《概率论与数理统计》习题及答案 第四章

·34·

《概率论与数理统计》习题及答案

第 四 章

1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.

解 (,)X Y 的分布列为

其中 (1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X =======

(1,2)(1)(2|P X Y P X P Y X =====

=

121436

=?=

余者类推。

2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。

解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,

).2

X B

3

31()(

),0,1,2,32

k

P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为

·35·

其中 |0)X =

=，

1

3

31

3(1,1)(1)(1|1)()12

8

P X Y P X P Y X C =======?=

，

余者类推。

3．设(,)X Y 的概率密度为

1

(6),

02,24,

(,)8

0,.

x y x y f x y ?--<<<

其它

又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。求{(,)}

P X Y D ∈

解 （1）1

30

2

1{(,)}(6)8

P x y D x y d x d x y ∈=

--??

11943

682

2

8

-??=--

=??

?

?

； 2）130

2

1{(,)}(6)8

x P X Y D x y d x d y -∈=--??

1

1

2

113(1)[(3)4]82

x x d x x d x ?

?=-

--

--????

?

?

524

=.

4．设(,)X Y 的概率密度为

22

2

(,

(,)0,

.

C R x y R f x y ?-

+≤?=?

??

其他

求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆2

2

2

()x y r r R +≤<内的概率. 解 （1）2

2

2

23

2

1(R

x y R

C

R d x d y C R C

r d rd ππθ+≤=-=-??

?

?

·36·

33

3

233R R C R C πππ??=-=??

?

?，

∴ 3

3

C R

π=

.

（2）设2

2

2

{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为

2

2

2

3

3

{(,)}(x y r

P X Y D R d x d y R

π+≤∈=

-

??

3

2

2

3

23

232133r r r R r R

R R πππ????=

-=-????????

. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为

4,

01,01(,)0,

.

x y x y f x y ≤≤≤≤?=?

?其它

求X 和Y 的联合分布函数.

解1 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则

(,)(,)x y

F x y f u v d u d v -∞

+∞

=

?

?

001

0100

0,00,

4,

01,01,4,

01,1,4,

1,01,1,1, 1.

x

y

x

y

x y u v d u d v x y u y d u d y x y x v d x d v x y x y ?<

?

≤≤≤≤???=≤≤>???>≤≤??>>??

??????或

22220,00,,01,01,,

01,1,,1,01,1,

1, 1.

x y x y x y x x y y x y x y ?<

=≤≤>??>≤≤??>>?或

解2 由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为

2,

01,()0,

;

X x x f x ≤≤?=?

?其他 2,

01,

()0,.

Y y y f y ≤≤?=?

?其它

边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则

37·

2

0,0,()(),

01,1, 1.x

X X x F x f u d u x x x -∞

=≤≤??>??

2

0,0,()(),

01,1,

1.

y

Y X y F y f v d v y y y -∞

=≤≤??>??

设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则

222

20,00,,01,01(,)()(),

01,1,,1,01,1,1, 1.

X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ?<??>≤≤??>>?

或

6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0D x <<||y x <求边缘概率密度。

解 (,)X Y 的概率密度为 1,(,),(,)0,

.

x y D f x y ∈???其他

关于X 和Y 的密度为 0,

01

()(,),01,

x

X x x x f x f x y d y d y x +∞

-∞

-?≤≥?

=

=?<

?

?或 2,01,0,

.

x x <

?其他

11

0,1,,10,()(,),01,

0,1.

y

Y y y d x y f y f x y d x d x y y +∞

--∞

≤-???-<≤

?=

=??<

??

?1,1

0,1,01,0,.

y y y y +-<≤??

=-<

||1,0

,

.

y y -

?

其他

7．设(,)X Y 的概率密度为

·38·

,

0,(,)0,

.

y

e x y

f x y -?<

??其他

求边缘密度和概率(1)P X Y +≤ 解 0

,

0,

0,0,

()(,),0.

,

0;X x y

x

x x f x f x y d y e x e

d y x +∞

+∞

---∞

≤

?≤??

