2020年初三数学上期末模拟试题(含答案)
2020年初三数学上期末模拟试题(含答案)
一、选择题
1．如图，ABC ?是O e 的内接三角形，119A ∠=?，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，
则P ∠的度数为（ ）
A ．32°
B ．31°
C ．29°
D ．61° 2．把抛物线y ＝2(x ﹣3)2+k 向下平移1个单位长度后经过点(2，3)，则k 的值是( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．﹣1
3．一元二次方程的根是（ ）
A ．3x =
B ．1203x x ==-，
C ．1203x x ==，
D ．1203x x ==，
4．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是
（ ）
A ．y ＝﹣2（x +1）2+1
B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1
C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1
D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣1
5．若a 是方程22x x 30--=的一个解，则26a 3a -的值为( )
A ．3
B ．3-
C ．9
D ．9-
6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x ＜﹣2
B ．﹣2＜x ＜4
C ．x ＞0
D ．x ＞4
7．下列判断中正确的是（ ） A ．长度相等的弧是等弧
B ．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C ．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D ．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
8．下列对一元二次方程x 2+x ﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等实数根 B ．有两个相等实数根 C ．有且只有一个实数根
D ．没有实数根
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc>0；②a+b+c>0；③a+c>b；④2a+b=0；⑤ =b2-4ac<0中，成立的式子有( )
A．②④⑤B．②③⑤
C．①②④D．①③④
10．二次函数y=3(x–2)2–5与y轴交点坐标为( )
A．(0，2)B．(0，–5)C．(0，7)D．(0，3) 11．下列说法正确的是（）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．某种彩票的中奖率为
1
1000
，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为1 3
D．“概率为1的事件”是必然事件
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是( )
A．－1＜x＜2B．x＞2C．x＜－1D．x＜－1或x＞2二、填空题
13．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数，则数3被抽中的概率为_________．14．设二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为A，B，其顶点坐标为C，则△ABC的面积为_____．
15．已知二次函数y＝3x2+2x，当﹣1≤x≤0时，函数值y的取值范围是_____．
16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画?AC，再以BC 为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S1﹣S2的值为_____．(结果保留π)
17．二次函数2
2(1)3y x =+-上一动点(,)P x y ，当21x -<≤时，y 的取值范围是
_____．
18．点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=x 2﹣4x ﹣1的图象上，若当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，则y 1与y 2的大小关系是y 1_____y 2．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 19．函数y ＝x 2﹣4x +3的图象与y 轴交点的坐标为_____．
20．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为
，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，
F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是______米精确到1米
三、解答题
21．4张相同的卡片上分别写有数字1、2、3、4，将卡片背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1、2、3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，将摸到的球的标号作为减数. （1）求这两个数的差为0的概率；
（2）游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜.这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个公平的规则，并说明理由.
22．为了创建国家级卫生城区，某社区在九月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆，共花费了27000元．已知甲种绿色植物每盆20元，乙种绿色植物每盆30元． （1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物各多少盆？
（2）十月份，该社区决定再次购买甲、两种绿色植物．已知十月份甲种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠5
a
元()0a >，十月份乙种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠
2
%5
a ．因创卫需要，该社区十月份购买甲种绿色植物的数量比九月份的数量增加了1
%2
a ，十为份购买乙种绿色植物的数量比九月份的数量增加了%a ．若该社区十月份的总花费与九月份的总花费恰好相同，求a 的值．
23．如图，已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图象经过A （-2，-1），B （0，7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当x 为何值时，y ＞0？
（3）在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．
24．从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会 (1)抽取一名同学， 恰好是甲的概率为 (2) 抽取两名同学，求甲在其中的概率。
25．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线-2y x 交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积；
（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据题意连接OC ，COP ?为直角三角形，再根据BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的COP ∠的度，再根据直角三角形可得P ∠的度数. 【详解】
根据题意连接OC.因为119A ∠=?
