河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考数学(理)试题 Word版含答案
河南省洛阳市2018届高三上学期第一次统一考试(12月)数学(文)试卷(含答案)
洛阳市2017—-2018学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R ，集合 A = {x | (x —6)(x+ 2) < 0} ,B ={x|x —1〉0}， 则A ∩C U B 等于A. (1,6)B. (-2,1)C. [1,6)D. (-2,1] 2.已知a ∈ R ，i 为虚数单位，若iia +-1为纯虚数，则a 的值为 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3.已知a 是不共线的向量，),(,R n m nb a AC b ma AB ∈+=+=，若A ，B ，C 三点共线，则m ，n 的关系一定成立的是 A. m=n B. m=-nC. nm=-1D. nm= 14.已知)＞b )()(()(a b x a x x f --=的图像如图所示，则函数b a x g x+=)(的图像是5.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯这首歌谣中描述的这个宝塔总共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？ A. 2B. 3C. 5D. 66.在区间（0,2)内随机取一个实数a ，则满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥-≥0002a x y y x y 的点(y x ,)所围成区域的面积大于1的概率是 A.81 B. 41 C. 21 D. 43 7.已知圆C: 222)1(r y x =+- (r > 0)，设p :0 < r≤3，q:圆上至多有两个点到直线x -3y + 3 = 0的距离为l ，则p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是 A.求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和 B.求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和 C.求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和 D.求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c,若a,b,c 成等比数列，且a 2= c 2+ac-bc ，则Bb csinA.332 B.23 C. 21 D. 310.已知函数)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=,先将)(x f y =的图象上所有点的横坐 标缩短到原来的31倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动 θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为A.9π B.185π C.3πD.32π11.过椭圆14922=+y x 上一点H 作圆：222=+y x 的两条切线，点A ，B 为切点。
2018年河南省洛阳市尖子生高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年河南省洛阳市尖子生高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝|﹣3+i|，则在复平面内的对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合M＝{y|y＝（x+1），x≥3}，N＝{x|x2+2x﹣3≤0}，则M∩N＝（）A．[﹣3，1]B．[﹣2，1]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣2，3]3．（5分）下列命题中，为真命题的是（）A．B．∀x∈R，2x＞x2C．D．∀x∈R，x2﹣x+1≥04．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．B．C．D．5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，sin B ＝2sin C，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．6．（5分）在区间上任选两个数x和y，则y＜sin x的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数，记为t，s，共可得到lgt ﹣lgs的不同值的个数记作m．若函数满足f（0）＝m，则f（2）的值为（）A．﹣15B．﹣16C．﹣17D．﹣188．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+6y的最大值为（）A．3B．4C．18D．409．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如83≡5（bmod6）．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．2019B．2023C．2031D．204710．（5分）若a＞b＞1，﹣1＜c＜0，则（）A．ab c＜ba c B．a c＞b cC．log a|c|＜log b|c|D．b log a|c|＞a log b|c|11．（5分）已知双曲线的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+ax2（a∈R），若曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（m＞1）处的切线为l，且直线l在y轴上的截距小于1，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[，+∞）D．（﹣1，）二、填空题：本大题共4小题，毎小题5分，共20分．13．（5分）在（的展开式中，x5项的系数为．14．（5分）若互相垂直的两向量，满足，且与的夹角为60°，则实数λ的值为．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若MF丄NF，则p＝．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且sin （B+C）＝6cos B sin C，则的值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和Tn．18．（12分）某市共有户籍人口约400万，其中老人（60岁及以上）约66万，为了解老人们的身体健康状况，相关部门从这些老人中随机抽取600人进行健康评估．健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，由样本数据制得如下条形图t（1）根据条形图完成下表：并估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比；（2）据统计，该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，该市政府计划给这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上老人每人每月发放生活补贴200元，②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元，试估算该市政府为执行此计划每年所需资金的总额（单位：亿元，保留两位小数）19．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，0为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设经过点M（0，2）作直线l交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值及相应的直线l的方程．21．（12分）已知函数，在x＝1处的切线方程为．（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）当x＞0且x≠1时，求证：．选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答瓶卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4，坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝4，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1＝0，曲线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（Ⅰ）求C1与C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C2与C1的交于P点，C2与C3交于A、B两点，求△P AB的面积．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2b|+c的最小值为4．（1）求a+2b+c的值；（2）证明：++c2．2018年河南省洛阳市尖子生高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，毎小题5分，共60分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝|﹣3+i|，则在复平面内的对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（1﹣i）z＝|﹣3+i|，得z＝，∴，∴在复平面内的对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．2．（5分）已知集合M＝{y|y＝（x+1），x≥3}，N＝{x|x2+2x﹣3≤0}，则M∩N＝（）A．[﹣3，1]B．[﹣2，1]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣2，3]【解答】解：∵集合M＝{y|y＝（x+1），x≥3}＝{y|y≤﹣2}，N＝{x|x2+2x﹣3≤0}＝{x|﹣3≤x≤1}，∴M∩N＝{x|﹣3≤x≤﹣2}＝[﹣3，﹣2]．故选：C．3．（5分）下列命题中，为真命题的是（）A．B．∀x∈R，2x＞x2C．D．∀x∈R，x2﹣x+1≥0【解答】解：由于∀x∈R，e x＞0，故A错误；当x＝2时，2x＝x2＝4，故B错误；当sin x＜0时，sin x+＜0，故C错误；由x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥＞0恒成立，故D正确．故选：D．4．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：根据几何体的三视图：整理出复原图为：则：点C到AB的距离为，所以：V＝．故选：A．5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，sin B ＝2sin C，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，sin B＝2sin C，可得：b＝2c．sin A＝＝，∴由a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：8＝4c2+c2﹣3c2，解得c＝2，b＝4．∴S△ABC＝bc sin A＝×2×4×＝．6．（5分）在区间上任选两个数x和y，则y＜sin x的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间上任选两个数x和y，区域的面积为，满足y＜sin x的区域的面积为＝（﹣cos x）＝1，∴所求概率为．故选：C．7．（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数，记为t，s，共可得到lgt ﹣lgs的不同值的个数记作m．若函数满足f（0）＝m，则f（2）的值为（）A．﹣15B．﹣16C．﹣17D．﹣18【解答】解：由题意，1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为t，s，共有＝20种不同取法．可得到lg t﹣lg s＝lg的不同值的个数是m，由于＝，＝，∴m＝18．即f（0）＝18，即函数f（2）＝a sin（π+α）+b cos（π+β）＝﹣a sinα﹣b cosβ＝﹣18．故选：D．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+6y的最大值为（）A．3B．4C．18D．40【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+6y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z＝x+6y，得z＝3×6＝18．即z＝x+6y的最大值为18．故选：C．9．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如83≡5（bmod6）．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．2019B．2023C．2031D．2047【解答】解：根据正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），则：执行循环时，n＝2017，i＝2，n＝2017+2＝2019，由于2019≡3（mod6），所以2019≡1（mod5），执行下一次循环，…当n＝2031时，2031≡1（mod5）输出n＝2031．故选：C．10．（5分）若a＞b＞1，﹣1＜c＜0，则（）A．ab c＜ba c B．