黄金分割法和斐波那契的建模例题
证明黄金分割点3种方法
证明黄金分割点的三种方法引言黄金分割点，又称为黄金比例或黄金比，是指一种特殊的比例关系，即两个数之和与较大数之比等于较大数与较小数之比。
这个特殊的比例关系在自然界和人类艺术中广泛存在，并被认为具有美学上的吸引力和视觉上的平衡感。
本文将介绍三种常用的方法来证明黄金分割点。
方法一：几何构造法几何构造法是一种直观且易于理解的方法，它通过一系列几何图形的构造来证明黄金分割点存在。
下面我们将通过一个具体示例来说明这个方法。
步骤1：构造正方形首先，在纸上绘制一个正方形ABCD。
A ----------- B| || || |D ----------- C步骤2：选取中点在BC线段上选取一个点E作为BC线段的中点。
A ----------- B| || E || |D ----------- C步骤3：绘制正方形以AE为边长，向外依次绘制一个正方形FGHI，其中F在AE延长线上。
A ----------- B| || E || F |D ----------- C|G步骤4：绘制矩形以EF为边长，向外依次绘制一个矩形JKLM，其中J在EF延长线上。
A ----------- B| || E || F |D ----------- C|G|J步骤5：连接点连接KL和BC的交点N。
A ----------- B| || E |K | F |M D ----------- C| G /L / /|/___________/J N最后，我们可以观察到线段AN与BC之间的比例关系接近黄金分割点。
方法二：代数推导法代数推导法是一种基于数学计算的方法，它通过运用代数公式和方程来证明黄金分割点存在。
下面我们将以简单的示例来说明这个方法。
假设我们要证明某个线段的黄金分割点存在于其上。
设该线段长度为a，较大部分长度为b，则根据黄金分割点的定义有：a /b = b / (a - b)接下来，我们可以进行如下推导：a /b = b / (a - b) (a - b) * a = b * b a^2 - ab = b^2 a^2 = ab + b^2 a^2 = b(a + b)从上述推导中可以看出，如果线段的长度满足上述方程，则其黄金分割点存在于该线段上。
斐波那契数列与黄金分割
斐波那契数列与黄金分割
斐波那契
让我们第一从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数差不多上它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……那个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发觉，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐步趋于黄金分割比的。
由于斐波那契数差不多上整数，两个整数相除之商是有理数，因此只是逐步靠近黄金分割比那个无理数。
然而当我们连续运算出后面更大的斐波那契数时，就会发觉相邻两数之比确实是专门接近黄金分割比的。
即f(n)/f(n+1)→0.618…。
一个专门能说明问题的例子是五角星、正五边形。
五角星是专门漂亮的，我国的国旗上就有五颗，还有许多国家的国旗也用五角星，这是什么缘故？因为在五角星中能够找到的所有线段之间的长度关系差不多上符合黄金分割比的。
斐波那契数列例子
斐波那契数列例子
斐波那契数列又称为黄金分割数列，是指从第三项开始，每一项
都等于前两项之和。
其前几项为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811……
斐波那契数列的数学公式为：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-
1)+F(n-2) （n>=2）
斐波那契数列在自然界、人文历史、社会现象等领域中都有广泛
的应用，例如兔子繁殖、植物叶序、音乐旋律、诗歌结构等。
在计算机程序设计中，斐波那契数列也是一道经典的算法题目。
可以使用递归和循环两种方式来实现斐波那契数列的计算，但是由于
递归会存在堆栈溢出等问题，所以在实际应用中，推荐使用循环方式
来计算斐波那契数列。
例如：
```python
def fib(n):
if n <= 1:
return n
a, b = 0, 1
for i in range(2, n+1):
