圆周运动问题分析
圆周运动——临界问题
mg
F1
此时最低点的速度为：
问：当v2的速度等于0时，杆对球的支持力为多少？
F支=mg
此时最低点的速度为：
结论：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放置的管型轨道，其半径为R，管内有一质量为m的小球有做圆周运动，小球的直径刚好略小于管的内径。
四、圆周运动的周期性 利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ） A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m C.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求： （1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度； （2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力什么时候内外管壁都没有压力？小球在最低点的速度v至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？
圆周运动疑难问题分析
态． 在盘 面 方 向 ， 可 能 受 到 的 力 只 有 来 自盘 面 的摩 擦 力（ 静摩 擦 力 ） ， 木块 正是 依 靠 盘 面 的摩 擦力 作 为 向心 力使 它 随 圆盘 一 起 匀 速 转 动 ． 所以， 这 个 摩 擦 力 的 方 向必 沿 半径 指 向中心 ． 故选 项 Ｂ正确．
沿线 速度 方 向飞 出 的趋势 ， 是 指 以地球 为参 照 系 而 言 的， 而 静 摩擦 力 的方 向总是 跟 相 对 运 动趋 势 的方 向 相 反， 应 该 是指 相 互 接 触 的 ２个 相 关 物 体 来 说 的 ， 即是
对 盘 面参 照 系． 也就是说 ， 对 站在 盘 上 跟 盘 一 起 转 动
２ 竖直 平面 内的圆周 运 动最 高点 问题 分 析 例 ２ 如 图 ２所 示 ， 一 轻 杆 一 端 固定 质量 为 优 的小 球 ， 另一端 。 为圆
心， 使 小 球 做 半 径 为 Ｒ 的 圆周 运 动 ，
以下 说法 正确 的是 （
Ａ
●
） ．
图 ２
小 球 过最 高 点 时 ， 杆 所 受 的
解析
以木 块 为研究 对 象 进 行 受 力 分 析 ： 在 竖 直 方 向受 到 重力 和盘 面 的支 持 力 ， 它 处 于 平衡 状
合 力 沿半径 方 向 的分 力 ， 合 力沿 切 线 方 向 的另 一个 分
力 改 变速度 的大 小 ． 可见 ， 匀 速 圆周 运 动 和 变 速 圆周 运 动在 沿半 径 （ 或法 线 ） 方 向 的动 力学 特 征是 一样 的 ，
即Ｆ 法一
／ ， － ． 其 区别 在 于沿 速 度 （ 或切线） 方 向上 ，
匀 速 圆周运 动 Ｆ 切一０ ， 变速 圆周运 动 中 Ｆ切＝ｍｎ 切．
圆周运动问题受力分析
圆周运动问题受力分析
做匀速圆周运动的物体，所需向心力就是该物体受的合外力；而做变速圆周运动的物体，所需向心力则是该物体受的合外力在指向圆心方向的分力。
因此，解答圆周运动的基本思路是：先分析物体的受力情况，然后把物体受的各外力沿指向圆心（即沿半径）方向与沿切线
方向正交分解，最后用沿指向圆心的合外力等于向心力，即列方程求解做答。
例题：如下图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧；当角速度为
3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
解析：①当角速度很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。
当逐渐增大，BC刚被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零，设这时的角速度为，则有
将已知条件代入上式解得
②当角速度继续增大时减小，增大。
设角速度达到时，（这又是一个临界状态），则有
将已知条件代入上式解得
所以当满足时，AC、BC两绳始终张紧。
本题所给条件，此时两绳拉力、都存在。
将数据代入上面两式解得，
点评：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果时，，则AC与轴的夹角小于。
如果，，则BC与轴的夹角大于45°。
练习：如下图所示，要使小球沿半径为R、竖直放置的光滑圆形轨道的内部，从最低点A上升达到最高点B，需给小球的最小速度为多大？
参考答案：最小速度。
圆周运动的临界问题
汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向
心力是由摩擦力提供的，A错误； 汽车转弯的速度为 20 m/s 时，根据 Fn＝mvR2，得所需的向心力为 1.0×104 N，没有超过最大静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C 错误； 汽车安全转弯时的最大向心加速度为 am＝Fmf＝7.0 m/s2，D 正确.
ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
√B.小物体受到的摩擦力可能背离圆心 √C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为 23，则 ω 的最大值是 1.0 rad/s
D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为 23，则 ω 的最大值是 3 rad/s
当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与 摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面 向上(即背离圆心)，也可能沿斜面向下(即指向圆 心)，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受 到的摩擦力越小，故A错误，B正确； 当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时 小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向 圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcos 30°， 摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos 30°，又μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，解 得ω＝1.0 rad/s，故C正确，D错误.
例2 (多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在 水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘 间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从 静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大 静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是
竖直面内圆周运动的临界问题
圆周运动的临界问题-高考物理复习
力提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得 ω＝ 4gl，可得
当 ω≤ 4gl时绳子无张力，ω> 4gl时绳子有张力，故 A、B 正确；圆台对木箱恰好无支持力时，有 mgtan θ＝mω2lsin θ，
解得 ω＝ 53gl ，即当 ω≥ 故 C 正确，D 错误。
53gl 时，圆台对木箱无支持力，
目录
研透核心考点
2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律 方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛 顿第三定律求出压力。
目录
研透核心考点
2.(2024·北京丰台高三期中)如图5甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点 时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的 一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的
0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在
竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确
的是( D )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s
图3
B.当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力为 15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的最大速度不能超过 4 2 m/s
目录
研透核心考点
1.(多选)如图2所示，在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l， 细绳的一端连接一个小木箱，木箱里坐着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹 角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m，木箱 与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水
