完全气体格子Boltzmann热模型
热波方程的格子Boltzmann模型
热波方程的格子Boltzmann模型史秀波;闫广武【摘要】用格子Boltzmann方法(LBM)研究热波方程,构建了热波方程的格子Boltzmann模型,运用该模型对一维和二维热波问题进行数值模拟,并将LBM数值解与其他经典结果进行比较,表明该方法可以用于模拟热波问题.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2013(051)003【总页数】4页(P437-440)【关键词】格子Boltzmann模型;热波方程;高阶矩方法【作者】史秀波;闫广武【作者单位】桂林理工大学理学院,广西桂林541004;吉林大学数学学院,长春130012【正文语种】中文【中图分类】O354格子Boltzmann方法(LBM)作为一种新的数值方法在计算流体力学、非线性偏微分方程等领域受到广泛关注[1-2]. 闫广武等[3-4]将该方法应用于波传播问题,为研究其他波动问题提供了可选择的途径. 波动方程中的波速通常是一个常数值,通过引入动量变量ρuj(x,t)将波动方程转换为小扰动Euler方程进行求解[5-6]. 本文用格子Boltzmann方法对热波动方程进行模拟. 在该方程中,波速不再是一个常量,而是一个变量,其表达式为2u(x,t),(1)其中Cs(x)表示波速,是关于x或y的函数. u(x,t)的下一个时间步表达式为(2)本文提出热波的格子Boltzmann模型,通过使用Chapman-Enskog展开和多尺度技术,得到了系列格子Boltzmann偏微分方程、平衡态分布函数的高阶矩及二阶精度宏观热波方程. 数值实验将模型结果与变分迭代法获得的解析解及经典中心差分格式获得的结果进行比较,结果表明,该方法所得结果与经典方法所得结果相符.1 格子Boltzmann模型选择一维3-bit网格和二维5-bit网格,分布函数fα(x,t)定义为在某节点x上、 t时刻、具有速度eα(α=0,1,…,b)的粒子出现的概率,其中α=0表示静止粒子. 在一维空间中,b=2,粒子速度为eα={0,c,-c};二维空间中,b=4,粒子速度为(3)其中c表示速率. 定义宏观量:(4)为了得到稳定的统计宏观量,假设分布函数fα(x,t)具有平衡态分布函数且(5)格子Boltzmann方程表示为fα(x+eα,t+1)-fα(x,t)=Ωα+ωα,(6)其中:表示Bhatnagar-Gross-Krook(BGK)型的碰撞项,τ表示弛豫时间;ωα是附加项.选取Knudsen数ε作为数值模拟的时间步长和Chapman-Enskog展开的小参数[7],在该尺度上,方程(6)可写为fα(x+εeα,t+ε)-fα(x,t)=Ωα+ωα,(7)在方程(7)中,假设ωα(x,t)=ε2φα(x,t).(8)运用Chapman-Enskog展开和多尺度技术,并对方程(7)进行Taylor展开,保留余项到O(ε3)的精度,可得不同时间尺度上的系列格子Boltzmann方程[8]:其中:结合方程(5),(9),并假设(12)可得时间尺度t0上的守恒方程(13)式(9)+式(10)×ε并对α求和,同时假设(14)得到宏观热波方程为2u+O(ε2),(15)其中:结合方程(5),(12),(14)易得平衡态分布函数为其中D表示空间维数(一维空间中D=1；二维空间中D=2).2 数值模拟为了验证模型效果,分别对一维和二维热波问题进行数值模拟. 一维热波问题使用3-bit模型,二维热波问题使用5-bit模型.例1 一维热波方程Dirichlet边界条件：u(0,t)=0, u(1,t)=1+sinh t;(18)b初始条件：u(x,0)=x, ut(x,0)=x2.(18)c变分迭代法获得的精确解[9]为u=x+x2sinh t.(18)d选取参数：格子尺寸m=100,Δ x=0.01,c=5.0,τ=1.2,t=1. 图1(A)为t=1时LBM 数值解和精确解的比较结果；图1(B)为两种结果的相对误差Er=|(u-u*)/u*|,其中:u表示LBM数值解;u*表示精确解. 由图1(B)可见,相对误差在(1×10-3,9×10-3)内,数值解和精确解吻合较好.