FFT实验讲义Rel
实验 计算机辅助光学傅立叶变换
周期的或非周期的信号分析在科学研究和工程技术中一直是最重要的和最基本的。对非电信号，也经常将其转变为电信号进行测量和分析。傅里叶分析是一种最常用的分析方法。 近三十年来，波动光学的一个重要发展，就是逐步形成了一个新的光学分支——傅里叶光学。把傅里叶变换引入光学，在形式和内容上都已成为现代光学发展的新起点，全息术和光学信息处理作为傅里叶光学的实际应用发展极为迅速。空间频谱与空间滤波是信息光学中最典型的基础实验。通过实验有助于加深对傅里叶光学中的一些基本概念和基本理论的理解，如空间频率、空间频谱、空间滤波和卷积等。通过实验还可验证阿贝成像理论，理解透镜成像的物理过程，进而掌握光学信息处理的实质。在CT 和磁共振成像等图象处理过程中，傅立叶变换起着关键作用。傅里叶变换具有许多重要性质，因而成为图象处理中最常用的变换。
对于大型的图像的处理,计算数据量巨大，计算时间仍然是一个主要问题。因此我们使用优化的快速傅里叶变换（FFT ）算法，从而大大减少图象处理时间。微型机算机的发展，为数字化分析开辟了广阔的前景，快速傅里叶变换(FFT)已经成为数字信号处理和线性系统分析的有力工具。
实验目的
了解傅里叶变换的数学原理和实验方法；了解快速傅里叶变换的应用方法；学会用傅立叶变换处理图像；学会用计算机快速傅立叶变换方法生成图像。
实验原理
任何波形的周期信号均可用傅里叶级数来表示。傅里叶级数的各项代表了不同频率的正弦或余弦信号，即任何波形的周期信号都可以看作是这些信号(谐波)的叠加。利用不同的方法，可以从信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位。也可依据信号的傅里叶级数表达式，将各次谐波按表达式的要求叠加得到所期望的信号。用这种方法对信号进行分析，称为傅立叶分析。
1、傅里叶变换的数学基础
简单说来，一个波形的傅立叶变换就是把这个波形分解为许多不同频率的正弦波之和。一个给定波形f (t)的傅立叶变换FT 为：
?
∞∞--=dt e t f F t i πνν2)()( （1） 傅立叶逆变换IFT 为： ?∞∞-=ννπνd e F t f t i 2)()( （2）
任意一个函数都可以表示为傅里叶级数。离散傅立叶逆变换DFT 为：
∑-=-=10/2)(1
)(N n N nk i e n x N k X π （3）
x(n)称为时间序列，X(k)称为离散谱序列。K=0, 1, 2, …, N-1。离散傅立叶逆变换IDFT 为: 其中 K=0, 1, 2, …, N-1。
∑
-==1
0/2)()(N k N nk i e k X n x π （4）
快速傅立叶变换(简称FFT)是DFT 的一种快速算法。它是将整个时间序列分割成若干较短时间序列的变换，代替原始序列的DFT 。先算出较短序列的DFT ，然后把它们合并在一起，得出整个序列的DFT 。1965年, Cooley-Tukey 提出计算离散傅立叶变换的快速傅立叶变换FFT 方法，将计算量从O(n 2)下降到O(nlogn)。从而使FFT 在数字图象处理、气象报告、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中得到了广泛的应用。
图1 方波波形示意图
图1所示的方波，函数表达式为：
????
?
<≤-<≤=02
20)(t T H T t H
t f （5） 其傅里叶级数展开为：
∑∞
=--=10)12sin()121(4)(n t n n h t f ωπ
)5sin 513sin 3
1(sin 4000 +++=t t t h ωωωπ （6）
其他形状函数的傅里叶级数，也可通过傅里叶展开得到。
2、二维傅里叶变换的数学基础
设有一个空间二维函数g (x ，y )，其二维傅里叶变换为：
??