a c＞b cC．log a|c|＜log b|c|D．b log a|c|＞a log b|c|【解答】解：由﹣1＜c＜0得0＜|c|＜1，又a＞b＞1，可得log|c|a＜log|c|b＜0，则0＞log a|c|＞log b|c|，0＜﹣log a|c|＜﹣log b|c|，a＞b＞1＞0，可得﹣a|log b|c|＞﹣b log a|c|，即为b log a|c|＞a|log b|c|，故选：D．11．（5分）已知双曲线的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵b＞a＞0，∴渐近线斜率为：k＞1，∴＝e2﹣1＞1，∴e2＞2，∴|AB|2＝（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）＝（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|＝2（|OB|﹣|OA|），∵|OA|+|OB|＝2|AB|，∴|OA|＝|AB|，∴＝，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB＝而由对称性可知：OA的斜率为k＝tan（﹣∠AOB）∴＝，∴2k2﹣3k﹣2＝0，∴k＝2或（k＝﹣舍去）；∴＝2，∴e＝．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+ax2（a∈R），若曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（m＞1）处的切线为l，且直线l在y轴上的截距小于1，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[，+∞）D．（﹣1，）【解答】解：函数f（x）＝e x+ax2的导数为f′（x）＝e x+2ax，可得曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（m＞1）处的切线斜率为e m+2am，即有切线的方程为y﹣（e m+am2）＝（e m+2am）（x﹣m），可令x＝0可得y＝e m﹣me m﹣am2，由题意可得e m﹣me m﹣am2＜1对m＞1恒成立，则a＞，由g（m）＝+1＝，由e m﹣me m﹣1+m2＝（1﹣m）（e m﹣1﹣m），由m＞1可得1﹣m＜0，由y＝e x﹣1﹣x的导数为y′＝e x﹣1，当x＞0时，y′＞0，函数y递增；当x＜0时，y′＜0，函数y递减，可得y＝e x﹣1﹣x的最小值为e0﹣1﹣0＝0，可得m＞1时，e m﹣1﹣m＞0，则（1﹣m）（e m﹣1﹣m）＜0，即g（m）＜0，则＜﹣1恒成立，可得a≥﹣1，即a的范围是[﹣1，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，毎小题5分，共20分．13．（5分）在（的展开式中，x5项的系数为264．【解答】解：根据题意，的展开式的通项为T r+1＝C12r（）12﹣r×2r＝C12r2r ×，令＝5，可得r＝2，则有T3＝C12222×x5＝264x5，即x5项的系数为264；故答案为：264．14．（5分）若互相垂直的两向量，满足，且与的夹角为60°，则实数λ的值为．【解答】解：∵；∴；∵；∴；∴；∴；又；∴＝；解得．故答案为：．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若MF丄NF，则p＝2．【解答】解：由题设知抛物线y2＝2px的准线为x＝﹣，代入双曲线解得y＝±，由MF丄NF，双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形，∴∠FMN＝，∴tan∠FMN＝＝1，∴p2＝3+，即p＝2 ，故答案为：2．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且sin（B+C）＝6cos B sin C，则的值为﹣1．【解答】解：若，可得•＝﹣1，即有sin A cos B＝2sin C cos A﹣sin B cos A，可得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，sin（A+B）＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，（sin C＞0），即有cos A＝，即A＝，tan A＝，且sin（B+C）＝6cos B sin C，可得sin B cos C+cos B sin C＝6cos B sin C，即有sin B cos C＝5cos B sin C，可得＝，即tan B＝5tan C，由tan C＝﹣tan（A+B）＝＝tan B，可得tan B＝+2（负的舍去），则＝（1+），即＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和Tn．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝4S2，a2n＝2a n+1，即，解得a1＝1，d＝2，即a n＝2n﹣1，（2）由（1）可知＝＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和T n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣．18．（12分）某市共有户籍人口约400万，其中老人（60岁及以上）约66万，为了解老人们的身体健康状况，相关部门从这些老人中随机抽取600人进行健康评估．健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，由样本数据制得如下条形图t（1）根据条形图完成下表：并估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比；（2）据统计，该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，该市政府计划给这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上老人每人每月发放生活补贴200元，②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元，试估算该市政府为执行此计划每年所需资金的总额（单位：亿元，保留两位小数）【解答】解：（1）80岁及以上老人大约为：66×＝11万人，∴该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比为＝2.75%．（2）设某户籍老人每月享受的生活补助为X元，则P（X＝0）＝，P（X＝120）＝×＝，P（X＝200）＝＝，P（X＝220）＝＝，P（X＝300）＝＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝0×+120×+200×+220×+300×＝28．∴该市政府为执行此计划每年所需资金的总额为28×12×66×104＝2.2176×108元．∴该市政府为执行此计划每年所需资金的总额约为2.2亿元．19．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵正△ABC的边长为3，且＝＝∴AD＝1，AE＝2，△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理，得DE＝＝∵AD2+DE2＝4＝AE2，∴AD⊥DE．折叠后，仍有A1D⊥DE∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE又∵平面A1DE∩平面BCDE＝DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE∴A1D丄平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D丄平面BCED，而PH⊂平面BCED所以A1D丄PH∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，∴PH⊥平面A1BD由此可得∠P A1H是直线P A1与平面A1BD所成的角，即∠P A1H＝60°设PB＝x（0≤x≤3），则BH＝PB cos60°＝，PH＝PB sin60°＝x在Rt△P A1H中，∠P A1H＝60°，所以A1H＝，在Rt△DA1H中，A1D＝1，DH＝2﹣x由A1D2+DH2＝A1H2，得12+（2﹣x）2＝（x）2解之得x＝，满足0≤x≤3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，0为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设经过点M（0，2）作直线l交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值及相应的直线l的方程．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e＝＝，则a＝c，过点F与x轴轴垂直的直线x＝c，代入椭圆方程：，解得：y＝±b，则b＝，则b＝1，a2＝b2+c2，则a＝，c＝1，∴椭圆的标准方程：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意可设直线AB的方程为y＝kx+2．由，消去y并整理，得（2k2+1）x2+8kx+6＝0．由△＝（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞．由韦达定理，得x1+x2＝﹣，x1x2＝．∵点O到直线AB的距离为d＝，|AB|＝，∴S△AOB＝•|AB|•d＝＝．设t＝2k2﹣3，由k2＞，知t＞0．于是S△AOB＝＝．由t+≥8，得S△AOB≤．当且仅当t＝4，k2＝时等号成立．∴△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为y＝±x+2．21．（12分）已知函数，在x＝1处的切线方程为．（Ⅰ）求a，b的值（Ⅱ）当x＞0且x≠1时，求证：．【解答】解：（I）f'（x）＝，…（1分）由题意知：．所以a＝b＝1…（4分）证明：（II）设F（x）＝，则F'（x）＝，F''（x）＝．当x∈（0，1﹣ln2）时，F''（x）＜0，故F'（x）在（0，1﹣ln 2）上为减函数；当x∈（1﹣ln2，+∞）时，F''（x）＞0，故F'（x）在（1﹣ln 2，+∞）上为增函数．又F'（0）＝1﹣＜0，F'（1﹣ln 2）＜0，F'（1）＝0（如图），所以，当x∈（0，1）时，F'（x）＝＜0，故F（x）在（0，1）上为减函数；当x∈（1，+∞）时，F'（x）＝＞0，故F（x）在（1，∞）上为增函数．因此，对一切x∈（0，∞），有F（x）≥F（1）＝0，即在（0，∞）上都成立．…（8分）设G（x）＝ln x﹣，则G'（x）＝﹣＝＞0，故G（x）在（0，∞）上为增函数，又G（1）＝0，所以，当0＜x＜1时，G（x）＜0，即ln x﹣＜0，所以＞；当x＞1时，G（x）＞0，即ln x﹣＞0，所以＞．…（10分）综上可得：≥＞，从而有…（12分）注：其他构造函数证明方法酌情给分．选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答瓶卡上把所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4，坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝4，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1＝0，曲线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（Ⅰ）求C1与C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C2与C1的交于P点，C2与C3交于A、B两点，求△P AB的面积．【解答】[选修4﹣4，坐标系与参数方程]（10分）解：（Ⅰ）∵曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝4，∴根据题意，曲线C1的普通方程为y＝4，…（2分）∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1＝0，∴曲线C2的普通方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．…（4分）（Ⅱ）∵曲线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．∴曲线C3的普通方程为y＝x，联立C1与C2：，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，∴点P坐标（1，4）点P到C3的距离d＝＝．…（6分）设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．将代入C2，得，则ρ1+ρ2＝3，ρ1ρ2＝1，|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝＝，…（8分）∴S△P AB ＝|AB|d＝＝．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2b|+c的最小值为4．（1）求a+2b+c的值；（2）证明：++c 2．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴f（x）＝|x+a|+|x﹣2b|+c≥|x+a﹣x+2b|+c＝a+2b+c．函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2b|+c的最小值为4．∴a+2b+c＝4．（2）∵（32+42+12）（++c2）≥（3×+4×+1×c）2＝（a+2b+c）2＝42．∴++c 2．第21页（共21页）。
洛阳市2019-2020学年上学期尖子生第一次联考数学理试卷含答案
则C的方程为( #F& +#!
%由
( #F& +##得 &! #&(#
&!
)&F&
)&
#
"!
