2019届七彩阳光联盟第三次联考数学试题卷

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正视图

A

C

E

F S 2019届七彩阳光联盟第三次联考数学试题卷

一、选择题：本大题共10小题，共40分

1. 已知集合{}2log 2A x x =≤，N 为自然数集，则A

N =（ ）

A ．{}1,2

B ．{}1,2,3

C ．{}1,2,3,4

D ．{}0,1,2,3,4

2. 双曲线22

221x y a b

?=的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）

A ．y x =±

B

．y =

C

．y =

D

．y x = 3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的

表面积（单位：2cm ）是（ ） A ．16 B ．32

C ． 44

D ．64

4. 复数z 满足i 3i z z ?=+，则z （ ）

A ．最小值为1，无最大值

B ．最大值为1，无最小值

C ．恒等于1

D ．无最大值，也无最小值

5. （2019届七彩阳光联盟第三次联考5）函数sin 2x y ?=的部分图象可能是（ ）

6. 已知平面α，β，直线,a b 满足a α⊥，b β?，则“a b ⊥”是“αβ”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7. 随机变量

其中a ，b ，c 成等差数列，则()D ξ

A ．与n 有关，有最大值2

3

B ．与n 有关，有最小值

23 C ．与n 无关，有最大值2

3

D ．与n 无关，有最小值2

3

8. 如图，在三棱锥S ABC ?中，SC ABC ⊥平面，E ，F 是棱SC 的两个

三等分点，设二面角S AB F ??、F AB E ??、E AB C ??的平面 角分别为α、β、γ，则（ ） A ．αβγ>> B ．αγβ>>

C ．γβα>>

D ．

γα

β>

>

D

C

B

A

9. 已知平面向量a ，b ，c 满足：1a b c ===，0a b ?=，则1

22

c a c b ?+

?的最小值为（

） A B ．2

C ．

52

D

10. 数列{}n a 满足11a =，1sin n n n a a a +=+，对于*n N ∈，下列选项错误的是（ ）

A ．1n n a a +≥

B ．12n n a ?≤

C ．n a π≤

D ．2n a ≤

二、填空题：本大题共7小题，共36分

11. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域

扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，若复数2019

4

i z e π=，则z 的实部为 ，2z = ．

12. 已知不等式组,

1,.

y x x y y a ≤??

+≤??≥?

表示的平面区域的面积为94，则a = ；若(),P x y 在该平面区域内，

则2z x y =+的最大值为 ． 13. 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222a c b ac +?=，2cos b a A =，2c =，则

a = ，ABC △的面积为 ．

14. ()()()()1121314x x x x ++++的展开式中2x 的系数为 ．

15. 函数()21,0

log ,0

x x f x x x ?+≤?=?>??，则()()3f f ?= ，若存在四个不同的实数a ，b ，c ，d ，使得

()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围为 ．

16. 安排4名男生、3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则这样的排法有 种．

17. 已知P 为椭圆C ：22

143

x y ?

=上一个动点，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆C 在P 点处的切线距离为d ，若1224

7PF PF ?=，则d = ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分

18. （14分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上．

（1）求cos2α的值；

（2）若角β满足()tan 21αβ?=，求tan β的值．

P

D

C

B

A

19. （15分）如图，在四棱锥P ABCD ?中，BC ⊥平面PCD ，CD ∥AB ，22AB CD ==

，BC PC =PD AB ⊥．

（1）求PD 的长；

（2）求直线AD 与平面P AB 所成角的正弦值．

20. （15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{

},

n a 分别是公差为1

,2

d d 的等差数列．

（1）求,n n a S ；

（2）若2n n n a b =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．

21. （15分）如图，斜率为k 的直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，直线PM 垂直平分弦AB ，且分

别交AB 、x 轴于M 、P ，已知()4,0P ． （1）求M 点的横坐标； （2）求PAB △面积的最大值．

22. （15分）已知()3

1ln 6

f x x ax x =

?+． （1）若()f x 在定义域上单调递增，求a 的取值范围； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：122x x +>．