平面向量经典习题-提高篇

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高中数学必修4平面向量典型例题及提高题

精品文档平面向量【任何时候写向量时都要带箭头】【根本概念与公式】aAB 1.向量：既有大小又有方向的量。

记作：。

或||AB||a或。

2.向量的模：向量的大小〔或长度〕，记作：e1 |e| 是单位向量，那么。

3.单位向量：长度为 1 的向量。

假设00 。

【0的向量。

记作：方向是任意的，且与任意向量平行】 4. 零向量：长度为：方向相同或相反的向量。

5. 平行向量〔共线向量〕：长度和方向都相同的向量。

6. 相等向量BA AB：长度相等，方向相反的向量。

7. 相反向量三角形法那么：8.CB AEABAC BC ACAB BC CD DEAB〔指向被减数〕；；9.平行四边形法那么：ba ba b,a ，以为临边的平行四边形的两条对角线分别为。

b/ a/b a00baa与b与反向。

当 10. 共线定理：时，时，同向；当11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

2 2222)a b|a b| (),ya x( yx a|| |a |a ，，那么，12.向量的模：假设b a cosb| |a| |a b cos13.数量积与夹角公式：；|b|a| |b xy xya b a b 0 xx a//ba yy 0 14.平行与垂直：；22121112题型 1. 根本概念判断正误：。

，那么 1〕假设与共线，〔与 2 共线，那么与〕假设共线。

〔ma naababnm ma mba bcabbca都不是零向量。

与，那么与不共线，那么。

〔 4〕假设〔 3〕假设。

〕假设 6，那么〕假设5〔，那么a//ba b||| a bba| b|||ba a |〔题型 2. 向量的加减运算精品文档．精品文档AC 为 AB 与 ADAC a,BD bAB AD，的和向量，且 4.，那么。

3AC BCBCABAC AB 。

5.点 C 在线段 AB 上，且， ,那么53. 题型向量的数乘运算13,8)( (1, 4),b ab 3a。

高中数学专项训练(平面向量提升版)(含答案)

