高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第84讲 二项式定理的应用
高考数学(简单版)-2二项式定理 - 简单难度 - 讲义
二项式定理知识讲解一、二项式定理1.二项式定理定义：()()011222...nn n n n nn n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理．2.二项式系数、二项式的通项定义：011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rn C a b -叫做二项展开式的通项．用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． 3.二项式展开式的各项幂指数：二项式()na b +的展开式项数为1n +项各项的幂指数状况是：1）各项的次数都等于二项式的幂指数n ．2）字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．4.二项式系数的性质1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．2）单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中：当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nnC 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数12n nC-, 12n nC+相等，且最大．3）组合总数公式：012n 2n n n n n C C C C ++++= 即二项展开式中各项的二项式系数之和等于n2．4）“一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即024135-1n n 2n nn n n C C C C C C +++=+++=．备注：①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()na b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r nT C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．经典例题一．选择题（共12小题）1．（2018•新课标Ⅲ）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20C．40 D．80【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：T r+1=（x2）5﹣r（）r=，由10﹣3r=4，解得r=2，∴（x2+）5的展开式中x4的系数为=40．故选：C．2．（2018•株洲一模）（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（）A．10 B．30C．45 D．210【解答】解：（1+x﹣x2）10=[1+（x﹣x2）]10的展开式的通项公式为T r+1=（x ﹣x2）r．对于（x﹣x2）r，通项公式为T m+1=•x r﹣m．（﹣x2）m，令r+m=3，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得，或．∴（1+x﹣x2）10展开式中x3项的系数为=﹣90+120=30．故选：B．3．（2018•凉山州模拟）（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数是（）A．4 B．6C．8 D．12【解答】解：（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数：二项式（1+x）5由通项公式当（1﹣x）提供常数项时：r=4，此时x项的系数是=5，当（1﹣x）提供一个x时：r=5，此时x项的系数是﹣1×=﹣1合并可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数为4．故选：A．4．（2018•河南模拟）展开式中x2的系数为（）A．20 B．15C．6 D．1【解答】解：=展开式中x2的系数=+=20．故选：A．5．（2018•龙岩模拟）已知二项式，则展开式的常数项为（）A．﹣1 B．1C．﹣47 D．49【解答】解：二项式==1+4（﹣2x）+6+4+，∴二项式展开式中的常数项产生在1，6，中；分别是1，6×2••（﹣2x），••（﹣2x）2；它们的和为1﹣24+24=1．故选：B．6．（2018•山东模拟）在（x﹣2y）5的展开式中，所有项的系数之和等于（）A．32 B．﹣32C．1 D．﹣1【解答】解：令x=1，y=1，可得（x﹣2y）5的展开式中，所有项的系数之和等于﹣1，故选：D．7．（2018•洛阳二模）在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（）A．﹣5 B．﹣1C．1 D．5【解答】解：（1+x）2（1﹣x）5=（1+2x+x2）（1﹣5x+10x2﹣10x3+5x4﹣x5），∴展开式中含x5项为﹣x5+2x•5x4+x2•（﹣10x3）=﹣x5；∴含x5项的系数是﹣1．故选：B．8．（2018•辽阳一模）的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160C．100 D．80【解答】解：=，∵x（1+2x）5的展开式中含x3的项为，的展开式中含x3的项为．∴的展开式中，x3的系数为40+80=120．故选：A．9．（2018•赣州一模）若（x2）n展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项是（）A．10 B．20C．30 D．40【解答】解：（x2）n=，由（x2）n展开式中各项系数之和为64，得22n=64，∴2n=6．则=，其展开式的通项为．取6﹣2r=0，得r=3．∴展开式中的常数项是．故选：B．10．（2018•双流区模拟）（x2﹣2）6（x2﹣1）的展开式中x4的系数是（）A．48 B．﹣48C．﹣432 D．432【解答】解：（x2﹣2）6的展开式的通项为=．由12﹣2r=2，可得r=5，由12﹣2r=4，可得r=4．∴（x2﹣2）6（x2﹣1）的展开式中x4的系数是．故选：C．11．（2018•太原三模）已知（x﹣1）（ax+1）6展开式中x2的系数为0，则正实数a=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵（ax+1）6的展开式中含x，x2的项分别为，，∴（x﹣1）（ax+1）6展开式中x2的系数为6a﹣15a2=0，解得：（a＞0）．故选：B．12．（2018•盐湖区校级一模）在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为a，含x7项的系数为b，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选：D．。
10.3二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习
剩余的 2 个因式中 1 个选 y ，
剩余最后 1 个x y 2中选 2，
转化思想 计数原理
即 C53x3C21 ( y)2 40x3 y2 .
