设222PC AD DC CB ====，取AD 的中点N ，连接BN ､PN ，则四边形BCDN 为矩形，1BN CD ==PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PN AD∴⊥，112PN AD==，BN AD⊥，PN BN N，PN､BN⊂平面PNB，AD∴⊥平面PNB，//BC AD，BC∴⊥平面PNB，BC ⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PNB，以B为原点，BC､BN分别为x､y轴，在平面PNB内，作Bz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B，()1,1,0A-，()1,1,0DBC ⊥平面PNB，BC PB∴⊥，在Rt PBC△中，PB==1BN PN==，120PNB∴∠=，30,2P⎛∴⎝⎭，15,24E⎛⎝⎭30,2BP⎛=⎝⎭，()1,1,0BA=-，15,24BE⎛=⎝⎭，设平面PAB的法向量为(),,n x y z=，则·0·0n BPn BA⎧=⎨=⎩，即32yx y⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，令1x=，则1y=，z=∴(1,1,n=-，∴点E到平面PAB的距离152n BEdn+⋅====，故直线CE与平面PAB【点睛】方法点睛：求空间中点P到平面α的距离，向量方法:先在平面α内选一点A，确定PA的坐标，在确定平面α的法向量n，最后代入公式n PAdn⋅=求解.也通常采用三棱锥等体积求解.21．已知双曲线221.416x y-=(1)过点(1,4)N的直线与双曲线交于,S T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；(2)直线l：(2)y kx m k=+≠±与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于0(,0)A x ，0(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点00(,)P x y 的轨迹方程. 【答案】(1)30.x y -+= (2)221(0)10025x y y -=≠.【分析】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，采用“点差法”可求得直线ST 的斜率，即可求得答案； （2）根据直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到224(4)m k =-，从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得00,x y ，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，则2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ， 两式相减得22221212416x x y y --=，即121212124y y x x x x y y -+=⨯-+， 因为点(1,4)N 是线段ST 的中点，所以1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯， 即直线ST 的斜率为1，所以直线ST 的方程为41y x -=-，即3yx ,联立方程组2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得236250x x --=，满足0∆>， 故直线ST 的方程为30.x y -+=（2）联立方程组22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩,得222(4)2(16)0k x kmx m ---+=， 因为直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ， 根据双曲线的对称性可知,k m 都不等于0，()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩ ，得224(4)m k =-， 则244M km k x k m ==--,则4(16)Mk m y k mm =⨯+=--, 所以M 的坐标为416(,)k m m--，其中0km ≠， 因为过点M 且与l 垂直的直线方程为1614()ky x m k m+=-+， 令0y =，得020kx m =-，令0x =，020y m=-，所以222202224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+，故点00(,)P x y 的轨迹方程为：221(0)10025x y y -=≠. 【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用 “点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解. 22．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 长为10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E 处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点.(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)P 为矩形场地AD 边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP 的距离为23，且直线FP 与点M 的轨迹没有公共点，求P 点横坐标的取值范围.【答案】(1)224164()0393x y x ⎛⎫+-=≤≤ ⎪⎝⎭43127a【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME vv=，利用两点间的距离公式可得答案.(2)由题意可得点M 的轨迹所在圆的圆心到直线FP 的距离14,23d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，点M 的轨迹与y 轴的交点N到直线FP 的距离223d ≥，从而可得答案.【详解】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()(0,2),0,4E F ， 设成功点(,)M x y ，可得2MF ME vv=2222(2)(4)x y x y +-+-化简得22416()39x y +-=因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤故所求轨迹方程为224164()0393x y x ⎛⎫+-=≤≤ ⎪⎝⎭（2）设(),0P a ，直线FP 方程为14xy a+=直线FP 与点M 的轨迹没有公共点,则圆心403（，）到直线FP 的距离大于43r =依题意，动点P 需满足两个条件：点M 的轨迹所在圆的圆心403（，）到直线FP 的距离14,23d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即1244432316a a d a -<=<+,43127a <②点M 的轨迹与y 轴的交点80,3N ⎛⎫⎪⎝⎭到直线FP 的距离223d ≥即228423316a a d a -+,解得43a 综上所述，P 43127a <。
2022-2023学年河南省驻马店市新蔡县人教版五年级上册期末综合评估测试数学试卷及解析
2022-2023学年河南省驻马店市新蔡县人教版五年级上册期末综合评估测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．( )与0.4相乘的积是0.064，( )除以0.5的商是0.15。
2．一个平行四边形的底是5dm，面积是60dm2，高是( )dm。
3．0.8，0.16，( )，0.0064，( )。
4．0.2506506…是( )小数，它的循环节是( )，这个数的简便写法是( )。
5．盒子里有6个白球、4个黄球，任意摸一个球，摸到白球的可能性是( )，摸到黄球的可能性是( )．6．如下图所示，这个直角梯形的面积是( )平方米。
7．袋子里放了5个白球和1个黑球，每次摸一个再放回，小红连续摸了五次都是白球。
那么她第六次摸到的球( )是黑球。
（填“一定”“可能”“不可能”）8．如果用（2，3）表示第2列第3行，那么第5行第7列用数对（____，____）表示。
9．根据运算定律在横线上填上适当的数。
1.25×（0.63×0.8）＝____×（( )×____）5.4×1.8＋1.8×4.6＝____×（( )＋____）（4－0.4）×2.5＝____×____－____×____10．一块梯形的铁片，高是8厘米，上底是8厘米，下底是10厘米，从这个梯形铁片上剪下一个最大的正方形，余下部分的面积是( )平方厘米。
11．我国有14亿人口，森林总面积为1.59亿公项，人均森林面积约是( )公项。
澳大利亚人均森林面积比我国的59倍还多，澳大利亚人均面积约是( )公项。
澳大利亚约有2600万人，澳大利亚森林总面积约是( )亿公项。
（得数都保留两位小数，可用计算器计算）12．图书角原有x本书，小英借走2本后，还剩( )本。
2021-2022学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(文科)
2021-2022学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）试题数：26，总分：1501.（单选题，5分）复数z满足（√3 +i）z=|1- √3 i|，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（单选题，5分）下面几种推理过程中属于类比推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°B.科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜测火星上也可能有生命存在C.由6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个质数的和D.在数列{a n}中，a1=1，a n= 12（a n-1+ 1a n−1）（n≥2），由此归纳出{a n}的通项公式3.（单选题，5分）如图所示的是一个结构图，在框① ② ③ 中应分别填入（）A.虚数，整数，分数B.复数，虚数，整数C.虚数，复数，纯虚数D.复数，虚数，纯虚数4.（单选题，5分）已知x，y，z∈R，且a=x2+2y，b=y2+2z，c=z2+2x，则a，b，c三个数（）A.都小于-1B.至少有一个不小于-1C.都大于-1D.至少有一个不大于-15.（单选题，5分）在同一平面直角坐标系中，由曲线x 2+y 2=1得到曲线4x 2+y 2=16，则对应的伸缩变换为（ ） A. {x′=12xy′=4yB. {x′=2xy′=14y C. {x′=2x y′=4y D. {x′=12x y′=14y6.（单选题，0分）已知x ，y ，z∈R +，且x+y+z=30，则lgx+lgy+lgz 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47.（单选题，5分）下列四个命题：① 在回归模型中，预报变量y 的值不能由解释变量x 唯一确定；② 若变量x ，y 满足关系y=-2x+1，且变量y 与z 正相关，则x 与z 也正相关； ③ 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； ④ 样本点可能全部不在回归直线 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 上． 其中真命题的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.（单选题，5分）已知i-1是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一个根，其中p ，q∈R ，则p+q=（ ） A.6 B.8 C.10D.129.（单选题，5分）用模型y=me nx+2（m ＞0）拟合一组数据时，设z=lny ，将其变换后得到回归方程为 ẑ =3x+2，则n-m=（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.210.（单选题，5分）我们知道；在平面内，点（x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax 0+By 0+C|√A 2+B 2，通过类比的方法，则在空间中，点（1，2，4）到平面2x+2y+z+2=0的距离为（ ） A.4 B.5 C.6 D.711.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图1所示的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1=1，S 2=2，S 4=4，⋯，则S 32等于（ ）A.16B.32C.64D.12812.（单选题，5分）已知曲线 {x =cosαy =−1+√3sinα ，（α为参数）上任一点P （x 0，y 0），使得不等式a≤x 0+y 0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.（-∞，-3]B.[-3，+∞）C.[1，+∞）D.（-∞，1]13.（单选题，0分）若不等式|x-1|+| 4x+1|≤a有解，则实数a的取值范围是（）A.a≥4B.a＜4C.a≥2D.a＜214.（单选题，5分）计算器是如何计算sinx，cosx，πx，lnx，√x等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如sinx=x- x 33!+x55!−x77!+…，cosx=1- x22!+x44!−x66!+…，其中n!=1×2×3×…×n，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到sin（π2 +1）的近似值为（）A.0.50B.0.52C.0.54D.0.5615.（填空题，5分）复数1−i20221+i的共轭复数为 ___ ．16.（填空题，5分）用最小二乘法得到一组数据（x i，y i）（其中i=1、2、3、4、5）的线性回归方程为ŷ = b̂ x+3，若∑5i=1 x i=25、∑5i=1 y i=65，则当x=10时，y的预报值为 ___ ．17.（填空题，5分）将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项，三项分组．得到分组序列如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），…．称（1，3）为第1组，（5，7，9）为第2组，以此类推，则原数列中的2021位于分组序列中第 ___ 组．18.（填空题，5分）已知a，b，c∈（0，1），且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，则a，b，c的大小关系是 ___ ．19.（问答题，10分）已知复数z=a+i（a＞0，a∈R），且z+ 2z∈R，其中i为虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，复数z+z2，z+1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求点D对应的复数．20.（问答题，12分）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个智慧课堂项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解智慧课堂对学生学习的促进情况该公司随机抽取了200名学生，对他们“任意角和弧度制”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如表：（Ⅰ）从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关？21.（问答题，12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），曲线C 2的方程为x+y-6=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线α= π4 分别交C 1，C 2于A ，B 两点（点A 异于极点），求|AB|．22.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+1|-m ，m∈R ，且f （x ）≤0的解集为[-2，0]． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设a ，b ，c 为正数，且a+2b+3c=m ，求a 2+b 2+c 2的最小值．23.（问答题，12分）用分析法证明：对于任意a 、b∈[-2，2]，都有|ab+4|≥2|a+b|．24.（问答题，12分）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2（1+3sin 2θ）=4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x+2y-4=0． （Ⅰ）若点M 为曲线C 1上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值；（Ⅱ）倾斜角为 π3 的曲线C 2过点P （-1，0），交曲线C 1于A ，B 两点，求 1|PA| + 1|PB| ．25.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+a|+|x+1|． （Ⅰ）当a=-1时，求f （x ）＜3x 的解集；（Ⅱ）g （x ）=x 2-2x+2+a 2，若对∃x 1∈R ，∀x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）≤g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．26.（问答题，12分）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系．刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据（x i ，y i ），i=1，2，3，4，5，…，10，x i 表示连续用药i 天，y i 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y 关于x 的两个回归模型： 模型 ① ：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： y ̂=2.50x −2.50 ；模型 ② ：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y=blnx+a 的附近，令t=lnx ，则有 ∑t i 10i=1=22.00 ， ∑y i 10i=1=230 ， ∑t i 10i=1y i =569.00 ， ∑t i 210i=1=50.92 ．（1）根据所给的统计量，求模型 ② 中y 关于x 的回归方程；（2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．