2021年中考数学 培优专题：新定义类题型专练(含答案)
中考数学 精讲篇 专题突破六 新定义阅读理解题
解： (1)32＝(9＋7)(9－7)＝(6＋2)(6－2)．
∵92＋72>62＋22， ∴F(32)＝92＋72＝130， 故答案为：130.
(2)∵x＋y 能被 7 整除，1≤x≤y≤7， ∴x＋y＝7 或 x＋y＝14，
x＝1， x＝2， x＝3， x＝7， ∴y＝6 或y＝5 或y＝4 或y＝7.
类型二：新定义方法阅读理解问题
3．(2021·九龙坡区校级模拟)一个正整数 p 能写成 p＝(m＋n)(m－n)(m， n 均为正整数，且 m≠n)，则称 p 为“平方差数”，m，n 为 p 的一个平方 差变形，在 p 的所有平方差变形中，若 m2＋n2最大，则称 m，n 为 p 的最 佳平方差变形，此时 F(p)＝m2＋n2.例如： 24＝(7＋5)(7－5)＝(5＋1)(5 －1)，因为 72＋52>52＋12，所以 7 和 5 是 24 的最佳平方差变形，所以 F(24) ＝74. (1)F(32)＝________； (2)若一个两位数 q 的十位数字和个位数字分别为 x，y(1≤x≤y≤7) ， q 为“平方差数”且 x＋y 能被 7 整除，求 F(q)的最小值．
解：(1)F(13，26)＝(2 163＋1 236)÷11＝309.
(2)F(a，18)＝(1 000＋100＋10m＋8＋1 000＋100＋80＋m)÷11 ＝(2 288＋11m) ÷11 ＝208 ＋m， F(b，26)＝(2 000＋100n＋60＋5＋1 000n＋200＋ 50＋6)÷11 ＝(2 321＋1 100n)÷11 ＝211＋100n，
∵a＋b 与 a＋b－1 互质． ∴a＋b＝9k 或 a＋b－1 ＝9k(k 为正整数)． ∵1≤a≤9，0≤b≤9， ∴1≤a＋b≤18，0≤a＋b－1≤17.
中考数学核心考点强化突破阅读理解新定义问题含解析
2021年中考数学核心考点强化突破：阅读理解、新定义问题类型1新定义问题1．在平面直角坐标系中,任意两点A（x1，y1)，B(x2，y2)，规定运算:①A⊕B＝（x1＋x2,y1＋y2）；②A⊗B＝x1x2＋y1y2；③当x1＝x2且y1＝y2时，A＝B，有下列四个命题：(1)若A（1,2）,B （2，－1)，则A⊕B＝（3，1），A⊗B＝0；（2）若A⊕B＝B⊕C，则A＝C;(3）若A⊗B＝B⊗C，则A＝C；（4)对任意点A、B、C,均有(A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C）成立．其中正确命题的个数为（ C )A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1）A⊕B＝(1＋2，2－1）＝（3,1）,A⊗B＝1×2＋2×（－1）＝0，所以(1)正确；(2）设C（x3，y3)，A⊕B＝（x1＋x2，y1＋y2)，B⊕C＝(x2＋x3，y2＋y3），而A⊕B＝B⊕C，所以x1＋x2＝x2＋x3，y1＋y2＝y2＋y3，则x1＝x3，y1＝y3，所以A＝C,所以（2)正确；(3）A⊗B＝x1x2＋y1y2,B⊗C＝x2x3＋y2y3,而A⊗B ＝B⊗C，则x1x2＋y1y2＝x2x3＋y2y3，不能得到x1＝x3，y1＝y3，所以A≠C，所以(3）不正确；(4）因为（A⊕B）⊕C＝（x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3）,A⊕(B⊕C)＝(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3），所以(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)，所以（4）正确．2．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n)，规定以下两种变换：(1）f（m,n）＝（m，－n），如f(2，1）＝(2,－1)；（2）g（m，n)＝（－m，－n），如g(2，1）＝（－2，－1）按照以上变换有：f［g(3，4)］＝f(－3,－4)＝(－3,4），那么g［f（－3，2)］＝__(3，2）__．解：∵f(－3，2)＝(－3，－2),∴g［f(－3，2）］＝g（－3，－2）＝(3，2）．3．平面直角坐标系中有两点M（a，b），N(c,d)，规定（a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d），则称点Q（a＋c，b＋d）为M,N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5），B(－1，3）,若以O，A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是__(1，8)__．解析：已知以O，A,B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,根据题意可得点C的坐标为(2－1,5＋3），即C（1，8）4．已知抛物线y1＝a1x2＋b1x＋c1,y2＝a2x2＋b2x＋c2，且满足错误!＝错误!＝错误!＝k（k≠0，1）．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线"的说法正确的是( D ）A．y1，y2开口方向,开口大小不一定相同．B．y1，y2的对称轴相同．C．如果y1与x轴有两个不同的交点，则y2与x轴也有两个不同的交点．D．如果y2的最大值为m,则y1的最大值为km。
2021年中考数学二轮复习重难题型突破类型1--新定义型
的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，
这三个新三位数的和为 213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以 F(123)＝6．
（1）计算：F(243)，F(617);
（2）若 s，t 都是“相异数”，其中 s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y 都是正整数），
类型一 新定义型
例 1、对任意一个三位数 n，如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这 个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新 三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n)．例如 n＝123，对调百位与十位上 的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132， 这三个新三位数的和为 213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以 F(123)＝6．
＝S ＋S ． 四边形 EFGH
矩形 ABCD
矩形A1B1C1D1
如图 3，当 AH＞BF 时，若将点 G 向点 D 靠近(DG＜AE)，请探索 S 四边形 EFGH、S 矩形 ABCD 与 S 矩形A1B1C1D1,之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题： （1）如图 4，点 E、F、G、H 分别是面积为 25 的正方形 ABCD 各边上的点，已知 AH＞BF，
4
例 5、定义：点 P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA 中，若 至少有一个三⻆形与△ABC 相似，则称点 P 是△ABC 的自相似点． 例如：如图 1，点 P 在△ABC 的内部，∠ PBC＝∠ A，∠ BCP＝∠ ABC，则 △BCP∽ △ABC，故点 P 是△ABC 的自相似点．
专题31 中考热点新定义问题专项训练-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(原卷版)
专题31 中考热点新定义问题专项训练（原卷版）专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。