计数原理
考点一 展开式中的通项问题
角度3 三项展开式问题 跟踪训练：
(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________.
方法1： (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.
＝（1－x）5[1－（1－x）4]＝（1－x）5－（1－x）9
1－（1－x）
x
(1－x)5 中 x4 的系数为 C45＝5，(1－x)9 中 x4 的系数为 C49＝126.
考点一 展开式中的通项问题
角度2 两个二项式之积
例2
(2023·湖南名校大联考)
x3
2
2x
1 x2
6
的展开式中的常数项为
Tr＋1＝Cr6y6－r
－2 x2
r＝(－2)rCr6y6－rx－2r，
可知 r＝4 时，系数最大(－2)4C46＝240，对应项为 240x－8y2.
归纳总结，形成结构
展开式的通项
公4式.解法决、这分些类问题思的想、 计数方原法理有、哪赋些？值法
求特定项
2.复二习项了式哪系些数概、念、 公项式的、系性数质？
.
方法提炼
赋值法是解 决此类问题 的基本方法.
考点二 二项式系数的和与各项系数和问题
拓展训练：
1.若 1 x 10 a0 a1x a2x2 则 a10x10, a1 2a2 10a10
二项式定理与导数结合题
二项式定理与导数结合题二项式定理与导数结合是高中数学中的一种常见题型，它要求我们利用二项式定理和导数的相关知识进行计算和推导。
下面我将为大家详细介绍二项式定理和导数的知识，并通过一道题目来展示二者的结合应用。
首先，我们来复习一下二项式定理的基本概念和公式。
二项式定理是指对于任意实数a、b和正整数n，有如下展开式：$$(a+b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1}\cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \cdots + C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k + \cdots + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n$$其中，$C_n^k$表示组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
接下来，我们回顾一下导数的相关知识。
导数是函数的增量与自变量增量比的极限，用符号$\frac{d}{dx}$表示。
函数f(x)的导数可以表示为$\frac{df(x)}{dx}$ 或 $\frac{dy}{dx}$ 或$f'(x)$。
导数有几个重要的性质：1.导数的和法则：$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.导数的乘法法则：$(f\cdot g)'(x)=f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdotg'(x)$3.导数的链式法则：$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$4.幂函数的导数：$(x^n)'=n \cdot x^{n-1}$5.指数函数的导数：$(a^x)'=a^x \cdot \ln a$6.对数函数的导数：$(\log_a x)'=\frac{1}{x \cdot \ln a}$了解了以上基本知识，我们来看一个结合了二项式定理和导数的例题。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结
一. 二项式定理
二项式定理是一个数学定理，它是指给定的任意非负整数n和任意实数a，则杨辉三角中的第n行和第m项中的元素之和为：
(a+b)^n = ΣC(n,m)a^(n-m)b^m,m=0,1,...,n
二. 特点
1. 如果a=1和b=1，可以理解为杨辉三角公式，
C(n,m)=(n,m)=(n!)/(m!(n-m)!),C(n,m)是组合数；
2. 当n=m时，它可以被称为勒贝格定理；
3. 二项式定律的作用是可以用来计算出多项式的值，和实现多项式的数学推导；
三. 应用
1. 二项式定理可以用来求解二次函数y=x^2+ax+b在满足a^2-4b<0时，其极值与极点，同时还能应用于多项式的展开和逻辑判断；
2. 应用于光度学问题，二项式函数可以用来表达连续发射物质的浓度与位置之间的关系；
3. 在概率论和数论中，二项式定理用于求解有限次试验概率等问题；
4. 在图论中，二项式定理可被用来求解连通图的极大或极小的有向圈
数量；
5. 在微积分中，可以利用它求解一系列数学问题。
高中数学二项式定理解题
图2
=
BD 2sin
A
=
槡224310 ，故 四 边 形
ABCD
的外接圆半径等于
槡2 310 24
．
连接 AC，同理也可用 2 次余弦定理、1 次正
弦定理来解答此题． 例 7 （ 2011 年华约） 如图
3，在正方形 ABCD 中，作 DE∥AC
使 CE = CA，记 CE 与 AD 交于点
F，求证： AE = AF．
r（
－ 2y） 5 － r，r = 2，那么系数为
C25 × （
1 2
）
2
×
（
－ 2） 3 =
－ 20． 所以答案为 A．
本类型题目主要是考查二项式定理中通项
公式中的 基 本 运 用，并 借 助 通 项 公 式，分 析
出各项的系 数，这 是 高 考 的 基 本 二 项 式 题 型，应 该 加
以重视．
题型 3 二项式与函数交会的问题
例 3 （ 2014 年安徽理） a≠0，n 是大于 1 的自
然数，（ 1 + x / a） n 的展开式为 a0 + a1 x + a2 x2 + …anxn．
若点 Ai （ i，ai ） （ i = 0，1，2 ） 的 位 置 如 图 1，则
a=
．
结合图 1 给出的函数对应
84，得出 a = 1． 故选 C．
这种类型的题目，给出二项展开式中的某一
项系数，求 解 参 数，类 似 于 给 出 答 案 反 推 出
系数中的参 数 值，需 要 具 有 逆 向 思 维，也 需 要 了 解 系
数的组成方 法，合 理 科 学 运 用 二 项 式 展 开 定 理，列 出
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.若则= .【答案】【解析】由于是展开式中第四项的系数，而.所以，=.【考点】二项式定理.2.的展开式中的系数是___________.【答案】56【解析】原二项式展开式的通项公式为令r＝2，得，系数为56.考点:二项式定理3.在的展开式中，含项的系数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以含项的系数为15.选C【考点】二项式定理.4.（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是．【答案】240【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．解：展开式的通项为Tr+1=2r C6r x r令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5.在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．－56B．－35C．35D．56【答案】A【解析】在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，即只有第5项的二项式系数最大即.所以二项式的展开式的通项为．.所以项的系数是.故选A【考点】1.二项式定理.2.归纳推理的数学思想.3.组合数的计算.6.的展开式的中间一项是__________．【答案】-20【解析】展开式的中间一项为.【考点】二项式定理.7.若＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____．【答案】11【解析】，由已知有．8.若，则= .【答案】【解析】令，由通项公式可得，令，=（）==.【考点】1二项式定理；2赋值法。