∞∞-+-=dxdy e y x g f f G y x yf xf i y x )(2),(),(π （7） 式中f x ，f y 分别为x 、y 方向的空间频率。g(x ，y)是G(f x ，f y )的逆傅里叶变换，即： ??∞∞-+=y x yf xf i y x df df e f f G y x g y x )(2),(),(π （8）
上式表示：任意一个空间函数g(x ，y )可表示为无穷多个基元函数exp[i2π(xf x +yf y )]的线性叠加。G(f x ，f y )d f x d f y 是相应于空间频率为f x 、f y 的基元函数的权重，G(f x ，f y )称为g(x ，y )的空间频谱。
3、傅里叶光学变换
理论上可以证明，如果在焦距为f 的会聚透镜的前焦面上放一振幅透过率为g(x ，y )的图像作为物，并用波长为λ的单色平面波垂直照明图像，则在透镜后焦面(x ?，y ?)上的复振幅分布就是g(x ，y )的傅里叶变换G(f x ，f y )，其中空间频率f x 、f y 与坐标x ?，y ?的关系为：
???
????'='=f y f f x f y x λλ (9) 故(x ?，y ?)面称为频谱面(或傅氏面)。由此可见，复杂的二维傅里叶变换可以用一透镜来实现，称为光学傅里叶变换，频谱面上的光强分布，也就是物的夫琅禾费衍射图。
4、阿贝成像原理
阿贝(E.Abbe)在1873年提出了相干光照明下显微镜的成像原理。他认为，在相干光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤：第一步是通过物的衍射光在物镜的后焦面上形成一个衍射图；第二步是物镜后焦面上的衍射图复合为(中间)像，这个像可以通过目镜观察到。
成像的这两个步骤本质上就是两次傅里叶变换。第一步把物面光场的空间分布g (x ，y )变为频谱面上空间频率分布G(f x ，f y )。第二步则是再作一次变换，又将G(f x ，f y )还原到空间分布g (x ，y )。
图2阿贝成像原理示意图
图2显示了成像步骤。我们假设物是一个一维光栅，单色平行光照在光栅上，经衍射分解成为不同方向的很多束平行光(每一束平行光相应于一定的空间频率)，经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵．然后代表不同空间频率的光束又重新在像面上复合而成像．
如果这两次变换完全是理想的，即信息没有任何损失，则像和物应完全相似(可能有放大或缩小)。但一般说来像和物不可能完全相似，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分(高频信息)，不能进入到物镜而被丢弃了。所以像的信息总是比物的信息要少一些。高频信息主要反映了物的细节，如果高频信息受到了孔径的限制而不能达到像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上显示出这些高频信息所反映的细节，这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。特别当物的结构非常精细(如很密的光栅)或物镜孔径非常小时，有可能只有0级衍射(空间频率为0)能通过，则在像平面上完全不能形成像。
5、空间滤波
根据上面讨论，透镜成像过程可看作是两次傅里叶变换，即从空间函数g (x ，y )变为频谱函数G(f x ，f y )，再变回到空间函数g (x ，y ) (忽略放大率)。显然如果我们在频谱面(即透镜的后焦面)上放一些不同结构的光阑，以提取(或摒弃)某些频段的物信息，则必然使像面上的图像发生相应的变化，这样的图像处理称为空间滤波。频谱面上这种光阑称为滤波器。滤波器使频谱面上一个或一部分频率分量通过，而挡住其他频率分量，从而改变了像面上图像的
频率成分。例如光轴上的圆孔光栏可以作为一个低通滤波器，而圆屏就可以用作为高通滤波器。
实验内容
1、仪器用具及光路排布
仪器用具有：
光学平台或光具座、激光器、针孔滤波器、透镜、作为物的光栅、滤波器、白色像屏、高分辨CCD频谱摄像装置、计算机等。
图3 标准4f光学傅立叶变换光路图
