用导数求切线方程的四种类型[精选.]

用导数求切线方程的四种类型

浙江 曾安雄

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导

数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．

下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．

例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）

Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+

Ｄ．45y x =-

解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为

(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）

Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=

Ｄ．210x y --=

解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0

022x x

y x ='==|．

01x =∴．

由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．

评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为

2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定

切点法．

例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0

2

032x x

y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．

320000(2)(32)()y x x x x x --=--．

又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．

解得01x =，或012

x =-．

故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或131128

4

2y x ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭

，即20x y --=，

或5410x y +-=．

评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且

以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭

，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例4 求过点(20)，且与曲线1

y x

=相切的直线方程．

解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0

2

01

x x

y x ='=-|．

∴切线方程为00

201()y y x x x -=-

-，即02

0011

()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02

01

1

(2)x x x -

=-

-． 解得000

1

11x y x ==

=，，即20x y +-=．

评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，

但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．

例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．

解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．

设切点为00()M x y ，， 则点M 的坐标满足30003y x x =-．

因200()3(1)f x x '=-，

故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．

点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．

化简得308x =-，解得02x =-．

所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．

评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．

在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线0=y 与抛物线

2x y =只有一个交点，0=y 是2x y =的切线，但0=x 与抛物线2x y =也只有一个交点，

但0=x 却不是2x y =的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。

切线的定义：设0m 是曲线)(x f y =上一定点，m 是该曲线上的一动点，从而有割线m m 0，令m 沿着曲线无限趋近于0m ，则割线m m 0的极限位置就是曲线)(x f y =在0m 的切线（如果极限存在的话）。

这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明0=y 是2x y =的切线，而0=x 不是2x y =的切线，这一切线定义可用于任何曲线)(x f y =。