a, b = b, a+b
return b
```
这段代码中，我们使用了循环方式来计算斐波那契数列的第n项，避免了递归的缺点，运行效率更高。
黄金比例的例子
黄金比例的例子黄金比例，即1:1.618，也被称为"黄金分割"，是数学中一种非常有趣的比例。
这个比例在日常生活中也经常出现，不仅在艺术、建筑、设计中，还在自然界中体现。
下面我们来看几个有趣的例子来探讨一下黄金比例的应用。
例一：费波那契数列费波那契数列是指从0和1开始，之后的每一项都是前两项的和。
数列中的数值越往后，相邻两个数之间的比例趋近于黄金比例1:1.618。
如下面的示例所示：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...这个数列的特点是它们的比例与黄金比例非常接近，这也是为什么这个数列在数学和自然界中经常出现。
例二：黄金矩形黄金矩形指的是一种宽高比接近于黄金比例的矩形。
在这个矩形中，宽和高之比为1:1.618。
这个矩形在建筑和艺术中经常使用，因为它的比例看起来很和谐。
下面是一个黄金矩形的示例：例三：建筑与黄金比例黄金比例在建筑中也非常常见。
许多古建筑都使用了黄金比例来设计，从希腊神殿到古罗马建筑，都有黄金比例的影子。
例如，古希腊神庙的柱子高度和直径比例为1:1.618，这也被认为是黄金比例的应用之一。
例四：自然——壳的形状自然界中也可以发现黄金比例。
许多壳类动物的外形都呈现出黄金比例的形状。
例如，海马的头部呈黄金比例形状，而钦定水螅的尾巴和蜗牛的螺旋状壳体也具有黄金比例的形状。
例五：艺术——达芬奇的画作达芬奇著名的名画《蒙娜丽莎》，它的构图也运用了黄金比例。
从画面中可以看出，蒙娜丽莎的头部、胸部、腰部和双手大部分的位置都落在了黄金比例的位置上。
这为这幅画的美感和完美的平衡感增添了无穷的魅力。
总结：黄金比例不仅是数学中的重要内容，也是艺术、建筑和自然界中的重要元素。
它的应用可以使事物看起来更和谐、平衡和美丽。
在日常生活中，我们可以经常看到它的应用，例如艺术品、建筑、设计等等。
掌握黄金比例的知识，对于提升我们的审美和创造力是非常有帮助的。
斐波那契与黄金分割(优质课精品)
13 8 5 3 2 1 1
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斐波那契与数学题
例、下图是一个树形图的生长过程，依据图中
所示的生长规律，第8行的实心圆点的个
数是
21 ．（迎春杯赛题）
•
菠萝表皮 斐波那契与开普勒堆叠定理、角谷定律
菠萝表皮 斐波那契与开普勒堆叠定理、角谷定律
其中三个方向是按等差数列 排列的： 0,5,10,15,20,…
斐波那契数列
兔子问题
—— 取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （ 1202 年）
南宋
岳飞
秦九韶 苏轼
(L . F i b on a c c i , 1 17 0 - 1 2 50 ）
6
1202年，斐波那契在《算盘书》中收录了一个有趣的民间 数学问题——兔子问题，
假设有一对幼生兔子，要一个月才到成熟期，而一对成熟 兔子每个月会生一对兔子，一雌一雄，且所有的兔子都不病不 死，那么由一对幼生兔子开始，到第12个月会有多少对兔子呢?
一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级 台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶。从地 面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同 的走法？ 分析： 1级台阶，有1种； 你又有什么发现呢？
2级台阶，有2种
3级台阶，有4种
an3 an2 an1 an
4级台阶，有7种
5级台阶，有13种
1 , 1 ,2,3,5,8, 13 ,2 1 ，
黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一 “分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建 筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它 表现了恰到好处的“和谐” ．
定义：底与腰（或腰与底）之比为0.618的三角形，称为黄金 三角形．