圆周运动临界问题
圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。
在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。
以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。
当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。
在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。
在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。
根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。
需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。
此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。
竖直面内圆周运动的临界问题分析
ʏ赵世渭 吕志华当物体从一种特性变化为另一种特性时,发生质的飞跃的转折状态,叫临界状态㊂出现临界状态时,即可理解为 恰好出现 ,也可理解为 恰好不出现 ㊂竖直面内圆周运动的临界问题主要包括绳(环)约束模型㊁杆(管)约束模型和拱桥模型等,下面举例说明㊂一㊁绳(环)约束模型绳(环)约束模型的特点是绳(环)对物体只能产生指向圆心的弹力作用㊂图11.临界条件:在最高点绳(环)对物体恰好没有弹力作用㊂此时重力提供向心力,即m g =m v 2m i nr,解得v m i n =g r (可理解为恰好通过或恰好不通过最高点的速度)㊂2.能够通过最高点的条件:物体在最高点的速度v ȡg r ,绳(环)产生弹力作用㊂3.不能通过最高点的条件:物体在最高点的速度v <g r (实际上物体还没运动到最高点就已经脱离圆周做斜抛运动)㊂ 图2例1 如图2所示,长度均为L 的两根轻绳,一端共同系住质量为m 的小球,另一端分别固定在等高的A ㊁B 两点,A ㊁B 两点间的距离也为L ,重力加速度大小为g ㊂现使小球在竖直面内以A B 连线为轴做圆周运动,当小球在最高点的速率为v 时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为2v 时,两根绳的拉力大小均为( )㊂A .3m g B .23m gC .3m gD .433m g当两根绳的拉力恰好均为零时,重力提供向心力;当小球在最高点的速率为2v 时,重力和两根绳拉力的合力提供向心力㊂根据等边三角形的几何关系可得,小球做圆周运动的半径r =32L ㊂当小球在最高点的速率为v 时,根据牛顿第二定律得m g =m v2r㊂当小球在最高点的速率为2v 时,设两根绳的拉力大小均为F ,根据牛顿第二定律得m g +2F c o s30ʎ=m(2v )2r㊂联立以上各式解得F =3m g ㊂答案:A解决本题的关键是清楚小球运动到最高点时的临界状态,抓住小球做圆周运动所需向心力的来源,结合牛顿第二定律列式求解㊂二㊁杆(管)约束模型物体在轻杆作用下的运动,或在管道中运动时,随着速度的变化,轻杆或管道对物体的作用力可以是支持力,也可以是压力,还可能为零㊂图31.临界条件:物体在最高点的速度v =0㊂2.物体运动到最高点:当m g =mv2r,即v =g r 时,轻杆或管道对物体的作用力F =0;当v >g r 时,轻杆或管道对物体产生向下的拉力;当v <g r 时,轻杆或管道对物体产生向上的弹力㊂例2 如图4所示,一轻杆一端A 固定质量为m 的小球,以另一端O 为圆心,使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动,重力33物理部分㊃知识结构与拓展高一使用 2021年3月图4加速度为g ㊂下列说法中正确的是( )㊂A .小球过最高点时,轻杆受到的弹力可以等于零B .小球过最高点的最小速度是g RC .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而增大D .