而&##&! 是这个方程的两根#
所以&# +&! #&F#&#&! #)&!#'
-( #F& +##
由,&! .,
+($!
# ##得 !$+,F!"&!
+#(F& )(&#"!
/ / !, 分 "
' ( 又)+!/ +#"))+!/+2"$
)+!/
/ / !& 分 "
!!"如图#设 %!&##(#&(2"#=!&&#(&"! !("因%65: 与*6=5 同向#且'%:'#'*='#所以%65: # *6=5#
从而&2 )&# #&& )&!#即&# )&! #&2 )&&#
于是!&# +&!"! )&&#&! # !&2 +&&"! )&&2&&!#&
高 三 数 学 !理 "答 案 # 第& 页 # !共 ' 页 "# !!"#$%$"
河南省洛阳市第一高级中学高2021届高2018级高三上学期10月月考理科数学试题及参考答案
洛阳一高2020-2021学年第一学期高三年级10月月考理科数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{|||2,}M x x x Z =≤∈,2{|230}N x x x =--<,则MN =.(1,2]A - .[1,2]B - .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列命题中错误的是.A 命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题是真命题.B 命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-” .C 若p q ∨为真命题,则p q ∧为真命题.D 00,x ∃>使“00x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件3.函数()f x 在0x x =处导数存在,若0:'()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点,则.A p 是q 的充分必要条件 .B p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件.C p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 .D p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件4.若α,β为锐角,且2cos()sin()63ππαβ-=+,则A .3παβ+=B .6παβ+=C .3παβ-=D .6παβ-=5.若O 为ABC ∆内一点,且20OA OB OC ++=,AD t AC =,若D O B ,,三点共线,则t 的值为.A 41 .B 31 .C 21 .D 326.由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是.A 12ln + .B 2ln 2- .C 212ln - .D 212ln +7.已知非零实数,a b 满足||||a a b b >,则下列不等式一定成立的是3322112211. . . .log ||log ||A a b B a b C D a b a b >><<8.已知5log 2a =,0.5og 2.l 0b =,0.20.5c =,则,,a b c 的大小关系为.Aa c b << .B a b c << .C b c a << .D c a b <<9.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos a c Cb B-=,4b =,则ABC ∆面积的最大值为A B C D 10.已知6x π=是函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象的一条对称轴,且()()2f f ππ<,则()f x 的单调递增区间是A .[6k ππ+,2]()3k k Z ππ+∈ B .[3k ππ-,]()6k k Z ππ+∈ C .[k π,]()2k k Z ππ+∈D .[2k ππ-,]()k k Z π∈11.已知函数()2x f x e x =+-的零点为a ,函数()2g x lnx x =+-的零点为b ,则下列不等式中成立的是.ln 2a Ae b +>.ln 2a B e b +< 22.3C a b +< .1D ab >12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线,且满足()()x xf x f x xe '-=,(1)3,(2)0f f =-=,则函数()f x.A 有极大值,无极小值 .B 有极小值,无极大值 .C 既有极大值,也有极小值 .D 既无极大值,也无极小值二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
河南省洛阳市2020届 高三上学期尖子生第一次联考理科数学试题
洛阳市2019——2020学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集U R =，集合{}2019|log (1)A x y x ==-，集合2{|48}B y y x x ==++，则A ．[1]2，B ．[1)2，C ．（1，2]D ．()1,22．已知复数z 满足1234()i z i =-+＋，则z =A 2B ．5C 5D ．523．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且0sina <，又()P m n ,是角α终边上一点，且10OP =（O 为坐标原点）．则m n -等于A ．2B ．2?-C ．4D ．4-4．已知等比数列{}n a 中，2854a a a ⋅=，等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前9项和9S ，等于 A ．9B ．1836D ．725．已知()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-，则曲线()y f x =在点(13)--，处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于 A ．1B ．34C ．14D ．126．在[69]-，内任取一个实数m ，设2()f x mx x m -=++，则函数()f x 的图像与x 轴有公共点的概率等于 A ．215B ．715C ．35D ．11157．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若如1215sin F PF ∠= A 6B ．2C 6或2D 31+68．若向量,,a b c 满足||||1a b ==，12a b a c ⋅=-<-，3b c π->=，||c 的最大值为 A ．22B ．12C ．1D ．29．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为 A ．16B ．18C ．24D ．3210．已知函数2()43f x x x =-+，若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()20-，B ．()2,1--C ．(0)1，D ．(0)2，l1．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019'0f x e +<的解集为A ．()0-∞，B ．(0)+∞，C ．(1)e-∞,D ．1()e∞,+12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC 满足6BA BC ==2ABC π∠=，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为 A ．8πB ．16πC ．163π D ．323π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知圆22:()()1C x a y b -+-=，平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪⎩…，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则圆心()C a b ,与(2)8，点连线斜率的取值范围是_______________. 14．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明．也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点3)A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()sin()0,0,||2y f t R t t πωϕωϕ⎛⎫==+>< ⎪⎝⎭…．则下列叙述正确的是_______________.①6,,306R ππωϕ===-；②当35[55]t ∈，时，点P 到x 轴的距离的最大值为6； ③当10[25]t ∈，时，函数()y f t =单调递减； ④当20t =时，||3PA =15．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>，与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F 、2F ，点P 是曲线1C 与2C 的一个公共点.1e 、2e 分别是1C 和2C （的离心率，若12PF PF ⊥：，则22124e e +的最小值为______________.16．已知数列{}n a 的首项13a =，前n 项和为123,n n n S a S n N *+=+⋅∈，设3log n n b a =，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，则n T 的取值范围是______________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． l7．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边：且满足()a b c ++ ( sin B sinC sinA bsinC +-=）．（1）求角A 的大小： （2）设3a =S 为ABC 的面积．求3S cosBcosC +的最大值．18．（本小题满分12分）如图．底面ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ．//AF DE ，AD DE ⊥．6AF =36DE =（1）求证：平面ACE ⊥平面BED ；（2）求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；（3）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D ——的大小为60°?若存在，求出AMAF的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分Ⅰ2分）“过大年；吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2019年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取 了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值．所得频率分布直方图如下：（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,Nμσ，利用该正态分布，求Z 落在（14．55，38．45）内的概率；②将频率视为概率．若某人从该市某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为142.7511.95σ=≈； 若2),(N ξμσ～，则ˆ()0.6826P μσξμσ<≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-<≤∣=．20．（本小题满分12分）已知抛物线21,4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为6. （1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线1与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC 与BD 同向． （i ）若||||AC BD =，求直线1的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M .证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD 总是钝角三角形． 21．（本小题满分12分）已知函数2()(,)xf x ae x hx a b =+-∈R ，其导函数为()y f x '=．（1）当2b =时，若函数1)(y f x =在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围； （2）设0a ≠，点()(R)P m n m n ∈,,是曲线y=f （r ）上的一个定点，是否存在实数()00x x m ≠，使得()()0002x m f x n f x m '+⎛⎫-=±- ⎪⎝⎭成立?并证明你的结论． 【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4；坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3344x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为220cos 960ρρθ++=，曲线3C 的极坐标方程为220cos 990ρρθ-+=．（1）求曲线1C ，2C 和3C 的直角坐标方程；（2）已知点()(,)0P r y x >是曲线1C 上一点，M 、N 分别是2C 和3C 上的点．求||||PM PN -的最大值．23．[选修4-5；不等式选讲]（10分）设函数()|2||3|f x x x x m =-+---，若R x ∀∈，14()f x m-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）求证：(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+．洛阳市2019——2020学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题参考答案（理）―、选择题：1―5DCABC6―10DCDCB11―12BD二、填空题： 13．