常微分方程第二版答案第4章

习 题 4—1

1．求解下列微分方程

1） 22242x px p y ++= )(dx dy p =

解 利用微分法得 0)1)(

2(=++dx dp p x 当 10dp dx

+=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解

22

242y p px x p x c ⎧=++⎨=-+⎩

或消参数P ，得通解 )2(2

122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -=

2）2()y pxlnx xp =+； ⎪⎭⎫ ⎝

⎛=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭

当0=+p dx

dp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解：

2

()y pxln xp px c ⎧=+⎨=⎩

或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4

y lnx =- 3）()

21p p x y ++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛=cx dy p 解 利用微分法，得

x dx p p p -

=+++22

11 两边积分得 ()

c x P P P =+++2211

由此得原方程以P 为参数形式的通解：

21(p p x y ++= ，()

.11222c x p p p =+++ 或消去P 得通解

222)(C C X y =-+

1． 用参数法求解下列微分方程

1）45222=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+dx dy y 解 将方程化为 2215

42=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy y

令y t

dy t dx = 由此可推出

1

1)22cos dx dy d t t t ===从而得 c t x +=25

因此方程的通解为

x c =

+

，y t = 消去参数t ，得通解

)y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ，

0=dx dy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。

2）223()1dy x dx

-= 解：令u x csc =，u dx dy cot 3

1-= 又令tan 2u t = 则t

t u x 21sin 12

+==

du u u u dy 322

sin cos 31cot 31== dt t t t t t 22222

12312113

1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= dt t

t t )12(341

3+-=

积分得，2211(2ln )2

2y t t c t =--+

2214ln )t t C t =--

+ 由此得微分方程的通解为

t t x 212+=

，2214ln )y t t c t =--+ 3）dx

dy dx dy x 4)(

33=+ 解：令xt dx dy = 则t x t x x 23334=+ 解得 3

14t t x += 又 333223332)1()21(16)1()21(414t t t t t t t dt dx dx dy dt dy +-=+-∙+=∙=

du u u t u dt t t 333333)

1(21316)1()621(316+-=+-= 23

31(332)1(16u du u du +-+= 228321(1)31y C u u ∴=-

++++

3238321(1)31C t t

∴=-++++ 由此得微分方程的通解为

3

14t t x +=， 3238321(1)31y C t t =-++++。 习题4—2

1．得用P —判别式求下列方程的奇解：

2）2)(dx

dy x y dx dy

+= 解：方程的P —判别式为

2,20y xp p x p =++=

消去p ，得42

x

y -= 经验证可知42x

y -=是方程的解。

令2),,(p xp y p y x F --=则有2'

(,,)142y x x F x --=，2"(,,)242pp x x F x --=- 和2'

(,,)042p

x x F x --= 因此，由定理4.2可知，24

1x y -= 是方程的奇解。 2）2)(2dx

dy dx dy x y += 解：方程的P —判别式为

22p xp y +=，0=+p x

消去P ，得 2x y -=，而2x y -=不是方程的解，故2x y -=不是方程的奇解。 3）y q

dx dy y 4)()1(22=- 解：方程的P —判别式为

9

4)1(22=-p y ，0)1(22=-p y 消去P ，得0=y ，显然0=y 是方程的解，

令y p y p y x F 9

4)1(),,(22--=则有 '4(,0,0)9

y F x =- "(,0,0)2pp F x = 和'(,0,0)0p F x =

因此，由定理4.2知，0=y 是方程的奇解。

2．举例说明，在定理4.2的条件''(,(),())0y F x x x x x ≠

"'(,(),())0pp F x x x x x ≠中的两个不等式是缺一不可的， 解：考虑方程0)(22=-y dx

dy 方程（1）的P —判别式为

022=-y p 02=p 消去P ，得0)(==x x y

令22),,(y p p y x F -=，于是有'(,,)2p F x y p y =- '(,,)2p F x y p p =- "(,,)2pp F x y p =因此虽然有 "(,,)20pp F x y p =≠和'(,0,0)0p F x =

但是'(,0,0)0y F x =

又0=y 虽然是方程的解，且容易求出方程（1）的通解为x y xe ±=

因此容易验证0=y 却不是奇解。因此由此例可看出。定理 4.2中的条件''((),())0y F x x x x ≠是不可缺少的。

又考虑方程 y dx

dy y =)sin( 方程（2）的P —判别式为 y yp =)sin( ()0ycos yp =

消去P ，得0=y 。令y yp p y x F -=)sin(),,(于是有'(,,)()1y F x y p pcos yp =-，

'(,,)()p F x y p ycos yp = "2(,,)sin()pp F x y p y yp = 因此，虽然有

'(,0,0)10y F x =-≠和'(,0,0)0p F x =但"(,0,0)0pp F x =，而经检验知0=y 是方程（2）

的解，但不是奇解。因此由此例可看出定理4.2中的条件"'(,(),())0pp F x x x x x ≠是

不可缺少的。

3．研究下面的例子，说明定理4.2的条件''(,(),())0p F x x x x x =是不可缺少的