所以可得BC 所对的大圆心角为2119238BOC ??∠=?= 因为BD 为直径，所以可得23818058COD ???∠=-= 由于COP ?为直角三角形 所以可得905832P ???∠=-= 故选A. 【点睛】
本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
把点坐标代入y=2（x-3）2+k-1解方程即可得到结论． 【详解】
解：设抛物线y=2（x-3）2+k 向下平移1个单位长度后的解析式为y=2（x-3）2+k-1，把点（2，3）代入y=2（x-3）2+k-1得，3=2（2-3）2+k-1， ∴k=2， 故选A ． 【点睛】
本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．
3．D
解析：D 【解析】 x 2?3x=0， x(x?3)=0，
∴x1=0，x2=3.
故选：D.
4．B
解析：B
【解析】
【详解】
∵函数y=-2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，
故选B．
【点睛】
二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
5．C
解析：C
【解析】
由题意得：2a2-a-3=0，所以2a2-a=3，所以6a2-3a=3(2a2-a)=3×3=9，
故选C.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．
故选B．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据等弧概念对A进行判断,根据垂径定理对B、C、D选项进行逐一判断即可．
本题解析.
【详解】
A.能够互相重合的弧,叫等弧,不但长度相等而且半径相等.故本选项错误.
B. 由垂径定理可知平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的两条弧，而不是直线,也未注明被平分的弦不是直径，故选项B错误；
C. 由垂径定理可知弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧，故选项C正确
D.由垂径定理可知平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦,而不是直线.故本选项错误.故选C.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．
【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可.
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故②错误，
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，
∴a+c＞b，故③正确，
∵对称轴x=1，
∴-b
2a
=1，
∴2a+b=0，故④正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，故⑤错误，故选D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意使x=0,求出相应的y的值即可求解.
【详解】
∵y=3（x﹣2）2﹣5,∴当x=0时，y=7,∴二次函数y=3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为(0,7).
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.
11．D
解析：D
【解析】
试题解析：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
B. 某种彩票的中奖概率为
1
1000
，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B
错误；
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为1
2
.故C错误；
D. “概率为1的事件”是必然事件,正确.
故选D.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），又y＞0时，图象在x 轴的上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】
依题意得图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），
当y＞0时，图象在x轴的上方，
此时x＜－1或x＞2，
∴x的取值范围是x＜－1或x＞2，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找
出当y＞0时，自变量x的范围，注意数形结合思想的运用.
二、填空题
13．【解析】分析：直接利用概率公式求解即可求出答案详解：从12345中随机取出1个不同的数共有5种不同方法其中3被抽中的概率为故答案为点睛：本题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
解析：1 5
【解析】
分析：直接利用概率公式求解即可求出答案.
详解：从1，2，3，4，5中随机取出1个不同的数，共有5种不同方法，其中3被抽中的
概率为1
5
.故答案为
1
5
.
点睛：本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 14．8【解析】【分析】首先求出AB的坐标然后根据坐标求出ABCD的长再根据三角形面积公式计算即可【详解】解：∵y＝x2﹣2x﹣3设y＝0∴0＝x2﹣2x﹣3解得：x1＝3x2＝﹣1即A点的坐标是（﹣10
解析：8
【解析】
【分析】
首先求出A、B的坐标，然后根据坐标求出AB、CD的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵y＝x2﹣2x﹣3，设y＝0，
∴0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
即A点的坐标是（﹣1，0），B点的坐标是（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3，
＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点C的坐标是（1，﹣4），
∴△ABC的面积＝1
2
×4×4＝8，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．
15．﹣≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴根据二次函数的性质即可求解【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣∴函数的对称轴为x＝
﹣∴当﹣1≤x≤0时函数有最小值﹣当x＝﹣1时有最大
解析：﹣1
3
≤y≤1
【解析】
【分析】
利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】
∵y＝3x2+2x＝3（x+1
3
）2﹣
1
3
，
∴函数的对称轴为x＝﹣1
3
，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣1
3
，当x＝﹣1时，有最大值1，
∴y的取值范围是﹣1
3
≤y≤1，
故答案为﹣1
3
≤y≤1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
16．π【解析】【分析】如图设图中③的面积为S3构建方程组即可解决问题【详解】解：如图设图中③的面积为S3由题意：可得S1﹣S2＝π故答案为π【点睛】本题考查扇形的面积正方形的性质等知识解题的关键是学会利
解析：1 2π
【解析】
【分析】
如图，设图中③的面积为S3．构建方程组即可解决问题．【详解】
解：如图，设图中③的面积为S3．
由题意：2
13223
1··24
1··12S S S S ππ?+=????+=??