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭14．①②④ 15．9216．1334n T ≤< 三、解答题： 17．解：（1）∵()(sin sin sin )sin a b c B C A b C +++-=，∴根据正弦定理，知()()a b c b c a bc +++-=， 即222b c a bx +-=-．∴由余弦定理．得2221cos 22b c a A bc +-==-. 又,()0A π∈，所以23A π=. （2）根据5a =23A π=及正弦定理可得32sin sin sin 3b c aB C A====， 2b sinB ∴=，2e sinC =．113sin 2sin 2sin 3sin sin 22S bc A B C B C ∴==⨯⨯=. 3cos 3sin 3cos 3)S B C B C B C B C ∴+=+⋅=-故当3B CB C π=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即6B C π==时，3cos S B C ⋅318．解：（1）证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，DE ⊂平面ADEF ，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ．因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC ⊥． 又因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． 因为DEBD D =，DE ⊂平面BE D ，BD ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED ．又因为AC ⊂平面ACE ． 所以平面ACE ⊥平面BED ．（2）因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz ，如图所示．则(3,0,0),6),(0,0,36),(3,3,0),(0,3,0)A F E B C ，(3,3,0)CA =-，(3,3,36)BE =--，(3,0,6)EF =设平面BEF 的法向量为)n x y z =（，，，则33360360n BE x y z n EF x z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取6x =46,26,3)n =，所以3613cos ,13||||3239CA n CA n CA n ⋅〈〉===-⨯. 所以直线CA 与平面BEF 13. （3）假设存在点M 在线段AF 上，设,(3)0M t ,，026t ≤≤则(0,3,)BM t =-，(3,3,36)BE =-- 设平面MBE 的法向量为()111,,m x y z =，则111113033360m BM y tz m BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩， 令1y t =，解得(36,,3)m t t =-， 所以22|||966|1|cos ,|2||||32(36)9m CA t m CA m CA t t ⋅-〈〉===⨯-++，整理得2266150t t -+=，解得6t =56t =（舍去）， 故在线段AF 上存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60°，此时14AM AF =.19．解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）①∵Z 服从正态分布2(),N μσ，且26.5μ=，1195σ≈．，(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z ∴<<=-<<+=∴Z 落在（14．55，38．45）内的概率是0.6826．②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4111(0)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；41411(1)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，42413(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； 43411(3)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，44411(4)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4P116 14 38 14 116()422E X ∴=⨯= 20．解：（1）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0)1，．因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -=．① 又1C 与2C 的公共弦的长为6，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为24x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为36,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以229614a b +=，② 联立①，②得229,8a b ==故2C 的方程为22198y x +=. （2）如图，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，（i ）因AC 与BD 同向，且AC BD =，所以AC BD =，从而3142x x x x -=-，即1234x x x x -=-，于是()()221212343444x x x x x x x x +-=+-③ 设直线l I 的斜率为k ， 则l I 的方程为1y kx =+， 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=． 而1x ，2x 是这个方程的两根， 所以124x x k +=，124x x =-．④由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()229816640k x kx ++-=.而1x ，4x 是这个方程的两根， 所以3421698k x x k +=-+，3426498x x k=-+.⑤ 将④，⑤代入③， 得()()222222164641619898k k k k ⨯+=+++，即()()()22222169116198k k k ⨯++=+．所以()2298169k+=⨯，解得6k = 即直线l 的斜率为6±.（ii ）由24x y =得2x y '=， 所以1C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-， 即21124x x x y =-，令0y =，得12x x =，即1,02x M ⎛⎫⎪⎝⎭．所以1,12x FM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 而()11,1FA x y =-，于是2211111024x x FA FM y ⋅=-+=+>， 因此AFM ∠是锐角，从而180MFD ―AFM ∠=︒∠是钝角． 故直线l I 绕点F 旋转时，MFD 总是钝角三角形． 21．解：（1）2b =时，2()2,()xf x ae x x a =+-∈R ，()22,()xf x ae x a '=+-∈R ，由题意得220xae x +-=，即22xx a e -=， 令22()x x h x e -=，则24()xx h x e'-=，解得2x =， 当2x <时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增；min 22()(2)h x h e ∴==-， 当1x =-时，(1) 4 0h e -=>， 当2x >时，22()0xxh x e -=<， 则22a e =-或[0,)a ∈+∞时，在R 上有且只有一个零点. (2)由2()xf x ae x bx =+-,得()2xf x ae x b '=+-,假设存在0x ,则有()()()00000()22x m x m f x f x m n f x m f m ''++⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()()0000(),2f x f m x m f x m x m '-+⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭0002222x mx m x m f aeb +'++⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭, ()()()()()()00220000000()r x m ma e e x mb x m a e e f x f m x m b x m x m x m-+-----==++----,()()00020022x m x m a e e x maeb x m b x m+-+∴+⋅-=++--,即()0020x m x ma e e ae x m +-=-,00200,x mx me e a e x m +-∴≠∴=-,令00t x m =->,则12 t m mm e e e t ++-=,两边同时除以m e ,得21tt e e t -=,即21ttte e =-, 令2()1tt g t e te =--,2222()122t t t tt ttg t e e e e e '⎛⎫⎛⎫∴=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令2()12tth t e =--,则()h t 在(0,)t +∞上单调递增,且(0)0h =,()0h t ∴>对于(0,)t ∈+∞恒成立,即()0g t '>对于(0,)t ∈+∞恒成立,()g e ∴在(0,)+∞上单调递增,(0)0g =,()0g t ∴>对于(0,)t ∈+∞恒成立,()0020x m x ma e e ae x m +-∴=-不成立.同理,00t m =-<时,也不成立.∴不存在实数()00x x m ≠使得()()0002x m f x n f x m '+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭成立.22．解：（1）221:13664x y C -=；222:(10)4C x y ++=；223:(10)1C x y -+=（2）1C 双曲线2213664x y -=中，6, 8, 10a b c ===， 12(10,0),(10,0)F F ∴-，12212PF PF a -==， 11||PM PF MF +…，22||PN PF NF -…， 1122||||15PM PN PF MF PF NF ∴-+-+=…，||||PM PN ∴-的最大值为15.23．解：（1）1,4()x f x m∈-≥R 恒成立， 1|2||3|4m x x x m∴+-+--+…恒成立. 令33,2()|2||3|41,235,3x x g x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩，∴函数()g x 在(,3]-∞上是增函数，在(3,)+∞是减函数， max ()(3)2g x g ∴==，max 1()2m g x m ∴+=…即22121(1)200m m m m m m m -+-+-≥⇒=≥， 0m ∴>，综上，实数m 的取值范围是(0,)+∞.（2）证明：由0m >，知3211m m m +>+>+>，即lg(3)lg(2)lg(1)lg10m m m +>+>+>=. ∴要证(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+.只需证lg(2)lg(3)lg(1)lg(2)m mm m ++>++，即证2lg(1)lg(3)lg (2)m m m =+⋅+<+，又22lg(1)lg(3)[lg(1)(3)]lg(1)lg(3)24m m m m m m +++++⎡⎤+⋅+<=⎢⎥⎣⎦ ()222lg 44lg (2)4m m m ⎡⎤++⎣⎦<=+(1)(2)log (2)log (3)m m m m ++∴+>+成立.。
2019-2020学年河南省洛阳市高三上学期尖子生第一次联考数学(理)试题