（3）根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．附：样本（t i i i i=1i ∑(t i −t)2ni=1 y t 相关指数 R 2=1−i2n i=1∑(y −y )2n ，参考数据：ln2≈0.6931．2021-2022学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：26，总分：1501.（单选题，5分）复数z满足（√3 +i）z=|1- √3 i|，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：D【解析】：结合复数模公式，先求出z，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】：解：∵（√3 +i）z=|1- √3 i|= √12+(−√3)2=2，∴ z=√3−i)(√3+i)(√3−i)=√32−12i，∴z在复平面内所对应的点（√32，−12）在第四象限．故选：D．【点评】：本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．2.（单选题，5分）下面几种推理过程中属于类比推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°B.科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜测火星上也可能有生命存在C.由6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个质数的和D.在数列{a n}中，a1=1，a n= 12（a n-1+ 1a n−1）（n≥2），由此归纳出{a n}的通项公式【正确答案】：B【解析】：根据演绎推理、类比推理、归纳推理的定义即可求解．【解答】：解：A选项是演绎推理，B选项是类比推理，C选项是归纳推理，D选项是归纳推理，故选：B．【点评】：本题考查演绎推理、类比推理、归纳推理的定义，属基础题．3.（单选题，5分）如图所示的是一个结构图，在框① ② ③ 中应分别填入（）A.虚数，整数，分数B.复数，虚数，整数C.虚数，复数，纯虚数D.复数，虚数，纯虚数【正确答案】：D【解析】：根据复数包含实数和虚数，虚数包含纯虚数和非纯虚数，即可求解．【解答】：解：复数包含实数和虚数，虚数包含纯虚数和非纯虚数，故① 为复数，② 为虚数，③ 为纯虚数．故选：D．【点评】：本题主要考查结构图的应用，属于基础题．4.（单选题，5分）已知x，y，z∈R，且a=x2+2y，b=y2+2z，c=z2+2x，则a，b，c三个数（）A.都小于-1B.至少有一个不小于-1C.都大于-1D.至少有一个不大于-1 【正确答案】：B【解析】：求出a+b+c 的范围，再结合选项判断即可．【解答】：解：a+b+c=x 2+y 2+z 2+2x+2y+2z =（x+1）2+（y+1）2+（z+1）2-3≥-3， ∴a ，b ，c 三个数中至少有一个不小于-1． 故选：B ．【点评】：本题考查不等式的性质，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题． 5.（单选题，5分）在同一平面直角坐标系中，由曲线x 2+y 2=1得到曲线4x 2+y 2=16，则对应的伸缩变换为（ ） A. {x′=12xy′=4yB. {x′=2xy′=14yC. {x′=2x y′=4yD. {x′=12x y′=14y【正确答案】：C【解析】：直接利用关系式的变换的应用求出结果．【解答】：解：设伸缩变换为 {x′=λxy′=μy （λ＞0，μ＞0），由曲线x 2+y 2=1得到曲线4x 2+y 2=16，即有 {4λ2=16μ2=16，故λ=2，μ=4． 故选：C ．【点评】：本题考查了圆变换为椭圆的伸缩变换，考查了变形能力与计算能力，属于中档题． 6.（单选题，0分）已知x ，y ，z∈R +，且x+y+z=30，则lgx+lgy+lgz 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3D.4【正确答案】：C【解析】：由已知结合基本不等式及对数的运算性质即可求解．【解答】：解：因为x，y，z∈R+，且x+y+z=30，所以xyz ≤(x+y+z3)3=1000，当且仅当x=y=z=10时取等号，则lgx+lgy+lgz=lg（xyz）≤lg1000=3．故选：C．【点评】：本题主要考查了基本不等式及对数的运算性质在求解最值中的应用，属于基础题．7.（单选题，5分）下列四个命题：① 在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；② 若变量x，y满足关系y=-2x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③ 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④ 样本点可能全部不在回归直线ŷ = b̂ x+ â上．其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及残差的定义，即可依次求解．【解答】：解：对于① ，在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x确定，还受随机误差的影响，故① 正确，对于② ，变量x，y满足关系y=-2x+1，则y与x负相关，由变量y与z正相关，则x与z负相关，故② 错误，对于③ ，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合效果较好，模型拟合的精度越高，故③ 正确，对于④ ，样本中心恒在回归直线方程上，样本点可能全部不在回归直线ŷ = b̂ x+ â上，故④ 正确．故选：C．【点评】：本题主要考查线性回归方程的性质，以及残差的定义，属于基础题．8.（单选题，5分）已知i-1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，其中p，q∈R，则p+q=（）A.6B.8C.10D.12【正确答案】：B【解析】：结合实系数方程虚根成对独立，结合韦达定理，求解即可．【解答】：解：i-1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，所以-i-1也是方程的根，可得- p2 =i-1-i-1=-2，所以p=4，q=（i-1）（-i-1）=2，可得q=4，2所以．p+q=8．故选：B．【点评】：本题考查实系数方程虚根成对独立的应用，是基础题．9.（单选题，5分）用模型y=me nx+2（m＞0）拟合一组数据时，设z=lny，将其变换后得到回归方程为ẑ=3x+2，则n-m=（）A.-1B.1C.-2D.2【正确答案】：D【解析】：对y=me nx+2两边取对数，再结合回归方程为ẑ=3x+2，即可求解【解答】：解：∵y=me nx+2，∴lny=nx+2+lnm，∵z=lny，ẑ=3x+2，∴n=3，2+lnm=2，解得m=1，∴n-m=3-1=2．故选：D．【点评】：本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．10.（单选题，5分）我们知道；在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为，通过类比的方法，则在空间中，点（1，2，4）到平面2x+2y+z+2=0的距d= |Ax0+By0+C|√A2+B2离为（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：A【解析】：类比平面内点到直线的距离求解．【解答】：解：点（1，2，4）到平面2x+2y+z+2=0的距离为：=4，d=|2×1+2×2+4+2|√22+22+12故选：A．【点评】：本题考查了点到直线的距离计算，属于基础题．11.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图1所示的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S4=4，⋯，则S32等于（）A.16B.32C.64D.128【正确答案】：B【解析】：由图分析得第2n-1-1行且n∈N *所有项均为奇数，判断S 32对应第31行是还存在n∈N *，使2n-1-1=31，由此能求出S 32．【解答】：解：由杨辉三角几何排列分析得： 第2n-1-1行且n∈N *所有项均为奇数，S 32对应第31行，令2n-1-1=31，可得n=6∈N *， 所有第31行数字均为奇数，∴S 32=32． 故选：B ．【点评】：本题考查简单的归纳推理、杨辉三角几何排列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.（单选题，5分）已知曲线 {x =cosαy =−1+√3sinα ，（α为参数）上任一点P （x 0，y 0），使得不等式a≤x 0+y 0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.（-∞，-3] B.[-3，+∞） C.[1，+∞） D.（-∞，1] 【正确答案】：A【解析】：设 {x 0=cosαy 0=−1+√3sinα ，利用三角恒等变换及正弦型函数的性质求x 0+y 0范围，根据恒成立求参数范围．【解答】：解：由题设，令 {x 0=cosαy 0=−1+√3sinα，则 x 0+y 0=cosα+√3sinα−1=2sin (α+π6)−1 ，所以x 0+y 0∈[-3，1]，又a≤x 0+y 0对任一点p （x 0，y 0）都成立，故a≤-3． 故选：A ．【点评】：本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的性质，属于中档题．13.（单选题，0分）若不等式|x-1|+| 4x+1|≤a有解，则实数a的取值范围是（）A.a≥4B.a＜4C.a≥2D.a＜2【正确答案】：A【解析】：令f（x）=|x-1|+| 4x+1|，问题转化为a≥f（x）能成立，通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值，即可得到a的范围．【解答】：解：不等式|x-1|+| 4x +1|≤a有解，即a≥|x-1|+| 4x+1|能成立，令f（x）=|x-1|+| 4x+1|，则a≥f（x）能成立，显然，x≠0，下面求f（x）的最小值．当x＜-4时，f（x）=1-x+ 4x +1=2-x+ 4x单调递减，此时，f（x）＞5．当-4≤x＜0，f（x）=1-x- 4x -1=-x- 4x≥2 √(−x)•(−4x) =4，当且仅当x=-2时，取等号，此时，f（x）最小值为4．当0＜x＜1时，f（x）=1-x+ 4x +1=2-x+ 4x单调递减，f（x）＞5．当x≥1时，f（x）=x-1+ 4x +1=x+ 4x≥2 √x•4x=4，当且仅x=2时，取等号，f（x）最小值为4．综上可得，f（x）最小值为4，∴a≥4，故选：A．【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．14.（单选题，5分）计算器是如何计算sinx，cosx，πx，lnx，√x等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如sinx=x- x 33!+x55!−x77!+…，cosx=1- x22!+x44!−x66!+…，其中n!=1×2×3×…×n，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到sin（π2 +1）的近似值为（）A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56【正确答案】：C【解析】：根据新定义，取x=1代入公式sin（π2 +1）= cosx=1−x22!+x44!−x66!+⋅⋅⋅中，直接计算取近似值即可．【解答】：解：由题意可得，sin（π2 +1）= cos1=1−122!+144!−166!+⋯=1−12+124−1720+⋯=1-0.5+0.041-0.001+…≈0.54，故选：C．【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．15.（填空题，5分）复数1−i20221+i的共轭复数为 ___ ．【正确答案】：[1]1+i【解析】：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．【解答】：解：∵i2022=（i4）505•i2=-1，∴ 1−i20221+i = 21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，∴复数1−i20221+i的共轭复数为1+i．故答案为：1+i．【点评】：本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.（填空题，5分）用最小二乘法得到一组数据（x i，y i）（其中i=1、2、3、4、5）的线性回归方程为ŷ = b̂ x+3，若∑5i=1 x i=25、∑5i=1 y i=65，则当x=10时，y的预报值为 ___ ．【正确答案】：[1]23【解析】：根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，再将x=10代入，即可求解．【解答】：解：x=15∑x i5i=1=15×25=5，y=15∑y i5i=1=15×65=13，∵线性回归方程为ŷ = b̂ x+3，∴13= 5b̂+3，解得b̂=2，∴线性回归方程为y=2x+3，∵当x=10时，y=2×10+3=23．故答案为：23．【点评】：本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．17.（填空题，5分）将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项，三项分组．得到分组序列如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），…．称（1，3）为第1组，（5，7，9）为第2组，以此类推，则原数列中的2021位于分组序列中第 ___ 组．【正确答案】：[1]405【解析】：将2个括号作为一组，则每组中有5个数，先找出2019所在的位置，然后确定2021所在的位置．【解答】：解：由题意可知，将2个括号作为一组，则每组中有5个数，由于2019是第1010个奇数，在第1010÷5=202组中，是第2个括号内最后一个数，又每组2个括号，所以，2019是第202×2=404个括号内的数，而2021是第1011个奇数，所以在第405个括号内，即第405组．故答案为：405．【点评】：本题考查归纳推理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.（填空题，5分）已知a，b，c∈（0，1），且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，则a，b，c的大小关系是 ___ ．【正确答案】：[1]c＞b＞a【解析】：在同一坐标系中，作出函数y=lna，y=x+2ln2-4，y=1+x-e，y=x+ln2-2的图象求解．【解答】：解：a，b，c∈（0，1），且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，在同一坐标系中作出y=lna，y=x+2lnx-4，y=1+x-e，y=x+ln2-2的图象，如图，由图象知a，b，c的大小关系是c＞b＞a．故答案为：c＞b＞a．【点评】：本题考查三个数的大小的判断，考查函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.（问答题，10分）已知复数z=a+i（a＞0，a∈R），且z+ 2z∈R，其中i为虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，复数z+z2，z+1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求点D对应的复数．【正确答案】：【解析】：（I）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实数的定义，即可求解．（II）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及平行四边形的性质，即可求解【解答】：解：（I）∵z=a+i，∴ z+2z =a+i+2a+i= a+i+2(a−i)(a+i)(a−i)= a+2aa2+1+(1−2a2+1)i∈R，∴ 1−2a2+1=0，解得a=±1，∵a＞0，∴a=1，∴z=1+i．（2）∵z 2=（1+i ）2=2i ，z+z 2=1+3i ，z+1=2+i ， ∴A （1，3），B （2，1），C （0，2）， 设D （x ，y ）， ∵ABCD 为平行四边形， ∴ AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设D （x ，y ），则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1，y −3) ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，1) ， ∴ {x −1=−2y −3=1 ，解得x=-1，y=4，即D （-1，4）， 故点D 对应的复数为-1+4i ．【点评】：本题主要考查复数的运算法则，以及平行四边形的性质，属于中档题．20.（问答题，12分）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个智慧课堂项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解智慧课堂对学生学习的促进情况该公司随机抽取了200名学生，对他们“任意角和弧度制”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如表：（Ⅰ）从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关？【正确答案】：【解析】：（I ）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解． （II ）结合独立性检验公式，即可求解．【解答】：解：（I ）在两所学校被调查的200名学生中，对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的学生有140人，所以估计从两校高一学生中随机抽取1人，该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率为 140200=0.7 ． （II ）2×2列联表如下：∵ K 2=100×100×140×60≈ 9.524＞6.635，∴有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制“知识点与使用智慧课堂有关．【点评】：本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于基础题．21.