浙江省杭州市学军中学(西溪校区)2020-2021学年高一上学期期中数学试题

浙江省杭州市学军中学（西溪校区）2020-2021学年高一上学

期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{|0},{|11}A x x B x x =<=-≤<，则(

A B =（）

A ．[1,1)-

B ．[0,1]

C ．[0,1)

D ．[1,1]-

2．下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（） A

．()()f x g x =

= B ．0

()1,()f x g x x ==

C ．,0

(),(),0

x x f x x g x x x >?==?

-≤?

．()()f x g x ==

3．“1x >”是“

x ≥+”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．设函数1,()0,x D x x ?=??

为有理数

为无理数，则下列结论正确的是（）

A ．()D x 的值域为[0,1]

B ．()D x 是偶函数

C ．()(3.14)

D D π> D ．()D x 是单调函数

5．函数2()f x x bx c =++对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，则(1),(2),(4)f f f 的大小关系是（） A ．(1)(2)(4)f f f << B ．(2)(1)(4)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f <<

D ．(4)(1)(2)f f f <<

6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，()()0f x f x +-=，且在[0,1]

上有1()4x

f x ??= ???

，则(2020.5)f =（）

A ．116

B ．

116

C ．

D ．

7．若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则

是下列函数中值域跨度不为2的是（）

A ．()f x =

B ．||()2x f x -=

C ．24()4

x f x x =

D ．()|1|||f x x x =+-

8．已知函数()2f x t =

+，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++，

则实数t 的取值范围为（） A ．1,2??

+∞ ???

B ．(1,0]-

C ．1

(,)8

-+∞

D ．1(,0]8

二、多选题

9．（多选题）已知2

()f x x ax b =++，函数()y f x =的图象与x 轴的交点个数为m ，

函数[()]y f f x =与x 轴的交点个数为M ，则M m -的值可能是（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

10．（多选题）已知3515a b ==，则a ，b 满足下列关系的是（） A ．4ab > B ．4a b +>

C ．22

a b +<

D ．22(1)(1)16a b +++>

三、填空题

11．已知3

27x =，则

x =_________. 12．设函数4

()f x x x

对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.

13．设非零实数a ，b 满足224a b +=，若函数21

ax b

y x +=+存在最大值M 和最小值m ，则M m -=_________.

14．设实数s ，t 满足0t >，且24s t +=，则128s s t

+的最小值是____________.

四、双空题

15．若指数函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则12f ??

???

________；不等式131(21)2x

f x -??

-≤ ?

的解集是______________.

16．若函数22(0)

()(0)

x x f x x x ?≥=?-

数；既奇又偶函数）；不等式()239f x +≤的解集为____________________.

17．函数1()2x x

f x +=的定义域是__________________；值域是_________________.

五、解答题 18．化简求值：

（1

）

（2）2

33371

log 7log 21log 7log 3

. 19

．已知函数()f x =A ，函数2()41,[0,3]g x x x x =-+-∈的值域为B .

（Ⅰ）设集合()M A B Z =??，其中Z 是整数集，写出集合M 的所有非空子集；（Ⅱ）设集合{|121}C x a x a =-<<+，且B

C =?，求实数a 的取值范围.

20．已知1121

()(0)2x x a f x a a

-+?-=>+为奇函数.

（Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并解不等式()

3010

f x x <-≤

. 21．荷兰阿斯麦尔公司（ASML ）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV （极紫外光源）具备7nm 工艺.芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x （单位：百元）满足如下

关系：()2

13(02)2

36(25)1x x x x x

ω?+≤≤??=??-<≤?+?此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）

2x 百元，己知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求.记这条生产线获得的利润为()L x （单位：百元）. （Ⅰ）求()L x 的函数表达式；

（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？ 22．已知函数2()f x ax bx c =++，当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立.

（Ⅰ）若1,0a b c =+=，求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）证明：||||||3a b c ++≤，并找出一组{,,}a b c ，使得等号成立.