定义：一矩形，如从中 裁去一个最大的正方形，剩 下的矩形与原矩形相似，则 称该矩形为黄金矩形。黄金 矩形可以无限地分割下去。
漫谈斐波那契数列与黄金分割比
漫谈斐波那契数列与黄金分割比（一）奇妙的斐波那契数列：斐波那契数列的由来是“兔子问题”。
从中总结的规律就是：（1）每个月小兔子数 = 上个月的大兔子数；（2）每个月的大兔子数 = 上个月的大兔子数 + 上个月的小兔子数；（3）每个月的大兔子数 = 上个月的大兔子数 + 上上个月的大兔子数。
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55，89，,144......即前两项是1， 1，后面的每一项是前面两项的和，这就是斐波那契数列。
提到数列，作为大学生，学过高等数学，很自然想到求极限。
所以，这里斐波那契数列后一项与前一项比值的极限就是二分之根号五减一，约等于0.618.这就是后面要说的黄金分割比。
递推公式为：发现斐波纳契数&&寻找斐波那契数列：1.自然中的斐波那契数：花基数（花瓣的数目），树杈的生长，菜花，松子，向日葵：顺时针方向的对数螺线，逆时针方向的对数螺线都是斐波纳契数。
更为惊人的是，顺时针方向的对数螺线和逆时针方向的对数螺线是两个相继斐波纳契数。
还曾经发现过一个更大的向日葵，顺时针对数螺线144条，逆时针对数螺线233条。
如下图：叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。
向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
这就是神秘的大自然！这些现象是植物生长动力学特性造成的。
相邻器官原基之间的夹角是一个特殊角，这使种子的堆积效率达到最高。
2.斐波那契数列的推广：首先，思考一下，斐波那契数列的前两项是1， 1，那可不可以是1，2呢？如果是1,2 的话，这就成了缺少第一项的斐波那契数列，即1， 2，3 ，5， 8，......,这不算是本质的推广。
黄金分割与Fibonacci数列
黄金分割与Fibonacci 数列叶 军 (江苏省泰州实验学校 225300) 我们所能经历的最美好的事物是神秘,这是真正的艺术和科学的摇篮中的基本情感;对未知的事物不感到好奇的人,与行尸走肉和熄灭的蜡烛没什么两样.———爱因斯坦把一条线段分成两段,使其中较大的一段是原线段与较小一段的比例中项,叫做把这条线段黄金分割.如图:在线段AB 上取点C ,使得BCAC=ACAB,则点C 叫做线段AB 的黄金分割点.显然,出于对称性的考虑,一条线段有两个黄金分割点,它们关于线段的中心对称.图11 黄金比如图,设AB =1,AC =x ,则1-xx=x1,即x 2+x -1=0,取正数解得x =5-12≈0.618033989…,这是个无理数,以下记为φ,称为黄金比,φ在一般的近似计算中取作0.618,这是一个比较好的数.由于φ本质上是一个二次方程x 2+x -1=0的无理根,因此,暂时放开图形赋予的几何意义,我们可以得到诸多的φ的表达式,它们从另外一些侧面反映了φ的奇异之美.◆对1-xx =x1运用合比定理得x =11+x,把分母中的x 反复迭代,即得φ的一个连分数表达式:φ=11+11+11+ω,这个分数中仅仅出现整数1,无限次迭代的结果竟然是一个无理数φ!◆由x 2+x -1=0变形得x 2=1-x ,由于φ取正数解,故x =1-x ,注意到以上二次根式成立的条件恰好满足φ的取值范围:0<x <1,故对二次根式迭代有下式成立:φ=1-1-1-...1-a ,(0<a <1),a 小于1是为了保证根式有意义,大于0是为了能无限次迭代下去.◆φ=2sin18°.由sin36°=cos54°,即sin (2×18°)=cos (3×18°),故2sin18°cos18°=4cos 318°-3cos18°,因为cos18°≠0,所以2sin18°=4cos 218°-3,整理得4sin 218°+2sin18°-1=0,即(2sin18°)2+(2sin18°)+1=0,故2sin18°=φ.2 黄金图形种种被冠以“黄金图形”的几何图形可以列出很多:黄金三角形、黄金矩形、黄金椭圆、黄金立方体.它们的共性是图形中包含了黄金比φ,以下以黄金矩形和黄金三角形为例说明.由式子φ1=1-φφ,运用比例的性质,有:φ1=1-φφ=2φ-11-φ=2-3φ2φ-1=…①每一个分数的分母取前一个分数的分子,而分子则为前一个分数的分母减去分子.