在标准4f光学傅立叶变换光路中，可以实现全光学傅立叶变换。光学傅立叶变换具有全并行，速度特别快的优点。可以在光路中观察任意图像的频谱。实现频谱到图像的光学逆傅立叶变换。在频谱面上插入各种光阑或圆屏就可以分别实现光学低通、高通滤波。
图4 实验光路
实验光路如图4所示。扩束镜L0与准直透镜L c共焦，使L c输出平行光束。在公共焦点上安置针孔滤波器SF，以使光斑亮度均匀。依次放上物(12—15条／mm的一维光栅)和焦距为f的傅立叶透镜L，调共轴。调节透镜位置，使光栅清晰的成像在4m以外的白屏上，此时物的位置接近于透镜L的前焦平面。
2、观测一维光栅的频谱
(1)在透镜L后缓慢移动白屏，寻找光束会聚点，即透镜L的后焦平面(频谱面)，可看到0级、±1级、±2级、±3级……一排清晰的衍射光点。衍射角越大，衍射级次越高，空间频率也越高。
(2)将白纸放在频谱面上，通过放大镜观察频谱，并用针尖分别扎透零级及±1级、±2级、±3级衍射点的中心．然后，将有扎孔的纸拿到读数显微镜下测出各级衍射点与零级衍射点的距离±x?1、±x?2、±x?3。由式(3)求出相应的空间频率人：f x1、f x2、f x3。并由基频f x1(f x1=1/d，d为光栅常数)求出光栅常数d。
3、阿贝成像原理实验
在频谱面上放上可调狭缝或滤波模板，使衍射点(a)全部；(b)零级；(c)零和±1级；(d)
零和±2级；(e)除零级外分别通过。分别记录像面特点和条纹间距，并作出定性解释。
4、阿贝—波特实验(方向滤波)
(1)光路不变，将一维光栅的物换成二维正交光栅。在频谱面上可以观察到二维分立的光点阵(频谱)。像面上可以看到放大了的正交光栅像，测出像面上的网格间距。
(2)在频谱面放上可旋转狭缝光阑(方向滤波器)，在下述情况：(a)只让光轴上水平的一行频谱分量通过；(b)只让光轴上垂直的一行频谱分量通过；(c)只让光轴上45o的一行频谱分量通过。记录像面上的图像变化、像面上条纹间距，并作出适当的解释。将所观测的现象、数据添入表1中。
表1
方向滤波可去除某些方向的频谱或仅让某些方向的频谱通过，以突出图像的某些特征。
图5 (a)低通滤波器，(b)高通滤波器，(c)带通滤波器
5、高低通滤波
图5中(a)为低通滤波器，(b)为高通滤波器，(c)为带通滤波器。低通滤波器的作用是滤掉高频成分，仅让靠近零级的低频成分通过。它可以用来滤掉高频噪声。例如滤去有网格照片中的网状结构。高通滤波器是一个中心部分不透光的小光屏。它能滤去低频成分而允许高频成分通过。可用于突出像的边沿部分或者实现像的衬度反转。带通滤波器可以让某些需要的频谱分量通过，其余的被滤掉，可用于消除噪音。
(1)低通滤波
将正交光栅与一个透明的“光”字重叠放在物平面上，光栅为12—15条／mm ，而字的笔划粗细为毫米数量级。通过透镜L 成像在像平面上。由于网格为一周期性的空间函数，它的频谱是有规律排列的分立点阵，而字迹是一个非周期性的低频信号，它的频谱是连续的。 将一个可变圆孔光阑放在频谱面上，逐步缩小光阑，直到像上不再有网格，但字迹仍然保留下来。
(2)高通滤波
将一漏光“+”字板作为物，可在像面上观察到物的像。在频谱面上放一圆屏光阑挡住谱面的中心部分，观察并记录像面上的图像变化。
6、计算机频谱采集
首先用白屏观察透镜L后焦平面上的频谱图。如果中心焦点的光过强，需要调整滤波器减少通光量，避免过强的光损坏图像采集器件。将频谱采集器放置到透镜L后焦平面上（将CCD成像平面对准焦平面）。操作计算机采集频谱图像。对频谱图像进行基本滤波操作，观察相应的滤波效果。图6、图7都是经过计算机处理的傅立叶变换频谱和傅立叶逆变换图案。
图6 （a）正方形图案；（b）傅立叶变换频谱；（c）傅立叶逆变换图案
图7 （a）复杂图案；（b）傅立叶变换频谱；（c）傅立叶逆变换图案
利用计算机辅助快速傅立叶变换系统可以对磁共振采集的高频电频谱信号进行逆傅立叶变换，从而获得磁共振图像。利用频谱采集器和计算机快速傅立叶变换可以对比多种傅立叶变换效果。对频谱图可以进行更加复杂的叠加等处理，进行复杂的图像识别、特征辨识和图像增强等信息处理。
思考题：
1、透镜前焦面上是50条/mm的一维光栅，其频谱面上的空间频率各是多少？相邻两衍射点间距是多少？已知f = 5.0 cm，λ= 632.8 nm。
2、对于边长5毫米的正方形频谱采集平面，其最高图像分辨率是多少？
3、为了提取类似图7（a）中的文字，试讨论应当如何滤波。