它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类讨论思想，方程思想，函数思想于一体。
常以压轴题身份出现。
本专题精选新定义问题共20条，欢迎下载使用。
一．选择题1．（2021•河北模拟）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y}＝x，当x＜y时，max{x，y}＝y．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（ ）A．B．C．D．二．填空题2．（2021•深圳模拟）用“●”“□”定义新运算：对于数a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，3□2＝2，则（2020□2021）●（2021□2020）＝ ．3．（2021•碑林区校级模拟）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线BF 的延长线与边DE的延长线交于点M，则∠M的大小为 ．4．（2019•福田区三模）对于m，n（n≥m）我们定义运算A n m＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，请你计算A42＝ ．6．（2022秋•魏县期中）若x是不等于1的实数，我们把11―x称为x的差倒数，如2的差倒数是11―2=―1，﹣1的差倒数为11―(―1)=12，现已知x1=13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2022的值为 ．三．解答题7．（2021秋•汉阳区期中）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出两个“极数” ， ；（2）猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（3）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=m33，则满足D（m）是完全平方数的所有m的值是 ．8．（2022秋•胶州市期末）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．（1）判断2022是否是“纯数”？请说明理由；（2）请直接写出2023到2050之间的“纯数”；（3）不大于100的“纯数”的个数为 ．9．（2021•任城区二模）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC 就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，GH是“EF边半高”．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝ cm；（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为 ．（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”．当点P介于点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．10．（2022春•梁平区期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x=a+c3，y=b+d3那么称点T是点A，B的融合点．例如：A＝（﹣1，8），B＝（4，﹣2），当点T（x，y）满足x=―1+43=1，y=8+(―2)3=2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l：y＝2x+3上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，求直线ET的解析式．11．（2019•浙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x ﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．12．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．13．（2021•南丰县模拟）如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，E为BC中点，连接DE．求证：四边形ADEC为理想四边形；（2）如图2，△ABD是等边三角形，若BD为理想对角线，为使四边形ABCD为理想四边形，小明同学给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角∠BOD＝120°；请你解释他这样设计的合理性．（3）在（2）的条件下，①若△BCD为直角三角形，BC＝3，求AC的长度；②如图3，若CD＝x，BC＝y，AC＝z，请直接写出x，y，z之间的数量关系．14．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是 ；②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是 ．15．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（3，0），D（0，﹣1），E（0，1），点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP，DP．①线段OP的最小值为 ，最大值为 ；线段DP的取值范围是 ；②在点O，点D中，点 与线段DE满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG ∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H 和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．16．（2022•西城区校级模拟）点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x 1≠x 2．若存在一个正数k ，使点P ，Q 的坐标满足|y 1﹣y 2|＝k |x 1﹣x 2|，则称P ，Q 为一对“限斜点”，k 叫做点P ，Q 的“限斜系数”，记作k （P ，Q ）．由定义可知，k （P ，Q ）＝k （Q ，P ）．例：若P （1，0），Q （3，12），有|0―12|=14|1﹣3|，所以点P ，Q 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为14．已知点A （1，0），B （2，0），C （2，﹣2），D （2，12）．（1）在点A ，B ，C ，D 中，找出一对“限斜点”： ，它们的“限斜系数”为 ；（2）若存在点E ，使得点E ，A 是一对“限斜点”，点E ，B 也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E 的坐标；（3）⊙O 半径为3，点M 为⊙O 上一点，满足MT ＝1的所有点T ，都与点C 是一对“限斜点”，且都满足k （T ，C ）≥1，直接写出点M 的横坐标x M 的取值范围．17．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意一点P ，给出如下定义：经过点P 且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P 的“特征线”．例如：点M （1，3）的特征线是y ＝x +2和y ＝﹣x +4；（1）若点D 的其中一条特征线是y ＝x +1，则在D 1（2，2）、D 2（﹣1，0）、D 3（﹣3，4）三个点中，可能是点D 的点有 ；（2）已知点P （﹣1，2）的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x 轴相交于点A ，直线y ＝kx +b （k ≠0）经过点P ，且与x 轴交于点B ．