高中数学专项训练（平面向量提升版）（含详细解答）1. 若向量a ⃗=(−2,0),b ⃗⃗=(2,1),c ⃗=(x,1)满足条件3a ⃗⃗+b⃗⃗与c ⃗⃗共线，则x 的值为( ) A. −2 B. −4 C. 2 D. 42. 正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λ+μ=( )A. 2B. 83C. 65D. 853. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=45AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λ的值为( )A. 35B. 37C. 411D. 4134. 如图，已知△OAB ，若点C 满足，则1λ+1μ=( )A. 13B. 23C. 29D. 925. 已知平面向量a ⃗,b ⃗⃗是非零向量，|a ⃗|=2，a ⃗⊥(a ⃗+2b ⃗⃗)，则向量b ⃗⃗在向量a⃗⃗方向上的投影为( ) A. 1 B. −1 C. 2 D. −26. 若向量a ⃗⃗=(1,0)，b ⃗⃗=(2,1)，c ⃗⃗=(x,1)满足条件3a ⃗⃗−b ⃗⃗与c ⃗⃗共线，则x 的值( ) A. 1 B. −3 C. −2 D. −17. 已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,−2)，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰非直角三角形 8. 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R)，则λ=( ) A. 2 B. 3 C. -2 D. −39. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 210. 已知单位向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗+3b ⃗⃗|=√13，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 设向量a ⃗=(2,1)，b ⃗⃗=(0,−2).则与a ⃗+2b⃗⃗垂直的向量可以是( ) A. (3,2) B. (3,−2) C. (4,6) D. (4,−6)A. 25B. −25 C. 35D. −3513. 已知向量m⃗⃗⃗⃗=(1,2)，n ⃗⃗=(2,3)，则m ⃗⃗⃗⃗在n ⃗⃗方向上的投影为( ) A. √13B. 8C. 8√55D. 8√131314. 已知平面向量a ⃗=(−2,x)，b ⃗⃗=(1,√3)，且(a ⃗⃗−b⃗⃗)⊥b ⃗⃗，则实数x 的值为( ) A. −2√3 B. 2√3 C. 4√3 D. 6√315. 已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足a ⃗⋅b ⃗⃗=1，|a ⃗⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，则|a ⃗−b⃗⃗|=( ) A. √13 B. 6 C. √11 D. 516. 向量a ⃗⃗=(2,−1)，b ⃗⃗=(−1,2)，则(2a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=( )A. 6B. 5C. 1D. −617. 已知向量a ⃗=(−√3,1)，b⃗⃗=(√3,λ).若a ⃗⃗与b ⃗⃗共线，则实数λ=( ) A. −1 B. 1 C. −3 D. 318. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos15°,sin15°)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos75°,sin75°)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=( ) A. 2 B. √3 C. √2 D. 1 19. 已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2√3，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角的余弦值为sin17π3，则b ⃗⃗⋅(2a ⃗−b ⃗⃗)等于( ) A. 2 B. −1 C. −6 D. −1820. 已知向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1，那么向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°21. 已知向量a →，b →满足|a ⃗⃗|=1,|b ⃗⃗|=2，|a ⃗⃗−2b ⃗⃗|=√13，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为______．22. 已知向量a ⃗=(cos θ,sin θ)，b ⃗⃗=(√3,−1)，则|2a ⃗−b ⇀|的最大值为________． 23. 已知a ⃗=(1,2sinθ)，b ⃗⃗=(cosθ,−1)，且a ⃗⃗⊥b ⃗⃗，则tanθ=______． 24. 设x ∈R ，向量a⃗⃗=(x,1)，，且a ⃗⃗⊥b ⃗⃗，则______ ．25. 已知向量a ⃗=(sinθ,1)，b ⃗⃗=(−sinθ,0)，c ⃗=(cosθ,−1)，且(2a ⃗⃗−b ⃗⃗)//c ⃗⃗，则sin2θ等于______ ． 26. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，且cosθ=14，若向量a ⃗=e 1⃗⃗⃗⃗+2e 2⃗⃗⃗⃗，则|a ⃗|=______． 27. 已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为2π3，|a ⃗⃗|=√2，则a ⃗⃗在b ⃗⃗方向上的投影为______． 28. 设θ∈(0,π2)，向量a ⃗=(cosθ,2)，b ⃗⃗=(−1,sinθ)，若a ⃗⃗⊥b ⃗⃗，则tanθ=______． 29. 在△ABC 中，已知∠ACB =90°，CA =3，CB =4，点E 是边AB 的中点，则CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ______ ．30. 平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λμ= ______ ．31.已知a⃗=(√3sinx,cosx+sinx),b⃗⃗=(2cosx,sinx−cosx),f(x)=a⃗⋅b⃗⃗．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[5π24,5π12]时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．32.已知向量a⃗=(sinx,34)，b⃗⃗=(cosx,−1)．(1)当a⃗//b⃗⃗时，求cos2x−sin2x的值；(2)设函数f(x)=2(a⃗+b⃗⃗)⋅b⃗⃗，已知f(α2)=34，α∈(π2,π)，求sinα的值．33.已知a⃗=(sinx,−cosx)，b⃗⃗=(√3cosx,−cosx)，f(x)=2a⃗⋅b⃗⃗．(1)求f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f(A)=2，b=1，△ABC的面积为√32，求a的值．34.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A2=2√55，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3．(1)求△ABC的面积；(2)若b+c=6，求a的值．35.已知向量a⃗=(3,−1)，|b⃗⃗|=√5，a⃗⋅b⃗⃗=−5，c⃗=xa⃗+(1−x)b⃗⃗．(Ⅰ)若a⃗⊥c⃗，求实数x的值；(Ⅱ)当|c⃗|取最小值时，求b⃗⃗与c⃗⃗的夹角的余弦值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量共线的条件，属于基础题．先利用平面向量运算法则求出3a ⃗⃗+b ⃗⃗，再由向量共线的条件能求出x ．【解答】解：∵向量a ⃗=(−2,0),b ⃗⃗=(2,1),c ⃗=(x,1)，∴3a ⃗+b⃗⃗=(−6,0)+(2,1)=(−4,1)， ∵3a ⃗⃗+b ⃗⃗与c⃗⃗共线， ∴x −1×(−4)=0，解得x =−4．