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而减小小球过最高点时,当m g =mv2R,即v =g R 时,轻杆对小球的作用力F =0,根据牛顿第三定律可知,轻杆受到的弹力为零,选项A 正确㊂因为轻杆能够支撑小球,所以小球过最高点的速度最小可以为零,选项B 错误㊂当小球在最高点的速度v <g R 时,轻杆对小球产生向上的弹力,根据牛顿第二定律得m g -F =m v 2R ,变形得F =m g -m v2R,因此当v 增大时,F 减小,选项C 错误㊂当小球在最高点的速度v >g R 时,轻杆对小球产生向下的拉力,根据牛顿第二定律得m g +F =m v2R,变形得F =mv2R-m g ,因此当v 增大时,F 增大,选项D 错误㊂答案:A轻绳模型与轻杆模型的临界条件不同,对于轻绳模型来说物体能通过最高点的临界速度是v 临=gR ,对轻杆模型来说物体过最高点的临界速度是v 临=0㊂三㊁拱桥模型图5当汽车通过拱形桥顶部的速度v =g R 时,根据m g -N =mv2R可知,汽车对弧顶的压力N =0,汽车将脱离桥面做平抛运动,因此汽车过拱形桥时需限速,即v ɤg R ㊂例3如图6所示,半径为R 的光滑半 图6圆球固定在水平面上,顶部有一可视为质点的物体,现给它一个水平初速度v 0=g R ,则该物体将( )㊂A .沿球面下滑至M 点B .先沿球面下滑至某点N ,然后离开球面做斜下抛运动C .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R D .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R假设物体在最高点受重力和球面的支持力N 作用做圆周运动,根据牛顿第二定律得m g -N =mv 2R,解得N =0,即物体只受重力作用,因此物体将立即离开球面做平抛运动㊂根据平抛运动规律可得,物体做平抛运动的时间t =2Rg,水平位移x =v 0t =2R ,因此物体做平抛运动的轨迹曲率半径大于半圆球的半径,物体不可能中途落在球面上㊂答案:C解决本题的关键是利用牛顿第二定律分析出物体在最高点时受到的球面对它的支持力为零,进而判断出物体仅受重力作用,且初速度方向水平,物体离开球面做平抛运动,然后利用平抛运动规律求物体的水平射程㊂拓展:倾斜面内圆周运动的临界问题㊂在斜面上做圆周运动的物体,可能由静摩擦力提供向心力,也可能由轻绳或轻杆的作用力提供向心力㊂ 图7例4 如图7所示,一块足够大的光滑平板放置在水平面上,绕水平固定轴MN 可以调节其与水平面间的夹角㊂平板上一根长度l =0.8m 的轻质细绳的一43 物理部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2021年3月端系住一质量m=0.2k g的小球,另一端固定在平板上的O点㊂当平板的倾角固定为α时,将小球拉至最高点,然后给小球一沿着平板并与细绳垂直的初速度v0=2m/s㊂(取g=10m/s2)(1)若小球能保持在板面内做圆周运动,倾角α的值应在什么范围内?(2)若细绳所能承受的最大拉力F= 8N,则当平板的倾角α最大时,小球经过最高点的速度最多多大小球在运动过程中,受重力㊁细绳拉力和斜面支持力作用㊂小球运动到最高点时,由细绳的拉力和小球的重力沿斜面分力的合力提供向心力㊂(1)小球恰好能过最高点的临界条件是细绳的拉力F=0,设此时平板的倾角为α0,根据牛顿第二定律得m g s i nα0=m v20l,解得α0=30ʎ,即小球能保持在板面内做圆周运动,平板的倾角α的值应满足0<αɤ30ʎ㊂(2)设小球经过最高点时的最大速度为v m a x,由(1)得平板的最大倾角α0=30ʎ,根据牛顿第二定律得F+m g s i nα0=m v2m a x l,解得v m a x=6m/s㊂与分析竖直面内圆周运动问题类似,分析斜面上的圆周运动问题也是先分析物体在最高点的受力情况,再根据牛顿第二定律列式求解㊂注意:在进行受力分析时,一般需要先将立体图转化为平面图,这是解斜面上圆周运动临界问题的难点㊂图81.如图8所示,一根轻绳系着装有水的小桶,在竖直面内绕O点做圆周运动,小桶的质量M=1k g,水的质量m=0.5k g,绳长L=0.6m,取g=10m/s2㊂求:(1)要使水桶运动到最高点时水不流出,最小速率多大(2)如果水桶运动到最高点时的速率v=3m/s,那么水桶对轻绳的拉力多大?(3)如果水桶运动到最低点时的速率v=3m/s2,那么水对桶底的压力多大?图92.如图9所示,将内壁光滑的导管弯成半径为R的圆周轨道竖直放置,其质量为2m,质量为m的小球在管内滚动㊂当小球运动到最高点时,导管刚好要离开地面,此时小球的速度多大?图103.如图10所示,质量为m的小物体(可视为质点)随水平传送带运动,A为终端皮带轮㊂已知皮带轮半径为r,传送带与皮带轮间不会打滑,当小物体可被水平抛出时()㊂A.传送带的最小速度为g rB.传送带的最小速度为g rC.皮带轮每秒的转数最少是12πg rD .皮带轮每秒的转数最少是12πg r图114.如图11所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止㊂小物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面间的夹角为30ʎ,取g=10m/s2㊂求ω的最大值㊂参考答案:1.(1)v m i n=6m/s;(2)T=7.5N;(3)N'=12.5N㊂2.v=3g R㊂3.A C4.ωm a x=1r a d/s㊂作者单位:山东省青州第一中学(责任编辑张巧)53物理部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年3月。
