一元二次不等式及其解法
简单的一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
第1课时 简单的一元二次不等式及其解法
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式.
3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考
一元二次不等式的概念
我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中
称为 一元二次 不等式.
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解. (3)不等式所有解的 集合 称为解集.
知识点二
“三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋Leabharlann ＝0√ 1 D.xx<－2或x＞1
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
1 ∴由 2x －x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，解得 x>1 或 x<－2，
2
1 ∴不等式的解集为xx<－2或x＞1 .
1
2
3
4
解析
答案
2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是 A.1 B.2 C.3 √ D.4
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
解答
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面
辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。
一元二次不等式及其解法(含参数)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
例3解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例4解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。
本题 只需讨论两根的大小即可。
考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0. 【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.【试一试】设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．。
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法一、知识回顾一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x <<∅∅二、例题讲解⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x .例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.2．分式不等式的解法 例4 解不等式：073<+-x x .例5 解不等式：0322322≤--+-x x x x .例6． 解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0. 三、练习【1】设关于x 的不等式x >ax+23的解集为{x 4<x<m}，求实数a 和m 的值。
【2】已知关于x 的不等式ax 2+bx+c<0的解集是{x x<-2或x>21-}，求ax 2-bx+c>0的解集。
【3】若对x ∈R 恒有n x x x x >++++122322，(n ∈N ＊)，试求n 的值。
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
∵ 32 4 2 2 7 0
∴方程 2x 2 3x 2 0 无实数根 ∴原不等式的解集为 R.
习题 1: 解下列不等式: （1） x 2 5x 6 0 ;
（2） x 2 7x 6 ;
x 2 6x 10 0
（3） 2 xx 3 0 ;
;
当 a 1 ,即 a 1或0 a 1 时,原不等式的解集为 x a x 1 .
原不等式可化为 x 22 0 或 x 22 0 ,所以原不等式的解集为 x x 2或 x x 2;
当 0 ,即 4 a 4 时 方程 x 2 ax 4 0 无实数根,所以原不等式的解集为 R.
例 7. 解不等式 m2 1x 2 4x 1≥0 m R.
第1页
（2）一元二次不等式 ax 2 bx c 0 （≤0）的解集就是二次函数 y ax 2 bx c 0a 0
的图象位于 x 轴下方（包括 x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.
表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:
判别式 b 2 4ac
解:∵ m 2 ≥0 ∴m2 1 0
42 4m2 1 12 4m2
当 0 ,即
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法【知识归纳】1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．(2)求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图像与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1} {x |x ∈R } ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1< x <x 2} ∅ ∅【难点提升】1．一元二次不等式的解集及解集的确定 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图像，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(其中a >0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2) (此时Δ＝b 2－4ac >0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．【学前强化】1．不等式x 2<1的解集为________．2．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是____________．3．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为_____________．4．不等式x －12x ＋1≤0的解集为 ( ) A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)5．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－2<x <14}，则ab 等于( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．266．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0， 则不等式f (x )>f (1)的解集是________．7．已知f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－3,2)，则a ＝________，c ＝________.8．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________．题型一 一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：思维启迪： 解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0. （3）x 2＋2x －3≤0；（4）x －x 2＋6＜0； （5）4x 2＋4x ＋1<0； （6）x 2－6x ＋9≤0；【变式】 解下列不等式：(1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.题型二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，求a ，b 的值；思维启迪：先化简不等式为标准形式，再依据解集确定a 的符号，然后利用根与系数的关系列出a ，b 的方程组，求a ，b 的值．【变式】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.题型三一元二次不等式恒成立问题【例3】已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．思维启迪注意等价转化思想运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．【变式1】已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．思维启迪：化为标准形式ax 2＋bx ＋c >0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.【变式2】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围。
3.2一元二次不等式及其解法
想一想，当x取何值时，y 的值大 于零？（或小于零？） y O m x y n O x
复习
当x m时y 0 当x m时y 0
当 x n时 y 0 当 x n时 y 0
考察：对一次函数y=2x-7，当x为何值 时，y=0;当x为何值时，y<0;当x为何值 时，y>0？
-2 O
3
x
结论:
解一元二次不等式
ax2+bx+c>0
(a>0，△=0 )的步骤： ① 将二次不等式化成一般式；
② 求出方程ax2+bx+c=0的两根; ③ 画出y=ax2+bx+c的图象;
④ 根据图象写出不等式的解集.