若使△BPA 的面积不小于6，求k 的取值范围；（3）已知点C （2，0），T （t ，0），且⊙T 的半径为1．当⊙T 与点C 的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围．18．（2022秋•西城区校级期中）已知函数y＝x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．（1）直接写出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；（2）如图，请补全分段函数y=―x2+2x+1(x＜2)x2+bx+c(x≥2)的图象（不要求列表）．并回答以下问题：①写出此分段函数的一条性质： ；②若此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线y=12x―1围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．20．（2021春•丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点A（﹣3，0），B（﹣1，3），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是 ；②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．19．（2020•丰台区校级开学）已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q 之间的距离PQ始终满足PQ＞0，则称图形M与图形N相离．（1）已知点A（1，2）、B（0，﹣5）、C（2，﹣1）、D（3，4）．①与直线y＝3x﹣5相离的点是 ；②若直线y＝3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；（2）设直线y＝x+3、直线y＝﹣x+3及直线y＝﹣3围成的图形为W，正方形T的对角线长为2，两条对角线分别平行于坐标轴，该正方形对角线的交点坐标为（t，0），直接写出正方形T与图形W相离的t的取值范围．。
专题51新定义和阅读理解型问题(预测题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题51：新定义和阅读理解型问题新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题．本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D．考点：全等三角形的判定与性质；新定义；阅读型．原创模拟预测题2．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA y kx43上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A ．考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；新定义；动点型；综合题．原创模拟预测题3．在平面直角坐标系中，任意两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），规定运算：①A ⊕B =（12x x +，12y y +）；②A ⊗B =1212x x y y +；③当12x x =且12y y =时，A =B ，有下列四个命题：（1）若A （1，2），B （2，﹣1），则A ⊕B =（3，1），A ⊗B =0；（2）若A ⊕B =B ⊕C ，则A =C ；（3）若A ⊗B =B ⊗C ，则A =C ；（4）对任意点A 、B 、C ，均有（A ⊕B ）⊕C =A ⊕（B ⊕C ）成立，其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ．【解析】考点：命题与定理；点的坐标；新定义；阅读型．①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x =的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； ④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c=++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54． 【答案】②③．【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记292K b ac =-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①， 29102K b ac =-=，因此本选项错误； 对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=，∴22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确；对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知145222b t t a ++--==，∴5b a =-，由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为：250509ax ax a -+=，∴2945500x x -+=，∴1103x =，253x =，因此本选项错误． 故答案为：②③．考点：新定义；根与系数的关系；压轴题；阅读型．原创模拟预测题5．设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE =DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接AH ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE =90°，∴∠HAE +∠HEA =90°．∵DH ⊥AE ，∴∠ADH =∠EDH =90°∴∠HAD +∠AHD =90°∴∠AHD =∠HED ，∴△ADH ∽ ． ∴DEDH DH AD =，即DH 2=AD ×DE ． 又∵DE =DC∴DH 2= ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）．（4）拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n ﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．【答案】（1）△HDE ，AD ×DC ；（2）作图见试题解析；（3）矩形，作图见试题解析；（4）作图见试题解析． 【解析】试题分析：（1）根据相似三角形的判定方法，得到△ADH ∽△HDE ；根据等量代换，可得DH 2=AD ×DC ．（3）先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC 转化为等积的矩形MBCD ；然后延长MD 到E ，使DE =DC ，以ME 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，则DH 即为与△ABC 等积的正方形的一条边．（4）先根据由AG ∥EH ，得到AG =2EH ，再由CF =2DF ，得到CF •EH =DF •AG ，由此得出S △CEF =S △ADF ，S △CDI =S △AEI ，所以S △BCE =S 四边形ABCD ，即△BCE 与四边形ABCD 等积．