平面向量练习题大全及答案
高中数学平面向量经典练习题(含答案)
高中数学平面向量经典练习题（含答案）一.填空题1.在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，则AB→ + AD→ + CD→ +DB→ +BA→ = .2.已知向量a=（1，-6），b=（-2，14），则向量 13a-2b 的坐标= .3.已知向量a ，b ，若|a |=2，|b |=2√5，且（a-b ）·（2a-3b ）=68-10√15，则向量a ，b 的夹角为 .4.在△ABC 中，设BC→ =m ，BA→ =n ，D 为AC 上的一点，且AD DC= 45，若向量BD→ 用m ，n 表示，则BD→ = .5.已知向量a=（2,3m-4），b=（m-5，m+1），若a ，b 共线，则m 的值是 .6.在△ABC 中，D 为边BC 上，CD=3DB ，E 在边AC 上，且AE=2EC ，设AC→ =a→，AD→ =b→，用向量a→，b→表示向量EB→ ,则EB→ = .AEDBCADBC7.已知向量a=（-3,6），b=（4,0），c=（1,4），若a用b、c表示。
则a= .8.已知向量a=（x，5√3+11），b=（x+2√3+1，-1），若a，b互相垂直，则x的值为 .9.已知向量a（1，√2），b（-√2，x）它们的夹角为α，且sin2α=1，则x= .10.已知向量a=（1-x，1），b=（-2，2x），若向量2a+b与a-b平行，则a·b= .二、解答题11.已知向量a=（1,1），b=（√2，-1），若（xa-b）⊥（2a+b），求实数x的值.12.已知|a|=1，|b|=2，它们的夹角为60°，设c=3a+xb，d= -xa+2b，若c⊥d，求实数x的值.参考答案 一.填空题1.在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，则AB→ + AD→ + CD→ +DB→ +BA→ = .解：AB→ + AD→ + CD→ + DB→ +BA→=AB→ + AD→ + CD → +（DB→ +BA→ ）=AB→ + AD→ + CD→ +DA→=（AB→ + CD→ ）+（AD→ +DA→ ）（因为AB→ ，CD→ 大小相等，方向相反，它们的和为0）=0+0 =0故原题的答案为：02.已知a=（1，-6），b=（-2，14），则 13a-2b= .解： 13a = 13（1,-6）=（13，-2）2b=2（-2，14）=（-4, 12）13a-2b =（13+4，-2- 12）=（ 133，- 52）故原题的答案为： 133，- 523.已知向量a ，b ，若|a |=2，|b |=2√5，且（a-b ）·（2a-3b ）=68-10√15，则向量a ，b 的夹角为 .解：由已知，得|a |2=4，|b |2=20，|a |·|b |=4√5（a-b ）·（2a-3b ）=2a 2-5ab+3b 2=8-5ab+ 60 =68-5ab=68-10√15则ab=2√15cosa = ab |a |.|b|= 2√154√5= √32所以向量a ，b 的夹角为30° 故原题的答案为：30°4.在△ABC 中，设BC→ =m ，BA→ =n ，D 为AC 上的一点，且AD DC= 45,若向量BD→ 用m ，n 表示，则BD→ = .解：BC→ =m ，BA→ =n则AC→ = m-n又AD DC= 45所以DC→ = 59AC→= 59m - -59nBD→ = BC→ - DC→=m -（ 59m - 59n ）= 49m + 59n故原题的答案为： 49m + 59nADBC5.已知向量a=（2,3m-4），b=（m-5，m+1），若a ，b 共线，则m 的值是 . 解：因为a ，b 共线所以2·（m+1）=（3m -4）·（m -5） 整理，得m 2-7m+6=0 解得，m=1或m=6 故原题的答案为：1或66.在△ABC 中，D 为边BC 上，CD=3DB ，E 在边AC 上，且AE=2EC ，设AC→ =a→，AD→ =b→，用向量a→，b→表示向量EB→ ,则EB→ = .解：CD→ = b→ - a →CB → = 43CD → = 43（b→ - a→）= 43b→ - 43a→EC → = 13AC → = 13a→EB→ = EC→ +CB→ =（13a→）+（43b → - 43a →）= 43b→- a→故原题的答案是： 43b→- a→7.已知向量a=（-3,6），b=（4,0），c=（1,4），若a 用b 、c 表示。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。
3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。
4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。
7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。
9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。
二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。
A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。
平面向量练习题集答案
平面向量练习题集答案 典例精析 题型一 向量的有关概念 【例1】 下列命题： ①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. 其中真命题的序号是 . 【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练1】下列各式： ①|a|＝aa； ②(ab) c＝a (bc)； ③OA－OB＝BA； ④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN； ⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b). 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选D.| a|＝aa正确；(ab) c≠a (bc)； OA－OB＝BA正确；如下图所示，
MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN，
两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确； 因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线， 即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确. 题型二 与向量线性运算有关的问题 【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO
上，且DM=DO31，点N在线段OC上,且ON=OC31,设AB=a, AD=b,试用a、b表示AM，AN，MN. 【解析】在▱ABCD中，AC，BD交于点O， 所以DO＝12DB＝12(AB－AD)＝12(a－b)， AO＝OC＝12AC＝12(AB＋AD)＝12(a＋b).
