第一章 质点运动学课后习题解答

第一章 质点运动学

1-1.质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量？

dt d r ；dt d r ；dt ds ；dt dr ；dt d r

；2

2dt d r ；dt d v ；dt dv 。

解：

1-2.设质点的运动方程为)();(t y y t x x ==。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有

人先求出2

2

y x r +=，然后再根据dt

dr

v =和22dt r d a =求解。也有人用分量式求解，即

2

2)()(dt y d dt x d v +=和222222)()(dt

y d dt x d a +=，问哪种方法正确？

解：第二种方法正确

1-3． 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的

单位为 s ．求：

(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．

解： (1) 质点在4.0 s 内位移的大小

m 32Δ04-=-=x x x

(2) 由 0d d =t

x

得知质点的换向时刻为

s 2=p t (t ＝0不合题意)

则

m 0.8Δ021=-=x x x

m 40Δ242-=-=x x x

所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为

m 48ΔΔ21=+=x x s

(3) t ＝4.0 s 时

1s

0.4s m 48d d -=⋅-==

t t x

v

2

s

0.422m.s 36d d -=-==t t x a

1-4. 质点的运动方程为

23010t t x +-=

22015t t y -=

式中x ,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．

试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向． 解 (1) 速度的分量式为

t t x

x 6010d d +-==

v t t

y y 4015d d -==v

当t ＝0 时, v 0x ＝-10 m·ｓ-1

, v 0y ＝15 m·ｓ-1

,则初速度大小为

12

0200s m 0.18-⋅=+=y x v v v

设v 0与x 轴的夹角为α,则

2

3tan 00-==

x

y αv v

α＝123°41′

(2) 加速度的分量式为

2s m 60d d -⋅==

t

a x

x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v 则加速度的大小为

22

2s m 1.72-⋅=+=y x a a a

设a 与x 轴的夹角为β,则

3

2tan -==

x y

a a β β＝-33°41′(或326°19′)

1-5． 一质点的运动学方程为2t x =，()2

1-=t y (S1)。试求： (1)质点的轨迹方程：(2)在2=t s

时，质点的速度和加速度。 解 (1) 由质点的运动方程

2t x = (1)

()2

1-=t y (2)

消去参数t ，可得质点的轨迹方程

1-=x y

(2) 由(1)、(2)对时间t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 t dt

dx

v x 2== ()12-==t dt dy v y 所以

()j i j i v 122-+=+=t t v v y x (3)

222==dt

x

d a x 222==dt y d a y

所以

j i a 22+= (4)

把t =2s 代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。 j i v 24+= j i a 22+=

1-6.已知运动函数为j t R i

t R r ˆsin ˆcos ωω+=

(R, ω为常量)，求质点的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。 解：速度：j t R i t R r dt

d v ˆcos ˆsin ωωωω+-==

速度大小：ωR v = 加速度：j t R i t R v dt

d a ˆcos ˆsin 22ωωωω--==

加速度大小：2

ωR a = 切向加速度：0==

v dt

d

a τ； 法向加速度：222ωτR a a a n =-= 1-7. 质点沿半径为1m 的圆周运动, 运动方程为3

32t +=θ（SI ）. 求：⑴ 2t =s 时, 质

点的切向加速度和法向加速度.⑵ 当加速度的方向和半径成0

45角时,角位移是多少？ 解： 质点运动的角速度和角加速度分别为：

29d t dt θ

ω=

= 18d t dt

ωα==

切向加速度： 11818dv

a r t t dt

τα=

==⨯= 法向加速度： 2224

1(9)81n a r t t ω==⨯=

⑴当2t s =时 2

1818236/a t m s τ==⨯=

442818121296/n a t m s ==⨯=

⑵ 加速度的方向和半径成0

45时，即 n a a τ=

48118t t =

3

29

t =

此时角位移

33

2323 2.67t t rad θ=+=+⨯=

1-8. 飞轮半径为0.4 m ，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad ·2

s -，求t ＝2s 时边缘

上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

解：当s 2=t 时，4.022.0=⨯==t βω1

s rad -⋅ 则16.04.04.0=⨯==ωR v 1

s m -⋅

064.0)4.0(4.022=⨯==ωR a n 2s m -⋅

08.02.04.0=⨯==βτR a 2s m -⋅

2

2222

s m 102.0)08.0()064.0(-⋅=+=+=τa a a n