9.二项式的展开式中含项的系数值为_______________.【答案】35【解析】.依题意可得.所以展开式中含项的系数值为35.【考点】1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.10.若展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中含项的系数是（）A．192B．182C．-192D．-182【答案】C【解析】由题意可知，得，则二项展开式的通项公式为，令，得，含项的系数是.【考点】二项式定理.11.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.12.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.13.二项式的展开式中的常数项是 .【答案】15【解析】二项式的展开式中的常数项是.【考点】二项式定理.14.展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180B．90C．45D．360【答案】A【解析】因为的展开式中只有第六项二项式系数最大，所以，则由，令，解得，所以展开式中的常数项是，故正确答案选A.【考点】二项式理及展开式通项公式.15.的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）【答案】80【解析】∵，令，∴，∴.【考点】二项式定理.16.二项式展开式中的常数项是( )A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项【答案】C【解析】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【考点】二项式定理17.二项展开式中的常数项为( )A．56B．-56C．112D．-112【答案】C【解析】∵，∴令，即，∴常数项为，选C.【考点】二项式定理.18.若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0 C．－1D．－2【答案】C【解析】令x＝0，则a＝1；令x＝，则a＋＋＋…＋＝0.∴＋＋…＋＝－1.19. 5展开式中的常数项为()．A．80B．－80 C．40D．－40【答案】C【解析】Tr＋1＝C5r (x2)5－r r＝C5r(－2)r x10－5r，令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C52(－2)2＝40.20.n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()．A．360B．180C．90D．45【答案】B【解析】二项式系数为，只有第六项最大，即最大，则n＝10，所以Tr＋1＝ ()10－rr＝，由5－r＝0得r＝2，故常数项为T3＝22＝180.21.若展开式中存在常数项,则n的值可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】二项展开式的通向，当时，为常数项。
二项式定理的应用 教案
二项式定理的应用一、概述二项式定理是人教版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-3的第二章的课程内容，共包含两个课时。
“二项式定理的应用”是在前面学习的二项式定理的基础上对涉及二项式定理的相关题目进行解题训练和研究的课题。
二、教学目标分析1.知识与技能（1）能熟练的运用二项式定理进行解题；（2）能准确熟练的运动二项式定理的通项进行解题；（3）熟练掌握二项式定理的相关性质。
2.过程与方法（1）引导学生通过观察、分析、归纳，自主总结出二项式定理的相关性质；（2）通过习题的训练使学生能熟练的运用二项式定理的性质及二项式的通项解决相应的问题；（3）通过观察法使学生了解到从简单到复杂，由特殊到一般的学习过程，也使学生学会通过自身的观察来分析问题、解决问题，进而找出规律。
3.情感态度与价值观(1)使学生了解到学习数学的科学性及解题的技巧；(2)使学生学会分析问题的方法和思路。
三、学习者特征分析在前面学习了二项式定理及其通项之后，同学们对二项式定理及其通项有了一定的了解，也有了一定的分析方向，二项式定理及其通项的运用相对来说比较简单，只要掌握了一定的方法之后运用二项式定理及其通项解答相关题目还是比较容易的。
四、教学策略选择与设计(1)回顾阶段：首先对前面学习过的二项式定理及其通项的相关性质进行回顾，包括二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数。
（2）引入阶段：对前面学习的内容进行了复习之后，先给出一些简单的二项式让学生进行展开，然后归纳总结二项式定理可能会考到的习题目类型。
（3）运用阶段：在熟练掌握二项式定理及其通项的基础上，针对不同类型的题目进行针对性的训练，进行的方式采用：老师讲解一个题目，然后学生自己做类似的3个题目。
（4）巩固阶段：课程结束后，布置一些相关的作业，让学生对课堂上所学的知识、方法和技巧进行复习和巩固。
五、教学资源与工具设计人教版《普通高中课程标准实验教科书》选修2-3教材、多媒体教室黑板。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的定义二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了一个二项式的整数次幂可以被展开为一系列项的和。
这个定理可以表示为：\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)其中，\( a \) 和 \( b \) 是任意实数或复数，\( n \) 是非负整数，\( \binom{n}{k} \) 是组合数，表示从 \( n \) 个不同元素中取出\( k \) 个元素的组合数。
二、组合数的计算组合数 \( \binom{n}{k} \) 可以通过以下公式计算：\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)其中，\( n! \) 表示 \( n \) 的阶乘，即 \( n \) 乘以所有小于\( n \) 的正整数的乘积。
三、二项式展开式的通项公式二项式定理中的第 \( k+1 \) 项（从 0 开始计数）可以表示为：\( T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)这个公式用于直接计算二项式展开式中的特定项。
四、二项式定理的性质1. 二项式定理适用于所有实数和复数的二项式。
2. 当 \( a = b = 1 \) 时，二项式定理可以用来计算 \( 2^n \)。
3. 二项式定理中的项数总是等于指数 \( n+1 \)。
4. 当 \( n \) 为奇数时，展开式中的中间项的系数是最大的。
五、二项式定理的应用1. 计算概率论中的概率组合问题。
2. 解决物理学中的组合问题，如碰撞问题。
3. 在代数中，用于简化多项式的乘法和开方运算。
4. 在几何学中，用于计算多边形的对称性质。
六、特殊情形1. 当 \( n = 0 \) 时，二项式定理简化为 \( (a + b)^0 = 1 \)。
2. 当 \( a = 1 \) 时，二项式定理可以用来计算 \( (1 + b)^n \)的值。
(完整word版)高中数学知识点总结---二项式定理精选全文
可编辑修改精选全文完整版高中数学知识点总结---二项式定理1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n n n n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!. 2. 近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时展开式的后面部分n n n n na C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。
高中数学《二项式定理》复习小结与训练
§6.3 二项式定理 （第一课时 二项式定理）【学习目标】1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【知识梳理】 知识点一 二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b)n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b)n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 思考 二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？答案 一般不同．前者仅为C k n ，而后者是字母前的系数，故可能不同． 【判断正误】1．(a ＋b)n 展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × )3．C k n an －k b k 是(a ＋b)n 展开式中的第k 项．( × ) 4．(a －b)n 与(a ＋b)n 的二项展开式的二项式系数相同．( √ ) 5．二项式(a ＋b)n 与(b ＋a)n 的展开式中第k ＋1项相同．( × ) 【题型探究】一、二项式定理的正用、逆用 例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式． 解 方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x)4＋C 14(3x)3·1x＋C 24(3x)2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x)4＝1x 2·[1＋C 14·3x＋C 24(3x)2＋C 34(3x)3＋C 44(3x)4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C n n .