求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框 图:
△≥0
x
结合函数图 象进行思考
Hale Waihona Puke -2 O3x思考：对二次函数 y=x2-x-6，当x为何值 时，y=0？当x为何值时，y<0？当x为何值时， y>0 ?
y
当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2x6=0 当2<x<3 时, y<0 即 x2x6<0 当 x<2 或 x>3 时, y>0 即 x2x6>0
b 2a
x< x1或x> x2
举例
例1 解不等式x2-6x-7>0 y
解：方程x2-6x-7=0的解是
x1 1, x 2 7
作函数图象的草图 所以，不等式的解集是
-1 o
7 x
{x | x<-1 或 x > 7 }
一元二次不等式及其解法
2021年新高考数学总复习第七章《不等式》一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R} ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0；ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B.3． y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73， ∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)答案 (－4，1)。
一元二次不等式及其解法
3．2 一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法1．掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)[基础·初探]教材整理1一元二次不等式的概念阅读教材P76第一行～P76倒数第四行，完成下列问题．1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)x2－x >0为一元二次不等式．()【解析】(1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有x，故该说法错误．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系阅读教材P76倒数第三行～P78例2，完成下列问题．三个“二次”的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得等的集不式解f(x)＞0{x|x＜x1_或x＞x2}⎩⎨⎧x⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠－b2a R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅1．不等式x2≤1的解集为________．【解析】令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}．【答案】{x|－1≤x≤1}2．不等式2x≤x2＋1的解集为________．【解析】2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，∴x∈R.【答案】R3．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________．【解析】因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，所以M N.【答案】M N4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4 y 60－4－6－6－40 6 则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．【解析】可根据图表求得两个零点为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图象(略)求解．【答案】{x|x＜－2或x＞3}[小组合作型]解一元二次不等式求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.【精彩点拨】【自主解答】 (1)由x 2－5x >6，得 x 2－5x －6>0.∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6， ∴原不等式的解集为 {x |x <－1或x >6}．(2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0， 方程(2x －1)2＝0的根为x ＝12， ∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12. (3)由－x 2＋7x >6，得x 2－7x ＋6<0， 而x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6<0的解集为 {x |1<x <6}．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集．[再练一题]1．解下列不等式：(1)2x2－x＋6>0；(2)(5－x)(x＋1)≥0.【解】(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点，∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．解含参数的一元二次不等式解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．【精彩点拨】【自主解答】原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上所述，原不等式的解集为： a >0时，{x |－a <x <2a }； a ＝0时，x ∈∅； a <0时，{x |2a <x <－a }．解含参数的一元二次不等式的一般步骤注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．[再练一题]2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0). 【解】 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1； 当a <－2时，－1≤x ≤2a . 综上所述， 当－2<a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a. [探究共研型]一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系探究1 利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？【提示】 y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．探究2 方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？【提示】 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．这说明：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【精彩点拨】 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．【自主解答】 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2，知a ＜0, 又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ＜0，则c ＞0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53， ∴b a ＝－53. 又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0，即2ax 2＋5ax －3a ＞0. 