故选B ． 2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平面向量的基本定理，坐标运算和几何应用，属于中档题．建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．【解答】解：以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，M(1,12)，N(12,1)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,12)， BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)． ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴{λ−12μ=112λ+μ=1，解得{λ=65μ=25．∴λ+μ=85，故选D ． 3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算，共线定理，及三点共线的充要条件，属于中档题．根据向量加减的运算法则和向量共线的充要条件及三点共线的充要条件即可求出答案．解：∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=45AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=λ(54AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =54λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∵M 、N 、P 三点共线． ∴54λ+32λ=1， ∴λ=411，故选C ． 4.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的运算以及平面向量基本定理，属于基础题．根据向量的三角形法则和向量的数乘运算用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示出向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而求出λ=13，μ=23，再代值计算即可．【解答】解：∵OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴λ=13，μ=23， ∴1λ+1μ=3+32=92．故选D ． 5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，属基础题．先根据向量垂直，得到a ⃗⋅b⃗⃗=−2，再根据投影公式即可求出．【解答】解：∵平面向量a ⃗⃗,b ⃗⃗是非零向量，|a ⃗⃗|=2，a ⃗⊥(a ⃗+2b⃗⃗)， ∴a ⃗⃗⋅(a ⃗⃗+2b ⃗⃗)=0，即a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃗⃗=0，即a ⃗⋅b ⃗⃗=−2， ∴向量b ⃗⃗在向量a ⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗·b ⃗⃗|a ⃗⃗|=−22=−1．故选B ．【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程即可求出x 的值．【解答】解：∵向量a⃗=(1,0)，b ⃗⃗=(2,1)，c ⃗=(x,1)， ∴3a ⃗−b ⃗⃗=(1,−1)，又3a ⃗−b⃗⃗与c ⃗⃗共线， ∴x ×(−1)−1×1=0，解得x =−1．故选D ． 7.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，属基础题．由已知向量的坐标求得AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，可得|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，结合BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0得答案．【解答】解：∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,−2)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1)， ∴|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√10．又BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1×3−3×1=0． ∴△ABC 的形状为等腰直角三角形．故选A ． 8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．若BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R)，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，化简与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗比较，即可得出．【解答】解：若BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，化为：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ−1λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗比较，可得：1λ=−13，λ−1λ=43，解得λ=−3．则λ=−3．故选D ． 9.【答案】B【解析】【分析】考查向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及数量积的运算及计算公式．可画出图形，据图可得出BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而便得到BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗，这样进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗； ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=0−1=−1．故选B ．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的模和夹角，属于基础题.可知|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|=1，这样对|a ⃗⃗+3b ⃗⃗|=√13两边平方即可求出a ⃗⃗⋅b ⃗⃗的值，进而求出cos <a ⃗⃗,b⃗⃗>的值，从而得出a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角．【解答】解：(a ⃗⃗+3b ⃗⃗)2=a ⃗2+6a ⃗⋅b ⃗⃗+9b ⃗⃗2 =1+6a ⃗⋅b ⃗⃗+9 =13， ∴a ⃗·b⃗⃗=12，，∴a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为π3．故选C ．11.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(2,1)，b ⃗⃗=(0,−2)． ∴a ⃗+2b⃗⃗=(2,−3)， ∵(2,−3)⋅(3,2)=6−6=0，∴与a ⃗+2b⃗⃗垂直的向量可以是(3,2)．故选：A ．求出a ⃗+2b ⃗⃗=(2,−3)，由此利用向量垂直的性质能求出与a ⃗+2b⃗⃗垂直的向量的可能结果．本题考查向量的坐标运算、向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：a⃗+λb⃗⃗=(2−λ,4+λ)，∵a⃗+λb⃗⃗与c⃗⃗共线，∴3(2−λ)−2(4+λ)=0，解得λ=−25．故选B．13.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了向量的投影的定义，属于基础题．m⃗⃗⃗⃗在n⃗⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗⃗|n⃗⃗⃗|，代值计算即可．