图1 一维热波方程LBM数值解和精确解的比较(A)及相对误差曲线(B)Fig.1 Comparison of LBM solution and the exact solution of one-dimensional thermal wave equation (A) and the curves of their relative error (B)例2 二维热波方程2u, 0<x<1, 0<y<1, t>0;(19)aNeumann边界条件：ux(0,y,t)=0, ux(1,y,t)=2sinh t,uy(x,0,t)=0, uy(x,1,t)=2cosh t;(19)b初始条件：u(x,y,0)=y2, ut(x,y,0)=0.(19)c选取参数：格子尺寸m×n=100×100,Δ x=0.01,Δ y=Δ x,c=5,τ=1.01,ε=Δ t=Δ x/c,t=1. 图2(A)为t=1时LBM的模拟结果；图2(B)为t=1时经典中心差分格式的数值解,将其作为精确解；图2(C)为两种结果在x=0.4处的相对误差曲线. 由图2(C)可见,误差区域在(0.00,0.05)内,数值解与精确解吻合较好.图2 二维热波方程LBM模拟结果(A)、精确解(B)和两种结果的相对误差曲线(C)Fig.2 LBM result (A),the exact solution (B) and the curves of their relative error (C) for of two-dimensional thermal wave equation综上,本文提出了一个用于热波方程的格子Boltzmann模型,可得如下结论：1) 不同时间尺度的系列偏微分方程对构建热波格子Boltzmann模型非常重要,通过使用高阶矩得到了平衡态分布函数的表达式；2) 在模型中,将作为守恒量,且由于因此模型是各向同性的.参考文献【相关文献】[1] CHEN Shi-yi,Doolen G D. Lattice Boltzmann Method for Fluid Flow [J]. Annual Review of Fluid Mechanics,1998,30: 329-364.[2] DUAN Ya-li,KONG Ling-hua,ZHANG Rui. A Lattice Boltzmann Model for the Generalized Burgers-Huxley Equation [J]. Physica A,2012,391(3): 625-632.[3] YAN Guang-wu. A Lattice Boltzmann Equation for Waves [J]. Journal of Computational Physics,2000,161(1): 61-69.[4] YAN Guang-wu,DONG Yin-feng. Application of the Lattice Bhatnagar-Gross-Krook Model to the Simulation of Seismic Pressure Wave [J]. Acta Mechanica Sinica,2005,37(2): 238-243. (闫广武,董银峰. 基于格子Bhatnagar-Gross-Krook模型的地震压力波模拟 [J]. 力学学报,2005,37(2): 238-243.)[5] ZHANG Jian-ying,YAN Guang-wu,SHI Xiu-bo. Lattice Boltzmann Model for Wave Propagation [J]. Physical Review E,2009,80(2): 026706.[6] SHI Xiu-bo,YAN Guang-wu,ZHANG Jian-ying. A Multi-energy-level Lattice Boltzmann Model for Two-Dimensional Wave Equation [J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids,2010,64(2): 148-162.[7] Chapman S,Cowling T G. The Mathematical Theory of Non-uniform Gas [M]. Cambridge: Cambridge University Press,1939.[8] ZHANG Jian-ying,YAN Guang-wu. Lattice Boltzmann Method for One and Two-Dimensional Burgers Equation [J]. Physica A,2008,387(19/20): 4771-4786.[9] Wazwaz A M,Gorguis A. Exact Solutions for Heat-Like and Wave-Like Equations with Variable Coefficients [J]. Applied Mathematics and Computation,2004,149(1): 15-29.。