利用这个性质,我们可以对以下的“黄金矩形”做一点探讨.如果我们以图1的线段AB ,AC 的长为边长作一个矩形,就得到一个黄金矩形.在此矩形内部作一个最大的正方形,对剩下的部分如法炮制,就得到右边的图形,我们可以把该图看作是①的几何解释.图2按图中的方式作出每个正方形的内接四分之一圆,就可以得到图示的螺线,光滑的螺线随着正方形的不断缩小,将无限趋近于一点,简单的几何计算可以知道,这一点就是图中虚线比B F 和HD 的交点O.由黄金矩形ABDF 而生成的一系列矩形CDFH ,EFH J ,GH JL ,IJLM …都是黄金矩形,这一点可以由①保证.图中的点O 也可以理解为相似的黄金矩形的不动点,即所有的黄金矩形系列有作者简介:叶军(1979—),2001年毕业于徐州师范大学数学系.共同的不动点O.注意图形中的螺线,它是由四分之一圆弧连续衔接而成的,如果你用一个放大镜观察该螺线,可以发现它在每一个黄金矩形中的部分都是相似的.如果你沿着螺线向里走,你虽然知道尽头就在点O ,却总也到达不了,这是被叫做“黄金螺线”的一个有趣的性质.另一个比较好的黄金图形是黄金三角形.图形的得来基于φ的另外一个表达式:φ=2sin18°,简单的计算可以知道,顶角为36°的等腰三角形的底边和腰长的比值为φ,以该三角形的底边为腰继续作等腰三角形,如此下去,就得到一系列黄金三角形,且相邻黄金三角形的相似比为φ.作一个圆内接正五边形,连对角线成一个五角星,它是许多国家国旗上的标志,其中出现20个黄金三角形.这个图形的奇妙在于:只需要10条线段,你就可以一笔画成很多成比例的线段和黄金三角形,其中包含了35个等腰三角形,且对角线交点构成一个缩小的五边形,它与外面一层五边形的相似比为φ2,这个过程可以无限继续下去,以圆心O 为极限点.3 从φ到Fibonacci 数列对式子11+11+11+ω进行φ的近似计算,我们取出前几个近似分数,看看有什么结果.清晰起见,不妨记φi 为第i 个近似分数,则运用迭代x=11+x 有:φ0=11=1,φ1=11+1=12,φ2=11+11+1=23,φ3=11+23=35,φ4=58,φ5=813,φ6=1321,…如果把φ0看作分母为1的分数,把φi 的分子、分母逐个取出来,排成一列:φi 0123456…分子11235813…分母123581321… 由计算过程可知,数列中每一个数都是前面相邻两个之和.而且,分母比分子抢先一个位置.分子或分母组成的数列被叫做Fibonacci 数列,名称得来于意大利数学家Fibonacci .然而,Fibonacci 却不是从黄金分割得到自己的数列,他首先研究的是兔子的数目(所以又叫做“兔子数列”),在他的一本《算盘书》中,记载了这样的问题:兔子出生后两个月就能每月生小兔,若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄),假如养了初生的小兔一对,试问一年后共有多少对兔子?上表显示,Fibonacci 数列的相邻两项之比越来越接近于φ,而且是震荡接近,即在φ附近有规则地摆动,差距越来越小,却总是达不到.Fibonacci 数列是二阶递归数列,它有初始值1、1,从第三个数开始,每个数是前两个数之和:F 0=F 1=1F n =F n -1+F n -2,n ≥2,这种定义叫做递归定义,具有很强的直观性,但不利于通项的计算,真正的通项公式如下(证明略):F n =151+52n-1-52n.上式的奇妙在于:F n 的表达式中竟然出现了方程x 2+x -1=0是一对实数根!我们无可奈何地看见5在其中出现了三次,而如你所知,F n 是一个整数!从高等的观点来看,递归公式和通项公式之间存在着必然的联系,我们把递归公式用矩阵写出来就是F n F n -1=1 11 0F n-1F n-2,矩阵1 11 0的两个特征值就是:1+52和1-52,这两个数真的出现在F n 的表达式中!我们可以列举许多关于F n 的性质:1)F n 是偶数当且仅当n 是3的倍数;F n 能被3整除当且仅当n 是4的倍数;F n 能被4整除当且仅当n 是6的倍数;F n 能被5整除当且仅当n 是5的倍数;2)F n 能被F m 整除当且仅当n 被m 整除;如果(m ,n )=d ,那么,(F n ,F m )=F d ;3)F n 是接近数151+52n的整数;4)∑nk =0Fk=F 2n ,….Fibonacci 数列的一个实际应用是,用边长为Fibonacci 数的正方形地砖可把整个平面完全铺满.