参考答案

1．C 【分析】计算补集得到{|0}R

A x x =≥，再计算交集得到答案.

【详解】

{|0},{|11}A x x B x x =<=-≤<，则{|0}R A x x =≥，()

[0,1)R A B =.

故选：C. 【点睛】

本题考查了交集和补集运算，属于简单题. 2．C 【分析】

对选项中的每组函数逐一分析定义域与解析式是否完全相同，进而可得答案. 【详解】

A ，(][)))(),11,,()1f x x g x x =

∈-∞?+∞=≥，定义域不同，不

是同一个函数；

B ，()()0

()10,()f x x R g x x x

∈=≠=，定义域不同，不是同一个函数；

C ，,0,0

(),(),0,0x x x x f x x g x x x x x >>??===??-≤-≤??

，解析式定义域都相同，是同一个函数；

D ，(),()f x x g x x ====，解析式不相同，不是同一个函数，

故选：C. 【点睛】

本题主要考查函数的定义以及函数定义域的求解，属于基础题. 3．A 【分析】解不等式01

x ≥+，根据解集的包含关系得到答案. 【详解】

x ≥+，则0x ≥或1x <-，()()[)1,,10,+∞-∞-+∞，

故“1x >”是“01

x ≥+”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】

本题考查了充分不必要条件，属于简单题. 4．B 【分析】

计算函数值域为{}0,1A 错误，根据偶函数定义知B 正确，()0D π=，(3.14)1D =，C 错误，

()()011D D ==，故D 错误，得到答案.

【详解】

根据题意：()D x 的值域为{}0,1，A 错误；当x 为有理数时，x -为有理数，()()D x D x =-，

当x 为无理数时，x -为无理数，()()D x D x =-，故函数为偶函数，B 正确； ()0D π=，(3.14)1D =，C 错误；

()()011D D ==，故D 错误.

故选：B. 【点睛】

本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 5．B 【分析】

由题意知()f x 关于2x =对称，结合函数解析式即可判断(1),(2),(4)f f f 的大小. 【详解】

由对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，知：()f x 关于2x =对称，由函数2

()f x x bx c =++知：图象开口向上，对称轴为22

x =-

=，

∴()f x 在[2,)+∞上单调递增，而(1)(41)(3)f f f =-=， ∴(2)(1)(4)f f f <<. 故选：B 【点睛】

本题考查了二次函数的性质，根据对称性，结合二次函数的性质比较函数值的大小，属于基础题. 6．D 【分析】

由已知条件可知()f x 为奇函数且周期为4，利用函数的周期，结合其区间解析式即可求

(2020.5)f 的值.

【详解】

由()()0f x f x +-=知：()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数， ∵()(2)f x f x =-，有(2)()()f x f x f x +=-=-， ∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故()f x 为周期为4的函数，

在[0,1]上有1()4x

f x ??= ???

，所以121111(2020.5)(4505)()()2242f f f =?+===，故选：D 【点睛】

本题考查了函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性以及区间解析式求函数值，属于基础题. 7．B 【分析】

根据函数解析式，利用根式非负性、绝对值的区间讨论、分式的性质求值域，即可判断正确选项. 【详解】

A 选项：22023(1)44x x x ≤-++=--+≤，所以0()2f x ≤≤，值域跨度为2；

B 选项：||0x -≤，所以0()1f x <≤，值域跨度不为2；

C 选项：当0x =时()0f x =；当0x >

时，2

44()144x f x x x x =

=≤=++；当0x <

时，2

44()1

44()()x f x x x x =

=-≥=-+-+-；故1()1f x -≤≤，值域跨度为2； D 选项：1,0

()21,101,1x f x x x x ≥??

=+-≤

，故1()1f x -≤≤，值域跨度为2；

故选：B 【点睛】

本题考查了根据解析式求值域，注意根式、指数函数、对勾函数、绝对值的性质应用，属于基础题. 8．D 【分析】

21t x =+

，令0k =

≥有

220k k t --=

且

t 的取值范围.