2019-2020学年河南省洛阳市高三上学期尖子生第一次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则等于（）A. B. C. D.2. 已知复数满足（为虚数单位），则为（）A. B. C. D.3. 如图，圆：内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（）A. B. C. D.4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.5. 设，，，则（）A. B. C. D.6. 图中的程序框图所描述的算法，若输入，，则输出的的值为（）A. 0B. 11C. 22D. 887. 在等比数列中，，是方程的根，则的值为（）A. B. C. D. 或8. 已知点是锐角三角形的外心，若（，），则（）A. B. C. D.9. 设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（）A. B. C. D. 无法确定10. 已知球与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球的体积为（）A. B. C. D.11. 已知函数，，则下列说法正确的是（）A. 函数是周期函数且最小正周期为B. 函数是奇函数C. 函数在区间上的值域为D. 函数在是增函数12. 已知函数有三个不同的零点，，（其中），则的值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，满足条件则的取值范围是__________．14. 已知随机变量，，若，，则__________．15. 已知（，为常数，）的展开式中不含字母的项的系数和为243，则函数的最小值为__________．16. 已知数列满足，其中，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在中，点在边上，，，．（1）求；（2）若的面积是，求．18. 如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，的如图2所示的几何体．（1）求证：平面；（2）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值．19. 随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合阅读市场占有率与月份代码之间的关系．求关于的线性回归方程，并预测公司2017年4月份（即时）的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的、两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两单车使用寿命频数如表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为，其中，．20. 如图，点是抛物线：（）的焦点，点是抛物线上的定点，且，点，是抛物线上的动点，直线，斜率分别为，．（1）求抛物线的方程；（2）若，点是抛物线在点，处切线的交点，记的面积为，证明为定值．21. 已知函数，．（1）若函数有三个不同的极值点，求的值；（2）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．（1）求直线的普通方程；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若存在实数，，使，求实数的取值范围．2019-2020学年河南省洛阳市高三上学期尖子生第一次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C由，得：，即∴，∴故选：C2. 已知复数满足（为虚数单位），则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得：，∴故选：B点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．．3. 如图，圆：内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】略4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：几何体如图，由三视图得底面为对角线为的正方形，高为，所以体积为：，选C．考点：1．三视图；2．几何体的体积．5. 设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知可得，，，．考点：对数的大小比较．6. 图中的程序框图所描述的算法，若输入，，则输出的的值为（）A. 0B. 11C. 22D. 88【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；结束循环，输出，故选B.考点：循环结构流程图.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序.7. 在等比数列中，，是方程的根，则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】由，是方程的根，可得：，，显然两根同为负值，可知各项均为负值；.故选：B8. 已知点是锐角三角形的外心，若（，），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵O是锐角△ABC的外心，∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，又，∴||=||，可得=++2mn⋅，而⋅=||⋅||cos∠A0B<||⋅||=1.∴1=++2mn⋅<+2mn，∴ <−1或 >1，如果 >1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形，∴ <−1，故选：C.9. 设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（）A. B. C. D. 无法确定【答案】B【解析】由题意，易得，直线的方程为：，设P，，则=∴故选：B10. 已知球与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线∵正四面体ABCD的棱长为4∴正方体的棱长为∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，∴球O是正方体的内切球，其直径为∴球O的体积为故选：A点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．11. 已知函数，，则下列说法正确的是（）A. 函数是周期函数且最小正周期为B. 函数是奇函数C. 函数在区间上的值域为D. 函数在是增函数【答案】C【解析】对于A，，命题错误；对于B，，命题错误；对于C，令，，命题正确；对于D，，令在上单调递增，，，但外层函数在，上并不具有单调性，故命题错误.故选：C12. 已知函数有三个不同的零点，，（其中），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令f（x）=0，分离变量可得a=，令g（x）=，由g′（x）==0，得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．即g（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2===μ3，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1．故选：D．点睛：先分离变量得到a=，令g（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使g（x）恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x）==，再令μ=，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，满足条件则的取值范围是__________．【答案】【解析】作出可行域：∵设z==1+，令s=S表示动点，与定点，连线的斜率当点在B，时，s最小，即z的最小值为；当点在A，时，s最大，即z的最大值为.故答案为：[3，9]．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 已知随机变量，，若，，则__________．【答案】【解析】∵随机变量服从，∴，解得：. 又，∴故答案为：0.115. 已知（，为常数，）的展开式中不含字母的项的系数和为243，则函数的最小值为__________．【答案】2【解析】由题意结合二项式定理知（1+b）n=243又b∈N*，探究知，仅有当b=2时，35=243，由此得n=5.，令，，则，即，显然其在，上单调递增，∴最小值为2.故答案为：216. 已知数列满足，其中，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由得：，令，则的奇数项和偶数项分别成首项为，且公差为的等差数列，所以， ,，故，，，因为对恒成立，所以恒成立，同时恒成立，即恒成立，当时，，而时，所以即可，当时，恒成立，综上，故填．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在中，点在边上，，，．（1）求；（2）若的面积是，求．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（I）根据余弦定理，求得，则△是等边三角形.，故（II）由题意可得，又由，可得以，再结合余弦定理可得，最后由正弦定理可得，即可得到的值试题解析：(Ⅰ) 在△中, 因为, 由余弦定理得,所以,整理得,解得.所以.所以△是等边三角形.所以(Ⅱ) 法1: 由于是△的外角, 所以.因为△的面积是, 所以.所以.在△中,,所以.在△中, 由正弦定理得,所以.法2: 作, 垂足为,因为△是边长为的等边三角形,所以.因为△的面积是, 所以.所以. 所以.在Rt△中, ,所以, .所以.18. 如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，的如图2所示的几何体．（1）求证：平面；（2）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为．【解析】试题分析：（I）由平面与名垂直的性质定理可得⊥平面. 由折叠前后均有⊥，∩,可得⊥平面；(Ⅱ) 由（Ⅰ）可得二面角的平面角为∠，又依题意，可得，依次求得.，以下由两种解法：1.建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，求得平面的法向量和平面的法向量，则问题可求：2.利用相关的立体几何知识，证明二面角的平面角为，然后利用面几何知识求得二面角的余弦值为.试题解析：(Ⅰ) 因为平面⊥平面，平面平面，又⊥，所以⊥平面.因为平面，所以⊥.又因为折叠前后均有⊥，∩,所以⊥平面.(Ⅱ) 由（Ⅰ）知⊥平面，所以二面角的平面角为∠.又⊥平面，平面，所以⊥.依题意.因为，所以.设，则.依题意△～△，所以，即.解得，故.法1：如图所示，建立空间直角坐标系，则,,，，，所以，.由（Ⅰ）知平面的法向量.设平面的法向量由得令，得,所以.所以.由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.法2 ：因为⊥平面，过点作//交于，则⊥平面.因为平面，所以⊥.过点作⊥于，连接，所以⊥平面，因此⊥.所以二面角的平面角为.由平面几何知识求得，，所以.所以cos∠=.所以二面角的余弦值为.19. 随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合阅读市场占有率与月份代码之间的关系．求关于的线性回归方程，并预测公司2017年4月份（即时）的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的、两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两单车使用寿命频数如表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式：回归直线方程为，其中，．【答案】（1）,公司2017年4月份的市场占有率预计为;（2）应该采购款单车．【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用回归方程恒过定点的事实进行求解；（2）依据题设条件借助数学期望的计算公式进行分析求解：（1）由折线图中所给的数据计算可得，∴．∴月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为．当时，．故公司2017年4月份的市场占有率预计为23%．（2）由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，∴每辆款车可产生的利润期望值为（元）．由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，∴每辆款车可产生的利润期望值为：（元），∵，∴应该采购款单车．20. 如图，点是抛物线：（）的焦点，点是抛物线上的定点，且，点，是抛物线上的动点，直线，斜率分别为，．（1）求抛物线的方程；（2）若，点是抛物线在点，处切线的交点，记的面积为，证明为定值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1) 设，由得带入抛物线方程，解得p值；(2) 设，，利用，又，得到，然后求出，，而，带入易得为定值32.试题解析：（1）设，由题知，所以，所以代入（）中得，即，所以抛物线的方程是．（2）过作轴平行线交于点，并设，，由（1）知，所以，又，所以，直线：，直线：，解得因直线方程为，将代入得，所以．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数，．（1）若函数有三个不同的极值点，求的值；（2）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．【答案】（1）（2）正整数的最大值为5.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的导函数，有3个极值点等价于方程有3个根；令，根据的单调性可知有3个零点，则，解出的取值范围即可；（Ⅱ）不等式，即，分离参数得．转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立；构造新函数，确定单调性，计算相应函数值的正负，即可求正整数的最大值．试题解析：（Ⅰ）∵有3个极值点，∴有3个根令在上递增，上递减．∴有3个零点，∴，∴（Ⅱ）不等式，即，即．转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立．即不等式在上恒成立．即不等式在上恒成立设，则．设，则，因为，有．故在区间上是减函数；又故存在，使得．当时，有，当时，有．从而在区间上递增，在区间上递减又，．所以当时，恒有；当时，恒有；故使命题成立的正整数的最大值为5.考点：1、导数的运算；2、利用导数研究闭区间上函数的极值和最值．【思路点晴】本题主要考查的是零点问题、实数的取值范围的求法、转化化归、函数与方程的数学思想方法，属于难题；利用导数知识把零点及实数的取值范围问题转化为闭区间上函数的极值和最值问题，此类问题的难点在于构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，得出极值与最值，从而达到解决问题的目的．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．（1）求直线的普通方程；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．【答案】（1）（2）椭圆的内接矩形的周长取得最大值．【解析】试题分析：(1)由直线的参数方程为（为参数）消去参数t，得到直线的普通方程；（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），则周长为，利用辅助角公式“化一”求最值即可.试题解析：（1）因为曲线的极坐标方程为，即，将，代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是，，直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为．（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若存在实数，，使，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由，得，即且，分类讨论去掉绝对值符号，求得实数的取值范围；（2）由于，所以存在实数，，使，即，结合绝对值三角不等式易得，即，易得所求结果.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴且．①若，则，∴；②若，则，∴，此时无解；③若且，则，∴，综上所述，的取值范围为或，即.（2）∵，显然可取等号，∴，于是，若存在实数，，使，只需，又，∴，∴，∴，即．。