解 原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .延伸探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a＝28，b ＝16，∴a＋b ＝28＋16＝44. 反思感悟 (1)(a ＋b)n 的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解 原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x 5－1. 二、二项展开式的通项的应用例2 若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x 的一次项； (2)展开式中所有的有理项．解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)． T k ＋1＝C k 8(x)8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C k 8·2－k ·344k x -，令4－34k ＝1，解得k ＝4.所以含x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x. (2)令4－34k∈Z ，且0≤k≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练2 在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15， 又T 3＝C 26(2x)4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝240x ，所以第3项的系数为240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x)6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C k 6x3－k， 令3－k ＝2，解得k ＝1，所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2. 三、求两个多项式积的特定项例3 (1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )A．－4 B．－3 C．－2 D．－1(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( )A．10 B．－10 C．2 D．－2答案(1)D (2)C解析(1)由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝C k5·x k，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为C25＋C15·a＝5，所以a＝－1，故选D.(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C0 3·(2x)0·C14·(－x)1＋C13·(2x)1·C04·14·(－x)0，其系数为C03×C14×(－1)＋C1 3×2×C04＝－4＋6＝2.反思感悟求多项式积的特定项的方法——“双通法”所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝C kna n－k(bx)k·C rms m－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．跟踪训练3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答) 答案－20解析由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项可表示为x·C78xy7－y·C68x2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C78－C68＝8－28＝－20.四、二项式定理的应用例4 (1)试求2 01910除以8的余数；(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解 2 01910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.(2)证明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋(n ＋1)×8＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182.①①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．反思感悟 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 跟踪训练4 (1)已知n∈N *，求证：1＋2＋22＋…＋25n －1能被31整除． 证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n －1＝1－25n1－2＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋1－1＝31×(31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除． (2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋C 16·(－0.002)＋C 26·(－0.002)2＋…＋C 66·(－0.002)6.由题意知T 3＝C 26(－0.002)2＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001， 故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988. 【跟踪训练】1.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 5的展开式中含x 3项的二项式系数为( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 答案 D2.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40 答案 C3．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．x 3 B ．－x 3 C ．(1－x)3 D ．(x －1)3 答案 A4．若(x ＋2)n 的展开式共有12项，则n ＝________. 答案 115．C 0n ·2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C k n ·2n －k＋…＋C n n ＝________.答案 3n解析 原式＝(2＋1)n ＝3n . 【课堂小结】 1．知识清单： (1)二项式定理．(2)二项展开式的通项公式． 2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：二项式系数与系数的区别，C k n a n －kb k是展开式的第k ＋1项．【同步练习】1．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n 等于( )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n 答案 C解析 原式＝(1－2)n ＝(－1)n .2.⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．60B ．－60C ．250D ．－250 答案 A解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为C 26(x)4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝60. 3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 9的展开式中的第4项是( )A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 4 答案 B解析 由通项知T 4＝C 39x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝84x 3.4．