试题解析：（1）如图①，连接AH ，EH ，∵AE 为直径，∴∠AHE =90°，∴∠HAE +∠HEA =90°，∵DH ⊥AE ，∴∠ADH =∠EDH =90°，∴∠HAD +∠AHD =90°，∴∠AHD =∠HED ，∴△ADH ∽△HDE ，∴DEDH DH AD ，即DH 2=AD ×DE ，又∵DE =DC ，∴DH 2=AD ×DC ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积，故答案为：△HDE，AD×DC；（3）如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，∵矩形MDBC的长等于△ABC的底，矩形MDBC 的宽等于△ABC的高的一半，∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，∵ME为直径，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°，∵DH⊥ME，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED，∴△MDH∽△HDE，∴MD DHDH DE，即DH2=MD×DE，又∵DE=DC，∴DH2=MD×DC，∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边；（4）如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：∵AG∥EH，∴12EH EFAG AF==，∴AG=2EH，又∵CF=2DF，∴CF•EH=DF•AG，∴S△CEF=S△ADF，∴S△CDI=S△AEI，∴S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积．考点：相似形综合题；阅读型；新定义；压轴题；操作型．原创模拟预测题6．阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF 为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是；（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′=°；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有个（包含四边形ABCD）．拓展提升：（4）当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．【答案】（1）正方形；（2）80；（3）5；（4）45°．【解析】试题解析：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”；③∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴菱形不一定为“完美筝形”；④∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴正方形一定为“完美筝形”；∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；故答案为：正方形；（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，∵∠AEB′+∠BEB′=180°，∴∠AEB′=∠BCB′，∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，∴∠BCE=∠ECF=40°，∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；故答案为：80；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；∵四边形ABCD是“完美筝形”，∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，∴∠OD′E=∠OB′F=90°，∵四边形AECF为菱形，∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，在△OED′和△OFB′中，∵∠OD ′E =∠OB ′F ，∠EOD ′=∠FOB ′，D ′E =B ′F ，∴△OED ′≌△OFB ′（AAS ），∴OD ′=OB ′，OE =OF ，∴四边形CD ′OB ′、四边形AEOF 是“完美筝形”；∴包含四边形ABCD ，对应图③中的“完美筝形”有5个；故答案为：5；（4）当图③中的∠BCD =90°时，如图所示：四边形ABCD 是正方形，∴∠A =90°，∵∠EB ′F =90°，∴∠A +∠EB ′F =180°，∴A 、E 、B ′、F 四点共圆，∵AE =AF ，∴AE AF =，∴∠AB ′E =∠AB ′F =12∠EB ′F =45°．考点：四边形综合题；新定义；阅读型；探究型；压轴题．原创模拟预测题7．知识迁移我们知道，函数)(00，02>>≠+-=n ,m a n )m x (a y 的图像是由二次函数2ax y =的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到．类似地，函数)n m k (n m x k y 0，0，0>>≠+-=的图像是由反比例函数xk y =的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到，其对称中心坐标为（m ，n ）． 理解应用函数113+-=x y 的图像可以由函数x y 3=的图像向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，其对称中心坐标为 ．灵活运用如图，在平面直角坐标系xOy 中，请根据所给的x y 4-=的图像画出函数224---=x y 的图像，并根据该图像指出，当x 在什么范围内变化时，y ≥1-？实际应用某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究．假设刚学完新知识时的记忆存留量为1．新知识学习后经过的时间为x ，发现该生的记忆存留量随x 变化的函数关系为441+=x y ；若在t x =（t ≥4）时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x 变化的函数关系为a x y -=82．如果记忆存留量为21时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x 为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？【解析】试题分析：理解应用：由“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案： 灵活应用：由平移规律作出图象；实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），然后带入y 2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．试题解析：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数113+-=x y 的图象可由函数x y 3=的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1）．故答案为：1，1，（1，1）； 灵活应用：将xy 4-=的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数224---=x y 的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示：由y =﹣1，得4212x --=--，解得x =﹣2．实际应用： 当x =t 时，144y t =+，则由144y t =+=12，解得：t =4，即当t =4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，∴点（4，1）在函数ax y -=82的图象上，则814a =-，解得：a =﹣4，∴284y x =+，当284y x =+=12，解得：x =12，即当x =12时，是他第二次复习的“最佳时机点”．考点：反比例函数综合题；新定义；阅读型；综合题；压轴题．原创模拟预测题8．阅读与应用：阅读1：a 、b 为实数，且a ＞0，b ＞0，因为2()0a b ≥，所以20a ab b -≥从而2a b ab +≥（当a =b 时取等号）． 