热力学玻尔兹曼分布公式
热力学玻尔兹曼分布公式
热力学玻尔兹曼分布公式是一种描述理想气体分子速度分布的数学公式。
该公式由奥地利物理学家鲁道夫·玻尔兹曼在19世纪末提出，被广泛应用于热力学和统计物理学领域。
根据热力学玻尔兹曼分布公式，理想气体分子的速度分布可用以下公式描述：
f(v) = 4π( m / 2πkT )^(3/2) * v^2 * exp( -m*v^2 /
2kT )
其中，f(v)表示速度为v的分子的概率密度，m表示分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。
可以看出，该公式与温度和分子质量有关，速度越高的分子出现的概率越小，速度越低的分子出现的概率越大。
热力学玻尔兹曼分布公式的推导过程比较复杂，需要运用到分布函数、分子动力学等概念和方法。
该公式的应用也十分广泛，例如在热力学中用于计算气体的内能、熵等物理量，在化学中用于描述反应速率、碰撞频率等重要参数。
- 1 -。
boltmann方程
boltmann方程Boltzmann方程是统计力学中的一个重要方程，它描述了粒子在气体中运动的统计行为。
本文将从人类的视角出发，以生动的语言描述Boltzmann方程的含义和应用。
我们来了解一下Boltzmann方程的背景和意义。
在热力学中，我们常常关注的是宏观物体的性质和行为，而Boltzmann方程则从微观角度描述了气体分子的运动状态。
它基于分子动力学理论，通过统计分析粒子的速度和位置分布，从而推导出气体的宏观性质。
Boltzmann方程的形式是一个偏微分方程，它描述了气体分子的速度分布函数随时间和空间的变化。
这个函数告诉我们，在给定时间和空间点上，有多少分子具有特定的速度。
而Boltzmann方程则告诉我们，这个速度分布函数随时间如何演化。
在实际应用中，Boltzmann方程被广泛用于研究气体的输运现象，比如热传导、扩散和粘滞等。
通过求解Boltzmann方程，我们可以得到粒子的速度和位置分布，从而计算出气体的宏观性质，比如温度、压力和粘滞系数等。
除了气体动力学，Boltzmann方程还在其他领域有广泛的应用。
在固体物理中，它可以用来研究电子在晶格中的输运行为。
在等离子体物理中，它可以用来描述等离子体中的粒子碰撞和输运过程。
在天体物理学中，它可以用来研究星际介质的行为。
然而，由于Boltzmann方程的复杂性，求解它是一项极具挑战性的任务。
传统的数值方法往往需要大量的计算资源和时间。
因此，研究者们一直在不断探索更高效的求解方法。
近年来，随着计算机技术的发展，一些新的数值方法和算法被提出，使得求解Boltzmann 方程变得更加可行。
总结一下，Boltzmann方程是描述气体分子运动行为的重要方程，它通过统计分析分子的速度和位置分布，揭示了气体的宏观性质。
在实际应用中，Boltzmann方程被广泛用于研究气体和固体的输运现象，以及其他领域的物理现象。
虽然求解Boltzmann方程面临着挑战，但随着技术的进步，我们相信会有更多的突破，为我们揭示更多奥秘。
格子玻尔兹曼方法
格子玻尔兹曼方法格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method，简称LBM）是一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，它是由Lattice Gas Automata（LGA）经过演化和发展而来的。
LBM是一种离散的方法，它通过在空间网格上模拟分子碰撞和传输过程来描述流体的宏观运动。
与传统的有限差分法、有限体积法相比，LBM具有计算效率高、并行性好、适应复杂边界条件等优点，因此在流体力学领域得到了广泛的应用。