=

==?

?>>???

?

? 00,0,

0,0,

()(,),

0.

,0;y Y y

y

y y f y f x y d x y e y e d x

y +∞

---∞

?≤

?≤?

?=

==??

>>????

?

?

1

1

112200

1

(1)(,)()x

y

x

x

x

x y P X Y f x y d xd y e

d y d x e

e e d x ----+≤??

+≤=

=

=- ??

?

??

?

??

11

2

12e

e

--=-+.

8．一电子仪器由两个部件组成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,X Y 的联合分布函数为：

0.50.50.5()

1,0,0(,)0,

.

x

y

x y e

e

e

x y F x y ---+?--+≥≥?=?

??

其他

（1）问,X Y 是否独立？为什么？

（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解 （1）先求边缘分布函数：

0.51,0,()lim (,)0,

0.x

X y e

x F x F x y x -→+∞

?-≥==?

0.51,0,()lim (,)0

,

0.

y

Y x e

y F y F x y y -→+∞

?-≥==?

因为(,)()()X Y F x y F x F y =?，所以,X Y 独立.

（2）(0.1,0.1)(0.1)(0.1)[1(0.1)][1(0.1)]P X Y P X P Y P X P Y ≥≥=≥≥=-≤-≤ 0.05

0.05

0.1

e

e

e

---=?=.

9．设(,)X Y 的概率密度为

()

,0,0,(,)0

,

.

x y e x Y f x y -+?≥≥?

=?

??其他

间,X Y 是否独立？ 解 边缘密度为

·39·

0,0,

0,0,()(,),

0.

,0;X x

x y x x f x f x y d y e x e e d y x +∞

+∞

----∞

=

==??≥>???

?

?

0,0,(),

0.

Y y

y f y e

y -

>?

因为 (,)()(X Y f x y f x f y =?，所以,X Y 独立. 10．设(,)X Y 的概率密度为

8,

01,(,)0,

.

x y x y f x y ≤<

?其他

问,X Y 是否独立. 解 边缘密度

2

1

0,01,4(1),01,()(,)0,8,0 1.

X x x x x x x f x f x y d y xyd y x +∞

-∞

?<>?-≤≤?

?=

==??≤≤??

??

?

?或其他;

3

4,01,8,01,()(,)0,

0,y

Y y y xyd x y f y f x y d x +∞

-∞

??≤≤≤≤?

?=

==??????

??

其他;

其他;

因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠?，所以,X Y 不独立。 11．设(,)X Y 的概率密度为

1,||1,||1,(,)4

0,.

x y

x Y f x y +?<

=???

其他

试证明X 与Y 不独立，但2

X 与2

Y 是相互独立的。 证 先求,X Y 的联合分布函数(,)F x y

·40·

11111

1

11

0,11,1,||1,||1,41(,),

||1,1,41,1,||1,4

1,1,1;

x y x

y x y u v d u d v x y u v F x y d u d v x y u v d u d v x y x y ------?≤-≤-?

+?<

=<>??

+?>

2

2

,

11

11(1)(1)(1)(1),

||1,

416

1

(1),1,||121(1),||1,1,21

,

1, 1.

x y x y x y x y x y x x y x y ?≤-≤-??+++++≤?

??+≤>??>>??

或

关于X 的边缘分布函数为

0,

1,1

()lim (,)(1),

11,21, 1.

X y x F x F x y x x x →+∞

?<-??==+-≤≤???>?

关于Y 的边缘分布函数为

0,1,1

()(1),

11,2

1

, 1.

Y y F y y y y <-???=+-≤≤??>?? 因为(,)()()X Y F X Y F x F y ≠?，所以,X Y 不独立.

再证2

X 与2

Y 独立：设2

2

,X Y 的联合分布函数为1(,)F z t ，则

0,0

2

2

1(,)(,){z t F z t P X

z Y

t P x Y >>

=≤≤====-<≤≤

·41·

((F F F F =---

+-

0,00,01,01,,

1,01,01,1,1,1, 1.

z t z t z t z t z t ?≤≤?