(x －2y)10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210 答案 A解析 在通项T k ＋1＝C k 10(－2y)k x 10－k 中，令k ＝4，即得(x －2y)10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410×(－2)4＝840. 5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10 答案 D解析 (1－x)5中x 3的系数为－C 35＝－10，－(1－x)6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x 3的系数为10.6．若(x ＋a)10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案12解析 二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x 10－k a k，当10－k ＝7时，k ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.7．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第3项，则自然数n ＝________，其x 2项的系数为________． 答案 8 28 解析 T k ＋1＝C k n(3x 2)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C kn 253n kx -，由题意知，k ＝2时，2n －5k 3＝2，∴n＝8，此时该项的系数为C 28＝28.8．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1(x ＋1)5的展开式中常数项等于________．答案 9解析 二项式(x ＋1)5的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5(x)5－k＝C k 552k x -(k ＝0,1,2，…，5)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1(x ＋1)5展开式中的常数项为C 35＋(－1)×C 55＝10－1＝9. 9．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．解 (1)因为T 3＝C 2n(x)n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x -， T 2＝C 1n(x)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -， 依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，又n∈N *，故n ＝9. (2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k9(x)9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932kx -，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3.二项式系数为C 19＝9.10．已知m ，n∈N *，f(x)＝(1＋x)m ＋(1＋x)n 的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解 由题设知，m ＋n ＝19，又m ，n∈N *，∴1≤m≤18. x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m)＋12(n 2－n)＝m 2－19m ＋171.∴当m ＝9或10时，x 2的系数有最小值为81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.11．(多选)对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n (n∈N *)，下列判断正确的有( )A ．存在n∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n∈N *，展开式中有一次项 答案 AD解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k(k∈N *)和n ＝4k －1(k∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.12．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 C解析 由于2×1010＋a ＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a 能被11整除，可知a ＝9.13．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－k ·(－1)k ＝(－1)k C k51x 10－2k .令10－2k ＝2或10－2k ＝0，解得k ＝4或k ＝5. 故(x 2＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是(－1)4×C 45＋2×(－1)5×C 55＝3.14．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，则：(1)n 的值为________；(2)含x 的整数次幂的项有________个． 答案 (1)10 (2)6解析 二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，所以当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)要使20－52k 为整数，需k 为偶数，由于k ＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．15．(a ＋b ＋c)n (n∈N *)的展开式中的项数为________． 答案n ＋2n ＋12解析(a＋b＋c)n＝C0n (a＋b)n＋C1n(a＋b)n－1c＋…＋C nnc n，所以，其展开式中的项数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝n＋2n＋12.16．已知数列{an }(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．(1)求和：a1C02－a2C12＋a3C22，a1C03－a2C13＋a3C23－a4C33；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．解(1)a1C02－a2C12＋a3C22＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，a 1C03－a2C13＋a3C23－a4C33＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1(1－q)3.(2)归纳概括的结论为：若数列{an }是首项为a1，公比为q的等比数列，则a 1C0n－a2C1n＋a3C2n－a4C3n＋…＋(－1)n an＋1·C nn＝a1(1－q)n，n为正整数．证明：a1C0n－a2C1n＋a3C2n－a4C3n＋…＋(－1)n an＋1·C nn＝a1C0n－a1qC1n＋a1q2C2n－a1q3C3n＋…＋(－1)n a1q n C nn＝a1[C0n－qC1n＋q2C2n－q3C3n＋…＋(－1)n q n C nn]＝a1(1－q)n.§6.3二项式定理（第二课时二项式系数的性质）【学习目标】1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和．【知识梳理】知识点二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C mn＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k>n＋12思考若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？答案n＝7或8或9.【判断正误】1．令f(r)＝C rn (0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝n2对称．( √)2．二项展开式中各项系数和等于二项式系数和．( ×)3．二项展开式的二项式系数和为C1n ＋C2n＋…＋C nn.( ×)4．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ×) 【题型探究】一、二项展开式的系数和问题例1 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C k5(－1)k·25－k·x5－k，知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，所以a1＋a3＋a5＝1－352＝－121.