，
可得S 1﹣S 2＝1
2
π， 故答案为
1
2
π． 【点睛】
本题考查扇形的面积、正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.
17．【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴和顶点坐标再根据抛物线的性质以对称轴为界分情况求解即得答案【详解】解：∵抛物线的解析式是∴抛物线的对称轴是直线：顶点坐标是（－1－3）抛物线的开口向上当x<－1时 解析：35y -≤≤
【解析】 【分析】
先确定抛物线的对称轴和顶点坐标，再根据抛物线的性质以对称轴为界分情况求解即得答案. 【详解】
解：∵抛物线的解析式是2
2(1)
3y x =+-，
∴抛物线的对称轴是直线：1x =-，顶点坐标是（－1，－3），抛物线的开口向上，当x <－1时，y 随x 的增大而减小，当x >－1时，y 随x 的增大而增大， 且当2x =-时，1y =-；当x =1时，y =5；
∴当21x -<≤-时，31y -≤<-，当11x -<≤ 时，35y -<≤， ∴当21x -<≤时，y 的取值范围是：35y -≤≤. 故答案为：35y -≤≤. 【点睛】
本题考查的是二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
18．＜【解析】【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小【详解】由二次函数y=x2-4x-1=（x-2）2-5可知其图象开口向上
解析：＜ 【解析】 【分析】
先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】
由二次函数y=x2-4x-1=（x-2）2-5可知，其图象开口向上，且对称轴为x=2，
∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，
∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
19．（03）【解析】【分析】令x＝0求出y的值然后写出与y轴的交点坐标即可【详解】解：x＝0时y＝3所以图象与y轴交点的坐标是（03）故答案为（03）【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标掌握二次
解析：（0，3）．
【解析】
【分析】
令x＝0，求出y的值，然后写出与y轴的交点坐标即可．
【详解】
解：x＝0时，y＝3，
所以．图象与y轴交点的坐标是（0，3）．
故答案为（0，3）．
【点睛】
本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.
20．85【解析】由于两盏EF距离水面都是8m因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值故有-140x2+10=8即
x2=80x1=45x2=-45所以两盏警示灯之间的水平
解析：
【解析】
由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就
是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有，
即，，．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：
三、解答题
21．（1）P（两个数的差为0）
1
4
；（2）游戏不公平，设计规则：当抽到的这两个数
的差为正数时，甲获胜；否则，乙获胜，理由见解析.【解析】
【分析】
（1）利用列表法列举出所有可能，进而求出概率；
（2）利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案． 【详解】
（1）用列表法表示为：
∴P （两个数的差为0）31124
=
=； （2）由列表法或树状图可知：共有12种等可能的结果，其中“两个数的差为非负数”的情况有9种，∴P （两个数的差为非负数）93
124
==；其中“两个数的差为负数”的情况有3种，∴P （两个数的差为负数）31
124
=
=，∴游戏不公平. 设计规则：当抽到的这两个数的差为正数时，甲获胜；否则，乙获胜.因为P （两个数的差为正数）61122==，∴P （两个数的差为非正数）61122
==. 【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600，500盆；（2）a 的值为25 【解析】 【分析】
（1）设该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为x ，y 盆，根据甲、乙两种绿色植物共1100盆和共花费了27000元列二元一次方程组即可；
（2）结合（1）根据题意列出关于a 的方程，用换元法，设%t a =，化简方程， 求解即可． 【详解】
解：（1）设该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为x ，y 盆，
由题意知，1100
203027000x y x y +=??
+=? ， 解得，600
500x y =??=?