<<<

=≥<

<<≥??≥≥??

或

关于2

2

()X Y 的边缘分布函数分别为

2

10,

0,()lim (,)01,1, 1.

X

t z F z F z t z z →+∞

?≤??

==<

≥??

2

0,

0,()01,1, 1.

Y

t F t t t ?≤??=<

因为2

2

1(,)()()X Y F z t F z F t =?，所以2X 与2

Y 独立.

证2 利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83页） 设 2

2

,Z X T Y ==. 函数2z x

=的反函数

为2

12x x t y

=

==的反函数

为

12y y =

=

1

11111,

,

x x z t J y y z

t

????=

==????

，22111221,J J J J ===-

；

于是22

(,)X Y 的概率密度函数为

·42·

2

2

11

1

(,)(,)||i j ij i j f z t f x y J ===

∑∑

1

1[111101,01,40,.

z t ?+

--+<<<

??

其他

01,01,0,z t <<<<=??

其它.

关于2

X 的边缘密度为

2

11

01,()(,)0,.

X z f z f z t d t +∞

-∞

<<=

=???

其它

关于2

Y

的边缘密度为2

1

01,()0,.

Y

t f t <<=??

其他

因为2

2

1(,)()()X Y f z t f z f t =?，所以2

2

,X Y 独立.

12．设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处.

解 设(,)1,2,1,2,3.i j ij P X x Y y p i j =====

由联合分布和边缘分布的关系知 11124

p =

·43·

由独立性 111113

11()68p p

p =?++，即 13111424

8

p =

+

+，故13112

p =

，

11

11

1248

12

4

p ?=

+

+

=，234

p ?=

222213()8

4p p =+?， 所以 2238p =，212

p ?=

31111623

p ?=-

-=

231113

12

4

p =

-=

所以(,)X Y 的分布为

13．已知随机变量1X 和2X 的概率分布为 1

101~1114

2

4X -????

????

， 2

01~112

2X ????????

而且 12(0)1P X X ==

（1）求1X 和2X 的联合分布；

（2）问1X 和2X 是否独立？为什么？

解 （1）12(0)1P X X ==知1212(1,1)(1,1)0P X X P X X =-=====，再由联合分布和边缘分布的关系知12(,)X X 的分布为

·44·

（2）因1212

111(1,0)(1)(0)

4

4

2

P X X P X P X =-==

≠

?

==-=，所以,X Y 不独立.

14．设随机变量,X Y 相互独立，且都服从(,)b b -上的均匀分布，求方程

2

0t tX Y ++=有实根的概率.

解 设A =‘方程有实根’，则

A 发生2

40X Y ?-≥ 即

2

2

4()(4)(,)x y

P A P X

Y f x y d x d y ≥=≥=

??

2

2

42

2

11(

)

444x

b

b

b

b

b

x

d xd y b d x b

b

---==

+??

?

3

2

2

11[

2]46

24

2

b

b b b

=

+=

+

， 4b ≤

.

2

2

2

1(4)1()44

x

P X

Y b d x b

-≥=-

-

?

3

3

222

1

1

1[4(88)]412

b b b =-+ 1=-

15．已知随机变量X 和Y 的联合分布为

(,)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)(,)

0.10

0.15

0.25

0.20

0.15

0.15

x y P X x Y y ==

试求：（1）X 的概率分布；（2）X Y +的概率分布 解 （1）X 的分布为

0120.25

0.45

0.30

X P

（2）X Y +的分布为

·45·

01230.10

0.4

0.35

0.15

X Y P

+

16．设X 与Y 为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为

()P X n =1()()2

n

P Y n ===，1,2,n = ，求X Y +的分布列.