【详解】

由题意知：()f x 的定义域为[1,)-+∞且单调递增，

∴函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++

21t x =+，

∴令0k =

，即220k k t --=

为方程的两个根，

∴18020

t t ?=+>??=-≥，解得108t -<≤

∴综上有：1

(,0]8

t ∈-，故选：D 【点睛】

本题考查了利用函数的单调性求参数范围，根据函数单调性，结合定义域、值域构造一元二次方程，利用根与系数关系、判别式求参数范围，属于难题. 9．ABC

根据二次函数的对称性，讨论0m =、1m =、2m =结合判别式、对称轴、根的情况，判断对应[()]y f f x =的零点可能情况即可求M m -的值. 【详解】

由2

()f x x ax b =++知：2

4a b ?=-且2

min

()()24

a a f x f

b =-=-，

∴令()t f x =，()y f t =的定义域为2

[,)4

a b -+∞，对称轴为2a t =-，24a b ?=-，

1、当0m =时，240a b ?=-<，()y f t =中0M =；

2、当1m =时，240a b ?=-=，

1）当242a a b -≤-时()y f t =有一个零点0t ，若204a t b ≠-时2M =；若2

a t

b =-

时1M =；

2）当242

a a

b ->-时()y f t =无零点，0M =；

3、当2m =时，240a b ?=->，

1）当242

a a

b --≤

时()y f t =有两个零点，则4M =；

2）当2242a a a b +-<-≤

时()

y f t =有一个零点，则2M =；

3）当242

a a

b ->

时()

y f t =无零点，0M =；综上知：M m -的可能值有0, 1, 2；故选：ABC 【点睛】

本题考查了二次函数的性质，应用了分类讨论、判别式、对称轴、根的分布情况讨论复合函数零点的个数，属于难题. 10．ABD

由已知可得33log 151log 5a ==+，55log 151log 3b ==+，有a b ab +=，依据基本不

等式即可知4a b +>，进而可知ab 、22a b +、22

(1)(1)a b +++的范围.

【详解】

由题意知：33log 151log 5a ==+，55log 151log 3b ==+， ∴

151511

log 3log 51a b ab a b

+=+=+=，即a b ab +=，

∵3312log 524log 5a b +=++>+=， ∴4a b ab +=>，

22222()2()2(1)18a b ab ab ab ab a b =+-=-=-->+， 222222()2()2(1)(1)1816a b a b ab a b =++++=++++>>，

故选：ABD 【点睛】

本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题. 11．9 【分析】

由指数运算性质有22333

2()27x =即可求x 值. 【详解】

由3227x =

知：2

3279x ===，

故答案为：9. 【点睛】

本题考查了指数运算，应用了()n m nm

x x =的运算性质，属于简单题.

12．(,1)-∞- 【分析】

由题意可得2

2ax a a

在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成

立思想和不等式的解法，即可得到所求范围．【详解】函数4

()f x x x

=-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立，即有440a ax ax ax x

+-<，即有2

12ax a a ??<+ ??

?在[2，)+∞恒成立，

当0a >时，2

2121x a ??<+ ???，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意；

当0a <时，2

2121x a ??>+ ???，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ??+< ???，

解得1a >或1a <-，即有1a <-成立．则a 的取值范围是(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．【点睛】

本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题． 13．2 【分析】

化简得到2

0yx ax y b -+-=，根据0?≥和224a b +=得到22

b b y -+≤≤，解得答案. 【详解】

ax b y x +=

+，则2

0yx ax y b -+-=，则()240a y y b ?=--≥，即2

440y yb a --≤，224a b +=，故2

4440y yb b -+-≤，

()()22220y b y b -+--≤????????，即2222b b y -+≤≤，即22

,22

b b m M -+==， 2M m -=.

故答案为：2. 【点睛】

本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键.