延伸探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.解(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.所以a0＋a2＋a4＝1＋352＝122.(2)因为a是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.反思感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anx n，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.跟踪训练1 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．解∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.(1)a2＝C910(－4)9＝－49×10.(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.二、二项式系数性质的应用例2 已知f(x)＝(3x2＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C25(23x)3·(3x2)2＝90x6，T 4＝C35(23x)2·(3x2)3＝223270x.(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C k5·3k·2(52)3kx+，假设Tk＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C k53k≥C k－153k－1，C k53k≥C k＋153k＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－k ！k ！×3≥5！6－k ！k －1！，5！5－k ！k ！≥5！4－k！k ＋1！×3，即⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，∴72≤k≤92， ∵k∈N ，∴k＝4，∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝263405x . 反思感悟 (1)二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b)n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx)n (a ，b∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含32x 的项；(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n 的展开式的通项是T k ＋1＝C k n (x)n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2k ＝(－2)k C kn 52n kx -(0≤k≤n，k∈N )， ∴T 5＝T 4＋1＝24C 4n102n x-，T 3＝T 2＋1＝22C 2n52n x-.∵24C 4n22C 2n ＝101， ∴n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为1. (2)展开式的通项为T k ＋1＝(－2)k C k 8852k x -(0≤k≤8，k∈N )．令8－5k 2＝32，解得k ＝1，∴展开式中含32x 的项为 T 2＝T 1＋1＝(－2)1C 1832x ＝3216x -.(3)展开式的第k 项、第k ＋1项、第k ＋2项的系数的绝对值分别为C k －182k －1，C k 82k ，C k ＋182k ＋1. 若第k ＋1项的系数绝对值最大，则有⎩⎨⎧C k －182k －1≤C k 82k ，C k 82k≥C k ＋182k ＋1，解得5≤k≤6，故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项， 即T 6＝－1 792172x -，T 7＝1 792x －11.【跟踪训练】1．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数的和为32，则n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 A2．(多选)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项 答案 BC解析 由于n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．3．设(2－x)6＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 6(1＋x)6，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．4B ．－71C ．64D ．199 答案 C解析 ∵(2－x)6＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 6(1＋x)6，令x ＝0，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝26＝64.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式的各项系数的和为________．答案 05．(2x －1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________． 答案 1 64解析 令x ＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64. 【课堂小结】 1．知识清单：(1)二项式系数的性质． (2)赋值法求各项系数的和．2．方法归纳：一般与特殊、函数与方程．3．常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项． 【同步练习】1．在(a ＋b)n 的二项展开式中，与第k 项的二项式系数相同的项是( ) A ．第n －k 项 B ．第n －k －1项 C ．第n －k ＋1项 D ．第n －k ＋2项答案 D解析 第k 项的二项式系数是C k －1n ，由于C k －1n ＝C n －k ＋1n，故第n －k ＋2项的二项式系数与第k 项的二项式系数相同．2．已知(1＋x)n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为( ) A ．212 B ．211 C ．210 D ．29答案 D解析 ∵展开式中只有第6项的二项式系数最大， ∴n＝10，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和， ∴展开式中奇数项的二项式系数之和为2102＝29.3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n 的展开式中各项系数之和为( ) A ．2n ＋1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋1－2答案 D解析 令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2.4．(x －1)11的展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．1 024 D ．－1 024 答案 D解析 (x －1)11＝C 011x 11＋C 111x 10·(－1)＋C 211x 9·(－1)2＋…＋C 1111(－1)11，x 的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024. 5．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．792 答案 B解析 ∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n ，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C 511＝C 611＝462.6．若(x ＋3y)n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________． 