解 设Z X Y =+，Z 的分布为

1

1

()()()()k i P Z k P X Y k P X i P Y k i -===+==

==-∑

1

1

11(

)(

)

2

2

k i

k i

i --==

∑

1(1)(

)

2,3,2

k

k k =-=

17．设,X Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为,n p 的二项分布，证明Z X Y =+服从参数为2,n p 的二项分布.

证 0()()()()k

i P Z k P X Y k P X i P Y

k i ===+

=

=

==-∑

0(1)

(1)

k

i i

n i

k i

k i

n k i

n n

i C p p C p

p ----+==

-?-∑

2220

(1)

(1)

k

k

n k

i

k i

k

k

n k

n n

n i p p C C C p p ---==-=-∑

0,1,,2

k n = 故Z X Y =+服从参数为2,n p 的二项分布. 注：此处用到一个组合公式：

k

i k i

k

m n

m n i C C C -+==∑

此公式的正确性可直观地说明如下：从m n +个不同的元素中取k 个共有

k

m n C +种不同的取法。从另一个角度看，把m n +个元素分布两部分，一部分有m 个，另一部分有n 个，从第一部分中取i 个再配上从第二部分中取k i -个，不同

的取法共i k i

m n

C C -，让i 从0变到k ，总的取法是0

k

i k i

m n

i C C -=∑，这两种取法应相等.

18．设,X Y 相互独立，其概率密度分别为

1,01,()0,

;

X x f x ≤≤?=?

?其他 ,

0,()0,

0.

y

Y e y f y y -?>=?

≤?

求X Y +的概率密度.

解1 设Z X Y =+，由卷积分式，Z 的概率密度为 ()()()Z X Y f z f z y f y d y +∞

-∞

=

-?

·46·

,

0,01,()()0,

.

y

X Y e y z y f z y f y -?>≤-≤?-?=?

??其它

D 如图.

当 0z <时，()0Z f z = 当 01z ≤<时，0

()z

y

Z f z e

d y -=

?

1z y

z

e

e

--=-=-

当 1z ≥时，1

()(1),z

y

z

Z z f z e

d y e

e ---==-?

综上所述

0,0,()1,

01,(1),

1.

z

Z z

z f z e z e e z --≤?

?=-<

-∞

=

-?

，

注意到当01x <<时()X f x =1，有 1

1

()()()()()u z x

z Z X Y Y Y z

f z f x f z x d x f z x d x f u d u =-+∞

--∞

=-=

-====

-?

?

?

令

1

(),z

Y z f u d u -=?

因

0,0,

(),0.

Y u u f u e u -≤?=?>?

所以，当 0z ≤时，()0Z f z =， 当 01z <<时，0

()1z

u

z

Z f z e

d u e

--==-?

，

当 1z ≥时，1

()(1)z

u

z

Z z f z e

d u e

e ---==-?

.

综上所述

·47·

0,0()1,

01,(1),1.z

Z z

z f z e z e e z --≤??=-<

? 解3 分布函数法：设Z 的分布函数为()Z F z ，则 ()()()X Y x y z

X Y z f x f y d x d y +≤+≤=

??

00

1000,0,

01,1,

z

z y y z x

y z e d y d x z e d y d x z ----?

≤???=?<

≥??????当时,当时,当时 0,0,1,

01,1,

1.

z

z z z z e z e e e z ---≤?

?=+-<

0,0()()1,

01,(1),

1.

z

Z Z z

z f z F z e z e e z --≤??'==-<

解 X 的密度为,0,()0,

.

x

X e

x f x αα-?>?=?

??

其他

Y 的密度为,0,()0

,

0.

y

Y e

y f y y ββ-?>=?

≤?

设Z 的密度为()Z f z ，则 ()()

()Z X Y

f z f x f z

x d x +∞

-∞

=

?-?

()

,0,0,()()0,

.

x

z x X Y e

e

x z x f x f z x αβαβ---??>->??-=?

其他

0≤时，()0Z f z =

·48·

当 0z >时，()0

()z

z

x

Z f z e

e

d x ββααβ--=

?

()0

1

z

z

x

e e

ββααββα

--=?