河南省洛阳市2020届高三上学期尖子生第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
洛阳市2019-2020学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题(理科) 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.1.全集U =R ，{}2019|log (1)A x y x ==-，{}2|48B y y x x ==++，则()U A C B =I （ ） A. ()1,2 B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A 【解析】 【分析】分别解出集合A 和B ，再结合交集的概念和补集的概念得到结果. 【详解】{}{}22|48|(2)42B y y x x y y x ==++==++{}|2U C B y y =<，{}{}2019|log (1)|1A x y x x x ==-=> ()()1,2.U A C B =I故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题.2.已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（ ） 2 B. 555 【答案】C 【解析】()()()()34i 12i 510i 12i,12i 512i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，又()P m n ,是角α终边上一点，且10OP =O 为坐标原点)，则m n -等于（ ） A. 2 B. 2-C. 4D. 4-【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得0,3m n m <=，根据OP =,m n 的值，即可求解m n -得值，得到答案.【详解】由题意，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，所以α为第三象限角.又()P m n ,是角α终边上一点，所以0,3m n m <=，再根据OP m ===（O 为坐标原点）， 所以1,3m n =-=-，则2m n -=， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得m 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知等比数列{}n a 中，2854a a a ⋅=，等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前9项和9S 等于（ ） A. 9 B. 18 C. 36D. 72【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，求得54a =，得到464b b +=，再由等差数列的前n 项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列{}n a 中，满足2854a a a ⋅=，由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，即2554a a ⋅=，所以54a =，又由465b b a +=，所以464b b += 所以数列{}n b 的前9项和194699()9()9418222b b b b S ++⨯====， 故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-，则曲线() y f x =在点()1,3--处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于（ ） A. 1 B.34C.14D.12【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的定义求得当0x <时，()ln()3f x x x =-+，利用导数的几何意义求得切线的斜率和切线方程，令0,0x y ==，可得切线与两坐标轴的交点，再由三角形的面积公式计算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-， 当0x <时，可得()()ln()3f x f x x x =-=-+， 则()13f x x'=+，则曲线() y f x =在点()1,3--处的切线斜率为()12f '-=， 可得切线的方程为32(1)y x +=+， 令0x =，可得1y =-，令0y =，可得12x =， 所以切线与两坐标轴围成的图形的面积为1111224S =⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中正确求解函数的解析式，合理利用导数的几何意义求得切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.在[6,9]-内任取一个实数m ，设2()f x x mx m =-++，则函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于（ ） A.215B.715C.35D.1115【答案】D 【解析】()2f x x mx m =-++Q图象与x 轴有公共点，240,4m mm ∴∆=+>∴<-或0,m >∴在[]6,9-内取一个实数m ，函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于()()4690119615-++-=+，故选D.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若12sin F PF ∠= ）B. 2或2或【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和题设条件，求得124,2PF a PF a ==，再在12PF F ∆中，由余弦定理，化简整理得224c a =或226c a=，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，又因为122PF PF =， 可得124,2PF a PF a ==， 又由12sin 4F PF ∠=，可得121cos 4F PF ∠=±，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2222221212122111co 6442s 2244PF PF F F a a c PF P P a a F F F +-+-=⨯⨯=±=∠，解得224c a =或226c a=，所以2c e a ==，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的离心率的求解，其中解答中合理利用双曲线的定义，以及在12PF F ∆中，利用余弦定理求得22c a的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8.若向量a b c ⋅⋅v v v 满足1a b ==r r ，1,2a b a c ⋅=-<-r r r r ，3b c π->=r r ，c r 的最大值为（ ）A.2B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】构造,,,120,60AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r，得到,,,A B C D 四点共圆，结合图形，得到当线段AC 为圆的直径时，此时c r最大，即可求解.【详解】如图所示，构造,,,120,60AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r，因为180BAD BCD ∠+∠=o ，所以,,,A B C D 四点共圆，所以当线段AC 为圆的直径时，此时c r最大，由余弦定理可得2222212cos12011211()32BD AB AD AB AD =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=o，所以BD =22sin120BDR ==o，即c r 的最大值2，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，正弦定理和余弦定理，以及四点共圆的应用，其中解答中构造出,,,A B C D 四点共圆，结合图形求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，构造思想的应用，属于中档试题.9.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A. 16 B. 18C. 24D. 32【答案】C 【解析】 【分析】 把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，共有四个不同的元素，利用排列数公式，即可求解.【详解】由题意知，剩余的4个车位连在一起，把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，其中四个元素的排列共有4424A =种，故选C.【点睛】本题主要考查了排列的应用，其中解答中把剩余的4个车位看成一个元素，共有四个不同的元素，利用排列数公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ） A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2【答案】B 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，根据方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，得到方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示， 可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根， 则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内， 设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<， 即10b c ++=且0c >且2()()022b b bc -+⋅-+<且012b<-<， 解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，转化为20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.11.定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019e 0x f x +<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. 1(,)e-∞D. 1(,)e+∞【答案】B 【解析】 【分析】 构造新函数()()x f x g x e=，利用导数求得函数()g x 在R 上单调递减，再根据()2019f x +为奇函数，求得()02019g =-，得出不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即可求解.【详解】由题意，构造新函数()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()f x f x '>，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减， 又因为()2019f x +为奇函数，所以()020190f +=， 所以()02019f =-，则()02019g =-，所以不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即0x >，所以不等式()2019e 0xf x +<的解集为()0,∞+，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中构造新函数，合理利用函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.已知三棱锥—P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A. 8πB. 16πC. 16π3D.32π3【答案】D 【解析】因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以外接圆的半径是11232r ==是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则163,32ABC S BD ∆=⨯==116336ABC V S h h ∆==⨯=最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即22(3)3R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是343233R ππ=，应选答案D 。
河南省洛阳市2018届5月高三尖子生第二次联考数学(理)试题-含答案
河南省洛阳市2018届5月高三尖子生第二次联考数学(理）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页，共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题:本大题共12小题，毎小题5分，共60分。