（问答题，12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），曲线C 2的方程为x+y-6=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线α= π4分别交C 1，C 2于A ，B 两点（点A 异于极点），求|AB|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据参数方程，直角坐标方程及极坐标方程的转化关系，直接求解即可； （Ⅱ）利用参数的几何意义直接求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）曲线C 1的直角坐标方程为（x-2）2+y 2=4，……………………………（2分） 曲线C 1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，……………………………（4分）曲线C 2的极坐标方程为：ρsinθ+ρcosθ=6，即 ρsin (θ+π4)=3√2 ；………（6分） （Ⅱ）由题意可知， |OA |=ρA =2√2，|OB |=3√2 ，……………………………（9分）∴ |AB|=|OB|−|OA|=ρB−ρA=√2．……………………………（12分）【点评】：本题考查参数方程，直角坐标方程及极坐标方程的互化，以及参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．22.（问答题，0分）已知函数f（x）=|x+1|-m，m∈R，且f（x）≤0的解集为[-2，0]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b，c为正数，且a+2b+3c=m，求a2+b2+c2的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求解不等式f（x）≤0，结合f（x）≤0的解集为[-2，0]，可得关于m的方程组，则m值可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a+2b+3c=1，再由柯西不等式求a2+b2+c2的最小值．【解答】：解：（Ⅰ）由f（x）=|x+1|-m≤0，得|x+1|≤m，∴ {m＞0−m−1≤x≤m−1，∵f（x）≤0的解集为[-2，0]，∴ {−m−1=−2m−1=0，解得m=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+2b+3c=1，由柯西不等式得（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2，∴ a2+b2+c2≥1212+22+32=114．当且仅当a=114，b= 214=17，c= 314时等号成立，∴a2+b2+c2的最小值为114．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查柯西不等式的应用，是中档题．23.（问答题，12分）用分析法证明：对于任意a、b∈[-2，2]，都有|ab+4|≥2|a+b|．【正确答案】：【解析】：要证|ab+4|≥2|a+b|，即证（ab+4）2≥4（a+b ）2，再结合作差法和不等式的基本性质，即可求证．【解答】：证明：要证|ab+4|≥2|a+b|，即证（ab+4）2≥4（a+b ）2， ∵a ，b∈[-2，2]，∴0≤a+2≤4，-4≤a -2≤0，0≤b+2≤4，-4≤b -2≤0， ∵（ab+4）2-4（a+b ）2=（a 2b 2+8ab+16）-4（a 2+2ab+b 2） =a 2b 2+16-4a 2-4b 2=（a 2-4）（b 2-4）=（a-2）（a+2）（b-2）（b+2）≥0， 故|ab+4|≥2|a+b|，即得证【点评】：本题主要考查不等式的证明，掌握分析法和综合法是解本题的关键，属于中档题． 24.（问答题，12分）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2（1+3sin 2θ）=4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x+2y-4=0． （Ⅰ）若点M 为曲线C 1上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值；（Ⅱ）倾斜角为 π3 的曲线C 2过点P （-1，0），交曲线C 1于A ，B 两点，求 1|PA| + 1|PB| ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出C 1的参数方程，设出点M 的坐标，利用点到直线的距离公式以及三角函数的性质求解即可；（Ⅱ）利用参数的几何意义直接求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由 {x =ρcosθy =ρsinθ 得，曲线C 1的普通方程为x 2+4y 2=4，………………………（2分）可知曲线C 1的参数方程为 {x =2cosαy =sinα ，（α为参数）……………………………（3分）设点M 的坐标为（2cosα，sinα），…………………………（4分）所以点M 到直线l 的距离为 d =√5=|2√2sin(α+π4)−4|√5，……………………………（5分）当 sin (α+π4)=1 时， d min =√2√5=4√5−2√105， ∴点M 到直线l 的距离的最小值为 4√5−2√105；……………………………（6分）（Ⅱ）曲线C 2的参数方程为 {x =−1+12t y =√32t （t 为参数），……………………………（7分）代入曲线C 1得：13t 2-4t-12=0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则 t 1+t 2=413，t 1t 2=−1213，t 1，t 2异号，……………………………（9分）∴ 1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2| = √(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．………………（12分）【点评】：本题考查参数方程，普通方程以及极坐标方程的互化，考查点到直线的距离以及参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题． 25.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+a|+|x+1|． （Ⅰ）当a=-1时，求f （x ）＜3x 的解集；（Ⅱ）g （x ）=x 2-2x+2+a 2，若对∃x 1∈R ，∀x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）≤g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）代入a 的值，将函数f （x ）化为分段函数的形式，然后再分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）依题意，f （x ）min ≤g （x ）min ，求出函数f （x ）和g （x ）在定义域上的最小值，解不等式即可．【解答】：解：（Ⅰ）当a=-1时， f (x )={−2x ，x ＜−12，−1≤x ≤12x ，x ＞1，当x ＜-1时，-2x ＜3x ，解得x∈∅，……………………………（3分） 当-1≤x≤1时，2＜3x ，解得 23＜x ≤1，……………………………（4分） 当x ＞1时，2x ＜3x ，解得x ＞1，……………………………（5分）综上，原不等式的解集为 {x|x ＞23} ；．……………………………（5分） （Ⅱ）因为x∈R 时，f （x ）=|x+a|+|x+1|≥|x+a -x-1|=|a-1|，当且仅当（x+a ）（x+1）≤0时等号成立，即f （x ）min =|a-1|，……………………………（7分） 因为g （x ）=x 2-2x+2+a 2，所以 g (x )min =g (1)=a 2+1 ，……………………………（8分） 因为对∃x 1∈R ，∀x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）≤g （x 2）成立，等价于f （x ）min ≤g （x ）min ，所以|a-1|≤a 2+1，……………………………（10分） 因为a 2+1＞0，所以-a 2-1≤a -1≤a 2+1，解得a≤-1或a≥0，所以实数a 的取值范围为（-∞，-1]∪[0，+∞）．……………………………（12分）【点评】：本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．26.（问答题，12分）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系．刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据（x i ，y i ），i=1，2，3，4，5，…，10，x i 表示连续用药i 天，y i 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y 关于x 的两个回归模型： 模型 ① ：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： y ̂=2.50x −2.50 ；模型 ② ：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y=blnx+a 的附近，令t=lnx ，则有 ∑t i 10i=1=22.00 ， ∑y i 10i=1=230 ， ∑t i 10i=1y i =569.00 ， ∑t i 210i=1=50.92 ．（1）根据所给的统计量，求模型 ② 中y 关于x 的回归方程；（2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．（3）根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）． 附：样本（t i i i i=1i ∑(t i −t)2ni=1 y t 相关指数 R 2=1−i 2n i=1∑(y −y )2n ，参考数据：ln2≈0.6931．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合最小二乘法公式，即可求解． （2）通过比较二者的相关系数，即可求解．（3）分别求出连续用药30天后，连续用药15天后的y 值，再对二者作差，即可求解．【解答】：解：（1）由题意可知 ∑t i 10i=1=22.00 ， ∑y i 10i=1=230 ，可得 t =2.20 ， y =23 ， b ̂=∑(t i −t)ni=1(y i −y )∑(t i −t)2n i=1 = ∑t i ni=1y i −10t•y ∑t i 2n i=1−10t2 = 569−10×2.2×2350.92−10×2.2×2.2=25 ， 则 a ̂=y −b̂t =23−25×2.20=−32 ， 所以模型 ② 中y 关于x 的回归方程 y ̂=25lnx −32 ． （2）由表格中的数据，可得102.28＞36.19，即102.28∑(y i −y )10i=1236.19∑(y −y )210所以模型 ① 的R 2小于模型 ② ，说明回归模型 ② 刻画的拟合效果更好， （3）根据模型 ② ，当连续用药30天后， y ̂30=25ln30−32 ， 连续用药15天后， y ̂15=25ln15−32 ， ∵ y ̂30−y ̂15=25ln2=17.3275≈17.33 ，∴用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33．【点评】：本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r代数法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为（）A ．14B ．4C ．12D ．26．（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定题型三：圆的弦长问题7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26B ．31C ．39D ．438．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1B ．2C ．2D ．229．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）A ．710B ．57C ．75D ．145题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()22134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．211．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）A ．2210x y ++=或2230x y +-=B ．0x y +=或20x y +-=C ．2220x y +-=或22320x y ++=D ．20x y +-=或220x y ++=12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．14题型五：直线与圆的应用13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（）A ．13.1米B ．13.7米C ．13.2米D ．13.6米14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A ．230米B ．202米C ．430米D ．125米15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：直线与圆的位置关系的综合应用16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．（1）求O 的标准方程；（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求22y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【双基达标】一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）A ．2B ．3C ．2D ．120．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（）A ．50x y --=B ．50x y +-=C ．50x y -+=D ．50x y ++=21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．2322．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭23．（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．3424．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个25．（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4B ．-4C ．34-D ．43-26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．22(1)(1)6x y -+-=D ．22(1)(1)8x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．2210x y -+=D ．2210x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．42B ．22C ．8D ．82【高分突破】一：单选题29．（2021·全国高二专题练习）已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -+=C ．10x y ++=D ．20x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）A ．23B ．26C ．42D ．833．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（）A ．10B ．12C ．13D ．1634．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）A ．52102+B ．105822+C ．58102+D ．105222+二、多选题36．（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为437．（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）A ．250x y --=B ．250x y -+=C ．250x y -+=D ．250x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为439．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点B ．圆心C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为___________.四、解答题44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．（1）求m 的值；（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程.46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【答案详解】1．A 【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(12)-，，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(12)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b aab=时，即1a b ==时，等号成立，所以11a b+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，直线l 与圆C 相切，221121k k --∴=+，解得：23k =±，由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，∴圆心D 到直线l 距离2211k d k -=+；当23k =+时，()()2222323330843231d r +-=-=-<+++，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当23k =-时，()()2222323330843231d r --=-=-<--+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.7．C 【详解】将圆化为22(8)64(64)x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =24445-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以224364m +=-，解得39.m =8．