高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)
高中数学平面向量专题经典练习题（附答案）一.单选题（共10小题，每题5分，共50分）1.设，是两个非零向量，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则存在实数，使得D.若存在实数，使得，则2.如图，在平行四边形中，分别是的中点，则图中所示的向量中与平行的有（）A.个B.个C.个D.个3.下列说法中正确的是（）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量与向量的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的4.数轴上点分别对应则向量的长度是（）A. B. C. D.5.已知向量与的方向相反，且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C.， D.6.已知为两个单位向量，则下列叙述正确的是（）A.B.若，则C.或D.若，，则7.已知点，，，，则与向量同向的单位向量为（）A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点是直线与抛物线的一个交点，若，则（）A. B. C. D.9.下列结论中正确的是（）若且，则；若，则且；若与方向相同且，则；若，则与方向相反且.A. B. C. D.10.已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为（）A.,B.C.D.二.填空题（共10小题，每题5分，共50分）11.已知向量，，若与方向相反，则等于.12.若向量满足，则.13.等腰直角中，点是斜边边上一点，若，则的面积为.14.在中，，是的中点，，则，.15.在中，内角所对的边分别为则.16.在中，内角的对边分别是若则.17.在中，，是中点，，试用表示为，若，则的最大值为.18.如图，已知在矩形中设则.19.已知向量满足则.20.已知向量与的夹角为则.三.解答题（共5小题，每题10分，共50分）21.已知与的夹角为.(1)若求；(2)若与垂直，求.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系是曲线：上任一点，点满足.设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)已知曲线向上平移个单位后得到曲线设曲线与直线：为参数)相交于两点，求的值.23.已知向量向量函数．(1)当时，求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)若函数在区间的最大值为，求函数在的最小值．24.已知的内角满足.(1)求角；(2)若的外接圆半径为求的面积的最大值.25.在中，内角的对边分别为且.(1)求角的大小；(2)若且外接圆的半参考答案一、选择题第1题第2题故选C第3题单位向量的方向是任意的，所以当两个单位向量的起点相同时，其终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项A不正确；向量与向量方向相反，长度相等，所以选项B正确；向量是既有大小，又有方向的量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项C不正确；规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项D不正确.故选B.第4题第5题故选A 第6题故选D第7题故选A第8题故选B第9题选B第10题二、填空题第11题第12题第13题第14题第15题第16题第18题第20题三、解答题第21题第23题第24题第25题。
(完整版)平面向量练习题(有答案)
平面向量一 、选择题1、已知向量等于则MN ON OM 21),1,5(),2,3(--=-=（ ） A ．)1,8(B ．)1,8(-C ．)21,4(-D ．)21,4(- 2、已知向量),2,1(),1,3(-=-=则b a 23--的坐标是（ ） A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-3、已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且∥，则x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．31D ．31-4、若),12,5(),4,3(==b a 则与的夹角的余弦值为（ ） A ．6563B ．6533 C ．6533-D ．6563-564==，与的夹角是ο135，则⋅等于（ ） A ．12B ．212C ．212-D ．12-6、点)4,3(-关于点)5,6(-B 的对称点是（ ） A ．)5,3(-B ．)29,0(C ．)6,9(-D ．)21,3(-7、下列向量中，与)2,3(垂直的向量是（ ） A ．)2,3(-B ．)3,2(C ．)6,4(-D ．)2,3(-8、已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A 分所成的比是() A ．83-B ．83C ．38-D ．389、在平行四边形ABCD-=+，则必有( )A ．=B ．=或=C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形10、已知点C 在线段AB的延长线上，且λλ则,CA BC ==等于( )A ．3B ．31C ．3-D ．31-11、已知平面内三点x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为( ) A ．3B ．6C ．7D ．912、已知ABC ∆的三个顶点分别是），（），，（），，（y C B A 124231-，重心)1,(-x G ，则y x 、的值分别是( ) A ．5,2==y xB ．25,1-==y x C ．1,1-==y xD ．25,2-==y x16、设两个非零向量b a ,不共线，且b k a b a k ++与共线，则k 的值为( ) A ．1B ．1-C ．1±D ．017、已知B A 32),2,3(),1,2(=--，则点M 的坐标是( ) A ．)21,21(--B ．)1,34(--C ．)0,31(D ．)51,0(-18、将向量x y 2sin =按向量)1,6(π-=平移后的函数解析式是( ) A ．1)32sin(++=πx yB ．1)32sin(+-=πx yC ．1)62sin(++=πx yD ．1)62sin(+-=πx y二、填空题20、已知b a b a b a -+==⊥λ与且23,32垂直，则λ等于 21、已知等边三角形ABC 的边长为1，则=⋅22、设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是ο60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e 23、已知=--B A 、),2,5()4,3(三、解答题24、已知），（），，（0823=-ABA，求线段AB的中点C的坐标。
(完整版)平面向量练习题集答案(可编辑修改word版)
a • a a • a
平面向量练习题集答案 典例精析 题型一 向量的有关概念 【例 1】 下列命题： ①向量 AB 的长度与 BA 的长度相等； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量 AB 与向量CD 是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一直线上. 其中真命题的序号是 .