-

()z

z

e e

αβαββα

--=?--, αβ≠

当 αβ=时 220

()z

z

z

Z f z e

d x ze

αααα--=

=?

综相所述Z X Y =+的密度为

0,0

()(),

0.

Z z z

z f z e e z αβαββα--≤

??

=?->?-?

αβ≠.

20

,0,(),0.

Z z

z f z ze

z αα-≤?=?>? αβ=.

20．设(,)X Y 的概率密度为 3,0,01,

(,)0,

.

x y x x f x y <<<

?其他

求Z X Y =-的概率密度.

解1 利用Z X kY =+的密度公式：()(,)Z f z f z ky y d y +∞

-∞

=-?

，

取1k =-得 ()(,),Z f z f z y y d y +∞

-∞

=+?

其中

3(),

01,0,

(,)0

,

.

z y z y z y f z y y ?+<+<>?+=?

??

其他不等式01,0,0z y z y <+<>>确定平面域如图 当 0z ≤ 或 1Z ≥ 时 ()0Z f z =， 当 01z << 时， 10

()3()z

Z f z z y d y -=+?

2

2

333(1)(1)(1).2

2

z z z z =-+

-=

-

即

·49·

23(1),

01,()2

0,.

Z z z f z ?-<

其他

解2 设Z 的分布函数为()Z F z ，密度为()Z f z ，则 ()()()(,)Z x y z

F z P Z z P X Y z f x y d x d y -≤=≤=-≤=??

1

,

0,

33,

01,1,

1.

z x

x

z

x z

z x d x d y x d x d y z z -≤???

=+

<

≥???

?

??

30,

0,3

1,

01,2

21,

1.

z z z z z ≤??

?=-<?? 于是

23(1),

01,()()2

0,.

Z Z z z f z F z ?-<

其他

21．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 22

2

22

1(,),

,2x y f x y e x y σ

πσ

+-

=-∞<<+∞，

求 2

2

Z X

Y

=+的概率密度()Z f z .

解 设Z 的分布函数为()Z F z ，则 2

2

()()()Z F z P Z z P X

Y

z =≤=+≤2

2

(,)z x y z

f x y d x d y >+≤==

??

2

2

2

2

2

22

12x y x y z

e

d xd y σ

πσ

+-

+≤=

??

22

222

12r

e

r d r d πσ

θπσ

-

=

?

?

·50·

22

2222

20

1

112r

u

r z e

r d r e d u σ

σ

σ

σ--

=

====

??

?

令 故222

0,

0,

()1,0.

2z Z z f z e z σσ-≤??=?>??

2

21z e

e

σ

-

=-=-， 故222

0,0,

()()1,0.

2z

z z z f z F z e z σσ

-

≤??'==?>??

22．设随机变量X 与Y 独立，2

~(,)X N μσ，~[,]Y U ππ-，试求

Z X Y =+的概率密度()Z f z

解1 由卷积公式 ()()(),Z X Y f z f x f z x d x +∞

-∞

=?-?

其中

2

2

()

21,,,()()0,.

x X Y x z x f x f z x μσππ--?-∞<<+∞-≤-≤?-=?

其它

不等式,x z x ππ-∞<<+∞-≤-≤确定平面区域D ： 当z -∞<<+∞时 2

2()21()x z Z z f z d x μπ

σ

π

--

+-=

?

2

2

112x t t

z z d t μ

πμ

σσ

πμσ

π-=

+--

--====

?

令

1()().2z z πμπμπσσ+---??

=Φ-Φ????

解2 用变量代换： ()()()Z X Y f z f z y f y d y +∞

-∞

=

-?

.

因为~[,]Y U ππ-所以当y ππ-<<时1()2Y f y π

=

2

2

()

21()()()z y Z X Y f z f z y f y d y d y μπ

σ

π

---

+∞

-∞

-=

-=

?

?

2

2

()2u u z y

z z d u μπ

σ

π

-=--

-+====-

?

令

2

2

()

2

u

z

z

d u

μ

π

σ

π

-

-

+

-

=?