甚至,用大小为1×1,1×2,2×3,3×5,5×8,…的矩形,也可把平面完全铺满,如图,从最里面的1×1的小正方形开始,按顺时针方向依次作长方形,每个长方形的边长取相邻两个Fibonacci 数.4 其他的趣题▲一个二十面体的12个顶点可以4个一组分成3组,使得每组的顶点在黄金矩形的各个角上,而且,这些黄金矩形是互相垂直的,它们的交点是二十面体的中心.类似地,十二面体的12个五边形表面的中心也可以被分为3组,每组都作成一个黄金矩形的顶点.▲开普勒发现了关于Fibonacci 数列的另一个有趣的性质:任何一项的平方与其相邻两项的乘积只相差1.如32=2×5-1,132=8×21+1.当数字比较大时,这个1就显得微乎其微,甚至看不出来.利用这一点,数学拼图的创始人洛得构造了以下的趣题:把一个边长8的正方形图分成4个部分,然后将其重新组合,“形成”了一个长为13,宽为5的矩形,它的面积是65,竟然凭空多了1个单位的面积!问题出在哪儿?事实上,这几块并没有按照矩形的对角线真正重合,在对角线的位置是个很扁的平行四边形,它的面积为1,而对角线太粗了,甚至覆盖了这个平行四边形!▲考虑一段楼梯有n 组,某人一次登1级或2级,问登上这段楼梯共有几种不同的方法?根据Fibonacci 数列的递归算法可知,答案是F n .▲用n 个1×2的多米诺骨牌覆盖2×n 的棋盘,有多少种不同的盖法?用F n 表示不同的盖法数,如n =1,则F 1=1,如n =2,易知F 2=2,考虑n >2,注意到全体盖法可以分成两类:第一类是在最右边竖放一张骨牌,剩下的是完成2×(n -1)的覆盖,故第一类有F n -1种;第二类是在最右边横放两张骨牌,剩下的是完成2×(n -2)的覆盖,故第二类有F n -2种,则得到F n =F n -1+F n -2,注意到初始条件:F 1=1,F 2=2,因此问题的答案是个缺少第一项的Fibonacci 数列.5 结语:关于黄金分割的美学思考黄金分割蕴含着客观的视觉美和数学的奇异之美,这是包含数学爱好者、诗人、美术家、建筑师、健美教练、生物学家在内的许多人的共识.我们可以举出太多的例子:埃及的金字塔、印度的泰姬陵、法国的埃菲尔铁塔上都可以发现φ的影子;黄金矩形形状优美,丰腴而不失苗条,被用来当作电话卡、书籍封面、门窗的形状;在高塔的黄金分割点处建造阁楼可以使削瘦单调的塔身看上去壮观;报幕员站在舞台的黄金分割点处尤显自然;标准的人体的黄金分割点在肚脐,所以运动员的身材看上去修长挺拔,艺术家的创作中有意使用黄金比,如达芬奇的“蒙娜丽莎的微笑”,米洛斯的“断臂的维纳斯”;罗杰·彭罗斯的铺砌样板上标注有黄金比例;华罗庚将黄金分割用于优选法,即通过“去长留短”的连续淘汰而求得能达到期望值的最佳点;有人说维吉尔(Vergil )和那时候的许多罗马诗人经常在他们的作品里应用Fibonacci 数列;甚至钢琴的琴键在一个八度音之间的黑键五个,白键八个!01618,作为一个人体健美的标准尺度之一,(下转第25页)整理得p2(a2+b2+c2+d2-p2)-2p2q2-a2d2-b2c2+a2c2+b2d2=4abcd sin u sin v cosθ.(5)分别在△ABC和△ADC中应用余弦定理,有p2=a2+b2-2ab cos u,p2=c2+b2-2cd cos v.于是,4abcd cos u cos v=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-(a2+b2+c2+d2-p2)p2,即p2(a2+b2+c2+d2-p2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-4abcd cos u cos v.(6)将(6)式代入(5)式,整理得(pq)2=(ac)2+(bd)2-2abcd(cos u cos v+sin u sin v cosθ).(3)式得证.若ABCD是平面凸四边形,此时,B,D在AC所在的直线的异侧,视二面角D—AC—B的平面角为π,代入(3)式,有(pq)2=(ac)2+(bd)2-2abcd cos(u+v).(7)(7)式即为(2)式,故定理2是定理3的极限情形的一个特例,又余弦定理是定理2的一个特例,所以定理3是余弦定理的推广.仔细观察(3)式,我们得到下列有趣的推论.