在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足|3|z )1(i i +-=-，则z 在复平面内的对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合 M= {3),1(log |y 21≥+=x x y }，N = {032|x 2≤-+x x } ,则M N =A. [-3,1)B. (-2,1)C. (-3,-2)D. (-2,3) 3. 下列命题中，为真命题的是A. 0,x 00≤∈∃x e RB. 2＞2,x R x x∈∀ C. ),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π D. 01-,2≥+∈∀x x R x4. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 A.328 B. 33C.334 D. 3 5.在△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知22=a ，C B A sin 2sin ,43cos ==, 则△ABC 的面积是 A.47B. 7C. 516D. 586. 在区间[0, 2π]上任选两个数x 和y ，则y <x sin 的概率为A.24π B. 221π- C. 22π D. 241π-7.从1，3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数，记为共可得到s t lg lg -的不同值的个数记作m 。
若函数)2cos()2sin()(βπαπ+++=x b x a x f 满足m f =)0(，则)2(f 的值为A. -15B. -16C. -17D. -188. 设变量y x ,满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+-≥+03-20302y x y x x ，则目标函数y x 6z +=的最大值为A. 3B. 4C. 18D. 409.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)(mod N m n ≡，例如)6(m o d 538≡.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A.2019B.2023C.2031D.204710.若a >b >1，-1 < c < 0，则 A. ccba <ab B. c cb >aC.|c |log |<|log b c aD.|c |alog > ||log b c b a 11.已知双曲线12222=-by a x (b>a>0)的两条渐近线为1l 、2l ，过右焦点P 作垂直于1l 的直线,分别交于1l 、2l 于A ，B 两点。
河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考数学(理)试题含答案
河南省洛阳市2018-2019学年上学期尖子生第二次联考高三数学试题理科 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--≤，(){}|ln 2B x y x ==-，则AB =（ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2- 2.若复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数（i 为虚数单位），则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．-7B ．17-C ．7D ．-7或17- 3.已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程为ˆ 2.10.85yx =+，则m 的值为（ ） A ．1 B ．0.85 C ．0.7 D ．0.54.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且2a ，42a +，5a 成等差数列，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．32B ．62 C.27 D ．815.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，()()f x f x -=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()31f =（ ）A ．-1B ．0 C.1 D ．26.经过点()2,1，且渐近线与圆()2221x y +-=相切的双曲线的标准方程为（ ）A ．22111113x y -= B ．2212x y -= C.22111113y x -= D ．22111113y x -= 7.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为（ ）A ．13 B ．23 C.25 D ．458.在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且2BD DC →→=，点O 在线段CD 上（与点C ，D 不重合）若()1AO x AB x AC →→→=+-，则x 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭ C.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭9.四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于8+O 的体积等于（ ）A ．323π B ．3 C.16π D ．310.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（ ） A ．900种 B ．600种 C.300种 D ．150种11.如图，已知点()0,3S ，SA ，SB 与圆()22:00C x y my m +-=>和抛物线()220x py p =->都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，//SA ON ，则点A 到抛物线准线的距离为（ ）A ．4 B．．12.已知函数()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∈（其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()()00f x g x x x -->恒成立，则称0x为函数()f x 的“转折点”.已知函数()2ln f x x ax x =--在(]0,e 上存在一个“转折点”，则a 的取值范围为（ ） A ．21,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．211,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦ C.21,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．21,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知03sin m xdx π=⎰，则二项式()2ma b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 ．（用数字作答）14.已知x ，y 满足2,4,20,x x y x y m ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩若目标函数3z x y =+的最大值为10，则z 的最小值为 ．15.某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆22221x y a b+=的离心率e >的概率是 ． 16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n N *∈，()1132nn n nS a n =-++-，且()()10n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，点()21,n n P a a +在曲线244y x x =++上.（1）求n a 和n S ；（2）若数列{}n b 满足117b =，12n n b b n +-=n 值.18. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90BCD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，ABM ∆是边长为2的等边三角形，PA DM ==（1）求证：平面PAM ⊥平面PDM ；（2）若点E 为PC 中点，求二面角P MD E --的余弦值. 19. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：购买基金：（1）当14p =时，求q 的值； （2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （3）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由.20. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线()221:12C y x =--的顶点为B ，且经过1F ，2F ，椭圆1C 的上顶点A 满足2OB OA →→=.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设点M 满足1112F M FO F B →→→=+，点N 为抛物线2C 上一动点，抛物线2C 在N 处的切线与椭圆交于P ，Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值.21. 已知函数()f x 满足()()22f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求()0,2x ∈时函数()f x 的解+析式；（2）是否存在实数b 使得不等式()x bf x x->+()()0,11,2x ∈时恒成立，若存在，求出实数b 的取值集合，若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为：2cos ρθ=. （1）若曲线2C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）若曲线2C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），()0,1A ，且曲线1C 与曲线2C 的交点分别为P 、Q ，求11AP AQ+的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知()3f x x =-，()g x x k =-（其中2k ≥）. （1）若4k =，求()()9f x g x +<的解集；（2）若[]1,2∀∈，不等式()()f x g x k x -≥-恒成立，求实数k 的值.试卷答案一、选择题1-5:CADBC 6-10:ACCAB 11、12：AD 二、填空题13. -240 14.5 15.13 16.311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题17.解：（1）由()2212n n a a +=+，得12n n a a +-=，∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列.()112n a a n =+-⨯∴，即21n a n =-.()21212n n n S n +-==∴.（2）1n n b b +-，()()1212n n b b n n --=-≥，···，212b b -=， ()()()121211n b b n n n n -=-+-++=-⎡⎤⎣⎦∴….()117n b n n =-+∴. ()1171711n n n n n-+==+-≥.n N *∈， ∴当4n =17294144=+-=， 当5n =17375155=+-=， ∴当4n =. 18.（1）证明：ABM ∆是边长为2的等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，CD ∴DM =3CM =∴，314AD =+=∴，222AD DM AM =+∴，DM AM ⊥∴.又PA ⊥底面ABCD ，DM PA ⊥∴，AMPA A =，DM ⊥∴平面PAM ，DM ⊂平面PDM ，∴平面PAM ⊥平面PDM .（2）解：以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则)C，)M，(0,4,P ，设平面PMD 的法向量为()1111,,n x y z →=，则111130,40,y y +=+=⎪⎩取13x =，()13,n →=∴.E 为PC中点，则E ⎝， 设平面MDE 的法向量为()2222,,n x y z →=，则2222230,20,2y x y +=+=⎪⎩取23x =，213,2n →⎛⎫= ⎪⎝⎭∴.12121213cos 14n n n n n n →→→→→→∙<∙>==∙∴. ∴二面角P MD E --的余弦值为1314. 19.（1）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，113p q ++=∴.又因为1=4p ，512q =∴.（2）记事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”， 事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， 则C ABAB AB =，且A ，B 独立.由题意可知()12P A =，()P B p =. ()()()()P C P AB P ABP AB =∴()1111222p p p =∙-++ 1122p =+. ()114225P C p =+>，35p >∴.又113p q ++=，0q ≥，23p ≤∴.3253p <≤∴. （3）假设丙选择“投资股市”方案进行投资，且记X 为丙投资股市的获利金额（单位：万元）， 所以随机变量X 的分布列为：则()()11354022884E X =⨯+⨯+-⨯=. 假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元）， 所以随机变量Y 的分布列为：则()()11152012366E Y =⨯+⨯+-⨯=. 因为()()E X E Y >，故丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大. 20.（1）由抛物线()221:12C y x =--，可得10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F -， 设椭圆的焦距为2c ，则有1c =， 又由2OB OA →→=可得()0,1A ，1b =∴，a =故椭圆1C 的方程为2212x y +=. （2）设点211,22N t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 由()2112y x =--得，|PQ x t k y t ='==-. ∴直线21122PQ y tx t =-++：，联立222121122x y y tx t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩消去y 整理得，()()4222223212102t t t x t t x +-+-++=， 由0∆>，得23t <+()11,P x y ，()22,Q x y ，由根与系数关系可得，()21222121t t x x t ++=+，()4212223221t t x x t +-∙=+，12x x -=∴12PQ x -=∴.