阅读2：若函数m y x x =+；（m ＞0，x ＞0，m 为常数），由阅读1结论可知：m x m x +≥所以当m x x=，即x m =时，函数m y x x =+的最小值为2m 阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x ，则另一边长为4x ，周长为2（4x x +），求当x = 时，周长的最小值为 ；问题2：已知函数11y x =+（1x >-）与函数22210y x x =++（1x >-），当x = 时，21y y 的最小值为 ； 问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）【答案】（1）2，8；（2）2，6；（3）700，24．试题解析：问题1：4x x =（0x >），解得x =2，x =2时，4x x+有最小值为24．故当x =2时，周长的最小值为2×4=8； 问题2：∵11y x =+（1x >-），22210y x x =++（1x >-），∴21y y =9(1)1x x +++，9(1)1x x +=+，解得x =2，x =2时，9(1)1x x +++有最小值为29； 问题3：设学校学生人数为x 人，则生均投入=24900100.01x x x++=4900100.01x x ++=490000100.01()x x ++，490000x x =（0x >），解得x =700，x =700时，490000x x+有最小值为2490000，故当x =700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．答：当学校学生人数为700时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．。
2021年中考数学专题复习：新定义和阅读理解题
2021年中考数学专题复习：新定义和阅读理解题“新定义”题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等．在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．阅读理解题源于课本，高于课本，既考查阅读能力，又综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识. 这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答．一、新定义1．对于任意两个不相等的数a，b定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝a＋ba－b，如：3⊕2＝3＋23－2＝5，那么12⊕4＝________．2．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝(4＋3)(4－3)－1＝7－1＝6.若x*k＝x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为()A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3．已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1.现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝________.4．用⊕定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m⊕n＝m2n－mn－3n，如：1⊕2＝12×2－1×2－3×2＝－6.(1)求(－2)⊕3；(2)若3⊕m≥－6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．5．定义：分数nm(m，n为正整数且互为质数)的连分数1a1＋1a2＋1a3＋…(其中a1，a2，a3，…为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1)，记作n m ＝⊕ 1a 1＋1a 2＋1a 3＋…，例如719＝⊕1197＝12＋57＝12＋175＝12＋11＋25＝12＋11＋152＝12＋11＋12＋12，719的连分数为12＋11＋12＋12，记作719＝⊕12＋11＋12＋12，则________＝⊕11＋12＋13.6．定义一种新运算⎠⎛b a n·x n －1dx ＝a n －b n ，例如⎠⎛n k 2xdx ＝k 2－n 2，若⎠⎛5mm －x －2dx ＝－2，则m＝( )A ．－2 B. －25 C ．2 D.257．在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是( )A ．y ＝－xB ．y ＝x ＋2C ．y ＝2xD ．y ＝x 2－2x8．对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y ＝－x 2－10x ＋m(m≠0)有两个不相等的零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，关于x 的方程x 2＋10x －m －2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4(x 3＜x 4)，则下列关系式一定正确的是( A )A ．0＜x 1x 3<1 B.x 1x 3>1 C ．0<x 2x 4<1 D.x 2x 4>1二、阅读理解题1．阅读理解：已知两点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则线段MN 的中点K(x ，y)的坐标公式为：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.如图，已知点O 为坐标原点，点A(－3，0)，⊕O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点P(a ，b)，则有a ，b 满足等式：a 2＋b 2＝9.设B(m ，n)，则m ，n 满足的等式是( )A ．m 2＋n 2＝9 B.922322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n mC ．(2m ＋3)2＋(2n)2＝3D ．(2m ＋3)2＋4n 2＝9 2．已知点P(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离可表示为d ＝||kx 0＋b －y 01＋k 2，例如：点(0，1)到直线y ＝2x ＋6的距离d ＝||2×0＋6－11＋22＝ 5.据此进一步可得两条平行线y ＝x 和y ＝x －4之间的距离为________．3．阅读材料：设a→＝(x 1，y 1)，b→＝(x 2，y 2)，如果a→⊕b→，则x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空，已知a→＝(4，3)，b→＝(8，m)，且a→⊕b→，则m ＝________. 4．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr ，1550－1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr ，1707－1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x ＝N(a ＞0且a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log 216，对数式2＝log 525可以转化为指数式52＝25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a (M·N)＝log a M ＋log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)，理由如下： 设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ， ⊕M·N ＝a m ·a n ＝a m＋n，由对数的定义得m ＋n ＝log a (M·N) 又⊕m ＋n ＝log a M ＋log a N ， ⊕log a (M·N)＝log a M ＋log a N. 