圆周运动的角度位移问题
圆周运动的角度位移问题圆周运动是物体在固定轴线周围以固定速度做匀速运动的一种形式。
在进行圆周运动时，物体所经过的路径是一个圆形轨迹。
角度位移是描述物体在圆周运动中在时间 t 内所转过的角度。
在研究角度位移之前，我们需要先了解一些基本概念。
首先，角度是描述物体相对于某个参考点转动的程度的物理量。
在圆周运动中，我们可以用角度来度量物体相对于轴线的位置。
角度位移则是描述物体在一段时间内所转过的角度。
对于圆周运动, 角度位移的计算可以通过以下公式得到：θ = ωt其中，θ是角度位移，ω是角速度，t是时间。
角速度ω 是物体单位时间内转过的角度量。
它可以表示为：ω = Δθ/Δt这里，Δθ表示角度的变化量，Δt表示时间的变化量。
假设初始时间为 t_1，初始角度为θ_1，终止时间为 t_2，终止角度为θ_2，则角度位移可以表示为：θ = θ_2 - θ_1在解决实际问题时，我们通常会利用已知的信息来确定所需的角度位移。
以下是一个例子，以帮助您更好地理解这个概念：假设一个车轮以每秒 10 圈的速度旋转，我们想要知道它在 5 秒钟内转过的角度是多少。
首先，我们需要将每秒钟的圈数转换为角速度。
每秒钟 10 圈意味着每秒钟转过的角度是 360*10 = 3600 度。
所以，角速度ω = 3600 度/秒。
接下来，我们可以将角速度和时间代入到角度位移的公式中，计算出角度位移：θ = ωt = 3600 度/秒 * 5 秒 = 18000 度。
所以，车轮在 5 秒钟内转过了 18000 度的角度。
除了角度位移，我们还可以计算物体在圆周运动中的弧长位移。
弧长位移是描述物体在圆周轨迹上所经过的路径长度。
它可以通过以下公式计算得到：s = rθ其中，s 是弧长位移，r 是半径，θ 是角度位移。
综上所述，圆周运动的角度位移问题涉及到计算物体在一定时间内所转过的角度。
通过了解基本的角度位移公式，我们可以应用这些知识来解决一些实际的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆周运动问题分析【专题分析】圆周运动问题是高考中频繁考查的一种题型，这种运动形式涉及到了受力分析、牛顿运动定律、天体运动、能量关系、电场、磁场等知识，甚至连原子核的衰变也可以与圆周运动结合（衰变后在磁场中做圆周运动）。
可见，圆周运动一直受到命题人员的厚爱是有一定原因的。
不论圆周运动题目到底和什么知识相联系，我们都可以把它们分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种。
同时，也可以把常用的解题方法归结为两条。
1、匀速圆周运动匀速圆周运动的规律非常简单，就是物体受到的合外力提供向心力。
只要受力分析找到合外力，再写出向心力的表达式就可解决问题。
2、竖直面内的非匀速圆周运动物理情景：在重力作用下做变速运动，最高点速度最小，最低点速度最大，所以最高点不容易通过。
特点：在最高点和最低点都满足“合外力等于向心力”，其他位置满足“半径方向的合外力等于向心力”，整个过程中机械能守恒。
注意：上面所述“半径方向的合外力等于向心力”实际上适用于一切情况。
另外，涉及的题目可能不仅仅是重力改变速率，可能还有电场力作用，此时，应能找出转动过程中的速率最大的位置和速率最小的位置。
基本解题方法：1、涉及受力，使用向心力方程；2、涉及速度，使用机械能守恒定律或动能定理。
【题型讲解】题型一匀速圆周运动问题例题1：如图所示，两小球A、B在一漏斗形的光滑容器的内壁做匀速圆周运动，容器的中轴竖直，小球的运动平面为水平面，若两小球的质量相同，圆周半径关系为r A>r B，则两小球运动过程中的线速度、角速度、周期以及向心力、支持力的关系如何？（只比较大小）解析：题目中两个小球都在做匀速圆周运动，其向心力由合外力提供，由受力分析可知，重力与支持力的合力提供向心力，如图3-2-2所示，由几图3-2-1何关系，两小球运动的向心力相等，所受支持力相等。
两小球圆周运动的向心力相等，半径关系为r A >r B ，由公式rv m F 2=向，可得v A >v B ；由公式2ωmr F =向，可得ωA <ωB ；由公式ωπ2=T ，可得T A >T B ；［变式训练］如图3-3-3所示，三条长度不同的轻绳分别悬挂三个小球A 、B 、C ，轻绳的另一端都固定于天花板上的P 点。
令三个小球以悬点下方的O 点为圆心，在水平面内做匀速圆周运动。
