导数证明不等式题型全

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导数题型一：证明不等式

性强，多数学生不易想到，并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引

入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径 ，并且在近年高 考题中使用导数证明不等式也时有出现 ，但现行教材对这一问题没有展开研究 使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰，方法简捷，操 作性强，易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思 路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。

.构造形似函数型

例1 .求证下列不等式

sin X 》空 x€(0,?)(相除两边同除以X 得xsi nx>f )

兀

X —sinxctanx-x (0 —) ，2 (1) 2

x X ———< In(1 +x) 2

< X — 2(1 +

X)

xJO, +K )(相减)

不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点

，传统证明不等式的方法技巧

(2)

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（4）已知：x“0+处），求证—

X +1 x x

巩固练习:

t — 1

1.证明X >1时，不等式2Q X >3-丄

x

2.X HO ，证明：e X A1 +x

2

x 3.x A 0时，求证：

X 2 X 3

4.证明：ln(1 +x)

2 3

1 3 兀

5.证明：tanx ^x ^ — x ， x 匸(0,—).

3 2 (5)已知函数 f(x)=ln(x+ 1)-x , XA-1，证明:

1一丄 x +1

、需要多次求导

例 2.当X 壬(0,1)时,证明：(1 +x)ln 4 5(1 + X)< X2

例 4.设函数 f(x)= In x+ a x2— (a+ 1)x(a>0, a 为常数).若 a= 1,证明：当 x>1 2 时，f(x)< —X2——j x.

4

例 3.求证:X>0 时,e X -- x? A1 +x

5

2X +1

三、作辅助函数型例5.已知：a、b为实数，且b>a>e,其中e为自然对数的底，求证：

a b>

b a.

例 6.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.

(i)求函数f(x)的最大值;

(ii)设 0

巩固练习

6证明⑴

b b — a

< ln —V-- (0 c a c

b)

(2)a A0,b A O,证明(a+&)心< a a b b

2

(3)若 0 c xj

2

tan x2x2

---->一

tan X x-

四、同增与不同增

例7.证明：对任意XA O,—n^<1+e&

X _ 1 1

例 8.已知函数f(x) =1 -耳,证明：Xxlnlixx)f(x):>1-—.

e e

五、极值点偏移（理科）例9.已知函数f（X）= xe」（x亡R）.如果X i工X2,且f（X i）= f （X2）,证明Xi + X2 a2 .

例10.已知函数f（x）=（x-1）寸，X忘R，其中e是自然对数的底数.若X I H X2，且

f(X i) =f(X2)，求证：Xi + X2 >4.

六、放缩法

111 1

例 13.求证：ln(n +1)〉一+-+-+■?? + -------- ( n 迂 N* ).

3 5 7 C 」 例11.已知：n 亡N 且n>2，求证: +… +…+ 1 --- 。 n -1 例12.当n>2且n 忘N 时，证明: 丄+丄 In 2 In 3 1

-- > In n In

n .