答案 5解析 (7a ＋b)10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y)n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.7．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为______．答案1－310 2解析设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝1－3102.8．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．答案－256解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.9．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，可得a 0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，即n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项， ∵T 4＝C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫124(2x)3＝352x 3，T 5＝C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫123(2x)4＝70x 4，∴第4项的系数是352，第5项的系数是70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432.(2)由已知得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0. 解得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x)12， 由⎩⎨⎧C k 12·4k ≥C k －112·4k －1，C k12·4k ≥C k ＋112·4k ＋1，解得9.4≤k≤10.4.又∵0≤k≤n，k∈N ，∴k＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·410·x 10＝16 896x 10.11．(1＋3x)n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则含x 4项的二项式系数为( )A ．21B ．35C ．45D ．28 答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x)k ＝3k C k n x k ，又由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n＝7，因此，含x 4项的二项式系数为C 47＝35，故选B.12．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x 4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( ) A ．第11项 B ．第13项 C ．第18项 D ．第20项答案 D解析 (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x 4的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，解得n ＝20.13．(多选)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中第5项是含x 的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是( ) A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项答案 CD解析 因为展开式的第5项为T 5＝C 4n443n x--，所以令n －43－4＝1，解得n ＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD.14．设m 为正整数，(x ＋y)2m 的展开式中二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1的展开式中二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________. 答案 6解析 (x ＋y)2m 的展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. ∵13a＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ＋1！m ！.∴m＝6.15．(多选)(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( )A．a＝1，b＝2，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝－1，b＝－2，n＝5答案AD解析只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意得，(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选AD.16．已知(1＋m x)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.(1)求m，n的值；(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；(3)求(1＋m x)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．解(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，∴展开式的通项为Tk＋1＝C k8m k2kx，∴含x项的系数为C28m2＝112，解得m＝2或m＝－2(舍去)．故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C18＋C38＋C58＋C78＝28－1＝128.(3)∵(1＋2x)8(1－x)＝(1＋2x)8－x(1＋2x)8，∴含x2项的系数为C4824－C2822＝1 008.。
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第84讲 二项式定理的应用 【知识要点】 1、二项式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( ①项数：展开式中总共有(1)n项，而不是n项；②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改.()nab与()nba是不同的；③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列.b的指数从0逐项减到n，是升幂排列.各项的次数和等于n. 2、二项式通项公式：rrnrnrbaCT1 （0,1,2,,rn） （1）它表示的是二项式的展开式的第1r项，而不是第r项； （2）其中rnC叫二项式展开式第1r项的二项式系数，而二项式展开式第1r项的系数是字母幂前的常数； （3）注意0,1,2,,rn. 3、二项式展开式的二项式系数的性质 （1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等.即mnC=mnnC. （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大. （3）所有二项式系数的和等于2n，即nnnnnnnnnnCCCCCC212210
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 15314202nnnnnnnCCCCCC
4、二项展开式的系数0123,,,,naaaaa的性质： 对于2012()nnfxaaxaxax0123(1)naaaaaf， 0123(1)(1)nnaaaaaf 5、证明组合恒等式常用赋值法. 6、二项式系数展开式的系数最大项和二项式系数最大项.
（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC取得最大值. 如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值. （2）系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为
121,,,nAAA，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来.
【方法讲评】 应用一 利用通项公式求nx的系数
解题方法 直接代二项式展开式的通项，再化简.