又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0，所求不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.法二：由已知得a ＜0 且⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2＝－b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ，知c ＞0， 设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ， 其中a c ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2，－b c ＝－bac a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋12，∴x 1＝－3，x 2＝12.∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解． [再练一题]3．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝－b a ，2×3＝ca，a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0， 得6ax 2＋5ax ＋a >0(a <0)， 即6x 2＋5x ＋1<0， 解得－12<x <－13， 所以所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13.1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 【解析】 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为11 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －23≤x ≤12. 【答案】 A2．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)【解析】 T ＝{x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C.【答案】 C3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y <0时x 的取值范围是________.【解析】 由y <0，得x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.【答案】 (1,3)4．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则实数a ＝________，实数b ＝________.【解析】 由题意可知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，－1×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1.【答案】 －1 15．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12；(2)x 2>2(x －1)．【解】 (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教 • 创设情景——以趣激情 学 过 设问1 收入、单价、数量之间有什么关系？ 程 分 设问2 如果按每间客房租金500元出租，收入 为60 000元，未达到要求，所以要提高房租增 析 加收入，如果每间房的租金提高了x个50元，
则客房少租出8x个.那么，一天的客房租金收 入为多少元？
设问3 找出问题中表示不等关系的已知条件 并列出不等式。
云南省财经学校
张 燕
一元二次不等式的图像解法
一、教材分析 二、教学法分析 三、教学过程分析 四、教学计划预评估
教 • 教学内容 材 分 《一元二次不等式与二次函数的关系》选 析
自中等职业教育国家规划教材《数学》第一册
（基础版）(语文出版社) 第2章《不等式》第3 节 《一元二次不等式及其解法》。
教 • 地位和作用 材 地位体现 分 作用体现 析
基础性 工具性
一元二次不等式是一元一次不等式(组) 的延续和深化，是求解分式不等式、含绝对 值不等式、无理不等式的基础；是集合知识 的巩固和运用。它与二次函数、一元二次方 程密切相关，与函数的定义域、值域、三角 函数等内容紧密联系，许多问题的解决都借 助一元二次不等式的解法。
分析：如果按每间客房租金500元出租，收入 为60 000元，未达到要求，所以要提高房租 增加收入
租金提高了 x个50元 一天租金 总收入
每间房的租金 500+50x
租出客房数量 120-8x
(500+50x)(120-8x)
总收入不低于62 400元。
教 • 启发引导——获得新知 学 以前学过一元一次方程、一元一次不等式和 过 一次函数的关系，知道可以利用一次函数的图象 程 求解一元一次不等式.那么，一元二次不等式与 一元二次方程、二次函数有怎样的关系? 分 析
y0
的点.
设问7: 观察图像上纵坐标 y
0 、y 0 、y 0
的那些点所对应的横坐标
x
的取值范围？
• 合作探究——形成结论
教 学 过 程 分 析
例2： 解下列不等式: 2 （1）2 x 2 3x 2 0 ；（2） 3x 6 x 2 ；
2 9 x 6x 1 0 （3）
例1: 已知二次函数 y x 2 x 6 问：
y0 x 取哪些值时， y0 （2）当 x 取哪些值时，
（1）当 （3）当
； ； .
x 取哪些值时，y 0
教 • 启发引导——获得新知 学 设问4: 根据二次函数的图像和性质，你能求出抛 2 过 y x x 6 与 x 轴的交点吗？其交 物线 程 点将 x 轴分成几段？ 分 设问5：怎样画这个二次函数的草图？ 析 设问6：观察抛物线找出纵坐标 y 0 、 y 0 、
y
（3）观察抛物线找出纵坐标 y 0 ,y 0 , y 0 的点？
y0 y 0 y0
纵坐标 y 0 的点是抛物线 与 x轴的交点；
3
-2
o
x
纵坐标 y 0 的点是抛物线在 x 轴上方的部分； 纵坐标 y 0 的点是抛物线在 轴下方的部分；
x
2 例1：根据二次函数的 y x x 6 图像,看图回答问题：
x
2
3
x
二次函数图象与
x 轴的交点。
例1：根据二次函数的 y x 2 x 6 图像,看图回答问题：
y
（2）其交点将
x 轴分成几段？
2
3
x
——三段, 分别为：x 2,2 x 3, x 3.
例1：根据二次函数的 y x 2 x 6 图像,看图回答问题：
教 • 知识巩固——课堂练习 学 课堂练习：解下列不等式 过 程 （1）( x 2)(x 4) 0 ； (2) x( x 3) 0 分 （3）4 x 2 4 x 1 0 ； (4) x 2 4 0 析
； .
教 • 联系实际——应用数学 学 例3 宾馆有120个高档客房，每天每套租金为500元时，客 房入住率为100%，如果提高租金，预计每提高50元就有8套客 过 房空出来，试问每套客房的租金定在什么范围内能保证宾馆 程 房租总收入不低于62 400元？ 分 解:如果按每间客房租金500元出租，收入为60 000元， 析 未达到要求，所以要提高房租增加收入。 设每间房的租金提高了x个50元，即租金为
2
3 x
“三个二次”的关系
(1)一元二次方程的解对应于二次函 数图像与 x 轴的交点。 (2)一元二次不等式的解对应于使二 次函数图像位于 x 轴上方（或下方） 的自变量 x 的范围。
教 • 启发引导——获得新知 学 设问4: 根据二次函数的图像和性质，你能求出抛 2 过 y x x 6 与 x 轴的交点吗？其交 物线 程 点将 x 轴分成几段？ 分 设问5：怎样画这个二次函数的草图？ 析 设问6：观察抛物线找出纵坐标 y 0 、 y 0 、
(500+50x)元，此时，客房少租出8x个，即租出 客房(120-8x)套.一天的客房租金收入为 (500+50x)(120-8x)元，根据题意，得
(500+50x)(120-8x) ≥62400， 整理，得 x2-5x+6≤0
不等式的解集为 2≤x≤3 相应的租金为 600≤500+50x≤650 所以，当客房的租金在600—500之间，房租 总收入不低于62 400元
y0
的点.
