用拉伸法测量杨氏弹性模量

用拉伸法测量杨氏弹性模量

任何物体在外力作用下都会发生形变，当形变不超过某一限度时，撤走外力之后，形变能随之消失，这种形变称为弹性形变。如果外力较大，当它的作用停止时，所引起的形变并不完全消失，而有剩余形变，称为塑性形变。发生弹性形变时，物体内部产生恢复原状的内应力。弹性模量是反映材料形变与内应力关系的物理量，是工程技术中常用的参数之一。

一. 实验目的

1. 学会用光杠杆放大法测量长度的微小变化量。

2. 学会测定金属丝杨氏弹性模量的一种方法。

3. 学习用逐差法处理数据。

二. 实验仪器

杨氏弹性模量测量仪支架、光杠杆、砝码、千分尺、钢卷尺、标尺、灯源等。

三. 实验原理

在形变中，最简单的形变是柱状物体受外力作用时的伸长或缩短形变。设柱状物体的长度为L ，截面积为S ，沿长度方向受外力F 作用后伸长（或缩短）量为ΔL ，单位横截面积上垂直作用力F ／S 称为正应力，物体的相对伸长ΔL ／L 称为线应变。实验结果证明，在弹性范围内，正应力与线应变成正比，即

L L

Y

S

F ∆= （3-1-1） 这个规律称为虎克定律。式中比例系数Y 称为杨氏弹性模量。在国际单位制中，它的单位为N ／m 2，在厘米克秒制中为达因/厘米2。它是表征材料抗应变能力的一个固定参量，完全由材料的性质决定，与材料的几何形状无关。

本实验是测钢丝的杨氏弹性模量，实验方法是将钢丝悬挂于支架上，上端固定，下端加砝码对钢丝施力F ，测出钢丝相应的伸长量ΔL ，即可求出Y 。钢丝长度L 用钢卷尺测量，钢

丝的横截面积

4

2

d S π=

，直径d 用千分尺测出，力F 由砝码的质量求出。在实际测量中，

由于钢丝伸长量ΔL 的值很小，约mm 1

10-数量级。因此ΔL 的测量采用光杠杆放大法进行

测量。

光杠杆是根据几何光学原理，设计而成的一种灵敏度较高的，测量微小长度或角度变化的仪器。它的装置如图3-1-1（a ）所示，是将一个可转动的平面镜M 固定在一个⊥形架上构成的。

（a ） （b ）

1—反射镜和透镜；2—活动托台；3—固定托台；4—标尺；5—光源

图3-1-1 光杠杆装置及测量原理图

图3-1-2 测量装置图

图3-1-1（b ）是光杠杆放大原理图，假设开始时，镜面M 的法线正好是水平的，则从光源发出的光线与镜面法线重合，并通过反射镜M 反射到标尺n 0处。当金属丝伸长ΔL ，光杠杆镜架后夹脚随金属丝下落ΔL ，带动M 转一θ角，镜面至M ′，法线也转过同一角度，根据光的反射定律，光线On 0和光线On 的夹角为2θ。

如果反射镜面到标尺的距离为D ，后尖脚到前两脚间连线的距离为b ，则有

b L

tg ∆=θ ；

D

n n tg 0

2-=θ

由于θ很小，所以

b L

∆=θ ；

D

n n 0

2-=

θ

消去θ，得

()n

D

b D

b

n n L ∆=

-=

∆220 （n n n ∆=-0） （3-1-2）

由于伸长量ΔL 是难测的微小长度，但当取D 远大于b 后，经光杠杆转换后的量n ∆却是较大的量，2D /b 决定了光杠杆的放大倍数。这就是光放大原理，它已被应用在很多精密测量仪器中。如：灵敏电流、冲击电流计、光谱仪、静电电压表等。 将（3-1-2）式代入（3-1-1）式得：

n b d D FL L S FL

Y ∆=∆=182

π (3-1-3)

本实验使钢丝伸长的力F ，是砝码作用在纲丝上的重力mg ，因此杨氏弹性模量的测量公式为：

n b

d mgLD

Y ∆=

1

82

π (3-1-4)

式中，Δn 与m 有对应关系，如果m 是1个砝码的质量，Δn 应是荷重增（或减）1个砝码所引起的光标偏移量；如果Δn 是荷重增（或减）4个砝码所引起的光标偏移量，m 就应是4个砝码的质量。

四. 实验内容 1. 仪器调节

(1)按图3-1-2安装仪器，调节支架底座螺丝，使底座水平（观察底座上的水准仪）。

(2)调节反射镜，使其镜面与托台大致垂直，再调光源的高低，使它与反射镜面等高。

(3)调节标尺铅直，调节光源透镜及标尺到镜面间的距离D ，使镜头刻线在标尺上的像清晰。再适当调节反射镜的方向、标尺的高低，使开始测量时光线基本水平，刻线成像大致在标尺中部。记下刻线像落在标尺上的读数为n 。 注意：此时仪器已调好，在测量时不能再调了！

2. 测量

（1）逐次增加砝码，每加一个砝码

记下相应的标尺读数i n

，共加8次，然后再将砝码逐个取下，记录相应的读数i

n ′，直到测出'

0n 为止。 加减砝码时，动作要轻，防止因增减

砝码时使平面反射镜后尖脚处产生微小振动而造成读数起伏较大。

（2）取同一负荷下标尺读数的平均值7210n n n n 、、，用逐差法求出钢丝荷重增减4个砝码时光标的平均偏移量Δn 。

（3）用钢卷尺测量上、下夹头间的钢丝长度L ，及反射镜到标尺的距离D 。

（4）将光杠杆反射镜架的三个足放在纸上，轻轻压一下，便得出三点的准确位置，然后在纸上将前面两足尖连起来，后足尖到这条连线的垂直距离便是b 。

（5）用千分尺测量钢丝直径d ，由于钢丝直径可能不均匀，按工程要求应在上、中、下各部进行测量。每位置在相互垂直的方向各测一次。

五. 数据处理

（ ± ）2. 测量钢丝直径记录表 d 0= mm

测量部位 上 部 中 部 下 部 平均值

测量方向 纵 向 横向 纵 向 横 向 纵 向 横 向 d(mm)

不确定度=∆d mm

测量结果d=（ ± ）mm 3. 单次测L 、D 、b 值：

L=( ± )m ； D=( ± )m ； b=( ± )m

4. 将所得各量带入（3-1-4）式，计算出金属丝的杨氏弹性模量，按传递公式计算出不确定度，并将测量结果表示成标准式 =∆±=Y Y Y （ ± ）N ／m 2。 六.问题讨论

1. 两根材料相同，但粗细、长度不同的金属丝，它们的杨氏弹性模量是否相同？

2. 光杠杆有什么优点？怎样提高光杠杆的灵敏度？

3. 在实验中如果要求测量的相对不确定度不超过5%，试问，钢丝的长度和直径应如何选取？标尺应距光杠杆的反射镜多远？

4. 是否可以用作图法求杨氏弹性模量？如果以所加砝码的个数为横轴，以相应变化量为纵轴，图线应是什么形状？

附表：常用金属与合金的杨氏弹性模量

物质名称

杨氏弹性模量

(1011

达因/厘米2

)

物 质 名 称

杨氏弹性模量

(1011达因/厘米2)