14．

716

【分析】变换得到

22816132s t

s s s t s s t

+=++，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】

24s t +=，22217

832116321616

2s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-++，当232t s s t =且0s <时，即23s =-，163

t =时等号成立. 故答案为：7

. 【点睛】

本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.

15 [)0,+∞ 【分析】

先求出函数的解析式，从而可得12f ??

???

的值，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解. 【详解】

设()x

y f x a ==，()0,1a a >≠

因为()y f x =的图象经过点(2,4)，所以24a =，所以2a =，则()2x f x =，

2122f ??

== ???

131(21)2x

f x -??

-≤ ?

等价于213122x x --≤，

即21310x x x -≤-?≥，

[)0,+∞.

【点睛】

本题主要考查指数函数的解析式，考查指数函数单调性的应用，属于基础题. 16．奇函数 []3,0- 【分析】

根据函数的奇偶性的定义判断奇偶性即可得()()f x f x -=-，进而得函数为奇函数，再结合当0x ≥时，()2

f x x =为增函数，()39f =解不等式即可得答案.

【详解】

解：当0x >时，()()()2

2f x x x f x -=--=-=-，当0x <时，()()(

)()2

f x x x x

f x -=-==--=-，

当0x =时，()0f x =，

所以对于定义域R 内的任意实数x ，均有()()f x f x -=-，故函数为奇函数. 因为当0x ≥时，()2

f x x =为增函数，

所以函数()f x 在R 上单调递增，由于()39f =，()239f

x +≤，

所以233x +≤，解不等式得： 30x -≤≤. 所以不等式()239f

x +≤的解集为[]3,0-.

故答案为：奇函数；[]3,0- 【点睛】

本题考查分段函数奇偶性的判断，利用奇偶性与单调性解不等式，考查运算能力，是中档题. 17．(,0)(0,)-∞+∞； (0,2)(2,)?+∞；

【分析】要使分式

x x +有意义即0x ≠即可得定义域，令111t x

=+≠，结合指数函数的值域求法即可求值域. 【详解】

由题意知：指数

x x

+中有0x ≠， ∴(,0)(0,)x ∈-∞?+∞，

令1

11t x

≠，则()()2t f x g t ==有()(0,2)(2,)g t ∈?+∞，故答案为：(,0)(0,)-∞+∞，(0,2)(2,)?+∞；

【点睛】

本题考查了求指数型复合函数的定义域、值域，属于简单题. 18．（1）6；（2）0 【分析】

（1）将根式化为实数幂再计算即可得答案；（2）根据换底公式与对数运算法则计算即可得答案. 【详解】

解：（1

）()111

6323122??=??? ???

()112511112

33636

262332232323236-

=?????=???=?=.

（2）()2

333333371log 7log 21log 7log 7log 71log 7log 70log 3

=+--= 【点睛】

本题考查指数运算与对数运算，考查运算能力，是基础题.

19．（Ⅰ）{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1；（Ⅱ）(][),14,-∞-+∞

【分析】

（Ⅰ）计算得到(]3,log 8A =-∞，[]1,3B =-，再计算交集得到{}1,0,1M =-，得到答案. （Ⅱ）考虑C =?和C ≠?两种情况，得到121211a a a -<+??+≤-?或121

a a a -<+??-≥?，解得答案.

【详解】

（Ⅰ）函数()f x =830x -≥，即3log 8x ≤，即(]3,log 8A =-∞，

()2

2()4123,[0,3]g x x x x x =-+-=--+∈，[]1,3y ∈-，即[]1,3B =-，

[]{}31,log (1,0,8)1M A B Z Z =??=--?=.

故集合M 的所有非空子集为{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1. （Ⅱ）{|121}C x a x a =-<<+，B

C =?，

当C =?时，121a a -≥+，解得2a ≤-；

当C ≠?时，121211a a a -<+??+≤-?或12113

a a a -<+??-≥?，解得(]

[)2,14,a ∈--+∞.

综上所述：(][),14,a ∈-∞-+∞.