则三个小球摆动周期的关系如何？（答案：C B A T T T ==）[思考与总结]题型二 重力作用下的竖直面内的圆周运动例题2：用一根长为L 的轻绳将质量为m 的小球悬挂在O 点，使小球处于静止状态，现在最低点给小球一个水平向右的冲量I 0，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用，则冲量I 0应满足什么条件？解析：小球受到水平冲量后，获得水平向右的速度，之后小球在竖直面内运动，且绳上始终有拉力，包括两种情况。
第一种情况：小球做完整的圆周运动，即小球可以通过最高点。
在最高点，由向心力方程 Lmv F mg T 2=+，可知 gL v >小球由最低点运动到最高点的过程中，由动能定理202121212mv mv L mg -=- 在小球受到瞬时冲量时，由动量定理00mv I =由以上三式可得 gL m I 50>第二种情况：小球做不完整的圆周运动，由于绳子不能松弛，所以只能在O 点下方来回摆动，其最高点不能超过O 点，并且不能包括O 点，因为刚好摆到O 点时，小球速率为零，由向心力方程Lmv F T 2=可知，拉力为零。
小球在O 点下方摆动。
刚好能摆到与O 点等高时，由动能定理20210'-=-mv mgL在小球受到瞬时冲量时，由动量定理'=00mv I由以上两式可得 gL m I 20<因此，冲量I 0应满足的条件为gL m I 50>或gL m I 20<。
［变式训练］内侧光滑的3/4圆弧轨道AB 竖直放置，半径为R ，如图3-2-4所示。
一小球自A 点正上方由静止释放。
为使小球由A 点进入轨道后能到达B 点，小球下落的高度h 至少为多少？(答案：h =1.5R ) [思考与总结]题型三 天体的圆周运动例题3：（06广东）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。
已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。
设每个星体的质量均为m 。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 解析：（1）第一种形式下，三星共线，中央星不动，边缘星受到其它两星的万有引力做圆周运动。
由万有引力定律和牛顿第二定律，得：22222(2)m m v G G m R R R+=v =图3-2-424R T v ππ== （2）第二种形式下，三颗星组成等边三角形，转动的圆心在三角形的中心，向心力由其它两星对其的合力提供，如图3-2-5所示。
设三角形的边长为l ，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：222cos30m G l °＝2cos30l m 22()Tπ星体之间的距离为：l =［变式训练］我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。
设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。
已知月球的质量约为地球质量的181 ，月球的半径约为地球半径的14 ，地球上的第一宇宙速度约为7.9km /s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为 [ ]A ．0.4km/sB ．1.8km/sC ．11km/sD ．36km/s(答案：B) [思考与总结]题型四 电场中的圆周运动例题4：竖直面内有一光滑圆环轨道，轨道半径为R ，处于水平向右的匀强电场中。
一质量为m 带+q 电量的小球以初速度v 0由圆环最低点开始运动，如图所示。
若小球所受电场力为重力的0.75倍。
求：若令小球能做完整的圆周运动，则小球的初速度v 0的最小值为多少？运动过程中速度的最小值为多少？解析： 小球在运动过程中，同时受到重力和电场力作用，当两力的合力与小球所在位置对应的半径共线时，其运动的速度为最大值或最小值，如图3-2-7所示，小球在B 点速度最小。
所以小球能做完整的圆周运动，需要能够过B 点。
电场力为重力的0.75倍，由几何关系可知θ=37°。
当小球刚好能经过B 点时，环对小球的弹力为零，有Rvm Eq mg B 2sin cos =+θθ此时小球在最低点所需的速度v 0为最小值，对小球从最低点运动到B 点应用动能定理图3-2-6图3-2-7图3-2-52022121sin )cos (mv mv EqR R R mg B -=-+-θθ 两式联立可得=0v［变式训练］如图3-2-8所示，由长度为L 的轻绳系一质量为m 的小球，将小球拉至轻绳处于水平位置A 时释放，整个装置处于水平向右的匀强电场，小球能摆到竖直方向左侧且轻绳与竖直方向夹角为θ的B 点，则当小球从B 摆到C 点时，绳上的拉力大小为多少？(答案：)sin 1cos 23(θθ++=mg F T ) [思考与总结]题型五 正交的电磁场中的圆周运动例题5：如图所示是匀强电场和匀强磁场组成的复合场，电场方向竖直向下，场强为E ，磁场的方向水平指向纸内、磁感应强度为B 。