D 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211d --==+，故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】由220x y x y +-+=可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径22r =，所以圆心到直线3410x y ++=的距离为22113412211034d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭==+，所以所求弦长为22725r d -=.故选：C.10．B 【详解】由题意圆心到直线的距离为()()2222222222232241111a a a d r d a a a a +++=∴=-=-∴=∴=+++34-故选：B 11．B 【详解】圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的距离为2262(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．故选：B【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，∴152r =∴圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴211t =±，∴当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，故选：C.14．C 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =，所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.16．（1）()2225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点()1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：02x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()0,2O ，()()2210025r OA ==-+-=，所以O 的标准方程为()2225x y +-=，（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2131k d k --=+，则()2222134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭可得()222135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或34k =-，所以直线l 的方程为10y -=或()3134y x -=--，即1y =或34130x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=由题意得222222(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩，解得1a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=（2）由（1）得()()22111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；而22y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为212211k k k ---=+，解得43k =-，因此22y x +-的取值范围是4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；18．【详解】（1）设(),M x y ，()00,A x y ，M 是线段AB 中点，006282x x y y+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()22262816x y ∴-+-=，整理可得M 点轨迹方程为：()()22344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离23421k k d k --==+，解得：34k =，:3430l x y ∴--=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离22342411k k k d k k ---==++，()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.19．C圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|122d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2212122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.20．A 【详解】由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由3012(1)CP k --==---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】根据题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则221k d k =+，若直线0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2321k d k==+，解得3k =±，点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离122331d k ==+，故选:B ．22．A 【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，则设2211(1)24m ab a a a a a ⎛⎫==-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当12a =时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．23．C由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离224312MN d r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由点到直线的距高公式，得232311k k -+=+，解得0k =或34k =-.故选：C.24．B 【详解】由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为22222243381d +++==>+，且2242243333133d ++--=-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B25．C 【详解】解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：圆的半径为1，切线长为15，∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得2|3345|49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为34-．故选：C ．26．B 【详解】解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而21PA PC =-，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A28．A 【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为21122-+==d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；∴四边形PMQN 的面积114224222S MN PQ =⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π，故选：A 30．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A31．C 【详解】设四边形PAOB 的面积为S ，2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|||22min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，所以线段OP 的中点坐标为11(,)22--，由题得直线AB 的斜率为1,-所以直线AB 的方程为11()[()]22y x --=---，化简得直线AB 的方程为10x y ++=.故选：C 32．C 【详解】解：因为圆()2222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432d --==，因为在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以2200113a b++=+，所以2231a b +=，所以()2222222222222213133310616310a b a b a b ab b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时2214a b ==，所以2213a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，2233411k kk-+-∴≤+，即221k k -≤+，解得3333k -≤≤.故选：C.35．D 【详解】由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2a cb +=，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由02102y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -，如下图所示：设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为102.设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.综上，22135212222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为521022OM EN ++=.故选：D.36．BC 【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为22002211d ++==+，所以直线l 被圆O 截得的弦长为()22222242214r d -=-=，故D 错误.故选：BC.37．BD 【详解】圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以()2225552521k k k -=-⇒=+或12k =.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=.故选：BD38．BD 【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2225322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为2111d k =≤+，所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.故选：BD.39．AD 【详解】解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，22112||(1)(0)1222PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A正确；圆心C 到直线l 的最大距离为2||2PC =，故B 错误； 直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．故选：AD ．40．22【详解】圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，则圆心()0,1-到直线的距离为()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，故答案为：2241．21-【详解】令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312td --==，解得21t =-.故答案为：21-42．x =2或3420x y +=-.【详解】圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.43．522+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124m m x y -++=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21k k =+解得：1k =±所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．45．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k++=+，12271x x k =+∴()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1y x =+46．（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m m d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.47．（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．48．（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为2411k =+，解得15k =±，所以所求直线l 的斜率为15±．（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．。
河南省商丘市第一高级中学2021-2022学年高二下学期期末考试英语试题(解析版)
A. Seeing movies.
B. Playing computer games.
C. Making videos.
16. What course does Sarah take?
A. Editing videos digitally. B. Buiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱding websites. C. Creating pictures.
A. It was worthwhile. B. It was full of danger. C. It cost them much money.
听第9段材料，回答第14至17题。
14. What are the speakers talking about?
A. Choosing a job. B. Choosing a university. C. Choosing a major.
Cadbury World, Birmingham, England
In the United Kingdom, chocolate means one thing: Cadbury. Cadbury World opened in 1990 in the Bournville village, where Cadbury factory starting in 1893 once located. It was considered a model village for workers at the time. One of the exhibits on this self-guided tour focuses on this area and how it impacted the company. Admission is $23 for adults.
北京师范大学附属实验中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题(含答案解析)
北京师范大学附属实验中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知空间向量,,a b c，化简(23)(33)a b c a b c --+-++ 的结果为（）A ．0B ．bC ．b- D ．a-r 2．如果空间向量,,a b c不共面，且32a b c xa yb zc -+=++ ，则x y z ++的值为（）A ．2-B ．3-C ．3D ．23．已知点G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA PB PC PD +++=（）A ．PGB ．2PGC ．3PGD ．4PG 4．在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z 下列叙述中正确的是（）①点P 关于x 轴的对称点是1(,,)P x y z -②点P 关于yOz 平面的对称点是2(,,)P x y z -③点P 关于y 轴的对称点是3(,,)P x y z -④点P 关于原点的对称点是4(,,)P x y z ---A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③5．已知直线280x y +-=与直线()3130x a y +-+=平行，则a 的值为（）A ．12-B ．12C ．5-D ．76．61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）．A ．15-B ．20-C ．15D ．207．已知直三棱柱111ABC A B C -中，60ABC ∠=︒，,AB BC CC ===121，则11AB BC的值为（）A ．0B ．1-C D ．28．已知直线1l 的斜率为2l 的倾斜角为直线1l 的倾斜角的一半，则直线2l 的斜率为（）A ．B ．CD ．不存在9．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，则直线1A M 与平面1AMC 所成角的正弦值为（）A B C D 10．马路上有依次编号为1,2,,9 的9盏路灯，为节约用电，某个时段可以把其中3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法的种数为（）A ．5B ．10C ．15D ．60二、填空题11．已知向量(3,2,5),(1,3,0),(2,1,1)a b c =-=-= ，则()a b c +⋅=______.12．设()665651031x a x a x a x a -=++++ ，则651a a a +++= ______13．用1,2,3,4,5,6排成无重复数字的三位偶数的个数为______14．已知点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C ，则原点O 到平面ABC 的距离为______.15．点(1,3)A 关于直线30x y -+=的对称点的坐标为______.16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,AB BC ==，点M 在棱1CC 上，当1MD MA +取得最小值时，1MD MA ⊥，则线段CM 的长为______三、解答题17．