【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错； AB 与CD 是共线向量，则 A、B、C、D 可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练 1】下列各式： ①|a|＝ ； ②(a • b) • c＝a • (b • c)；
③ OA － OB ＝ BA ； ④在任意四边形 ABCD 中，M 为 AD 的中点，N 为 BC 的中点，则 AB ＋ DC ＝2 MN ； ⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且 a 与 b 不共线，则(a＋b)⊥(a－b). 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 D.| a|＝ 正确；(a • b) • c≠a • (b • c)； OA － OB ＝ BA 正确；如下图所示，
MN = MD + DC + CN 且 MN = MA + AB + BN ，
两式相加可得 2 MN ＝ AB ＋ DC ，即命题④正确； 因为 a，b 不共线，且|a|＝|b|＝1，所以 a＋b，a－b 为菱形的两条对角线， 即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确. 题型二 与向量线性运算有关的问题 【例 2】如图，ABCD 是平行四边形，AC、BD 交于点 O，点 M 在线段 DO 上，且 DM = 1 DO ，点 N 在线段 OC 上,且ON = 1 OC ,设 AB =a, AD =b,试用 a、b 表示 AM ， AN ，
平面向量试题及答案
平面向量试题及答案一、选择题1. 若向量a和向量b的模分别为2和3，且向量a与向量b的夹角为60°，则向量a与向量b的数量积为：A. 3B. 6C. √3D. √13答案：B2. 若向量a=(1, 2)，向量b=(-2, 3)，则向量a与向量b的点积为：A. 1B. -1C. -5D. 5答案：C3. 若向量a=(3, 4)，向量b=(2, -1)，则向量a与向量b的叉积为：A. 5B. -5C. 11D. -11答案：B二、填空题1. 若向量a=(2, -3)，向量b=(-1, 2)，则向量a与向量b的模的比值为________。
答案：22. 若向量a=(4, 7)，向量b=(2, 1)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为________。
答案：3/5三、解答题1. 已知向量a=(3, 4)，向量b=(2, -1)，求向量a与向量b的和。
答案：向量a+向量b=(5, 3)2. 已知向量a=(1, 1)，向量b=(2, 3)，求向量a与向量b的差。
答案：向量a-向量b=(-1, -2)3. 已知向量a=(2, 3)，向量b=(4, 6)，求向量a与向量b的夹角。
答案：向量a与向量b的夹角为0°，因为向量a与向量b平行。
四、计算题1. 已知向量a=(2, 3)，向量b=(1, -2)，求向量a与向量b的模。
答案：向量a的模为√13，向量b的模为√5。
2. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(2, 5)，求向量a与向量b的点积。
答案：向量a与向量b的点积为3*2 + (-4)*5 = -11。
3. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(2, 1)，求向量a与向量b的叉积。
答案：向量a与向量b的叉积为1*1 - 2*2 = -3。
五、证明题1. 证明：若向量a与向量b共线，则向量a与向量b的点积等于向量a的模乘以向量b的模乘以它们夹角的余弦值。
答案：设向量a=λ向量b，则向量a·向量b = λ向量b·向量b = λ|向量b|^2。
平面向量的数量积练习题(含答案)
平面向量的数量积A 组 专项根底训练一、选择题(每题5分，共20分)1． (2021·辽宁)向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，假设a ·b ＝1，那么x 等于 ( )A ．－1B ．－12 C.12D ．12． (2021·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，那么|a ＋b |等于( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．103． 向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．假设向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，那么c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－734． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，那么AB →·AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32二、填空题(每题5分，共15分)5．向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，那么|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，那么AB →·AC →＝________. 7． a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，假设a 与b 的夹角为钝角，那么λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分)8． (10分)a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)假设c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，假设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．B 组 专项能力提升一、选择题(每题5分，共15分)1．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，那么BC 等于 ( )A. 3B.7 C ．2 2 D.232． |a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，那么向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．23．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，那么|PA |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10 二、填空题(每题5分，共15分)4．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．假设(a ＋c )⊥b ，那么|a |＝________.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，假设AB →·AF →＝2，那么AE →·BF →的值是________．6．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，那么AM →·AN →的取值范围是________．三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．平面向量的数量积参考答案A 组 专项根底训练1.答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1. 2． 答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)． ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.3．答案 D解析 设c ＝(x ，y )，那么c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4．答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos∠BAC＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 二、填空题(每题5分，共15分)5．答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 6． 