【解答】解：m⃗⃗⃗⃗=(1,2)，n⃗⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=1×2+2×3=8，|n⃗⃗|=√22+32=√13，则m⃗⃗⃗⃗在n⃗⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗|n⃗⃗|=√13=8√1313．故选D．14.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式，属于基础题．根据题意，由向量坐标计算公式可得a⃗−b⃗⃗的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得(a⃗−b⃗⃗)·b⃗⃗=(−3)×1+(x−√3)×√3=0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量a⃗=(−2,x)，b⃗⃗=(1,√3)，则a⃗−b⃗⃗=(−3,x−√3)，又由(a⃗⃗−b⃗⃗)⊥b⃗⃗，则(a⃗−b⃗⃗)·b⃗⃗=(−3)×1+(x−√3)×√3=0，解可得x=2√3．故选B．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积与模长公式的应用问题，是基础题．根据平面向量数量积的定义与模长公式，求模长|a⃗−b⃗⃗|即可．【解答】解：向量a⃗⃗，b⃗⃗满足a⃗⋅b⃗⃗=1，|a⃗⃗|=2，|b⃗⃗|=3，∴(a⃗−b⃗⃗)2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗⃗+b⃗⃗2=22−2×1+32=11，∴|a⃗−b⃗⃗|=√11．故选C．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的数量积的运算，属于基础题．解：向量a⃗⃗=(2,−1)，b ⃗⃗=(−1,2)， 2a ⃗+b⃗⃗=(3,0)，则(2a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=6，故选A ．17.【答案】A【解析】解：∵a ⃗⃗//b ⃗⃗，∴−√3λ−√3=0，解得λ=−1．故答案为A ．利用向量共线定理即可得出−√3λ−√3=0，解出即可．熟练掌握向量共线定理是解题的关键． 18.【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量坐标减法运算，考查向量模的求法，是基础题．由已知向量的坐标求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，代入向量模的计算公式求解．【解答】解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos15°,sin15°)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos75°,sin75°)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos75°−cos15°,sin75°−sin15°)，则．故选D ．19.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查诱导公式的应用，两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，由题意利用两个向量的数量积的定义求得a ⃗⃗⋅b ⃗⃗ 的值，可得b ⃗⃗(2a ⃗−b⃗⃗)的值．属于基础题．【解答】解：∵向量a⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2√3， a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角的余弦值为sin 17π3=sin (−π3)=−√32，∴a ⃗⋅b ⃗⃗=1×2√3×(−√32)=−3， ∴b ⃗⃗⋅(2a ⃗−b ⃗⃗)=2a ⃗⋅b ⃗⃗−b ⃗⃗2=2⋅(−3)−12=−18，故选D ．20.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量数量积的计算公式，关键是掌握向量夹角的计算公式．【解答】解：根据题意，设向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为θ，又由|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；故选B．21.【答案】60°【解析】【分析】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．将|a⃗⃗−2b⃗⃗|=√13的等号两边平方，带入|a⃗⃗|=1,|b⃗⃗|=2，解出a⃗⃗与b⃗⃗的夹角的余弦值，从而得到夹角．【解答】解：设a⃗⃗与b⃗⃗的夹角为θ，∵|a⃗|=1,|b⃗⃗|=2，|a⃗⃗−2b⃗⃗|=√13，∴a⃗2−4a⃗⋅b⃗⃗+4b⃗⃗2=13，即1−4×1×2⋅cosθ+4×4=13，∴cosθ=1，∴θ=60°，2故答案为60°．22.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习．先根据向量的线性运算得到2a⃗−b⃗⃗的表达式，再由向量模的求法表示出|2a⃗−b⇀|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．【解答】解：∵2a⃗−b⇀=(2cosθ−√3,2sinθ+1)，)≤4．∴|2a⃗−b⃗⃗|=√(2cosθ−√3)2+(2sinθ+1)2=√8+8sin(θ−π3∴|2a⃗−b⃗⃗|的最大值为4．故答案为：4．23.【答案】12【解析】【分析】本题考查三角函数值的求解，涉及向量的垂直和数量积的关系，属于基础题．由题意可得1×cosθ+2sinθ×(−1)=0，化简后，由同角三角函数的关系可得答案．【解答】解：由题意可知：a⃗=(1,2sinθ)，b⃗⃗=(cosθ,−1)，∵a⃗⃗⊥b⃗⃗，∴1×cosθ+2sinθ×(−1)=0，化简得cosθ=2sinθ，故tanθ=sinθcosθ=12，故答案为12．24.【答案】5【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，向量的模，属于基础题．根据题意，由a⃗⊥b⃗⃗可得a⃗⋅b⃗⃗=0，解可得x的值，即可得a⃗⃗的坐标，由向量的坐标计算公式可得a⃗+2b⃗⃗的坐标，由向量模的公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量a⃗⃗=(x,1)，b⃗⃗=(1,−2)，因为a⃗⊥b⃗⃗，则有a⃗·b⃗⃗=x−2=0，解得x=2，故a⃗=(2,1)，又由b⃗⃗=(1,−2)，则a⃗+2b⃗⃗=(4,−3)，则，故答案为：5．25.【答案】−1213【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，关键是利用向量平行的坐标表示方法求出关于三角函数式．根据题意，由向量的坐标运算可得求出2a⃗−b⃗⃗=(3sinθ,2)，进而由向量平行的坐标表示方法可得有3sinθ×(−1)=2cosθ，化简可得，tanθ=−23，进而由二倍角公式变形分析可得sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1，代入tanθ的值计算即可得答案．【解答】解：根据题意，a⃗=(sinθ,1)，b⃗⃗=(−sinθ,0)，c⃗=(cosθ,−1)，则2a⃗−b⃗⃗=(3sinθ,2)，又由(2a⃗−b⃗⃗)//c⃗，则有3sinθ×(−1)=2cosθ，即−3sinθ=2cosθ，化简可得，tanθ=−23，sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=2×(−23)(−23)2+1=−1213，即sin2θ=−1213；故答案为−1213．26.【答案】√6【解析】【分析】利用题意首先求得e1⃗⃗⃗⃗⋅e2⃗⃗⃗⃗的值，然后结合平面向量模的计算公式整理计算即可求得最终结果．本题考查平面向量数量积的定义，平面向量模的计算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．【解答】解：由题意可得：e1⃗⃗⃗⃗⋅e2⃗⃗⃗⃗=1×1×14=14，则：|a⃗⃗|=√(e1⃗⃗⃗⃗+2e2⃗⃗⃗⃗)2=√e1⃗⃗⃗⃗2+4e1⃗⃗⃗⃗⋅e2⃗⃗⃗⃗+4e2⃗⃗⃗⃗2=√1+4×14+4×1=√6．