已知点(3,0),(3,3),(1,3)A B C --.(1)求过点C 且与直线AB 平行的直线1l 的方程；(2)求点C 到直线AB 的距离.18．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，解答下列问题：(1)点E F 、分别是线段11A B 和11C D 的四等分点，分别满足1111114,4A B EB C D FD ==，求BE 和DF 所成角的余弦值；(2)点G 是线段11B C 的四等分点，满足1114B C B G =，求FG 与平面1ACD 所成角的正弦值.19．分别求满足下列条件的各圆的方程.(1)过点(2,3),(2,5)---A B 且圆心在直线230x y --=上；(2)与x轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为20．如图，已知四棱锥E ABCD -中，ABCD 是直角梯形，90ABC BAD ∠=∠= ，BE ⊥平面ABCD ，26AB BC BE AD ====.(1)求点B 到平面CDE 的距离；(2)求二面角A CD E --的余弦值.21．如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上异于A B ，的点，平面PAC ⊥平面ABC .2,4PA PC AC BC ====，,E F 分别是,PC PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC的交线为直线l .(1)求证：直线BC ⊥平面PAC ；(2)求证：直线//l 直线BC ；(3)直线l 上是否存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的两角互余？若存在，求出AQ 的值；若不存在，请说明理由.22．记集合{}12(,,,)R,1,2,,(2,N)nn i R x x x x i n n n =∈=≥∈ ，对于1212(,,,),(,,,),n n n n A a a a R B b b b R ∈∈ 定义：1122(,,,)n n AB b a b a b a =---为由点,A B确定的广义向量，1122()n n d AB b a b a b a =-+-++-为广义向量的绝对长度，(1)已知()44(1,2,1,0),0,2,2,1A R B R -∈∈，计算()d AB；(2)设,,nA B C R ∈，证明：()()()d AC d CB d AB +≥；(3)对于给定,n A B R ∈，若12(,,,)nn P p p p R ∈ 满足()()()d AP d PB d AB +=且(1,2,,)i p Z i n ∈= ，则称P 为n R 中关于,A B 的绝对共线整点，已知3(1,0,3),(6,5,5)A B R ∈，①3R 中关于,A B 的绝对共线整点的个数为______；②若从3R 中关于,A B 的绝对共线整点中任取m 个，其中必存在4个点11213242123412(,,),(,,),(,,),(,,)(,)x y z x y z x y z x y z x x x x y y ≠≠≠≠，满足1234x x x x +=+，则m 的最小值为______参考答案：1．B【分析】根据空间向量的加减运算即可求解.【详解】(23)(33)(11)(23)(33)a b c a b c a b c b --+-++=-+-++-+=，故选：B .2．D【分析】利用空间向量不共面性质求出,,x y z 即可的答案.【详解】因为32a b c xa yb zc -+=++，所以()()()3210x a y b z c -+--+-=，由空间向量,,a b c不共面，所以303202101x x y y z z -==⎧⎧⎪⎪--=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩，所以3212x y z ++=-+=，故选：D.3．D【分析】分别在PAC △和PBD △中利用向量加法的平行四边形法则就可得出答案.【详解】因为点G 是正方形ABCD 的中心，所以G 分别为AC ,BD 的中点，所以在PAC △中，2PA PC PG +=，同理，在PBD △中，2PB PD PG +=，所以4PA PB PC PD PG +++= .故选：D .4．C【分析】根据空间坐标的对称性进行判断即可．【详解】点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ，y -，)z -，故①错误；点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是(x -，y ，)z ，则②正确；点P 关于y 轴的对称点的坐标是(x -，y ，)z -，则③错误；点P 关于原点的对称点的坐标是(x -，y -，)z -，故④正确，故正确的命题的序号是②④，故选：C.5．A【分析】根据两直线平行的系数对应关系即可求解【详解】因为直线1:280l x y +-=与直线()2:3130l x a y +-+=平行，所以238113a -=≠-，解得12a =-.故选：A 6．B【分析】写出展开式的通项公式()62161kk k k T C x -+=-，再令620k -=得3k =，再代入通项公式即可得答案.【详解】根据题意，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式()66216611kk k k k k k T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620k -=，解得3k =，所以常数项为()333161=20T C +=--.故选：B 7．A【分析】利用向量的加减法则逆运算得2111AB BC BB BA BC ⋅=-⋅，结合夹角与模长计算即可.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，则()()21111111=AB BC BB BA BB BC BB BB BC BA BB BA BC⋅-⋅+=+⋅-⋅-⋅ 221=121cos60=0BB BA BC =-⋅-⨯⨯︒ ，故选：A.8．C【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切的二倍角公式，可得答案.【详解】由直线1l的斜率为1θ，则1tan θ=由直线2l 的倾斜角为直线1l 的倾斜角的一半，设直线2l 的倾斜角为2θ，则212θθ=，212222tan tan tan 21tan θθθθ===-)(221tan 0θθ+=，解得2tan 3θ=由倾斜角的取值范围为[)0,p，则2tan θ=故直线2l故选：C.9．C【分析】分别以直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，可求出一些点的坐标，设平面1AMC 的法向量为1111(,,)n x y z = ，根据11100n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即可求出法向量1n ，设直线1A M 和平面1AMC 所成角为θ，则根据11sin cos ,n A M θ=即可求得直线1A M 与平面1AMC 所成角的正弦值.【详解】解：以边DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则：(2,A 00)，，(2,B 20)，，1(2,2,B 2)，(2,2,M 1)，1(0,2,C 2)，1(2,0,A 2)；(0,2,1)AM =，1(2,2,2)AC =- ，1)0,2,1(A M =- ，设平面1AMC 的法向量为1111(,,)n x y z = ，则111,n AM n AC ⊥⊥；∴11111111202220n AM y z n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取11x =，则111,2y z =-=，则1(1,1,2)n =- ；设1A M 和平面1AMC 所成角为θ，则：111111sin cos ,15n A M n A M n A Mθ⋅==；故选：C.10．B【分析】先让两端的两盏灯亮着，再点亮中间7盏中的4盏，4盏灯有5个空，利用插空法即可求解.【详解】让两端的两盏灯亮着，再点亮中间7盏中的4盏，4盏灯有5个空格，从5个空格中随机的选3个空格，因为灯是没有顺序的，所以共有35C 10=种，故选：B .11．0【分析】根据空间向量的坐标运算，可得答案.【详解】由(3,2,5),(1,3,0)a b =-=-，则()2,1,5a b +=-- ，由(2,1,1)c =，则()4150a b c +⋅=--+= .故答案为：0.12．63【分析】利用赋值法分别令0x =和1x =即可求解.【详解】由()665651031x a x a x a x a -=++++ ，令0x =，则()601a -=，即01a =，令1x =，则665102a a a a =++++ ，即651641a a a =++++ ，所以65163a a a +++= .故答案为：63.13．60【分析】可以看作是3个空，要求个位是偶数，其它位置无条件限制，因此先从3个偶数中任选1个填入个位，其它3个数在2个位置上排列即可.【详解】要排成无重复数字的三位偶数,则个位数为偶数即选择有3种，其它位数的排列数为25A 20=，即这样的数有32060⨯=个，故答案为:60.14【分析】由等体积法求点面距离.【详解】、、A B C 分别为x 、y 、z 轴上的点，则111111326A BOC V -骣琪=创创=琪桫，AB BC AC ===设原点O 到平面ABC 的距离为h ，由A BOC O ABC V V --=得111326O ABCV h -骣琪=创琪桫.解得h15．()0,4【分析】设点()00,P x y ，根据线段AP 的中点在直线上以及斜率得出方程组，解方程组即可得出点P 的坐标.【详解】设点()00,P x y 是点(1,3)A 关于直线30x y -+=的对称点.由已知直线30x y -+=的斜率为1，所以0000133022311AP x y y k x ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪==--⎪⎩，解得004x y =⎧⎨=⎩，所以点()0,4P .故答案为：()0,4.16【分析】把长方形11DCC D 展开到长方形11ACC A 所在的平面，利用三点共线时1MD MA +取最小值，可得等量关系，再利用勾股定理列方程，求出CM 即可.【详解】把长方体11DCC D 展开到长方形11ACC A所在的平面，易知2AC ==，当1,,A M D 在同一直线上时，1MD MA +取得最小值，此时1123AM MC AC AD DD AD ===，设MC x =，132x DD =，原图形中,则有22222224AM AC CM x x =+=+=+，222222111111()1124x x MD C D C M CC CM ⎛⎫=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭，222211934AD AD DD x =+=+，因为1MD MA ⊥，所以22211AM MD AD +=，即2221941344x x +++=+，解得：x =.17．(1)270y x +-=(2)【分析】(1)先求出12AB k =-，再用点斜式求方程即可；(2)先求出直线AB 的方程，再求点到直线的距离.【详解】（1）031332AB k +==---，过点C 且与直线AB 平行的直线1l 的方程为：()1312y x -=--，即270x y +-=；（2）又(1)知12AB k =-，则直线AB 的方程为()1032y x -=-+，即230x y ++=，则点C 到直线AB 的距离为d =18．(1)1517【分析】(1)根据空间向量的坐标运算求异面直线的夹角；(2)根据空间向量的坐标运算求出直线的方向向量和平面的法向量，从而计算线面夹角的正弦值.【详解】（1）在正方体中，以A 为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,0),(0,4,0),(3,0,4),(1,4,4)B D E F ,所以(1,0,4),(1,0,4)BE DF =-=，所以15cos ,17BE DF BE DF BE DF⋅<>===，所以BE 和DF 所成角的余弦值为1517.（2）由（1）可知，1(4,1,4),(0,4,4),(4,4,0)G D C ，1(3,3,0),(4,4,0),(0,4,4),FG AC AD =-==设平面1ACD 的法向量为(,,)m x y z =，FG 与平面1ACD 所成角为θ，则1440440AC m x y AD m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1,x =则1,1y z =-=，所以(1,1,1)m =- ，所以sin cos ,3FG m FG m FG mθ⋅=<>== .19．(1)()()221210x y +++=(2)()()22139x y -+-=或()()22139x y +++=【分析】（1）求得弦的中垂线方程，联立求得圆心，计算半径，可得答案；（2）设出圆心与半径，利用弦长公式，可得答案.【详解】（1）由(2,3),(2,5)---A B ，则其中点坐标为()0,4-，直线AB 的斜率351222AB k -+==+，即线段AB 的中垂线方程为42y x +=-，联立两直线方程，可得42230y x x y +=-⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，则圆心为()1,2--，半径r =()()221210x y +++=.（2）设圆心为(),m n ，则半径r n =，30m n -=，即3n m =，圆心到直线0x y -=的距离d =，由直线0xy -=截得的弦长为2272m n +=，解得21m =，当1m =时，3n =，半径3r =，此时圆的方程为()()22139x y -+-=；当1m =-时，3n =-，半径3r =，此时圆的方程为()()22139x y +++=.20．(1)4(2)23【分析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.【详解】（1）∵BE ⊥平面,ABCD ,AB BC ⊂平面,ABCD ∴,BE AB BE BC ⊥⊥，又90,ABC BAD ∠=∠= ,,BE AB BC 两两互相垂直，则以点B 为坐标原点，,,BCBABE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，26BE AB BC AD ==== ()()()0,0,0,0,0,6,6,0,0,B E C ∴()()3,6,0,0,6,0D A ，()()()0,0,6,3,6,6,6,0,6,BE ED EC ∴==-=-设平面ECD 的一个法向量(,,)n x y z =00n ED n EC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即36602206600x y z x y z x z x z +-=+-=⎧⎧⇔⎨⎨-=-=⎩⎩令1z =，可得11,2x y ==，11,,12n ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，记点B 到平面PCD 的距离为d ，则4BE d n n ⋅== ，所以点B 到平面PCD 的距离为4.（2）由(1)可知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,6,m BE ==平面ECD 的一个法向量为11,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设二面角A CD E --的平面角为α，由图可知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，32cos cos m n m n m n α⋅=⋅==⋅ ，所以二面角A CD E --的余弦值为23.21．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)当||1AQ =时，直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的两角互余，理由见解析.【分析】（1）先证明BC AC ⊥，由条件根据面面垂直性质定理证明直线BC ⊥平面PAC ；(2)根据线面平行判定定理证明//BC 平面EFA ，再由线面平行性质定理证明直线//l 直线BC ；（3）建立直角坐标系，求出面AEF 的法向量m ，继而求出cos ,PQ EF <>，利用cos ,cos ,PQ EF PQ m =，求出点Q 的坐标即可.【详解】（1）因为点C 是以AB 为直径的圆O 上异于A B ，的点，所以BC AC ⊥又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ；（2）E ，F 分别是PB ，PC 的中点，所以//BC EF ，又EF ⊂平面EFA ，BC 不包含于面EFA ，所以//BC 平面EFA ，又BC ⊂面ABC ，平面⋂EFA 平面=ABC l ，所以//BC l ，（3）以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A ，()0,4,0B，(1,P，1(2E，1(,2F ，∴3(,0,22AE =- ，(0,2,0)EF =，设(2Q ,y ,0)，平面AEF 的法向量为(,,)m x y z =，则30220AE m x EF m y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x =，则0z y ==，所以m =为平面AEF 的一个法向量，且(1,,PQ y =，cos ,PQ EFcos ,PQ m =设直线PQ 与平面AEF 所成的角为α、直线PQ 与直线EF 所成的角为β，则sin α=，cos β=因为直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的两角互余，所以90αβ+= ，所以sin cos αβ=，1y =±．所以当||1AQ =时，直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余．22．(1)()5d AB =(2)证明见解析；(3)①108；②73【分析】(1)由广义向量的绝对长度的定义计算()d AB即可；(2)根据广义向量的绝对长度的定义结合绝对值三角不等式证明()()()d AC d CB d AB +≥；(3)①根据绝对共线整点的定义由(2)结合条件列关系式，确定,A B 的绝对共线整点的个数；②先考虑z 坐标都为3的点中至少取多少个元素满足要求，由此确定m 的最小值.【详解】（1）因为()44(1,2,1,0),0,2,2,1A R B R -∈∈，所以()()01222110d AB =-+-+--+-，所以()5d AB =；（2）由已知设121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n A x x x B y y y C z z z ，则1122()n n d AB y x y x y x =-+-++- ，1122()n n d AC z x z x z x =-+-++-，1122()n n d CB y z y z y z =-+-++-，由绝对值三角不等式可得,1,2,3,i i i i i i i i i i z x y z z x y z y x i n -+-≥-+-=-=⋅⋅⋅当且仅当()()0i i i i z x y z --≥时等号成立，所以11221122()()n n n nd AC d CB z x z x z x y z y z y z +=-+-++-+-+-++- 11112222()()n n n n d AC d CB z x y z z x y z z x y z +=-+-+-+-++-+-1122()()n n d AC d CB y x y x y x +≥-+-++-，当且仅当()()0i i i i z x y z --≥，1,2,,i n =⋅⋅⋅都成立时等号成立；所以()()()d AC d CB d AB +≥；（3）①设()123,,P t t t ，123,,Z t t t ∈为3R 中关于,A B 的绝对共线整点，则()()()d AP d PB d AB +=；因为3(1,0,3),(6,5,5)A B R ∈，所以()()11160t t --≥，()()22050t t --≥，()()33350t t --≥，所以{}11,2,3,4,5,6t ∈，{}20,1,2,3,4,5t ∈，{}33,4,5t ∈，所以3R 中关于,A B 的绝对共线整点的个数为663108⨯⨯=，②先考虑,A B 的绝对共线整点中z 坐标都为3的点，考虑取出x 坐标分别为1,2,3,5，z 坐标为3的点的所有点共24个，因为1,2,3,5中任意两个数的和都不等于另两个数的和，故不存在满足要求的四个点，若取出x 坐标分别为1,2,3,5，z 坐标为3的点的所有点共24个，加入x 坐标为4，z 坐标为3的任意点()4,,3k ，则存在{}0,1,2,3,4,5k ∈，则存在()()()()1,,3,4,,3,2,,3,3,,3k k h h ，h k ≠，满足要求；同理加入x 坐标为6，z 坐标为3的任意点都存在满足要求的四个点，由此可证在z 坐标都为3的点中取24个点不一定存在满足要求的4个点，但取25个点则一点存在满足要求的4个点，故要满足给定要求，m 得最小值为73.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