，
答：该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600，500盆；
（2）由题意知，12
(20)600(1%)30(1%)500(1%)27000525
a a a a -?+
+-?+=， 令%t a =，原式可化为240t t -=， 解得，10t =（舍去），20.25t =， ∴25a =， ∴a 的值为25． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程在实际问题中的应用，根据题意正确列式是解题的关键．
23．（1） y=-（x-1）2+8;对称轴为：直线x=1;（2） 当＜x ＜时，y ＞0；（3） C 点坐标为：（-1，4）． 【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法求二次函数解析式，再用配方法或公式法求出对称轴即可； （2）求出二次函数与x 轴交点坐标即可，再利用函数图象得出x 取值范围； （3）利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案． 【详解】
（1）∵二次函数y=-x 2+bx+c 的图象经过A （-2，-1），B （0，7）两点．
∴1427b c c -=--+??=?，解得：2
7b c =??=?
，
∴y=-x 2+2x+7， =-（x 2-2x ）+7， =-[（x 2-2x+1）-1]+7， =-（x-1）2+8， ∴对称轴为：直线x=1． （2）当y=0， 0=-（x-1）2+8，
∴x-1=±
，
x 1x 2，
∴抛物线与x 轴交点坐标为：（，0），（，0），
∴当＜x ＜时，y ＞0； （3）当矩形CDEF 为正方形时， 假设C 点坐标为（x ，-x 2+2x+7）， ∴D 点坐标为（-x 2+2x+7+x ，-x 2+2x+7）， 即：（-x 2+3x+7，-x 2+2x+7），
∵对称轴为：直线x=1，D 到对称轴距离等于C 到对称轴距离相等， ∴-x 2+3x+7-1=-x+1，
解得：x 1=-1，x 2=5（不合题意舍去），
x=-1时，-x2+2x+7=4，
∴C点坐标为：（-1，4）．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及利用图象观察函数值和正方形性质等知识，根据题意得出C、D两点坐标之间的关系是解决问题的关键．
24．（1）1
4
；（2）
1
2
．
【解析】
【分析】
（1）由从甲、乙、丙、丁4名同学中抽取同学参加学校的座谈会，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6种等可能的结果，甲在其中的有3种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
（1）随机抽取1名学生，可能出现的结果有4种，即甲、乙、丙、丁，并且它们出现的可能性相等，
恰好抽取1名恰好是甲的结果有1种，
所以抽取一名同学，恰好是甲的概率为1
4
，
故答案为：1
4
；
（2）随机抽取2名学生，可能出现的结果有6种，即甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，并且它们出现的可能性相等，
恰好抽取2名甲在其中的结果有3种，即甲乙、甲丙、甲丁，
故抽取两名同学，甲在其中的概率为3
6
=
1
2
．
【点睛】
本题考查的是列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N点，其坐标
为(5
3
，0)或(
7
3
，0)或(﹣1，0)或(5，0)
【解析】
【分析】
（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，与x轴交于D，得到y＝2x?1，求得BD于是得到结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和
△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得MN ON
AB BC
=或
MN ON
BC AB
=，可求得N点的坐
标．
【详解】
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得
22
-2
y x x y x
?=+
?
=
?
﹣
，
解得
2
x
y
=
?
?
=
?
或
1
3
x
y
=-
?
?
=-
?
，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，与x轴交于D，
把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐标代入得
1
3
k b
k b =+
?
?
-=-+
?
，
解得：
2
1 k
b
=
?
?
=-
?
，
∴y=2x﹣1，当y=0，即2x﹣1=0，解得：x=1
2
，∴D（
1
2
，0），
∴BD=2﹣1
2
=
3
2
，
∴△ABC的面积=S△ABD+S△BCD=1
2
×
3
2
×1+
1
2
×
3
2
×3=3；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，
，
，
∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时，有MN ON
AB BC
=或
MN ON
BC AB
=，
①当MN ON
AB BC
=
=|x||﹣x+2|=
1
3
|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=1
3
，∴﹣x+2=±
1
3
，解得x=
5
3
或x=7
3
，此时N点坐标为（
5
3
，0）或（
7
3
，0）；
②当或MN ON
BC AB
=
=，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（5
3
，0）或（
7
3
，0）或（﹣1，0）或（5，
0）．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．