函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数

1.3.2 函数的极值与导数 1.3.3 函数的最大（小）值与导数
一、知识点阅读
1. 函数的极值与极值点
设函数)(x f 在点0x 及其附近有定义，且对0x 附近的所有点x 都有)()(0x f x f <，则称)(0x f 为函数的一个极大值，称0x 为极大值点.
设函数)(x f 在点0x 及其附近有定义，且对0x 附近的所有点x 都有)()(0x f x f >，则称)(0x f 为函数的一个极小值，称0x 为极小值点.
注意：①极值分为极大值和极小值，二者都是函数值，是y 的取值；
②极值点分为极大值点和极小值点，二者都是自变量值，是x 的取值； ③极值点总是定义域内部的点，区间端点值不可能为函数的极值点，极值点可能不止一个，可能也没有，且函数的极小值不一定比极大值小. 2. 求函数)(x f 的极值的步骤
（1）确定函数)(x f 的定义域，求导数)('x f ； （2）求方程0)('=x f 的根；
（3）用方程的根顺次将定义域分成若干个小区间，并列表判断)('x f 在各个根左右的正负：如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取极小值；如果左右同号，那么)(x f 在这个根处不存在极值.
例如：（1）若函数)(x f 的定义域为],[b a ，求导数)('x f ；
（2）若解得方程0)('=x f 的根分别为21,x x ，且),(,21b a x x ∈；
3. 函数)(x f 的最大值和最小值
如果在区间],[b a 上可导函数)(x f y =的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在
],[b a 上一定有最大值和最小值，且函数的最值必定在极值点或区间端点处取得.
4. 函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值和最小值的求法 （1）当函数)(x f 在区间],[b a 上单调
若)(x f 在],[b a 上单调递增，则最大值为)()(max b f x f =，最小值)()(min a f x f =； 若)(x f 在],[b a 上单调递减，则最大值为)()(max a f x f =，最小值)()(min b f x f =. （2）当)(x f 在],[b a 上不单调（即在],[b a 上既有递增的部分也有递减的部分） 第一步：先求出在),(b a 内的极值；
第二步：比较各极值与端点函数值)(),(b f a f 的大小，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
注意：极值未必是最值，最值也未必是极值（理解）. 二、题型阅读
例1 函数)(x f 的定义域为],[b a ，其导函数)('x f 在
],[b a 上的图象如图所示，则函数在],[b a 上的极小值点
为 ；极大值点为 .
解：如图∵1x 左边0)('>x f ，右边0)('<x f ， ∴1x 为函数的极大值点；
∵2x 左边0)('<x f ，右边0)('>x f ，
同理判断4x 是极大值点，5x 是极小值点. ∵3x 左右两边导函数符号同号， ∴3x 不是极值点.
综上，极小值点为2x ，5x ；极大值点为1x ，4x . 例2 求函数193)(23+--=x x x x f 的极值. 解：依题意963)('2--=x x x f .
解方程09632
=--x x ，得11-=x ，32=x .
由上表知，)(x f 的极大值为6；极小值为-26. 例3 求函数1)(23+-+=x x x x f 在]1,2[-的最大值和最小值.
解：依题意求导123)('2-+=x x x f .
解方程01232
=-+x x ，得11-=x ，3
12=
x . ∵端点函数值11)2()2()2()2(23-=+---+-=-f ，
21111)1(23=+-+=f ，
极值为21)1()1()1()1(2
3
=+---+-=-f ，
27
22131)31()31()31(23=+-+=f . ∴函数)(x f 在]1,2[-上的最大值为2，和最小值－1.
【模仿
2】求函数
3)(x x x f -=的极值.
【模仿3】已知函数
193)(23+--=x x x x f ，
则)(x f 在区间]4,2[-的
的最大值为 ，最小值为 .
例4 已知函数
23)(bx ax x f -=在点
2=x 有极小值4-，试确定b a ,的值并判断)(x f 的单调
性.
解：依题意bx ax x f 23)('2-=，
∵)(x f 在点2=x 有极小值4-， ∴04122223)2('2=-=⋅-⋅=b a b a f ① 44822)2(23-=-=⋅-⋅=b a b a f ②
联立①②，得3,1==b a . ∴233)(x x x f -=，符合题意.
由063)('2>-=x x x f ，得2,0><x x 或.
因此，在区间)0,(-∞，),2(∞+上)(x f 为增函数， 在区间)2,0(上)(x f 为减函数.
注意：0)('0=x f /
⇒⇐
)(x f 在0x x =处取极值；因为
0x 有可能不在给定的区间内，所以左边不能推出右边.
例5 已知函数c bx ax x x f +++=2
3
)(在3
2
-
=x 与1=x 处都取极值.
（1）试求b a ,的值；
（2）若对]2,1[-∈x ，不等式2
)(c x f <恒成立，求c
的取值范围.
解：（1）依题意b ax x x f ++=23)('2
，由已知得
⎪⎩⎪⎨⎧
=++==+-⋅+-⨯=-，，023)1('0)32(2)32(3)32('2b a f b a f 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.
2,
21b a
若对]2,1[-∈x ，不等式2
)(c x f <恒成立，只需)(x f 在
]2,1[-上的最大值2max )(c x f <即可.
【模仿4】已知函数
bx ax x x f --=23)(在点
1-=x 有极大值5，试确定
b a ,的值并判断)(x f 的
单调性.
比较]2,1[-上极值和端点函数值：27
22)32(+
=-c f ， 23)1(-=c f ，2
1
)1(+=-c f ，2)2(+=c f .
∴2)2()(max +==c f x f .
∴2
2c c <+，解得2,1>-<c c 或. ∴c 的取值范围为),2()1,(∞+--∞ .
小结：解答恒成立问题的一般思路是“分离参数，然后转化为最值问题”，例如a x f >)(恒成立⇔a x f >min )(；
a x f <)(恒成立⇔a x f <max )(.
三、综合训练
1. 已知函数x x x f 3)(3+=，则)(x f 有（ ）
A. 极大值4
B. 极小值－4
C. 不存在极值
D. 极值点为±1 2. 已知函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 处取得极值，则=a （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 已知函数x x x f -=3)(，则)(x f 有（ ）
A. 极大值点为﹣2
B. 极小值点－1
C. 极大值为﹣2
D. 极小值为0 4. 如图函数)(x f 的导函数)('x f 的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. 1是极小值点
B. 2是极大值点
C.
2
3
是极小值点 D. 2是极小值点
5. 函数)(x f 在其定义域内可导，)(x f y =的大致图象如下图左所示，则导函数)('x f y =的大致图象为（ ）
6. 函数13)(2
3
+-=x x x f 的极小值点为 . 7. 函数x x x f ln )(-=在区间]2,0[上的最小值为 .
8. 函数x x ax x f 2)(2
3
++=在R 上有一个极值，则a 的取值为 ，若在R 上有两个极值，则a 的取值范围是
.
)
x )
)
)
x A
9. 当]2,1[∈x 时，不等式0342
3≥++-x x ax 恒成立，则a 的取值范围是 .
10. 设函数x x x f ln 2
)(2
-=. （1）求函数)(x f 的极值；（2）若2)(a a x f ≥+恒成立，试求a 的取值范围.。