空间中的平面方程式

§2−3 空間中的平面方程式

(甲)空間中平面方程式

(1)[回顧坐標平面上的直線]：

(a)平面坐標系中，只要知道斜率m與點(x0,y0)就可以確定直線的位置，因此可以求出直線的方程式y−y0=m(x−x0) (點斜式)。

(b)考慮平面上的直線L：2x+3y+6=0，P(3,−4)為L上的任意點，我們曾定義直線L的法向量

→n=(2,3)，設R(x,y)為L上的一點，根據法向量的定義，可知→n→n=0⇒(x−3,y+4)⋅(2,3)=0⇒2x+3y+6=0。

(2)平面的法線與法向量：

平面的法線：若一直線L垂直於平面E，則稱此直線為平面E的法線。

平面的法向量：

若直線L為平面E的法線，

則直線L的一個方向向量就稱為平面E的一個法向量。

法向量的特性：

(a)一個平面的法向量會是唯一嗎？NO！

(b)若任取平面E上的兩個相異點A、B

→n。

(3)如何求平面的方程式：

(a)點法式：

若平面E法向量→n=(a,b,c)且過點A(x

,y0,z0)，

則平面E的方程式為a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0。[證明]：

在平面E上任取一點P其坐標為(x,y,z)→n

所以(x−x0,y−y0,z−z0)⋅(a,b,c)=0

⇒a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0

反過來說滿足方程式a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0的解Q(x,y,z)

→

n⇒Q落在平面E上。

(b)一般式：

將方程式a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 化簡可得ax+by+cz+d=0的方程式。我們將ax+by+cz+d=0稱為一般式。

一般式ax+by+cz+d=0的法向量為

→n=(a,b,c)

[證明]：

設A(m ,n ,l )、B(p ,q ,r )在平面ax +by +cz +d =0上， (a ,b ,c )=(p −m ,q −n ,r −l )⋅(a ,b ,c ) =a (p −m )+b (q −n )+c (r −l ) =ap +bq +cr −(am +bn +cl ) =d −d =0

→n 因此ax +by +cz +d =0的法向量為→n =(a ,b ,c )。 結論：掌握法向量→n ，平面上的一點P ，即可用點法式去表示平面方程式： (a)已知平面E 的→n =(a,b,c )，過P(x 0,y 0,z 0) ⇒點法式：a (x-x 0)+b (y-y 0)+c (z-z 0)=0 (b)一般式：ax +by +cz +d =0，法向量→n =(a,b,c )。

(4)問題與討論：

(a)特殊平面：xy 平面⇒z =0 ，yz 平面⇒x =0，zx 平面⇒y =0

(b)如何去決定方程式2x +3y −6=0的圖形。

平面坐標：

空間坐標：

⇒y

y x

[例題1] 已知一平面E 和直線AB 垂直，A 為其垂足，若A(4,3,−2)，B(5,−2,1)，求平面

E 的方程式。Ans ：x −5y +3z +17=0

(練習1) 求過點P(2,−3,1)且法向量→n =(2,−3,4)的平面方程式。 Ans ：2x −3y +4z =17

(練習2) 在空間中，連接點P(2,1,3)與點Q(4,5,5)的線段PQ 之垂直平分面。

Ans ：x +2y +z −13=0 (練習3) 設P 、Q 為平面E ：ax +by +cz =5x 0 , y 0 , z 0)，則

⋅(a ,b ,c )為何？(A)不定值，隨(x 0 , y 0 , z 0)而改變。(B)25 (C)5 (D)0 (E)−1。Ans ：(D)

((a)從一個例子說起：

設A(3，−1,1)、B(4,2,−1)、C(7,0,3)，求過[解法]：設平面的法向量為→n =(a ,b ,c )， 3)給不共線三點求平面方程式： A 、B 、C 三點的平面方程式。 −2)⇒→n →n 即→n 0且→n 0 ⇒⎨⎧+=−+0

23a c b a ⇒a =−811⎩=+0

24c b c ，b 11=10c

所以n =k (8,−10,−11) k ≠0，取n =(8,−10,−11) 程式為8(x −3)−10(y +1)−11(z −1)=0。

中兩個向量→a 、→b ， 可以找到c ，使得a ⊥c 且b ⊥c 。 即a ：b ：c =8：(−10)：(−11)

→→ 所求平面方

(b)找公垂向量：

由前面的例子中，我們知道已知空間→→→→→

空間中的向量運算除了有加減法、係數積、內積之外，還有一種運算⎯外積。 作用在位移r 的終點上，它的力矩定義為一個向量M 其大小為 ， |sin θ ，且M

構成右手符系， 這樣的慨念抽象化之後，形成以下的定義：

=(a 1,a 2,a 3) =(b 1,b 2,b 3)，

的外積為(a 2b b b 1)，

3−a 3b 2，a 31−a 1b 3，a 1b 2−a 2符=(a 2b 3−a 3b 2，a 3b 1−a 1b 3，a 1b 2−a 2b 1)。 速算法：

快3

21321

321321b b b b b b a a a a a a 性質：

|sin θ ，θ之夾角。 =

為一個向量，其大小為|sin θ ，

構成右手則。

(d)∆ABC =21

|AB 。

、，使得 平行的一個向量。

A 例如：設A(1,2,0)，B(0,3,0)，C(−2,−3,1)，求　

AB 與　AC 的一個公垂向量。 ns ：(1,1,8)