故答案为√6．27.【答案】−√22【解析】解：根据条件，a⃗⃗在b⃗⃗方向上的投影为：|a⃗⃗|cos<a⃗⃗,b⃗⃗>=√2cos2π3=−√22．故答案为：−√22．由条件，可得出a⃗⃗在b⃗⃗方向上的投影为|a⃗⃗|cos2π3，从而求出投影的值．考查向量夹角的概念，向量投影的概念及计算公式．28.【答案】12【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，也考查了同角的三角函数关系应用问题，是基础题．根据两向量垂直时的坐标运算，将向量a⃗=(cosθ,2)，b⃗⃗=(−1,sinθ)代入，列方程即可求出tanθ的值．【解答】解：设θ∈(0,π2)，向量a⃗=(cosθ,2)，b⃗⃗=(−1,sinθ)，若a⃗⃗⊥b⃗⃗，则a⃗·b⃗⃗=0，∴(cosθ,2)·(−1,sinθ)=−cosθ+2sinθ=0，，∴sinθcosθ=12，∵tanθ=sinθcosθ，∴tanθ=12，故答案为12．29.【答案】72【解析】【分析】本题考查平面向量的运算及平面向量的数量积，属于基础题．根据向量的运算法则进行计算即可．【解答】解：如图：CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=12×(16−9)=72．故答案为72．30.【答案】29【解析】解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+μ(−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(λ2−μ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴{λ+μ=112λ−μ=0，解得λ=23，μ=13， ∴λμ=29，故答案为：29根据向量的三角形法则和平行四边形法则计算即可．本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则，属于基础题．31.【答案】解：(1)∵a ⃗=(√3sin x,cos x +sin x),b ⃗⃗=(2cos x,sin x −cos x),f(x)=a⃗⋅b ⃗⃗， ∴f(x)=2√3sinxcosx +(cosx +sinx)(sinx −cosx) =√3sin2x −cos2x =2sin(2x −π6)，令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得：−π6+kπ≤x ≤π3+kπ，所以，函数f(x)的单调递增区间为：[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)，单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k ∈Z)．(2)当x ∈[5π24,5π12]时，π4≤2x −π6≤2π3，∴√2≤f(x)≤2，不等式mt 2+mt +3≥f(x)当x ∈[5π24,5π12]时恒成立，必须且只需mt 2+mt +3≥f(x)max 成立即可，即mt 2+mt +1≥0对任意的t ∈R ，即可， ①当m =0时，恒成立②当m ≠0时，只需满足{m >0Δ≤0, 解得：0<m ≤4，综合所得：0≤m ≤4．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的单调区间，恒成立问题的应用．属于中档题．(1)首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间．(2)根据函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m 的取值范围．32.【答案】解：(1)因为a ⃗//b ⃗⃗，所以34cos x +sin x =0，所以tan x =−34．故cos 2x −sin2x =cos 2x−2sinxcosx sin 2x+cos 2x=1−2tanx1+tan 2x=1−2×(−34)1+(−34)2=85．(2)f(x)=2(a ⃗+b ⃗⃗)⋅b ⃗⃗ =2sinxcosx −32+2(cos 2x +1)=sin2x +cos2x +32=√2sin (2x +π4)+32，因为f(α2)=34，所以f(α2)=√2sin (α+π4)+32=34，即sin (α+π4)=−3√28，因为α∈(π2,π)，所以3π4<α+π4<5π4，故cos (α+π4)=−√1−(3√28)2=−√468，所以sinα=sin [(α+π4)−π4]=√22[sin (α+π4)−cos (α+π4)] =√22×(−3√28+√468) =−3+√238．【解析】本题主要考查向量数量积的应用以及向量共线的坐标公式，以及向量和三角函数的综合应用，根据向量数量积的关系求出函数，结合三角函数的性质是解决本题的关键．属于中档题．(1)根据向量关系的坐标关系进行转化，结合三角函数的性质进行求解即可．(2)根据向量数量积的公式求出函数f(x)的解析式，结合三角函数的公式进行化简求解．33.【答案】解：(1)f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1；(2)∵f(A)=2sin(2A +π6)+1=2，∴sin (2A +π6)=12， ∵A ∈(0,π)，∴2A +π6∈(π6,13π6)，∴2A +π6=5π6，∴A =π3． ∴S △ABC =12bcsinA =12×1×c ×√32=√32， ∴c =2，由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =3， ∴a =√3．【解析】本题考查平面向量的数量积及三角函数恒等变换，余弦定理解三角形及面积公式的应用，属于中档题．(1)根据平面向量的数量积公式和三角恒等变换化简即可；(2)根据f(A)=2计算A ，根据面积计算c ，再利用余弦定理求出a ．34.【答案】解：(1)因为cos A 2=2√55，所以cosA =2cos 2A 2−1=35，sinA =45．又由AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3得bccosA =3，所以bc =5 因此S △ABC =12bcsinA =2． (2)由(1)知，bc =5，又b +c =6，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−165bc =20，所以a =2√5【解析】本题考查向量的数量积是应用，余弦定理的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．(1)利用二倍角公式求出余弦函数值，利用同角三角函数基本关系式求出正弦函数值，利用向量的数量积求出bc ，然后求解三角形的面积． (2)利用余弦定理以及(1)的结果，代入求解即可．35.【答案】解：(Ⅰ)设b⃗⃗=(m,n)， ∴{m 2+n 2=53m −n =−5，解得{m =−1n =2或{m =−2n =−1，当b⃗⃗=(−1,2)时， ∴c ⃗=x(3,−1)+(1−x)(−1,2)=(4x −1,2−3x)， ∵a ⃗⊥c ⃗，∴3(4x −1)−(2−3x)=0，解得x =13，当b ⃗⃗=(−2,−1)时， ∴c ⃗=x(3,−1)+(1−x)(−2,−1)=(5x −2,−1)， ∵a ⃗⊥c ⃗，∴3(5x −2)+1=0，解得x =13，(Ⅱ)设b ⃗⃗与c⃗⃗的夹角θ 由(Ⅰ)可知，当b⃗⃗=(−1,2)时，c ⃗=(4x −1,2−3x)，则|c⃗|2=(4x −1)2+(2−3x)2=25x 2−20x +5=25(x −25)2+1，当x =25时，|c⃗|取最小值，则|c ⃗|=1，c ⃗=(35,45)， ∴b ⃗⃗⋅c ⃗=−35+85=1，|b⃗⃗|=√5 ∴cosθ=b⃗⃗⋅c ⃗|b⃗⃗|⋅|c ⃗|=√55当b⃗⃗=(−2,−1)时，c ⃗=(5x −2,−1)，则|c ⃗|2=(5x −2)2+(−1)2=25(x −25)2+1，当x =25时，|c ⃗|取最小值，则|c ⃗|=1，c ⃗=(0,−1)， ∴b ⃗⃗⋅c ⃗=1，|b⃗⃗|=√5 ∴cosθ=b ⃗⃗⋅c ⃗|b ⃗⃗|⋅|c ⃗|=√55【解析】(Ⅰ)根据向量的数量积和向量的模，先求出b ⃗⃗，再根据向量的垂直即可求出x的值，(Ⅱ)根据二次函数的性质即可求出x 的值，再根据向量的夹角公式即可求出．本题考查了向量的数量积的运算和向量的垂直以及二次函数的性质，属于中档题．。