根据阅读材料，解决以下问题：(1)将指数式34＝81转化为对数式___________________________________；(2)log a MN ＝__________.(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0) (3)拓展运用：计算log 69＋log 68－log 62＝________. 5．阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依次类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n .所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1＝1，a 2＝3，公差为d ＝2.根据以上材料，解答下列问题：(1)等差数列5，10，15，…的公差d 为________，第5项是________．(2)如果一个数列a 1，a 2，a 3，…，a n …，是等差数列，且公差为d ，那么根据定义可得到：a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，…，a n －a n －1＝d ，….所以 a 2＝a 1＋da 3＝a 2＋d ＝(a 1＋d)＋d ＝a 1＋2d ， a 4＝a 3＋d ＝(a 1＋2d)＋d ＝a 1＋3d ， ……由此，请你填空完成等差数列的通项公式： a n ＝a 1＋(________)d.(3)－4041是等差数列－5，－7，－9…的第________项． 6．阅读下面的材料：如果函数y ＝f(x)满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2， (1)若x 1＜x 2，都有f(x 1)＜f(x 2)，则称f(x)是增函数； (2)若x 1＜x 2，都有f(x 1)＞f(x 2)，则称f(x)是减函数． 例题：证明函数f(x)＝6x (x ＞0)是减函数． 证明：设0＜x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝6x 1－6x 2＝6x 2－6x 1x 1x 2＝6（x 2－x 1）x 1x 2. ⊕0＜x 1＜x 2，⊕x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.⊕6（x 2－x 1）x 1x 2＞0.即f(x 1)－f(x 2)＞0. ⊕f(x 1)＞f(x 2)．⊕函数f(x)＝6x (x ＞0)是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f(x)＝1x2＋x(x ＜0)，f(－1)＝1（－1）2＋(－1)＝0，f(－2)＝1（－2）2＋(－2)＝－74. (1)计算：f(－3)＝________，f(－4)＝________；(2)猜想：函数f(x)＝1x 2＋x(x ＜0)是________函数(填“增”或“减”)．参考答案一 1.2 2.C 3.1.14．解：(1)(－2)※3＝(－2)2×3－(－2)×3－33＝43＋23－33＝3 3.(2)∵3※m ≥－6，∴32·m －3m －3m ≥－6. 解得：m ≥－2.将解集表示在数轴上如下：5.710 6.B 7.B 8.A二 1.D 2.22 3.6 4.(1)4＝log 381(或log 381＝4) (2)log a M －log a N (3)2 5.(1)5 25 (2)n －1 (3)2019 6.(1)－269 －6316 (2)增。
类型一 新定义型-2021年中考数学第二轮重难题型突破(解析版)
类型一 新定义型（1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值．【解答】解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9； F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6． ∵F (t )＋F (s )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18， ∴x ＋y ＝7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数，∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1． ∵s 是“相异数”， ∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y ≠1，y ≠5．∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2， ∴⎩⎨⎧F (s )＝6F (t )＝12或⎩⎨⎧F (s )＝9F (t )＝9或⎩⎨⎧F (s )＝10F (t )＝8， ∴k ＝F (s )F (t )＝12或k ＝F (s )F (t )＝1或k ＝F (s )F (t )＝54,∴k 的最大值为54．（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6ax k y x +=-的图象经过B ，E 两点. ①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16103，请直接写出点P 的坐标．【解析】（1）根据题意，得，∵，∴.∴.根据定义，是 “奇特函数”.（2）①由题意得，.易得直线OB 解析式为，直线CD 解析式为，由解得.∴点E （3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.②∵可化为，∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，∴.∴点P在平行于EB的直线上.∵点P在上，∴或.解得.∴点P的坐标为或或或.例3、定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【解答】解：根据定义可得函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，∴224144(6)248,22(6)344(6)3b ac ba a-⨯-⨯--=-===⨯-⨯-，∴顶点坐标是（18,33），正确；②函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣12mm+，0），当m＞0时，1﹣（﹣12mm+）＝313222m+>，正确；③当m＜0时，函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444xm=->，错误；④当m≠0时，x＝1代入解析式y＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选：①②④例4、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
专题08 定义新运算(原卷版)-2021年中考数学选填压轴题专项复习
6.定义：a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 =－1，－1的差倒数是 = ．a1=－ ，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，，以此类推，那么a2022=____________ ．
定义新运算问题在中考中的常考点有新定义学习型，新公式应用型，纠错补全型等；解决问题的数学思想是方程思想，类比思想，化归思想；常用的数学方法有分析法，比拟法等．
【典例引领】
〔一〕代数问题中的定义新运算
例1：定义：分数 〔m，n为正整数且互为质数〕的连分数〔其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1〕，记作 ：例如 ， 的连分数是 ，记作 ，那么________________ ．