答案 －16解析 如下图，AB →＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC→ ＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →) ＝AM →2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16.7． 答案 (－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎪⎫－6，32解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a∥b 得：6＝－λ，即λλ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8．解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)． 9．解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.由得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，那么⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t＝142(舍)．故t的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．B组专项能力提升一、选择题(每题5分，共15分)1．答案A解析∵AB→·BC→＝1，且AB＝2，∴1＝|AB→||BC→|cos(π－B)，∴|AB→||BC→|cos B＝－1.在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B，即9＝4＋|BC|2－2×(－1)．∴|BC|＝ 3.2．答案A解析a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a·b ＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉，∴|a|·cos〈a，b〉＝－4.3．答案D解析∵PA→＝CA→－CP→，∴|PA→|2＝CA→2－2CP→·CA→＋CP→2.∵PB→＝CB→－CP→，∴|PB→|2＝CB→2－2CP→·CB→＋CP→2.∴|PA→|2＋|PB→|2＝(CA→2＋CB→2)－2CP→·(CA→＋CB→)＋2CP→2＝AB→2－2CP→·2CD→＋2CP→2.又AB→2＝16CP→2，CD→＝2CP→，代入上式整理得|PA→|2＋|PB→|2＝10|CP→|2，故所求值为10.二、填空题(每题5分，共15分)4．答案2解析利用向量数量积的坐标运算求解．a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.5．答案2解析 方法一 坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，那么A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)．∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2. 方法二 用AB →，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF →＝xAB →，那么CF →＝(x －1)AB→.AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF →＝2，∴2x ＝2，∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1×2＋12×4＝ 2.6．答案 [1,4]解析 利用基向量法，把AM →，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积． 如下图，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，那么BM →＝λBC →， CN →＝λCD →，DN →＝CN →－CD →＝(λ－1)CD→， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD →＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN →取得最小值1.∴AM →·AN →∈[1,4]． 三、解答题7．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0， 故向量a ＋b 与a －b 垂直．(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，那么α＝30°或α＝210°.。
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平面向量练习题大全及答案
平面向量练习题大全及答案
平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。
通过练习平面向量的题目，可以帮助我们巩固和深化对平面向量的理解。
本文将为大家提供一些平面向量的练习题，并给出详细的答案解析。
一、基础练习题
1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的和。
解析：向量的和等于对应分量相加，所以a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。
2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的差。
解析：向量的差等于对应分量相减，所以a - b = (3 - 5, -2 - 1) = (-2, -3)。
3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的模长。
解析：向量的模长等于各分量平方和的平方根，所以|a| = √(4^2 + 5^2) =
√(16 + 25) = √41。
4. 已知向量a = (3, -2)，求向量a的单位向量。
解析：向量的单位向量等于将向量除以其模长，所以a的单位向量为a/|a| = (3/√41, -2/√41)。
二、综合练习题
1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量的数量积等于对应分量相乘再相加，所以a·b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10。
2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的向量积。
解析：向量的向量积等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦值，所以a×b =
|a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b的夹角。
首先计算|a|和|b|：|a| = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13，|b| = √(5^2 +
1^2) = √(25 + 1) = √26。
然后计算夹角θ的正弦值：sinθ = |a×b|/(|a|*|b|)，其中|a×b|为向量a×b的模长。
向量a×b = (3*1 - (-2)*5, (-2)*5 - 3*1) = (13, -13)，所以|a×b| = √(13^2 + (-13)^2) = √(169 + 169) = √338。
因此，sinθ = √338/(√13*√26) = √(338/338) = 1。
综上所述，a×b = |a|*|b|*sinθ = √13*√26*1 = √(13*26) = √338。
3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的投影长度。
解析：向量的投影长度等于向量在某一方向上的分量，可以通过向量的数量积
来计算。
设向量a在x轴上的投影为p，则p = |a|*cosθ，其中θ为向量a与x轴的夹角。
向量a与x轴的夹角θ为arctan(5/4) ≈ 51.34°。
所以p = √(4^2 + 5^2)*cos51.34° = √(16 + 25)*cos51.34° = √41*cos51.34°。
计算得到p的值为√41*cos51.34°。
通过以上练习题的解析，我们可以更好地理解和掌握平面向量的概念和运算规律。
希望大家能够通过不断练习和思考，提高对平面向量的理解和运用能力。