数学4必修第二章平面向量提高训练C组及答案

3t),
f
(t )

1 (t3 4
3t)
4 解：Q AB AC, AB AC 0.
Q AP AQ, BP AP AB,CQ AQ AC, uBuPurCuQuur (AuPuur ABuu)ur(AQuuurACu)uur
AP AQ AP AC AB AQ AB AC
r 3,1),b

(
1, 2
3) 2
得
ar gb
0, ar
2, b
1
[ar (t2 3)b ]g(kar tb) 0,kar 2 tar gb k(t 2 3)ar gb t(t2 3)b 2 0
4k
t3
3t
0,k

1 (t 3 4
三、解答题
1 已知 ar ,b, cr 是三个向量，试判断下列各命题的真假（1）若 ar b ar rc 且 ar 0 ，则b cr （2）向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 ar cos （是 a 与 b 的夹角），方向与 a 在
b 相同或相反的一个向量
2 证明：对于任意的 a,b, c, d R ，恒有不等式 (ac bd)2 (a2 b2 )(c2 d 2 )
3 C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b 0 时， a 与 c 可以为任意向
量；
| a b | | a b | ，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角
4 5
C C
ar

r 3b

ar
2

6ar gbr

r 9b
2

高中数学提高题专题复习平面向量多选题练习题含答案

高中数学提高题专题复习平面向量多选题练习题含答案一、平面向量多选题1．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λabB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直，故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD 【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==，故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =，所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =，所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =，则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin 3a A ⨯=，故选项D 正确；故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.3．下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（） A ．1233PC PA PB =+ B ．111333OP OA OB OC =++ C ．QP QA QB OC =++ D ．0OP OA OB OC +++=【答案】AB 【分析】根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】对于A ，由1233PC PA PB =+，12133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于B ，由111333OP OA OB OC =++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.4．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（）A ．13BF FC = B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222289cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FEαααα-⋅<>==⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，849(1,]5822cos2819α----⋅，故正确；D. 由FC FD FE λμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确；故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确；因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22- 【答案】AB【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于3:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确．对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误．故选：AB ．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．8．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.二、立体几何多选题9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 21530+【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，；选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-；选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确；对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ 不妨令x =1，则()1,1,1n =，设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：|2sin 2|||4sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α有最大值22215301515++=，故D 正确故选：CD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．10．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（）A ．()1112DA A A B A BC =-+ B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 2AC C ．异面直线AD 与1BC ，所成角的余弦值为66 D ．若点E 到平面11ACC A 3EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分【答案】BCD【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案.【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误；对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，3002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，130B a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以1322a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，1322a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即222302a a b ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =．因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于122BB AC =．选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，3002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，()0,0,0D ，12022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，13222a BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,，因为211162cos ,6||||622a BC DA BC DA BC DA a a ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成角的余弦值为6，选项C 正确．对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1E F 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ，即有31E F EB =，又因为在1CE F ∆中，311E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.。

高中数学必修4平面向量典型例题与提高题(可编辑修改word版)

= - = ⋅ ⋅ 平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。

记作： AB 或 a 。

2. 向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB | 或| a | 。

3. 单位向量：长度为 1 的向量。

若 e 是单位向量，则| e |= 1。

4. 零向量：长度为 0 的向量。

记作： 0 。

【0 方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。

7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB BA 。

8. 三角形法则：AB + BC = AC ； AB + BC + CD + DE = AE ； AB - AC = CB （指向被减数）9. 平行四边形法则：以 a , b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a + b ， a - b 。

10.共线定理： = ⇔ 。

当> 0 时，同向；当< 0 时，反向。

a b a / /b a 与b a 与b11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12. 向量的模：若 = (x , y ) ，则 = 22 ，， +a | a | a | a | | ab | 13. 数量积与夹角公式： a ⋅ b =| a | ⋅ | b | cos ；cos = | a | |b |14.平行与垂直： a / /b ⇔ a = b ⇔ x 1 y 2 = x 2 y 1 ； a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0题型 1.基本概念判断正误：（1）若 a 与b 共线， b 与c 共线，则 a 与c 共线。

（2）若 ma = mb ，则 a = b 。

（3）若 ma = na ，则 m = n 。

（4）若 a 与b 不共线，则 a 与b 都不是零向量。

（5）若 a ⋅ b =| a | ⋅ | b | ，则 a / /b 。

高三数学提高题专题复习平面向量多选题专项训练练习题含答案

高三数学提高题专题复习平面向量多选题专项训练练习题含答案一、平面向量多选题1．题目文件丢失！2．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 答案：BD【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都解析：BD【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确.【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a b a b a b a b +=+=++⋅=+， ()222222a b a b a b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.3．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+C ．0PA PC ⋅<D ．2S =答案：BCD【分析】本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确.【详解】解：因为，，所以B 是的中点，P 是的解析：BCD【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确.【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确；因为112223132APQABC AB h S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（）A ．33B ．3161C ．833D ．83161答案：AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：，即，解得.故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a =故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒答案：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理得：，由于，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理sin sin a b A B =得：1sin 2sin 12b A B a ===，由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.6．下列各式中，结果为零向量的是（）A ．AB MB BO OM +++B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+- 答案：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：解析：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.7．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AFCE G =，则（）A ．12AF AD AB =+B ．1()2EF AD AB =+C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =答案：AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A 正确，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示由其性质有∴，即C 错误同理，解析：AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系8．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（） A ．1a b += B ．a b ⊥ C ．()4a b b +⊥ D ．1a b ⋅=- 答案：CD【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】分析知，，与的夹角是.由，故B 错误，D 正确；由，所以，故A 错误；由，所以，故C 正确.故选：CD【点睛】解析：CD 【分析】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确. 故选：CD【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.9．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 答案：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当时，这样的有无数个，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.故选：BC【点睛】若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.10．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（）A ．()m a b ma mb -=-B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n = 答案：ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，解析：ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.11．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-答案：AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立.【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ; 对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.12．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3B a c π=+=,则a c =( ) A ．2 B ．3 C ．12 D ．13答案：AC【分析】将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，联立①②，可得，即，解得或.故选：AC.【点睛】本题考查余弦定理的应解析：AC【分析】将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵,3B a c π=+=，∴2222()23a c a c ac b +=++=①，由余弦定理可得，2222cos 3a c ac b π+-=②，联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a c =或12a c =. 故选：AC.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.13．化简以下各式,结果为0的有( )A ．AB BC CA ++B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++- 答案：ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】;;;.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型. 解析：ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】0AB BC CA AC CA ++=+=;()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=; ()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.14．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==答案：AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的. 对于B,由平面向量基本解析：AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（）A ．6BC ．D 解析：B 【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果. 【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=故选：B 【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型. 17．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（）A ．(-∞ B ．)+∞C ．(-∞D ．)+∞解析：A 【分析】不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解. 【详解】1a b ==，12a b ⋅=,易得,3a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N 则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形,(.1),(,1)1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-=因为a c b d T -+-≥恒成立，+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即a b +与c d +共线反向时等号成立)即求+()a b c d -+最小值.+()=()()a b c d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM -三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，∴ M 的轨迹是以原点为圆心，半径为32的一个圆.又N 在直线方程为10x y +-=上运动，∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值此时M 到直线10x y +-=的距离322MN232T NM故选：A 【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．18．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=B ．cos cos cos 0A OA B OBC OC ⋅+⋅+⋅=C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= 解析：C 【分析】利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案. 【详解】如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以O 为ABC ∆的垂心。