2021-2022学年河南省濮阳第一高级中学高一(上)期中英语试卷(B卷)(附答案详解)
2021-2022学年河南省濮阳第一高级中学高一（上）期中英语试卷（B卷）一、阅读理解（本大题共15小题，共30.0分）AWays to Improve Vocabulary in Just One Day The average American has a vocabulary in the thousands.Try these tricks to make sure yours builds up.Watch movies"If you see the movie version of your favorite book you're likely to have a deeper understanding and knowledge of the words in it," says Neuman,professor of Childhood and Literacy Education at New York University. "Seeing and reading something on the same topic is really important."Read magazinesIf you want to improve vocabulary,don't just flip through your favorite magazine,really read it. Listen to how words soundMany people won't remember tricky words unless they come across them frequently.But if you hear a word that you think sounds interesting,you become word conscious（有意识的）and start using it yourself,says Neuman.Join a book club"Book clubs are a wonderful strategy to learn new words," says Neuman.Not only will it force you to set aside time in your day to read,but it's also a good way to discover books you might not normally be drawn to.Listen to the radioThose types of programs can expose you to topics you may not be familiar with.Don't miss these middle school vocabulary words adults still don't know.Pay attention to your surroundingsNext time you walk down a busy street or take a walk in the park,try to describe what you're seeing as much as possible inside your head.Read,read,readEven if you don't stop to look up every single foreign word,chances are you can improve vocabulary simply by figuring out（想出）their meaning based on the context.1.How many tricks mentioned above are through hearing？______A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.2.According to the passage,how will you find some special and unusual books？______A. By listening to the radio.B. By joining a book club.C. By walking around.D. By watching movies.3.Where does this passage probably come from？______A. Textbook.B. Science report.C. Novel.D. Website.BOne of my wonderful memories is about a Christmas gift.Unlike other gifts,it came without wrap（包装）.On September 11th,1958，Mum gave birth to Richard.After she brought him home from hospital,she put him in my lap,saying, "I promised you a gift,and here it is." What an honor!I turned four a month earlier and none of my friends had such a baby doll of their own.I played with it day and night.I sang to it.I told it stories.I told it over and over how much I loved it! One morning,however,I found its bed empty.My doll was gone!I cried for it.Mum wept and told me that the poor little thing had been sent to a hospital.It had a fever.For several days,I heard Mum and Dad whispering such words as "hopeless" "pitiful" and "dying"，which sounded ominous.Christmas was coming. "Don't expect any presents this year." Dad said,pointing at the socks I hung in the living room. "If your baby brother lives,that'll be Christmas enough." As he spoke,his eyes were filled with tears.I'd never seen him cry before.The phone rang early on Christmas morning.Dad jumped out of bed to answer it.From my bedroom I heard him say,"What？He's all right？" He hung up and shouted upstairs. "The hospital said we can bring Richard home!" "Thank God! " I heard Mum cry.From the upstairs window,I watched my parents rush out to the car.I had never seen them that happy.And I was also full of joy.What a wonderful day!My baby doll would be home.I ran downstairs.My socks still hung there flat.But I knew they were not empty；they were filled with love!4.What happened to the author on September 11th,1958？______A. He got a baby brother.B. He got a Christmas gift.C. He became four years old.D. He received a doll.5.What does the underlined word "ominous" in Paragraph 3 probably mean？______A. Impossible.B. Boring.C. Difficult.D. Fearful.6.Which word can best describe the feeling of the father when Christmas was coming？______A. Excitement.B. Happiness.C. Sadness.D. Disappointment.7.What is the passage mainly about？______A. A sad Christmas day.B. Life with a lovely baby.C. A special Christmas gift.D. Memories of a happy family.CMost people follow others blindly mainly under the effect of peer（同龄人）pressure.Some people also feel it safe to follow a large number of people.In some rare cases it might be right to follow the crowd（群众），but in most cases this can be one big mistake.Actually there are reasons why we shouldn't follow the crowd blindly.According to a study,people tend to follow the crowd when they aren't sure about the direction they should take.This means a large number of people could be following others without understanding what's right and what's wrong!This attracts more people to follow them and the result is that most people move in a certain direction even if it isn't right.A man who wants to be successful always hopes for others' guidance and he usually follows the same path of most people,but the question this man never asks himself is：are all of those people successful？Of course not!If you want to follow a crowd,then follow a successfulone.However,in real life you'll only find one successful person among hundreds of people,and that's why following the crowd makes no sense at all.Most people act without thinking wisely.If you always follow others because they're greater than you in number,then sooner or later you'll discover that you're making decisions you might regret later.However,should we never follow the crowd？No.I'm not trying to say you should never follow the crowd,but instead I'm just asking you to think wisely before you make a decision.If you find others are right,there is no problem in following them,but if you have doubts about the direction they're moving in,don't follow them blindly.8.According to the text,most people follow others blindly mainly because ______ .A. they are affected by their peersB. they don't believe in themselvesC. they feel it safe to stay with othersD. they are weaker than other people9.What can we learn from Paragraph 4？______A. It needs some time to think wisely.B. We shouldn't regret what we have done.C. We should think wisely before deciding to follow others.D. Making others follow us is better than following others.10.Which of the following will the author agree with？______A. It is wrong to follow other people.B. Those who follow others won't succeed.C. Only those foolish people will follow others.D. One should use his head before following others.11.What is the text mainly about？