【点睛】

本题考查了函数的定义域，值域，子集，根据交集运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集是容易发生的错误. 20．（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）[)(]1,01,2-.

【分析】

（Ⅰ）根据(0)0f =得到2a =，验证得到答案. （Ⅱ）11

()221

x f x =

-+，根据复合函数单调性知函数单调递增，化简得到()()()202f f x x f <-≤，解不等式得到答案.

【详解】

（Ⅰ）1121()(0)2x x a f x a a

-+?-=>+为奇函数，则1

2(0)02a

f a

-==+，故2a =，此时121()22x x f x +-=+，()12112()22222x x

x x

f x f x --+---===-++?，满足函数为奇函数. （Ⅱ）12111()22221

x x x

f x +-==-++，易知21x

y =+单调递增，根据复合函数单调性知函数()f x 单调递增，

()00f =，()3210

f =

，()2

3010f x x <-≤，即()()()202f f x x f <-≤，

故202x x <-≤，解得[)(]1,01,2x ∈-.

【点睛】

本题考查了根据函数的奇偶性求参数，利用函数的单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.

21．（1）28483(02)

()48

963(25)1x x x L x x x x ?+-?

=?--

；（2）300元，7500元. 【分析】

（1）由题意可得()16()2L x x x x ω=--，把()x ω代入整理得答案；（2）分段求出函数的最大值，取最大值中的最大者得答案．【详解】

（1）28483(02)

()16()248

963(25)1x x x L x x x x x x x ω?+-?

=--=?--

；（2）当02x 时，2()8348L x x x =-+，对称轴方程为3

x =， ()max L x L ∴=（2）74=；

当25x <时，48()99[

3(1)]992751L x x x x =-++-+．当且仅当

3(1)1

x x =++时，即3x

=时等号成立．因为7574>，

所以，当投入的生产成本为300元时，这条生产线获得的最大利润是7500元. 【点睛】

本题考查分段函数函数模型的应用以及利用基本不等式求最值，考查了建模能力与运算求解能力，是基础题．

22．（1）b ≤≤-+02（2）证明见解析，1,1}1{,--- 【分析】

（1）由条件当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立，取1x =-，求出01b ≤≤，从而确定二次函

数的对称轴位置，利用单调性，判断函数的最值，根据|()|1f x ≤，可知min max ()1

()1f x f x ≥-??≤?

，

进而求得实数b 的取值范围

（2）特殊赋值，求出|()|||f c =≤01，|()|||f a b c =++≤11，|()|||f a b c -=-+≤11，利用绝对值不等式||||||||||a b a b a b -≤±≤+求得||1b ≤，再通过上式分类讨论,b c 符号，从而求得||1a ≤，进而证得||||||3a b c ++≤. 【详解】

（1）由1,0a b c =+=，得2

2()()24

b b

f x ax bx c x bx b x b =++=-+-=+-

由条件当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立，

取1x =-，|()|f b b b -=--=-≤11121，得01b ≤≤，故()f x 的对称轴1,022b x ??

∈-????

，所以当||1x ≤时，2

min max ()()1

()(1)1

b b

f x f b f x f ?=-=--≥-???==?

，解得b --≤≤-+22 综上，实数b

的取值范围是：b ≤≤-+02（2）证明：当0x =时，|()|||f c =≤01，

当1x =时，|()|||f a b c =++≤11，当1x =-时，|()|||f a b c -=-+≤11，由绝对值不等式性质可得：|()|||||a b c a b c a b c a b c ++--+=+++-+≤+11 化简得||b ≤22，即||1b ≤

由|||a b c ++≤1，当,b c 同号时，有-13a ≤≤ 由||a b c -+≤1，当,b c 异号时，有-31a ≤≤ 综合可得，||1a ≤

所以||||||3a b c ++≤，当,,1,1,1{}{}a b c =---时，等号成立. 【点睛】

本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，考查学生的综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力，属于难题．