递归与分治相关实验及代码

实验目的：

掌握递归与分治算法的基本原理和应用以及软件实现。

实验准备：

1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2.需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统和装有VC++6.0的计算机。

实验内容及要求

内容：完成递归与分治常见实例的实现。

要求：

1，熟悉C++的相关语法和编制独立的子程序。

2，输入多组数据都能够给出正确的结果。

实验过程：

1.1问题分析

递归算法是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。然后递归调用函数（或过程）来表示问题的解。一般通过函数或子过程来实现，在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。该算法具有以下特点：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。该算法所体现的“重复”一般有三个要求：一是每次调用在规模上都有缩减；

二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备；

三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。

通常该算法的时间复杂度很大，所以要在适当的条件下使用。在该实验中，采用递归算法得到的算法有：阶乘，斐波拉齐，数的排列等。

分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同，求出子问题的解，就可得到原问题的解。利用分治策略求解时，所需时间取决于分解后子问题的个数、子问题的规模大小等因素，而二分法，由于其划分的简单和均匀的特点，是经常采用的一种有效的方法，例如二分法检索。分治法解题的一般步骤：

（1）分解，将要解决的问题划分成若干个规模较小的同类问题；

（2）求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决；

（3）合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。

在该实验中，使用分治算法得到的程序有棋盘覆盖、二分法检索、合并排序、快速排序、循环赛日程表。

1.2 核心代码 1、阶乘

阶乘函数的递归的定义是 10

!(1)!0

n n n n n =⎧=⎨->⎩，从定义可知，递归的出口时当n==0时，程序结束。

程序如下：

#include using namespace std; int jiecheng(int n) {

if (n==0) return 1; if(n>0) {return n*jiecheng(n-1);} }

int main() {

int m,a; cin>>m;

a=jiecheng(m);cout<

}

从得到的实验数据分析，该数据只能针对数据较小的数成立，如果将数据定义为整数型，则只能计算20以下的数的阶乘，如果将数定义为100或者1000以上，则需要根据大数定理来做此问题。相对来说比较复杂，在此就不做讨论。

2、斐波拉齐

若有无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，则被称为Fibonacci 数列。它可以递归地定义为：

10()11(1)(2)1n F n n F n F n n =⎧

⎪==⎨⎪-+->⎩

做该实验，需要定义两个函数出口，则当n==0且n==1时，递归调用结束；程序结束。程序如下： #include using namespace std; int main() { int n,m; cout<<"输入:"<>n; int diguifblq(int n); for(int i=1;i<=n;i++)

{

m=diguifblq(i); cout<

int diguifblq(int n)

{

if(n<=1)

return 1;

else

return diguifblq(n-1)+diguifblq(n-2);

}

从得到的实验数据分析，该递归调用函数在n<=1时调用结束，返回数据为1,；输入的数据是16，则需要将前16项的数据依次两两相加得到。

3、二分查找

二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列或者将序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。该实验是典型的分治算法，即将规模逐步减小得到。实验程序如下：

#include

#include

#include

using namespace std;

int main ()

{

int x,n,i;

cout<<"输入需要操作数的个数：";

cin>>n;

vector a(n);

int left=0;

int right=n-1;

int d;

cout<<"输入所有的数：";

for(i=0;i

cin>>a[i];

sort(a.begin(),a.end()); //调用排序函数，对输入的数据进行排序；

cout<<"输出排序后的数："<

for(i=0;i

cout<

cout<

cout<<"输入要查找的数："<

cin>>x;

while(a[left]<=a[right]) //查找数

{

int d=(right+left)/2;

if(x==a[d])

{cout<<"已经找到"<<"该数的位置是："<

cout<<"再次输出该数的值:"<

return 0;

}

if (x>a[d])

{

left=d+1;

}

else right=d-1;

} cout<<"没有找到"<

return 0;

}