A. B. C. D.
13.〔2021湖北随州〕将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而到达“降次〞的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法〞，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法〞，： ，且 ，那么 的值为〔 〕
A. B. C. D.
14.对一组数 的一次操作变换记为 ，定义其变换法那么如下： ；且规定 〔 为大于 的整数〕，
如 , ， ，那么 〔 〕
A． B． C． D．
15.〔2021•长沙〕某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌〔假定发到每个同学手中的扑牌数量足够多〕，然后依次完成以下三个步骤：
第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．
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2021中考数学 培优专题：新定义类题型专练（含答案）一、单选题（共有4道小题）2.我们知道，一元二次方程12-=x 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足12-=i (即方程12-=x 有一个根为i )，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有1i i = 12-=i32(1)i i i i i =⋅=-⋅=- .1)1()(2224=-==i i从而对任意正整数n ，我们可得到4144()n n n i i i i i i +=⋅=⋅=同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i那么20132012432i i i i i i +⋅⋅⋅++++的值为（）A ．0B ．1C ．-1D ． i3.定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列S 1.例如序列()02:4234S ，，，，，通过变换可生成新序列()122122S :，，，， .若S 0可以为任意序列，则下列的序列可能为S 1的是（）A.()12122，，，，B. ()22233，，，，C.()11223，，，，D. ()12112，，，，4.定义：如果一元二次方程()20,0ax bx c a ≠++＝满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知()20,0ax bx c a ≠++＝是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ．a b c ==二、填空题（共有7道小题）5.若规定“*”的运算法则为：*1a b ab =-，则2*3= ．6.定义a b c d为二阶行列式，规定它是运算法则为a a c db b dc =-，那么当x=1时， 二阶行列式1101x x +-的值为 ．7.当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”.如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为________.8.一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同．．．．的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A ＝{1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”． 定义：集合A 与集合B 中的所有元素组成的集合称为集合A 与集合B 的和，记为A ＋B ．若A ＝{－2，0，1，5，7}，B ＝{－3，0，1，3，5}，则A ＋B ＝ ． 9.4个数a ，b ，c ，d 排列成a bcd，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：a b ad bc c d =-．若331233x x x x +-=-+，则x ＝________． 10.在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)的过程中，若正整数n 使得各数位上均不产生进位现象，则称n 为“本位数”．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为_______．11.在计数制中，通常我们们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。
而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。
已知二进位制与十进位制的比较如请将二进位制10101010写成十进位制数为 ． 三、解答题（共有4道小题） 12.如果规定符号“#”的意义是#ab a b a b =+，如121#212⨯=+，求()2#3#4-的值．13.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.性质：如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.理解：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD =S △BCD .应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4,BC=6,点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O.（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积.14.在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形.（1）求函数334y x =-+的坐标三角形的三条边长； （2）若函数34y x b =-+（b 为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.15.对于两直线111L y k x b =+：，222L y k x b =+：，如果12L L ⊥，则有121k k ⨯=-． （1）应用：已知21y x =+与1y kx =-垂直，求k ； （2）直线经过A （2，3），且与133y x =-+垂直，求解析式．答案-讲评卷参考答案:C2.我们知道，一元二次方程12-=x 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足12-=i (即方程12-=x 有一个根为i )，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有1i i = 12-=i32(1)i i i i i =⋅=-⋅=- .1)1()(2224=-==i i从而对任意正整数n ，我们可得到4144()n n n i i i i i i +=⋅=⋅=同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i那么20132012432i i i i i i +⋅⋅⋅++++的值为（）A ．