______A. Effects of following others.B. Benefits of making wise decisions.C. Reasons why most people follow others.D. Reasons why people shouldn't follow others blindly.DNo one is sure how the ancient Egyptians built the pyramids near Cairo.But a new study suggests they used a little rock 'n' roll.Long-ago builders could have attached wooden poles to the stones and rolled them across the sand,the scientists say."Technically,I think what they're proposing is possible." physicist Daniel Bonn said.People have long puzzled over how the Egyptians moved such huge rocks.And there's no obvious answer.On average,each of the two million big stones weighed about as much as a large pickup truck.The Egyptians somehow moved the stone blocks to the pyramid site from about one kilometer away.The most popular view is that Egyptian workers slid the blocks along smooth paths.Many scientists suspect workers first would have put the blocks on sleds（滑板）.Then they would have dragged them along paths.To make the work easier,workers may have lubricated the paths either with wet clay or with the fat from cattle.Bonn has now tested this idea by building small sleds and dragging heavy objects over sand.Evidence from the sand supports this idea.Researchers found small amounts of fat,as well as alarge amount of stone and the remains of paths.However,physicist Joseph West thinks there might have been a simpler way,who led the new study.West said,"I was inspired while watching a television programme showing how sleds might have helped with pyramid construction.I thought,'Why don't they just try rolling the things？'" A square could be turned into a rough sort of wheel by attaching wooden poles to its sides,he realized.That,he notes,should make a block of stone "a lot easier to roll than a square". So he tried it.He and his students tied some poles to each of four sides of a 30-kilogram stone block.That action turned the block into somewhat a wheel.Then they placed the block on the ground. They wrapped one end of a rope around the block and pulled.The researchers found they could easily roll the block along different kinds of paths.They calculated that rolling the block required about as much force as moving it along a slippery（滑的）path.West hasn't tested his idea on larger blocks,but he thinks rolling has clear advantages over sliding.At least,workers wouldn't have needed to carry cattle fat or water to smooth the paths.12.It's widely believed that the stone blocks were moved to the pyramid site by ______ .A. rolling them on roadsB. pushing them over the sandC. sliding them on smooth pathsD. dragging them on some poles13.The underlined part "lubricated the paths" in Paragraph 4 means ______ .A. made the paths wetB. made the paths hardC. made the paths wideD. made the paths slippery14.Why is rolling better than sliding according to West？______A. Because more force is needed for sliding.B. Because rolling work can be done by fewer cattle.C. Because sliding on smooth roads is more dangerous.D. Because less preparation on paths is needed for rolling.15.What is the text mainly about？______A. An experiment on ways of moving blocks to the pyramid site.B. An application of the method of moving blocks to the pyramid site.C. An argument about different methods of moving blocks to the pyramid site.D. An introduction to a possible new way of moving blocks to the pyramid site.二、阅读七选五（本大题共5小题，共10.0分）Advice for High School Students As a person who is graduating from high school very soon,I have some suggestions for students in high school or students who are soon going to be high school students. (1) I am sure others can benefit from reading them and will not make similar mistakes like me.(2) Do not value first impressions highly.Don't dismiss a person or an idea too early just because you immediately get a bad impression.You will miss many opportunities because of that.Although something seems bad at the first impression,it does not mean it is bad all the time.Try to give everything a fair chance.Don't try to please everybodyThere is no way you can please everybody or get everybody to agree with you. (3) It is a huge waste of time.Have respect for authorityNo matter how much you may dislike them,just remember that teachers and parents care about you and they are only doing their jobs. (4) Don't argue with them and don't just obey them. Realize high school is not the real worldThe real world isn't a closed environment. (5) What is rewarded in high school such as popularity and agreement is different from what is rewarded in the real world.If high school isn't working out for you,you may find yourself better at handling the real world.A.Do not be too quick to judge.B.So just learn to say the word "No" a lot.C.Listen to their advice and consider it carefully.D.Many of these are based on regrets that I have.E.Bad habits are hard to break and remain with you for a long time.F.Don't spend any effort trying to please others who will never like you.G.It is a free society where people accept responsibility for their actions.16. A. A B. B C. C D. D E.E F.F G. G17. A. A B. B C. C D. D E.E F.F G. G18. A. A B. B C. C D. D E.E F.F G. G19. A. A B. B C. C D. D E.E F.F G. G20. A. A B. B C. C D. D E.E F.F G. G三、完形填空（本大题共20小题，共30.0分）On a cold November afternoon,my mother and I were walking home from a pizza store.We were dressed(21)and equipped with the rented video we had been(22)to watch.I was feeling a little(23)as I was carrying our shopping,and decided to throw away something.So I started to walk towards the garbage can(24)I noticed a poor man walking out of the restaurant in front of us.He(25)over to another nearby garbage can and started looking through it.I suddenly felt very guilty because I was about to throw away a new drink just because it was(26).I walked up to him and handed the(27)and some snacks（小吃）over to him.The man looked up(28)and took what I gave him.A huge smile(29)across his face and this(30)me to feel indescribable satisfaction.I felt I couldn't be happier(31)myself,but then he said："Wow,this is my son's lucky day!"With that,he thanked me happily and started off on his bike.I(32)heard him whistling a song as he rode away.I got a warm(33)inside.I now understand what is(34)by the saying "giving is getting". Although it only(35)a little action and a few words,I gained and learned more in those two minutes than I did in the(36)of the month.Everyone in the world needs help,everyone can (37)help and everyone will be helped by (38)kindness.The image of that man's happiness caused by my small gift appears in my mind every(39)I have the chance to do something nice.This is the (40)of charity （慈善行为）.21. A. poorly B. coldly C. warmly D. expensively22. A. dying B. exciting C. worrying D. happy23. A. worried B. interested C. bored D. tired24. A. and B. but C. as D. when25. A. headed B. passed C. crossed D. took26. A. cheap B. heavy C. tasteless D. full27. A. money B. toys C. drink D. clothes28. A. in silence B. in surprise C. in interest D. in a hurry29. A. appeared B. spread C. went D. ran30. A. forced B. helped C. persuaded D. caused31. A. with B. to C. at D. for32. A. still B. once C. even D. ever33. A. sense B. mind C. thinking D. feeling34. A. aimed B. meant C. considered D. thought35. A. cost B. took C. called D. asked36. A. whole B. others C. rest D. time37. A. give B. send C. offer D. have38. A. showing B. expressing C. lending D. setting39. A. moment B. day C. minute D. time40. A. power B. meaning C. strength D. aim四、语法填空（本大题共1小题，共15.0分）41.Since a university education in the United States（1）______（be）very expensive,moststudents work in addition to studying.Students（2）______（usual）work part-time,but some students take full-time jobs.A typical job for a students would be working（3）______a waiter or waitress.Other typicaloff-campus jobs would include being a clerk in a store or delivering pizza.Sometimes students also find jobs on campus such as cleaning,working in a cafeteria or library or answering（4）______（telephone）．Most student jobs are entry-level and low paying,but have flexible schedule （5）______（allow）students to attend classes.Sometimes students also hold more responsible positions such as managers,or if they are lucky,positions in their area of study,（6）______they hope will help them findemployment after they graduate.（7）______double responsibilities of working and studying result in a very busy,（8）______（stress）life for some students.（9）______，it is the only way for many people to finance their college educations.Some Americans believe that the work experience is good for the students（10）______（they）since it gives them a taste of "the real world"outside the school.五、短文改错（本大题共1小题，共10.0分）42.假定英语课上老师要求同桌之间交换修改作文，请你修改你同桌写的以下作文。