1

()()

2

z z

πμπμ

πσσ

+---

??

=Φ-Φ

??

??

.

23．设随机变量(,)

X Y的概率密度为

(2)

2,0,0,

(,)

0,.

x y

e x y

f x y

-+

?>>

?

=?

??其他

求2

Z X Y

=+的分布函数()

Z

F z.

解

2

()()(2)(,)

x y z

F z P Z z P X Y z f x y d x d y

+≤

=≤=+≤=??

2

2

00

0,0,

2,0.

z x

z

x y

z

e e d y d x z

-

--

≤

?

?

=??

?

>

??

?

??

?

??

0,0,

1,0.

z z

z

e z e z

--

≤

?

=?

-->

?

24．设二维随机变量(,)

X Y在矩形{(,)|02,01}

G x y x y

=≤≤≤≤上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度()

f s.

解1设矩形的面积为S，则S X Y

=，又设S的分布函数为()

S

F s，则

()()()(,).

S

x y s

F s P S s P X Y s x y d x d y

?

≤

=≤=≤=??

其中

1

,(,),

(,)2

0,.

x y G

x y

?

?

∈

?

=?

?

?其他

()(,)

S

x y s

F s x y d x d y

?

≤

=??

12

000

0,0,

11

,02,

22

1, 2.

s

s

x

s

s

d x d y d x d y s

s

≤

?

?

?

=+<<

?

?

≥

?

?

????

0,0,

(1ln2ln),02,

2

1, 2.

s

s

s s

s

≤

?

?

?

=+-<<

?

?

≥

??

·51·

·52·

于是

1

(ln 2ln ),

02,()()2

0,.

S s s f s F s ?-<

其他 解2 利用乘积的密度公式 ()(

,)

||

s d y f s y y

y ?+∞

-∞

=

?

1

,

01,02,

2

(,)0,

.

s y s y y y ??≤≤≤≤?=??

?其他

当 0S ≤或2s ≥时()0,f s = 当 02s <<时

1

1

2

2

111()ln (ln 2ln )22

2

s s f s d y y

s y

=

=

=

-?

综上所述

1

(ln 2ln ),

02,()2

0,.

s s f s ?-<

其他

25．设X 和Y 为两个随机变量，且

34{0,0},

(0)(0),77P X Y P X P Y ≥≥=

≥=≥=

求 {m a x (,)0}.P X Y ≥

解 {m a x (,)0}{(0)(

0)}(0)P X

Y P

X Y P X P Y ≥=≥≥=≥

+

≥

4435{0,0}.7

7

7

7

P X Y -≥≥=

+

-

=

26．设,ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为

1(),1,2,33

P i i ξ==

=，又设m a x (,)X ξη=，m in (,)Y ξη=，试写出二维随

机变量(,)X Y 的分布律及边缘分布列并求().P ξη= 解 X 的可能值为1,2,3，Y 的可能值为1,2,3.

1(1,1){m ax (,)1,m in (,)1}(1,1),9P X Y P P ξηξηξη=========

依此类推可求出(,)X Y 的分布列及边缘分布列如下：

·53·

1()3

P ξη==

.

27．假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0λ>的指数分布. 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布. 解 设T 的分布函数为()T F t ，第i 件元件的寿命为i X ，其分布函数为

()F x . 则

123()(){m in (,,)}T F t P T t P X X X t =≤=≤ 3

1[1()]F t =--

31,0,0

,

0.

t

e t t λ-?->=?

≤?

即 ~(3)

T E λ 28．设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布：(0)0.6i P X ==，

(1)0.4i

P X

==，1,2,3,4i =. 求行列式

123

4

X X X X

X

=

的概率分布 解1 1214

23

3

4

X X X X X

X X

X

X

=

=-

X 的可能值为1,0,1-.

1423

(1)(0,1)P X P X X X X =-=== 14141423{(0,1)(1,0)(0,0),(1,1)}P X X X X X X X X =========