设(),x y ，由1112F M FO F B →→→=+得0,1,4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭.而点10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为：12MPQ S PQ d ∆=∙=≤∴ 23t <+23t=时，()max 4MPQ S ∆=. 21.解：（1）若()4,2x ∈--，则()40,2x +∈. 又()()()2244f x f x f x =+=+，()4,2x ∈--∴时，()()()4ln 444f x x a x =+++. ()1444444x a f x a a x x ++'=+=∙++∴，12a <-，1442a-<--<-∴，∴当14,4x a ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当14,2x a ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， ()max 11144ln 44f x f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，1a =-∴.1a =-∴当()0,2x ∈时，()ln f x x x =-.（2）由题意，当()()0,11,2x ∈时，不等式()x bf x x->+ln x b x ->立，①当()0,1x∈时，ln x bx->b x x >，令()g x x x =，()0,1x ∈，则()1g x '==令()ln 2h x x =-，则当()0,1x ∈时，()10h xx'==<，()()10h x h >=∴， ()0h x g x '>∴，()()<g 1=1g x ∴，故此时只需1b ≥即可；②当()1,2x ∈时，ln x b x ->b x x <，令()x x x ϕ=，()1,2x ∈，则()1x ϕ'==令()ln 2h x x -，则当()1,2x ∈时，()10h xx'=-=>， ()()11h x h >=∴，()0h x x ϕ'=>∴， ()()11x ϕϕ>=∴，故此时只需1b ≤即可.综上所述，1b =，因此b 的取值集合为：{}1.22.解：（1）2cos ρθ=，则22cos ρρθ=.又222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴曲线1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=.又消参可得曲线2C 的普通方程为：()2221x y t +-=. （2）将2C 的参数方程：cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）代入1C 的方程：2220x y x +-=得：， ()22sin 2cos 10t t αα+-+=，()222sin 2cos 48sin 404πααα⎛⎫∆=--=--> ⎪⎝⎭， 21sin 42πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭∴，sin 42πα⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦∴. ()122sin 2cos 4t t πααα⎛⎫+=--=-- ⎪⎝⎭，121t t ∙=. 1210t t ∙=>，1t ∴，2t 同号，1212t t t t +=+∴.由t 的几何意义可得：(12121212121211114t t t t t t PA PB t t t t t t πα++⎛⎫+=+===+=-∈ ⎪∙∙⎝⎭，(11PA PB +∈∴. 23.解：（1）若4k =，则()()9f x g x +<，即为349x x -+-<， 等价为3349x x x <⎧⎨-+-<⎩或34349x x x ≤≤⎧⎨-+-<⎩或4349x x x >⎧⎨-+-<⎩解得：13x -<<或34x ≤≤或48x <<，∴原不等式的解集为：{}|48x x <<.（2）2k ≥，且[]1,2x ∈，30x -<∴，0x k -<，()33f x x x =-=-∴，()g x x k k x =-=-，则[]1,2x ∀∈，不等式()()f x g x k x -≥-恒成立，等价于：[]1,2x ∀∈，32x k +≥恒成立，42k ≥∴，即2k ≤，又2k ≥，2k =∴.。
【高三数学试题精选】2018洛阳市高三数学(上)期末试卷(理有答案和解释)
2018洛阳市高三数学(上)期末试卷(理有答案和解释）
5 c 1几何证明选讲]
22．如图，AE是圆的切线，A是切点，AD⊥E于D，割线Ec交圆于B、c两点．
（Ⅰ）证明，D，B，c四点共圆；
（Ⅱ）设∠DBc=50°，∠Dc=30°，求∠Ec的大小．
[选修4-4坐标系与参数方程]
23．已知曲线c1的直角坐标方程为 +2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P是曲线c1上一点，∠xP=α（0≤α≤π），将点P绕点逆时针旋转角α后得到点Q， =2 ，点的轨迹是曲线c2，
（1）求曲线c2的极坐标方程；
（2）求||的取值范围．
[选修4-5不等式选讲]
24．已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤lg2a．
（1）当a=8时，求不等式解集．
（2）若不等式有解，求a的范围．
1几何证明选讲]
22．如图，AE是圆的切线，A是切点，AD⊥E于D，割线Ec交圆于B、c两点．
（Ⅰ）证明，D，B，c四点共圆；
（Ⅱ）设∠DBc=50°，∠Dc=30°，求∠Ec的大小．
【考点】与圆有关的比例线段．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考高三试题 数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合1|1Axx，|ln0Bxx，则()RABð等于（ ） A．|0xx B．|1xx C．R D．0,1 2.已知复数z满足2(1)1zii（i为虚数单位），则||z为（ ）
A．12 B．22 C．2 D．1 3.如图，圆O：222xy内的正弦曲线sinyx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（ ）
A．24 B．34 C．22 D．3 4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．2 B．1 C．23 D．13 5.设3log6a，5log10b，7log14c，则（ ） 2
A．cba B．bca C．acb D．abc 6.图中的程序框图所描述的算法，若输入209m，121n，则输出的m的值为（ ）
A．0 B．11 C．22 D．88 7.在等比数列na中，3a，16a是方程2620xx的根，则2169aaa的值为（ ）
A．222 B．2 C．2 D．2或2 8.已知点O是锐角三角形ABC的外心，若OCmOAnOB（m，nR），则（ ） A．2mn B．21mnC．1mn D．10mn
9.设双曲线C：221169xy的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足分别为M，N，
若d是双曲线上任一点P到直线MN的距离，则||dPF的值为（ ） A．34 B．45 C．54 D．无法确定 10.已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（ ）
A．823 B．833 C．863 D．1623 11.已知函数()sin(sin)cos(sin)fxxx，xR，则下列说法正确的是（ ） A．函数()fx是周期函数且最小正周期为 3
B．函数()fx是奇函数 C．函数()fx在区间0,2上的值域为1,2 D．函数()fx在,42是增函数 12.已知函数2()(ln)(ln)fxaxxxxx有三个不同的零点1x，2x，3x（其中123xxx），则2312123lnlnln(1)(1)(1)xxxxxx的值为（ ）
A．1a B．1a C．1 D．1 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知x，y满足条件0,,3412,xyxxy则231xyx的取值范围是 ． 14.已知随机变量~(2,)XBp，2~(2,)YN，若(1)0.64PX，(02)PYp，则(4)PY ． 15.已知5(1)axby（a，b为常数*aN，*bN）的展开式中不含字母x的项的系
数和为243，则函数sin2()2sin()4xbfxx，0,2x的最小值为 ．
16.已知数列na满足22(2)(2)nnnanann，其中11a，22a，若1nnaa对任意的*nN恒成立，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，在ABC中，点P在BC边上，60PAC，2PC，4APAC． 4
（1）求ACP； （2）若APB的面积是332，求sinBAP． 18.如图1，在直角梯形ABCD中，//ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，的如图2所示的几何体．
（1）求证：AB平面ADC； （2）若1AD，二面角CABD的平面角的正切值为6，求二面角BADE的余弦值． 19.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合阅读市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份（即7x时）的市场占有率； （2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和12005
元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两单车使用寿命频数如表：
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
参考公式：回归直线方程为ybxa，其中1221niiiniixynxybxnx，aybx． 20.如图，点F是抛物线：22xpy（0p）的焦点，点A是抛物线上的定点，且(2,0)AF，点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为1k，2k．
（1）求抛物线的方程； （2）若212kk，点D是抛物线在点B，C处切线的交点，记BCD的面积为S，证明S为定值． 21.已知函数32()(63)xfxxxxte，tR． 6
（1）若函数()yfx有三个不同的极值点，求t的值； （2）若存在实数0,2t，使对任意的1,xm，不等式()fxx恒成立，求正整数m的最大值． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2,2xmtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2241sin，且直线l经过曲线C的左焦点F．
（1）求直线l的普通方程； （2）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数2()|12|||fxxaxa，aR，224()24(1)gxxxx．
（1）若2(21)4|1|faa，求实数a的取值范围； （2）若存在实数x，y，使()()0fxgy，求实数a的取值范围．
洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题（理科）答案 一、选择题 1-5:CBBCD 6-10:BBCBA 11、12：CD 二、填空题
13.3,9 14.0.1 15.2 16.[0,) 三、解答题 17.解：（1）在APC中，因为60PAC，2PC，1APAC， 由余弦定理得2222cosPCAPACAPACPAC， 所以2222(4)2(4)cos60APAPAPAP， 7
整理得2440APAP， 解得2AP， 所以2AC， 所以APC是等边三角形， 所以60ACP． （2）由于APB是APC的外角，所以120APB，
因为APB的面积是332，所以133sin22APPBAPB， 所以3PB， 在APB中，2222cosABAPPBAPPBAPB2223223cos12019
，
所以19AB． 在APB中，由正弦定理得sinsinABPBAPBBAP，
所以3sin120sin19BAP35738． 18.（1）证明：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD， 又BDDC，所以DC平面ABD， 因为AB平面ABD，所以DCAB， 又因为折叠前后均有ADAB，DCADD， 所以AB平面ADC． （2）解：由（1）知AB平面ADC，所以二面角CABD的平面角为CAD． 又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD． 依题意tan6CDCADAD，
因为1AD，所以6CD， 设ABx（0x），则21BDx， 依题意ABD~BDC，所以ABCDADBD，即2611xx， 8
解得2x，故2AB，3BD，223BCBDCD． 因为DC平面ABD，过点E作EF//DC交BD于F，则EF平面ABD， 因为AD平面ABD，所以EFAD， 过点F作FGAD于G，连接GE， 所以AD平面EFG，因此ADGE， 所以二面角BADE的平面角为EGF，
由平面几何知识求得1622EFCD，1222FGAB， 所以222EGEFFG， 所以1cos2FGEGFEG， 所以二面角BADE的余弦值为12．
19.解：（1）由数据计算可得1234563.56x， 111316152021166y，
由公式计算可得2b，1623.59a， 所以月度市场占有率y与月份序号x之间的线性回归方程为29yx， 当7x时，27923y， 故M公司2017年4月份的市场占有率预计为23%． （2）由频率估计概率． 每辆A款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1， 所以每辆A款车可产生的利润期望值为 ()(5001000)0.2(10001000)0.35(15001000)0.35(20001000)0.1175EX（元），