设问7: 观察图像上纵坐标 y
0 、y
的取值范围？
例1：根据二次函数 y x 2 x 6 的图像,看图回答问题：
y
（1）抛物线与 轴有几个交点? 交点坐标是什么？
——两个， 其坐标为： 2,0 ， 3,0 。 结论：一元二次方程的解对应于
法，灵活地运用旧知识去探究新问题， 在潜移默化中领会学习方法。
教 创设情景——以趣激情 学 启发引导——获得新知 过 合作探究——形成结论 程 知识巩固——课堂练习 分 析 联系实际——应用数学
感悟收获——小结归纳
巩固深化——布置作业
教 • 创设情景——以趣激情 学 过 程 分 析
二 次 函 数
0
y
y0
x1
0
0
y
y0
0
y
y0
y ax2 bx c 的图像 (a 0)
y0
x2
若a<0呢?
ax bx c 0 的解 ( a 0)
2
x
0
b 2a
x
0
x
一元二次方程
b 2a ( x1 x2 ) x1 , x2
x1 x 2
教 知识目标： 掌握一元二次不等式的图像解法，正确理解 材 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。 分 能力目标：培养学生运用数形结合、转化、分类讨论等 析 数学思想方法解决问题的能力，同时提高运算和作图能力。 ﹡ 通过对教学过程中等与不等、特殊与一般、 教 德育目标： 个性与共性等对立统一关系的认识，让学生体会辨证唯 学 物主义思想。 目 标 情感目标：通过一元二次不等式的简单应用，使学生
教 • 感悟收获——小结归纳 学 过 （1）你学会了哪些知识？ 程 分 （2）你最深刻的体验是什么？ 析
（3）你获得了哪些学习数学的思想和方法？
教 • 巩固深化——布置作业 学 过 （必做题） 程 分 P46：第1题、第2题中（4）、（6）小题。 析
（选做题） 补充：m为何值时，二次方程x²+2(m-1)x+3m²-11=0
有两个不相等的实数根？
教 课堂意外预案 学 计 （1）注意处理易错题型：学生在做课本练习2(1) 划 ( x 2)(x 4) 0 一类的不等式的时候，由于受方程 预 评 ( x 2)(x 4) 0 可转化为 x 2 0或 x 4 0 求解的 x20 估 影响，有可能会出现将不等式转化为不等式组
b 2a
无 实 根
一元二次不等式
ax bx c 0
2
的解集
(a 0)
x x x 或x x
2 1
大于取两边
小于取中间
b x x 2 a
R
ax2 bx c 0 的解集 ( a 0)
一元二次不等式
x x
1
x x2
教 • 学情分析 学 • 教法分析 法 分 （1）教学手段 采用现代多媒体课件教学，形象生动地 析
展示“三个二次”的关系，有利于突出教学 重点、突破难点。
（2）教学方法 引探式教学 讨论式教学
讲议结合教学 变式教学
教 • 学情分析 学 • 教法分析 法 • 学法分析 分 通过观察、探究、类比、归纳等方 析
y
y 0、 （4）观察图象上纵坐标 y 0、 y 0 的那些点所对应的横坐标 的取值 范围？
x
2
3 x
——当 x 2 或 x 3 时， 对应图 像位于 x 轴上，此时 y 0 ； 当 x 2 或 x 3 时， 对应图 像位于 x 轴上方，此时 y 0 ； 当 2 x 3时，对应图像位 于 x 轴下方，此时 y 0 ；
x 4 0 来求解的错误做法，教师要关注学生，及时发现问题并
给予纠正，指出上面的转化不是等价转化。 （2）注意调控教学时间
教 学 • 课堂意外预案 计 • 教学效果预测 划 预 评 估
2 x 2x 3 0 . ；（4）
解一元二次不等式的一般步骤： 求根——画图——找解
（1）把二次项系数化成正数，并解对应二次 方程的根； （2）画出二次函数的简图； （3）根据对应的二次函数的图像以及不等号的 方向，写出不等式的解集.
“三个二次”关系：