应用定理3,显然有推论1 对空间中四点A,B,C,D,记号同定理3,则a2c2+b2d2-2abcd cos(u-v)≤e2f2≤a2c2+b2d2-2abcd cos(u+v).推论2 对空间中四点A,B,C,D,记号同定理3,则A,B,C,D在一个平面上,当且仅当e2f2=a2c2+b2d2-2abcd cos(u-v)或e2f2=a2c2+b2d2-2abcd cos(u+v).推论3 (托勒密不等式)对空间中四点A, B,C,D,记号同定理3,有|ac-bd|ΦefΦac+ bd.参考文献1 杨克昌.余弦定理从二维到三维的推广.中学数学(苏州), 1984,1:392 杨克昌.余弦定理在四边形的一个推广.数学通报,2003,7: 13(上接第30页)是无可非议的,但不能忽视其存在着“模糊特性”,它同其它美学参数一样,都有一个允许变化的幅度,受种族、地域、个体差异的制约,我们不可以由此认为黄金比就是唯美的标准,并着意将其付诸实际.我们可以惊叹鹦鹉螺的曲线之美,可以欣赏向日葵花蕊中出现那么多的“黄金序列”带来的奇异之美,但是我们应该充分享受大自然赋予我们的这些乐趣,无端地将它们视作金科玉律只会让我们一叶障目而不见泰山,至于肤浅的艺术家或学者把黄金分割定律当作人文科学审美观的唯一标准,或艺术的唯一试金石,更是走向了偏执.毕竟,美的标准不是唯一的.文末给出一组Fibonacci数列的趣题,读者可以从另一些侧面对这个内容有所了解.11Fibonacci数列不是等差数列;21假定蜜蜂在蜂房里只能向右方或上右方移动,那么移到第n个小蜂房的方法有几种? 31一个正整数n均可表成Fibonacci数列中的某些数的和;41取子游戏.现在有n颗石头,谁能拿掉最后一颗石头,谁就赢.规则是这样的:(1)如果甲先拿,则第一次不能拿掉所有的石头.(2)其后乙、甲轮流拿,每个人每次最多只能拿掉前一次对方拿掉石头数目的两倍.在这种规则之下,如果n是Fibonacci数列的某一项,则先拿的会输,反之如果n不是Fibonacci 数列的任何一项,则先拿的会赢,为什么?(提示:任何正整数都可以唯一地写成Fibonacci数列中某些项的和,而Fibonacci数列中相邻的两项不能同时出现在该表示式中)参考文献1 黄家礼.几何明珠[M].北京:科学普及出版社,19972 (美)马里奥·利维奥.φ的故事:解读黄金比列[M].长春:长春出版社,20033 吴振奎.边长为1,2,3,……的正方形铺砌问题[J].中等数学,2004(1)4 (美)Richard A.Brualdi.组合数学[M].北京:机械工业出版社,2002。
奇妙的裴波那契数列和黄金分割
奇妙的裴波那契数列和黄金分割“斐波那契数列〞的创造者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契〔Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨〕。
他被人称作“比萨的列昂纳多〞。
1202年，他撰写了?珠算原理?(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯教师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21这个数列从第三项开场，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}〔又叫“比内公式〞，是用无理数表示有理数的一个范例。
〕【5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】比方：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887还有一项性质，从第二项开场，每个奇数项的平方都比前后两项之积少〔请自己验证后自己确定〕1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多〔请自己验证后自己确定〕1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比方5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的开展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