在该复合场中有两个带电小球A 和B 都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两个小球间的库仑力可以忽略），运动轨迹如图。
已知两个带电小球A 和B 的质量关系为B A m m 2=，运动轨迹半径的关系为cm R R B A 102==。
（1）试说明小球A 和B 分别带那种电荷？它们所带的电荷量之比等于多少？（2）设带电小球A 和B 在轨道最低点P 相碰撞，若碰撞后，原在小圆轨道上运动的带电小球B 恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球A 碰撞后的轨道半径（设碰撞过程中电量不发生转移）。
解析：（1）带点小球受到恒定的电场力和重力作用，同时受到洛伦兹力，只有在重力与电场力等大反向时，才能做匀速圆周运动。
由图电场方向向下，可知，两小球一定带负电。
mg Eq =所以1:2::==B A B A m m q q（2）小球在P 点所受洛伦兹力向上，由左手定则可判断小球的运动均为顺时针方向，即两小球在P 点相撞前，速度方向相同。
对小球，洛伦兹力提供向心力R mv qvB 2=qBmv R =图3-2-8 ××× ×× ×B 图3-2-9半径关系cm R R B A 102== 可得1:2::==BBB A A A B A m BR q m BR q v v 碰撞后，原在小圆轨道上运动的带电小球B 恰好能沿大圆轨道运动，即其运动半径加倍，可得B 碰后其速度加倍，B B v v 2='碰撞过程中，由动量守恒定律'+'=+B B A A B B A A v m v m v m v m可得A A v v 43='所以A 球碰后运动半径cm 5.743=='A A R R [变式训练] 如图3-2-10所示，MN 为相距30cm 的光滑平行金属导轨，ab 为电阻r 等于0.3Ω的金属棒，且可以紧贴平行导轨运动，相距为27cm 的水平放置的金属板A 、B 与导轨相连，图中R 为0.1Ω的定值电阻，导轨的电阻忽略不计，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中，当ab 杆沿导轨向右匀速运动时，一带电粒子刚好能在AB 板间以与ab 杆相同的速率做半径为11.1cm 的匀速圆周运动，试求金属杆向右匀速运动的速度（取整数答案）.(答案：v = 2m/s ) [思考与总结]【强化训练】1、如图3-2-11所示，将完全相同的两小球A 、B ，用长L =0.8 m 的细绳悬于以v = 4 m/s 向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比F B ∶F A 为(取g =10 m/s 2)（ ）A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶42、如图3-2-12所示，在光滑的水平面上钉相距40cm 的两个钉子A 和B ，长1m 的细绳一端系着质量为0.4kg 的小球，另一端固定在钉子A 上．开始时，小球和钉子A 、B 在同一直线上，小球始终以2m/s 的速率在水平面上做匀速圆周运动．若细绳能承受的最大拉力是4N ，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是( )A ．0.9πsB ．1.8πsC ．1.6πsD ．0.8πs3．用m 表示地球通信卫星（同步卫星）的质量，h 表示它离地面的高度，R 0表示地球×× × 图3-2-10 图3-2-11图3-2-12的半径，g 0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受的地球对它的万有引力的大小等于 （ ）A ．0B ．20020)(h R g mR +C ．340020ωg R m D ．以上都不正确4、如图3-2-13所示，质量为m ，带电量为q （q >0）的小球，用一长为L 的绝缘细线系于一匀强电场中的O 点，电场方向竖直向上，电场强度为E ，试讨论小球在最低点要以多大的水平速度v 0运动，才能使带电小球在竖直平面内绕O 点做完整的圆周运动？5、如图3-2-14所示， 两个质量均为0.1kg 的小球用长为1m的不可伸长的轻线相连，将轻线水平拉直，并让两球静止开始同时自由下落，下落h 高度后，线的中点碰到水平的钉子O 上，如果轻线能承受的最大拉力为19N ，要使轻线能被拉断，h 至少应为多大？ （g =10m/s 2）6、在质量为M 的电动机上，装有质量为m 的偏心轮，其示意图如图3-2-15所示。