提高题专题复习平面向量多选题练习题含答案

提高题专题复习平面向量多选题练习题含答案一、平面向量多选题1．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（）A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误；对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又2cos ,22a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.2．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确故选：BCD 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.3．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（）A ．1233AE AC AD =+ B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确；对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确；对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.4．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为3714-【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误；由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为327a b b-⋅==，故D 正确。

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平面向量：1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－1B ．－ 3C ．－3D ．1 [答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611B ．－116C.611D.116 [答案] C[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为()A．150° B．120°C．60° D．30°[答案] B[解析]如图，在▱ABCD中，∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.12 B.13C.14 D.15[答案] A[解析]∵|a－b|＝32，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝34，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，. ... .设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.4. 若AB→·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB→·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( )A ．－a ＋3bB ．a －3bC ．3a －bD ．－3a ＋b [答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴⎩⎨⎧λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎨⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B.(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC→＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b [答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，. ... .∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6. 若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB→·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB→·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.7. 若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( )A ．12B ．2 3C ．3 2D ．6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．8. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA→＋xOB →. ... .＋BC→＝0，实数x为()A．－1 B．0C.－1＋52 D.1＋52[答案] A[解析]x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，∴x2OA→＋(x－1)OB→＋OC→＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，BC→＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.9.(文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP→·(AB→＋AC→)()A．最大值为8 B．最小值为2C．是定值6 D．与P的位置有关[答案] C[解析]以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，3)，AB→＋AC→＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P(x,0)，－1≤x≤1，则AP→＝(x，－3)，∴AP→·(AB→＋AC→)＝(x，－3)·(0，－23)＝6，故选C.. ... .(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB→·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12 B.32 C. 2 D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB→|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB→|·|AC →|＝2， ∴|AB→|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4， ∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.10. 如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若PM→·PN →＝0，则ω的值为( )A.π8B.π4 C ．4D ．8. ... .[答案] B[解析] ∵PM→·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.11. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE→＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15 B.14 C.13 D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.12. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12B ．2. ... .C ．－2D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0， ∴m ＝－2，故选C.13. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM→＝2MA →，则CM →·CB →等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6[答案] B[解析] CM →·CB → ＝(CA→＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB → ＝13|AB →|·|CB →|·cos45° ＝13×32×3×22＝3. 14. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB→·AD →＝________.. ... .[答案] 152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →，∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.15. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255.16. 已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________. [答案] 1[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos2π3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.17. 已知：|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n ＝________.[答案] 3. ... .[解析] 设mOA→＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC→|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC→|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m 3n ＝|OC →|cos30°|OC→|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn ＝3.18. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________． [答案] 5[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA→·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255， ∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255＝5.(理)三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)①sin A ＋cos A ＝15 ②AB→·BC →<0 ③b ＝3，c ＝33，B ＝30° ④tan A ＋tan B ＋tan C >0.[答案] ④[解析] 若A 为锐角，则sin A ＋cos A >1，∵sin A ＋cos A ＝15，∴A 为钝角，∵AB →·BC →<0，∴BA →·BC →>0，∴∠B 为锐角，由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形；由正弦定理b sin B ＝c sin C 得，3sin30°＝33sin C ，∴sin C ＝32，∴C ＝60°或120°，∵c ·sin B ＝332，3<332<33，∴△ABC有两解，故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形．④由tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C >0，及A 、B 、C ∈(0，π)，A ＋B ＋C ＝π知A 、B 、C 均为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．19. 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．