【例1】在二项式3241()nxx的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x的项的系数？
【点评】（1）要理解二项式的展开式的系数的定义，它指的是除去nx，剩下的所有部分，而二项式的系数则指的是通项里的组合数.(2)二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用. 【反馈检测1】已知nxx)(3的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512． （1）求展开式的所有有理项（指数为整数）； （2）求nxxx)1()1()1(43展开式中2x项的系数．
应用二 求二项式展开式的有理数项 解题方法 先求二项式的展开式的通项，再化简，再令x的指数为整数解答. 【例2】求二项式93()xx展开式中的有理项. 【点评】有理项指的是x的指数为整数，可以是正整数，也可以是负整数和零. 【反馈检测2】已知412nxx的展开式中的二项式系数之和为256. （Ⅰ）证明：展开式中没有常数项；（Ⅱ）求展开式中所有有理项.
应用三 求二项式展开式的系数最大的项和二项式系数最大的项 解题方法 （1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系
数2nnC取得最大值.如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值.
（2）系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中
各项系数分别为121,,,nAAA，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来. 【例3】已知二项式122nx． （1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． （2）01279nnnCCC， 解得12n，设1kT项系数最大，由于1212121121422xx 41112121112124444kkkkkkkCCCC
，9.410,10kk，第11项最大1016896x．
【点评】（1）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC取得最大值.如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值.（2）系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为
121,,,nAAA，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来.
【反馈检测3】已知在32)nxx（的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1． （1）求展开式中6x的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项；． （3）求231981...9nnnnnnccc的值.
应用四 求()nabc展开式的系数. 解题方法 一般把三项式变成二项式，再代二项式展开式的通项公式解答. 【例4】 求当25(32)xx的展开式中x的一次项的系数.
【点评】（1）对于三项式的展开式教材上没有讲过，教材上只讲了二项式的展开式. 所以我们可以想办法把三项式转化成二项式，再利用二项式的展开式的性质解答. (2)对于三项式的展开式的研究，一般转化成二项式的展开式研究，实际上就是数学的一个转化的思想的运用,把陌生的转化为熟悉的问题解答.
【反馈检测4】5)21(xx展开式中常数项为（ ） A．252 B．－252 C．160 D．－160
应用五 两个二项式相乘的系数问题 解题方法 一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合研究. 【例5】 在103)1()1(xx的展开式中，求5x的系数. 【解析】103)1()1(xx1032)1)(331(xxxx， 要得到5x， 当第一个因式取1时，10)1(x展开式取5次项，5x项系数为510C 当第一个因式取x3时，10)1(x展开式取4次项，5x项系数为4103C 当第一个因式取23x时，10)1(x展开式取3次项，5x项系数为3103C 当第一个因式取-3x时，10)1(x展开式取2次项，5x项系数为210C ∴5x项系数为510C4103C+3103C210C=-63 【点评】两个二项式相乘的系数问题，一般先分别求两个二项式的展开式的通项，再对它们进行组合 研究.
【反馈检测5】610341(1)(1)xx求展开式中的常数项.
应用六 二项式展开式的系数和与差的问题 解题方法 一般利用赋值法解答. 【例6】已知727012712xaaxaxax，求： （1）127aaa； （2）2202461357aaaaaaaa．
【点评】二项式展开式的系数和与差的问题，一般利用赋值法解答，主要是给二项式的展开式的变量 赋一些特殊值，如：1，-1，0等. 【反馈检测6】（1）设nnnxaxaxaax2210)12(展开式中只有第5项的二项式系数最大．则||||||||210naaaa= ． （2）1＋210101021011024CCC＝ ． 应用七 整除性问题 解题方法 一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究. 【例7】证明：22*389()nnnN能被64整除
【点评】整除性的问题，一般把指数的底数拆成与除数有关的数的和，再利用二项式定理展开研究，拆数是关键，本题中指数的底数是“3”，先变成“9”，再把“9”拆成“8+1”，再利用二项式定理研究就方便了.
【反馈检测7】求证：15151能被7整除.
应用八 证明不等式等 解题方法 一般对二项式定理进行顺用或逆用. 【例8】 求证：2<（1+n1）n<3（2,nnN）. 【证明】（1+n1）n=C0n+C1n×n1 +C2n（n1）2+…+Cnn（n1）n=1+1+C2n×21n+C3n×31n+…+Cnn×nn1=2+!2
1
×2)1(nnn+!31×3)2)(1(nnnn+…+!1n×nnnn12)1(<2+!21+!31 +!41+…+!1n<2+21+221+321+…+121n=2+211])21(1[211n=3－（21）1n<3.显然（1+n1）n=1+1+C2n×21n+C3n
×31n+…+Cnn×nn1>2.所以2<（1+n1）n<3.