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2021-2022学年河南省驻马店市新蔡第一高级中学高二（上）开学数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等比数列{a n}，则下面对任意正整数k都成立的是()A. a k⋅a k+1>0B. a k⋅a k+2>0C. a k⋅a k+1⋅a k+2>0D. a k⋅a k+3>02.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则a9−a10a5−a6=()A. 16B. 8C. 4D. 23.方程x2−5x+4=0的两根的等比中项是()A. ±2B. 1和4C. 2和4D. 2和14.1+4+7+10+⋯+(3n+4)+(3n+7)等于()A. n(3n+8)2B. (n+2)(3n+8)2C. (n+3)(3n+8)2D. n(3n−1)25.若a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2−2bx+c的图象与x轴的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 1或26.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<−2或x>3}，则f(x)>0的解集为()A. {x|x<−2或x>3}B. {x|−2<x<3}C. {x|x>3}D. {x|x<3}7.设实数x，y满足{|x|≤2|y|≤2y≥x，则z=x+y的最小值是()A. 0B. −2C. −4D. −88.若x，y满足条件{x+y−2≥0x−2y+6≥0x≤2，则目标函数z=x2+y2的最小值是()A. √2B. 2C. 4D. 6899.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是()A. (−2,1)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. [−2,1]D. (−∞,−2]∪[1,+∞)10. 已知k ≠1，则等比数列a +log 2k ，a +log 4k ，a +log 8k 的公比为( )A. 12 B. 13C. 14D. 以上答案都不对11. 设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n 等于( )A. 4B. 5C. 6D. 712. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，2S n =(n +1)a n ，若关于正整数n 的不等式a n 2−ta n ≤2t 2的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为( )A. [1,32)B. (1,32)C. [12,1]D. (112,1]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则1a +1ab 的最小值是______．14. 设x ，y 满足约束条件{x +2y ≤ 12x +y ≥−1x −y ≤0，则z =3x −2y 的最小值为______．15. 已知函数f(x)=√x +ax +1，x ≥1，a >0的最小值为3，则a =______．16. 已知数列{a n }的通项公式为a n =9n (n+1)10n，则数列{a n }中的最大项为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知等比数列{a n }满足a 3+a 4=12，a 1a 6=32，前n 项和为S n ，且公比q >1．(1)数列{a n }的通项公式； (2)求证：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．18.已知函数f(x)=x2−2(a+1)x+4a．(1)若a=1，解不等式f(x)>0；2(2)解关于x的不等式f(x)<0．19.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA−csinC=b(sinA−sinB)．(1)求角C；(2)若c=1，且△ABC的面积S∈(0,√3)，求△ABC的周长l的取值范围．1220.设正项等比数列{a n}的前n项和为S，已知S3=21a1，且a2n=a n2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．log4a2n−1⋅log4a2n+121.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求角B的大小；(2)若b=√13，a+c=4，求△ABC的面积．22.数列{a n}对于任意n∈N∗，满足(4+a n)(2−a n+1)=8，且a1=2．(1)求a n；(2)若b n=2n a n a n+1，求数列{b n}的前n项和．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，当q <0时，a k 与a k+1异号，则a k ⋅a k+1<0，A 错误； 对于B ，a k ⋅a k+2=a k ⋅a k ⋅q 2=(a k ⋅q)2>0，B 正确；对于C ，a k ⋅a k+1⋅a k+2=(a k+1)3，则a k ⋅a k+1⋅a k+2>0不一定成立，C 错误；对于D ，a k ⋅a k+3=a k 2⋅q 3，则a k ⋅a k+3>0不一定成立，D 错误；故选：B ．根据题意，结合等比数列的性质依次分析选项，综合即可得答案． 本题考查等比数列的性质，注意等比中项的性质，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：等比数列{a n }中，a 3=2，a 4a 6=16， ∴{a 1q 2=2a 12q 8=16， 解得q 2=2，a 1=1， ∴a 9−a 10a 5−a 6=a 1q 8−a 1q 9a 1q 4−a 1q 5=q 4=4，故选：C ．由题意可得{a 1q 2=2a 12q 8=16，解得q 2=2，a 1=1，则a 9−a 10a 5−a 6=q 4=4，问题得以解决本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题3.【答案】A【解析】解：由韦达定理可得方程x 2−5x +4=0的两根之积为4，而4=(±2)2，故方程x 2−5x +4=0的两根的等比中项是±2． 故选：A ．先利用韦达定理求出方程x 2−5x +4=0的两根之积，再利用等比中项的性质即可求解． 本题考查一元二次方程的根与系数的关系以及等比中项的性质．是对基础知识的考查，主要考查基本功．是基础题．4.【答案】C【解析】解：依题意，记等差数列{a n}的通项公式a n=1+3(n−1)=3n−2，则1+4+7+10+⋯+(3n+4)+(3n+7)=1+4+7+10+⋯+[3(n+2)−2]+[3(n+3)−2]=(n+3)[1+3(n+3)−2]2=(n+3)(3n+8)，2故选：C．通过记等差数列{a n}的通项公式a n=3n−2可知所求值即为求该等差数列的前n+3项的和，利用等差数列的求和公式计算即得结论．本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∵y=ax2−2bx+c是二次函数，∴a≠0，其对应方程的判别式Δ=4b2−4ac=(a+c)2−4ac=(a−c)2≥0．∴方程ax2−2bx+c=0有两个相等或不等的实数根，即二次函数y=ax2−2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1个或2个．故选：D．利用等差中项得到2b=a+c，然后令y=ax2−2bx+c=0，由△的符号进行判断即可．本题考查了二次函数图象与性质的应用，二次函数与一元二次方程之间关系的应用，等差中项定义的运用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：因为一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<−2或x>3}，所以x=−2和x=3为方程f(x)=0的两个根，且二次项系数小于0，则f(x)>0的解集为{x|−2<x<3}．故选：B．由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系进行分析求解即可．本题考查了一元二次不等式的求解与应用，解题的关键是掌握一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A(−2,−2)，由z=x+y，得y=−x+z，由图可知，当直线y=−x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为−4．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由约束条件{x +y −2≥0x −2y +6≥0x ≤2作出可行域如图，z =x 2+y 2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方， ∵原点O 到直线x +y −2=0的距离d =√2=√2，∴z =x 2+y 2的最小值是2． 故选：B ．由约束条件作出可行域，再由z =x 2+y 2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求解．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由二次函数y =ax 2+bx +c 的图像知， 方程ax 2+bx +c =0的两根为−2，1且a <0， ∴不等式ax 2+bx +c >0的解集是(−2,1)， 故选：A ．由二次函数y =ax 2+bx +c 的图像知，方程ax 2+bx +c =0的两根为−2，1且a <0，即可求解．本题考查了一元二次不等式的解法，解答此题的关键是得到方程ax 2+bx +c =0的两根为−2，1且a <0，属基础题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，有(a +log 4k)2=(a +log 2k)(a +log 8k)，即(a +12log 2k)2=(a +log 2k)(a +13log 2k)，解得log 2k =−4a 或log 2k =0(舍去)，故该等比数列的公比为q =a+log 4k a+log 2k=a+12log 2k a+log 2k=−a−3a =13． 故选：B ．根据题意可得(a +log 4k)2=(a +log 2k)(a +log 8k)，从而解得log 2k =−4a ，进一步可利用该等比数列的公比为q =a+log 4ka+log2k=a+12log 2k a+log 2k进行求解．本题主要考查等比数列的性质，涉及对数的基本运算，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：∵{a n }是等差数列，且a 1+a 2+a 3=15，∴a 2=5． 又∵a 1⋅a 2⋅a 3=105，∴a 1a 3=21．由{a 1a 3=21a 1+a 3=10及{a n }是递减数列，可求得a 1=7，d =−2． ∴a n =9−2n ，由a n ≥0得n ≤4，∴选A ．由条件利用等差数列的性质求得首项和公差，从而求得通项公式，再由a n ≥0求得n 的最大值．本题主要考查等差数列的性质，对于递减数列，所有非负项的和最大，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵a 1=1，2S n =(n +1)a n ， ∴n ≥2时，2S n−1=na n−1，∴2a n =2(S n −S n−1)=(n +1)a n −na n−1，整理得ann =a n−1n−1，∴a n n=a n−1n−1=⋯=a 22=a 11=1，∴a n =n ．∴不等式a n 2−ta n ≤2t 2可化为(n −2t)(n +t)≤0，t >0，∴0<n ≤2t ，关于正整数n 的不等式a n 2−ta n ≤2t 2的解集中的整数解有两个，可知n =1，2．∴1≤t<32，故选A．由2S n=(n+1)a n，n≥2时，2S n−1=na n−1，则2a n=2(S n−S n−1)，即有a nn =a n−1n−1=⋯=a22=a11=1，可得：a n=n.将不等式a n2−ta n≤2t2转化为(n−2t)(n+t)≤0，t>0，解不等式，再根据题意得出正实数t的取值范围即可．本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】3+2√2【解析】解：∵a+b=1，∴1a +1ab=1a+a+bab=2a+1b=(2a+1b)⋅(a+b)=2ba+ab+3≥2√2+3，当且仅当2ba =ab，即a=2−√2，b=√2−1时取等号，∴1a +1ab的最小值为2√2+3．故答案为：2√2+3．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．14.【答案】−5【解析】【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，即可求得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件{x+2y≤ 12x+y≥−1x−y≤0作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立{x +2y =12x +y =−1，解得A(−1,1)． ∴z =3x −2y 的最小值为−3×1−2×1=−5．故答案为：−5．15.【答案】16【解析】解：令t =x +a x +1，其中x ≥1，当0<a <1时，函数t =x +a x +1在[1,+∞)上为增函数，故当x =1时，t 有最小值，即f(x)取得最小值为√a +2=3，得a =7(舍去)； 当a ≥1时，t =x +a x +1≥2√x ⋅a x+1=2√a +1，当且仅当x =√a 时取等号， 则f(x)的最小值为√2√a +1=3，解得a =16．综上所述，a =16．故答案为：16． 令t =x +a x +1，其中x ≥1，对a 分类求解t 的最小值，可得f(x)的最小值，再由最小值为3列式求得a 值．本题考查函数的最值及其几何意义，考查分类讨论思想，训练了利用函数单调性与基本不等式求最值，是中档题．16.【答案】a 8和a 9【解析】解：∵数列{a n }的通项公式为a n =9n (n+1)10n ， ∴a n+1−a n =9n+1(n+2)10n+1−9n (n+1)10n =9n 10n+1[9(n +2)−10(n +1)]=9n 10n+1(8−n)，∴n <8时，a n+1>a n ，n >8时，a n+1<a n ，n =8时，a n+1=a n ，故数列{a n }中的最大项为a 8和a 9．故答案为：a 8和a 9．相邻两项作差，然后和0比较即可求得出结论．本题考查数列的通项公式和数列的函数特征，考查计算能力，属基础题．17.【答案】解：(1)因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 6=a 3a 4=32．由{a 3+a 4=12,a 3a 4=32,得{a 3=4a 4=8，或{a 3=8,a 4=4,由公比q >1，得{a 3=4,a 4=8,故a 1=1，q =2，所以a n =2n−1．(2)由(1)知a n =2n−1，所以1a 1+1a 2+⋯+1a n =1+12+⋯+12n−1 =1−(12)n 1−12=2[1−(12)n ]=2−12n−1<2． 【解析】(1)由题意并结合等比数列的通项公式及前n 项和公式，即可得出a 3，a 4的值，再出a 1和q ，即可得出数列{a n }的通项公式；(2)由(1)知a n =2n−1，利用等比数列的前n 项和公式求出1a 1+1a 2+⋯+1a n ，即可得出所证的结论．本题考查等比数列及其前n 项和，考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属中档题．18.【答案】解：(1)当a =12时，不等式f(x)>0可化为x 2−3x +2>0，由x 2−3x +2=0，得x =1，x =2．因为抛物线f(x)=x 2−3x +2开口向上，且其两个零点为x =1，x =2，所以不等式f(x)>0的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)．(2)对于二次函数f(x)=x2−2(a+1)x+4a，其对应的二次方程为x2−2(a+1)x+ 4a=0，计算判别式Δ=4(a+1)2−16a=4(a−1)2≥0，其两根为x=2，x=2a．当2a>2，即a>1时，不等式f(x)<0的解集为(2,2a)；当2a=2，即a=1时，不等式f(x)<0的解集为⌀；当2a<2，即a<1时，不等式f(x)<0的解集为(2a,2)；综上，a>1时，不等式f(x)<0的解集为(2,2a)；a=1时，不等式无解；a<1时，不等式f(x)<0的解集为(2a,2)．【解析】(1)a=12时不等式可化为x2−3x+2>0，求出解集即可．(2)写出二次函数对应的二次方程，计算判别式Δ，判断方程根的情况，从而求出不等式的解集．本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题．19.【答案】解：(1)因为asinA−csinC=b(sinA−sinB)，由正弦定理asinA =bsinB=csinC，可得a²−c²=b(a−b)，所以c²=a²+b²−ab，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =12，因为C∈(0,π)，所以C=π3；(2)因为S=12absinC=√34ab，所以0<√34ab<√312，即0<ab<13，当c=1时，c²=a²+b²−ab=(a+b)²−3ab=1，则a+b=√1+3ab，所以△ABC的周长l=a+b+c=√1+3ab+1，其中0<ab<13，故2<l<√2+1，即△ABC的周长l的取值范围是(2,√2+1)．【解析】(1)根据正弦定理整理条件得到c²=a²+b²−ab，再结合余弦定理即可求得C；(2)根据面积公式以及面积取值范围可得ab取值范围，再结合c²=a²+b²−ab，c=1可得a+b=√1+3ab，进而表示出周长l，即可求得其取值范围．本题考查解三角形，主要涉及正弦定理的应用，三角形面积公式，余弦定理等知识点，属于中档题．20.【答案】解：(1)正项等比数列{a n }的前n 项和为S ，已知S 3=21a 1，且a 2n =a n2． 设首项为a 1，公比为q ，则：{S 3=a 1+a 1q 2+a 1q 2=21a 1a 1q 2n−1=a 12q2n−2， 解得：a 1=q =4，故：a n =4n(2)根据(1)的结论，则：b n =1log4a 2n−1⋅log 4a 2n+1， =1(2n−1)(2n+1)，=12(12n−1−12n+1)， 所以：T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)，=12(1−12n+1)，=n 2n+1．【解析】(1)利用题中的已知条件求出数列的通项公式．(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用． 21.【答案】解：(1)由正弦定理得：a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， 将上式代入cosB cosC =−b 2a+c 得cosB cosC =−sinB 2sinA+sinC ，即2sinAcosB +sinCcosB +cosCsinB =0，即2sinAcosB +sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sin(B +C)=sinA ，∴2sinAcosB +sinA =0，即sinA(2cosB +1)=0，∵sinA ≠0，∴cosB =−12，∵B 为三角形的内角，∴B =2π3．(2)将b=√13，a+c=4，B=2π3代入余弦定理b2=a2+c2−2accosB得：b2=(a+c)2−2ac−2accosB，即即13=16−2ac(1−12)，∴ac=3，∴S△ABC=12acsinB=3√34．【解析】(1)根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sin A不为0，得到cos B的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；(2)由(1)中得到角B的度数求出sin B和cos B的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cos B的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sin B的值代入即可求出值．本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意(4+a n)(2−a n+1)=8，解得8−4a n+1+2a n−a n a n+1=8，2a n−4a n+1=a n a n+1，得2a n+1−4a n=1，2 a n+1=4a n+1，2 a n+1=2(2a n+1)，∵a1=2，∴2a1+1=2，∴数列{2a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2a n +1=2n，∴a n=22n−1；(2)b n=2n a n a n+1=2n2(2n−1)(2n+1−1)=4⋅2n(2n−1)(2n+1−1)=4(12n−1−12n+1−1)，∴S n=b1+b2+b3+⋯+b n=4(121−1−122−1+⋯+12n−1−12n+1−1)=4(1−12n+1−1)=4−42n+1−1．+1}，【解析】(1)由递推公式(4+a n)(2−a n+1)=8，且a1=2可构造等比数列数列{2an以此可求得a n．(2)根据a n求得b n，然后用裂项法可求得S n．本题考查递推公式应用、等比数列通项公式、裂项法数列求和，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．。