(1)若a ⊥b ，求x 的值． (2)若a ∥b ，求|a －b |. [解析] (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，则x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2，当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)| ＝－22＋02＝2，当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)| ＝22＋－42＝2 5.20. 已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的解析式及其对称中心坐标．[解析] (1)f (x )＝(a ＋b )·a －2＝a 2＋a ·b －2 ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝1－cos2x 2＋32sin2x －12＝32sin2x －12cos2x＝sin(2x －π6)，∴周期T ＝2π2＝π.(2)向左平移π6个单位得，y ＝sin[2(x ＋π6)－π6]＝sin(2x ＋π6)，横坐标伸长为原来的3倍得，g (x )＝sin(23x ＋π6)，令23x ＋π6＝k π得对称中心为(3k π2－π4，0)，k ∈Z . 21. (文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b－a )，n ＝(a ＋b ，c )，若m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若sin A ＋sin C 的取值范围． [解析] (1)由m ∥n 知c －aa ＋b ＝b －ac ，即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知 cos B ＝12，得B ＝π3.(2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3)＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6)，∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12，1]，∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32，3]．(理)在钝角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )的值域．[解析] (1)由m ∥n 得(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0， ∵sin(A ＋C )＝sin B ，∴2sin B cos A －sin B ＝0，∵B 、A ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴A ＝π3.(2)y ＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B＝1－12cos2B ＋32sin2B ＝sin(2B －π6)＋1，当角B 为钝角时，角C 为锐角，则 ⎩⎪⎨⎪⎧π2<B <π0<2π3－B <π2⇒π2<B <2π3， ∴5π6<2B －π6<7π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)， ∴y ∈(12，32)．当角B 为锐角时，角C 为钝角，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2π2<2π3－B <π⇒0<B <π6，∴－π6<2B －π6<π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，32)，综上，所求函数的值域为(12，32)．22. 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .. ... .(1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3，π3]，求x ；(2)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π2)平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值．[解析] (1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋π6)．由1＋2sin(2x ＋π6)＝1－3，得sin(2x ＋π6)＝－32，∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin2(x －m )＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin2(x ＋π12)＋1.∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1.23. 已知向量OP→＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ →. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值．[解析] (1)∵OP→＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)， ∴f (x )＝OP→·OQ →＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1) ＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1. ... .＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数f (x )最小正周期T ＝2π.(2)∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4]，∴当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时，f (x )＝2sin(x ＋π4)取到最大值 2.24. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)． [解析] (1)因为m ⊥n ，所以－cos B cos C ＋sin B sin C －32＝0，即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，所以cos(B ＋C )＝－32，因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(B ＋C )＝－cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.(2)方案一：选择①②，可确定△ABC ，因为A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，由余弦定理得，12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32解得b ＝2，所以c ＝6＋22，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·2·6＋22·12＝3＋14，方案二：选择①③，可确定△ABC ，因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24，由正弦定理c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14.(注意：选择②③不能确定三角形)(理)如图，⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在DP 延长线上，⊙O 交y 轴于点N ，DP →∥ON →，且DM →＝32DP →.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设F 1(0，5)、F 2(0，－5)，若过F 1的直线交(1)中曲线C 于A 、B 两点，求F 2A →·F 2B →的取值范围．[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，∵DM →＝32DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32y 0x ＝x 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝23yx 0＝x，代入x 20＋y 20＝4得，x 24＋y 29＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，显然F 2A →·F 2B →＝－4，②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB 的方程为：y ＝kx ＋5，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5x 24＋y 29＝1得，(9＋4k 2)x 2＋85kx －16＝0，不妨设A 1(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－85k 9＋4k 2x 1x 2＝－169＋4k 2，F 2A →·F 2B →＝(x 1，y 1＋5)·(x 2，y 2＋5)＝(x 1，kx 1＋25)·(x 2，kx 2＋25)＝(1＋k 2)x 1x 2＋25k (x 1＋x 2)＋20＝－161＋k 29＋4k 2＋－80k 29＋4k 2＋20＝－96k 2－169＋4k2＋20 ＝－4＋2009＋4k2，∵k 2≥0，∴9＋4k 2≥9，∴0<2009＋4k2≤2009，. ... .∴－4<F 2A →·F 2B →≤1649，综上所述，F 2A →·F 2B →的取值范围是(－4，1649]． 25. 在平面直角坐标系内，已知两点A (－1,0)、B (1,0)，若将动点P (x ，y )的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍后得到点Q (x ，2y )，且满足AQ →·BQ →＝1. (1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)过点B 作斜率为－22的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且OM→＋ON →＋OH →＝0，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，2y )，依据题意得，AQ→＝(x ＋1，2y )，BQ →＝(x －1，2y )． ∵AQ→·BQ →＝1，∴x 2－1＋2y 2＝1. ∴动点P 所在曲线C 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)因直线l 过点B ，且斜率为k ＝－22，∴l ：y ＝－22(x －1)，联立方程组⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝－22x －1，消去y 得，2x 2－2x －1＝0.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，. ... .∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－12，∴y 1＋y 2＝－22(x 1－1)－22(x 2－1)＝－22(x 1＋x 2)＋2＝22.由OM→＋ON →＋OH →＝0得，OH →＝(－x 1－x 2，－y 1－y 2)，即H (－1，－22)，而点G 与点H 关于原点对称，∴G (1，22)，设线段MN 、GH 的中垂线分别为l 1和l 2，k GH ＝22，则有l 1：y －24＝2(x －12)，l 2：y ＝－2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －24＝2x －12，y ＝－2x解得l 1和l 2的交点为O 1(18，－28)．因此，可算得|O 1H |＝982＋3282＝3118，|O 1M |＝x 1－182＋y 1＋282＝3118.所以M 、G 、N 、H 四点共圆，且圆心坐标为O 1(18，－28)，半径为3118.。