0B ．1C ．-1D ． i参考答案:D3.定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列S 1.例如序列()02:4234S ，，，，，通过变换可生成新序列()122122S :，，，， .若S 0可以为任意序列，则下列的序列可能为S 1的是（）A.()12122，，，，B. ()22233，，，，C.()11223，，，，D. ()12112，，，，参考答案:D4.定义：如果一元二次方程()20,0ax bx c a ≠++＝满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知()20,0ax bx c a ≠++＝是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ．a b c ==参考答案:A 解析：∵一元二次方程()20,0ax bx c a ≠＋＋＝有两个相等的实数根， ∴240b ac ∆＝-=，又0a b c ++=，即b a c =--， 代入240b ac -=得()240a c ac ---=，化简得()20a c -=，所以a c =．二、填空题（共有7道小题）5.若规定“*”的运算法则为：*1a b ab =-，则2*3= ．参考答案:5 6.定义a b c d为二阶行列式，规定它是运算法则为a a c db b dc =-，那么当x=1时， 二阶行列式1101x x +-的值为 ．参考答案:210x -=7.当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”.如果一个“半角三角形”的“半角”为20°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为________.参考答案:120°8.一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同．．．．的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A ＝{1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”． 定义：集合A 与集合B 中的所有元素组成的集合称为集合A 与集合B 的和，记为A ＋B ．若A ＝{－2，0，1，5，7}，B ＝{－3，0，1，3，5}，则A ＋B ＝ ．参考答案:{－3，－2，0，1，3，5，7} 9.4个数a ，b ，c ，d 排列成a bcd，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：a b ad bc c d =-．若331233x x x x +-=-+，则x ＝________．参考答案:1 因为331233x x x x +-=-+，所以22(3)(3)12x x +--=，解得x ＝1． 10.在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)的过程中，若正整数n 使得各数位上均不产生进位现象，则称n 为“本位数”．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为_______．参考答案:11711.在计数制中，通常我们们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。
而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。
已知二进位制与十进位制的比较如写成十进位制数为 ．参考答案:170三、解答题（共有4道小题） 12.如果规定符号“#”的意义是#ab a b a b =+，如121#212⨯=+，求()2#3#4-的值．参考答案:解：根据题意得()()()2#3#423#4236#464642.4⨯-++⨯+-====13.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”. 性质：如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.理解：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD =S △BCD .应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4,BC=6,点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O.（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积.参考答案:(1)证明：∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴AD∥BC,∴∠EAO=∠BFO,又∵∠AOE=∠FOB,AE=BF， ∴△AOE≌△FOB， ∴EO=BO.∴△AOB 和△AOE 是“友好三角形”.（2）∵△AOE 和△DOE 是“友好三角形”， ∴S △AOE =S △DOE ，AE=ED=21AD=3. ∵△AOB 和△AOE 是“友好三角形” ∴S △AOB =S △AOE∵△AOE≌△FOB， ∴S △AOE =S △FOB ， ∴S △AOD =S △ABF ，∴S 四边形CDOF =S 矩形ABCD -２S △ABF =4×6-2×21×4×3=12. 14.在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形. （1）求函数334y x =-+的坐标三角形的三条边长；（2）若函数34y x b =-+（b 为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.参考答案:解：（1）由334y x =-+可得函数图像与坐标轴的交点分别为：A(4，0)，B(0，3)∴OA=4，OB=3，AB=5 （2）由34y x b =-+可得函数图像与坐标轴的交点分别为：4,03B b ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,A b ∴43OB b =，OA b =，53AB b = 由题可知：451633C b b b =++=，得12163b =，∴4b =±∴41633OB b ==，4OA b == ∴11163242233S OA OB =⋅=⨯⨯= 15.对于两直线111L y k x b =+：，222L y k x b =+：，如果12L L ⊥，则有121k k ⨯=-． （1）应用：已知21y x =+与1y kx =-垂直，求k ； （2）直线经过A （2，3），且与133y x =-+垂直，求解析式．参考答案:解：（1）∵12L L ⊥，则有121k k ⨯=-， ∴2k=﹣1，∴12k =-； （2）∵过点A 直线与133y x =-+垂直， ∴设过点A 直线的直线解析式为3y x b =+， 把A （2，3）代入得，b=﹣3， ∴解析式为y=3x ﹣3．。