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黄金分割法和斐波那契数列是数学中非常重要的概念，它们在建模和
数学应用中发挥着关键作用。
黄金分割法是一种数学原理，用于划分
线段或平面成比例的方式，而斐波那契数列是一种数学序列，可见于
自然界和艺术中。
在本文中，我们将从简单到复杂的角度来探讨这两
个概念，并应用它们来解决一个实际的建模例题。
1. 黄金分割法的概念
黄金分割法是指一种将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长
的比等于另一部分与这部分的比的方法。
该比例通常用希腊字母φ（phi）表示，约等于1.618。
黄金分割法在建筑、艺术和自然界中广
泛应用，因其美学和几何特点而备受推崇。
2. 斐波那契数列的概念
斐波那契数列是指这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……即第一项为0，第二项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列也出现在自然界和艺术中，其特点是相邻两个
数的比值趋近于黄金分割比例。
3. 黄金分割法和斐波那契数列的关联
黄金分割法和斐波那契数列之间有着密切的关联。
在斐波那契数列中，相邻两个数的比值逐渐接近黄金分割比例。
这一性质使得斐波那契数
列在建模和数学应用中具有重要的意义，尤其是在金融、人口学和生
物学领域。
4. 建模例题分析
现在，让我们通过一个建模例题来应用黄金分割法和斐波那契数列。
假设我们需要对一条树干的分枝模式进行建模，并希望找到最优的分
枝比例。
通过黄金分割法和斐波那契数列的特性，我们可以设计出一
种最能符合自然生长规律的分枝模式，从而提高树木生长的效率和美
学价值。
总结与回顾
通过本文的探讨，我们深入了解了黄金分割法和斐波那契数列这两个
重要的数学概念。
我们了解了它们在建模和数学应用中的关键作用，
并通过一个建模例题加深了对它们的理解和应用。
个人观点
在我看来，黄金分割法和斐波那契数列不仅在数学领域具有重要意义，而且在生活、艺术和建筑中也有着深远的影响。
它们的美学特点和自
然规律性使得它们成为了人们探讨的热点话题，在实际应用中也展现
出了巨大的价值。
在撰写本文的过程中，我对黄金分割法和斐波那契数列有了更深刻的
理解，也体会到了它们在建模和数学应用中的重要作用。
希望本文能
帮助你更全面、深刻和灵活地理解这两个概念，同时也启发你在实际
问题中运用它们。
黄金分割法和斐波那契数列的关联不仅体现在数学
原理中，还可以在实际生活中找到许多有趣的应用。
在艺术和设计领域，黄金分割法和斐波那契数列经常被用来创建具有美学意义的作品。
艺术家和设计师经常利用黄金分割法的比例来设计画作、建筑和雕塑，以获取视觉上的和谐和美感。
而斐波那契数列则被用来设计曲线和图案，其规律性和对称性使得它成为了艺术创作的灵感源泉。
在金融领域，斐波那契数列也被用来研究股票价格的波动和趋势。
通
过分析斐波那契数列中相邻两项的比值，可以预测股票价格的发展趋
势和波动规律，为投资者提供决策依据。
而黄金分割法的比例也被应
用在金融工程中，用来构建金融产品和交易策略，以获取最大的投资
回报和风险控制。
在生物学领域，黄金分割法和斐波那契数列也被用来研究植物生长和
分布规律。
植物的叶片排列、花瓣数量、果实排列等往往符合斐波那
契数列的规律，而树木的枝条生长方式也常常符合黄金分割法的比例。
通过研究这些规律，科学家可以更好地理解植物的生长规律，提高农
作物的产量和品质。
黄金分割法和斐波那契数列还被应用在信号处理、图像处理、密码学
等领域，展现出了其在工程技术和信息学科学中的重要作用。
通过研
究这两个数学概念的规律和应用，我们可以更好地理解自然界和人类
社会的现象，为实际问题的解决提供更多的思路和方法。
在未来，随着科学技术的不断发展和创新，黄金分割法和斐波那契数列的应用将变得更加广泛和深入。
它们将继续为人类的生活、艺术、经济和科学领域带来新的启发和突破，为人类的发展和进步做出更大的贡献。
黄金分割法和斐波那契数列作为数学中的重要概念，其在建模和数学应用中的关键作用不言而喻。
它们的美学特点和自然规律性不仅给我们带来了视觉和心灵上的享受，同时也为我们解决实际问题提供了有力的工具和思路。
希望在今后的学习和工作中，我们能够更加深入地理解和应用这两个重要的数学概念，为创造美好的未来贡献自己的力量。