LBM的基本思想是将流体系统离散化，将连续的流体宏观运动转化为离散的微观碰撞和传输过程。
在LBM中，流体被看作是由大量微观粒子组成的，这些微观粒子在空间网格上按照一定的规则进行碰撞和传输。
通过对微观粒子的运动状态进行统计，可以得到流体的宏观性质，如密度、速度等。
LBM的核心是格子玻尔兹曼方程（Lattice Boltzmann Equation，简称LBE），它描述了微观粒子在空间网格上的运动规律。
在LBM中，流体的宏观性质由分布函数来描述，分布函数是表示在某一时刻某一空间点上流体微观粒子的分布情况。
在每个时间步内，分布函数按照一定的规则进行碰撞和传输，通过迭代计算可以得到流体在空间网格上的演化过程。
LBM的计算过程可以并行化，因此在计算效率上具有明显的优势。
LBM的另一个优点是它对复杂边界条件的处理能力强。
由于LBM是基于离散网格的方法，因此可以比较容易地处理复杂的边界条件，如曲面边界、移动边界等。
这使得LBM在模拟复杂流体系统时具有一定的优势。
除此之外，LBM还有一些其他的优点，如对多相流、多孔介质流动等复杂流体现象的模拟能力强，对于非稳态流动和湍流流动的模拟也有一定的优势。
总之，格子玻尔兹曼方法作为一种新兴的计算流体力学方法，具有诸多优点，逐渐得到了流体力学领域的广泛关注和应用。
随着计算机硬件性能的不断提升，LBM的应用前景将更加广阔，相信它会在流体力学领域发挥越来越重要的作用。
一个完全守恒的格子Boltzmann模型
一个完全守恒的格子Boltzmann模型
冯士德;任荣彩;毛江玉
【期刊名称】《计算物理》
【年(卷),期】2001(18)5
【摘要】利用六角形格子离散的方法 ,使得每个六角形Cell里含有 3种不同运动速度的粒子微团 ,宏观物理量用这些粒子微团的矩来定义 .根据微观和宏观之间的质量、动量、能量守恒准则 ,建立了一个二维的D2Q19格子Bo ltzmann模型 ,从该D2Q19模型出发可推导出宏观的流体力学方程组 .用该模型对冲击波在障碍物组表面上的折射现象进行数值模拟 ,并将计算结果与实验进行了比较 .
【总页数】5页(P407-411)
【关键词】Boltzmann模型;分布函数;冲击波;流体力学方程;六角形格子离散法;完全守恒
【作者】冯士德;任荣彩;毛江玉
【作者单位】中国科学院大气物理研究所大气科学和地球流体力学数值模拟国家重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】O35
【相关文献】
1.熵格子Boltzmann方法的亚格子尺度模型 [J], 邵菲;韩端锋;刘强;谢伟
2.一个三迭加格子Boltzmann模型 [J], 熊盛武;陈炬桦
3.格子Boltzmann守恒型非平衡态的外推边界 [J], 翟旭军;赵凯
4.格子Boltzmann亚格子模型的研究 [J], 杨帆;刘树红;唐学林;吴玉林
5.用格子Boltzmann模型模拟可压缩完全气体流动 [J], 孙成海
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玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布律是一种覆盖系统各种状态的概率分布、概率测量或者频率分布。
当有保守外力（如重力场、电场等）作用时，气体分子的空间位置就不再均匀分布了，不同位置处分子数密度不同。
玻尔兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律玻尔兹曼(L.E.Boltzmann)将麦克斯韦分布律推广到有外力场作用的情况。
在等宽的区间内，若E1>E2，则能量大的粒子数dN1小于能量小的粒子数dN2，状态即粒子优先占据能量小的，这是玻尔兹曼分布律的一个重要结果。
经过将近一个世纪的传播，物理学界、化学界渐渐接受了道尔顿的“原子—分子模型”，但原子、分子的确凿证据迟迟没有找到。
恰恰此时，一股更强大的科学成就——热力学第一、第二定律出现了。
热力学原则上解决了一切化学平衡的问题。
1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德试图在此基础上证明，将物理学和化学问题还原为原子或分子之间的力学关系是多余的。
他试图将“能量”赋以实物一样的地位，甚至要把物质还原为能量。
他提出“世界上的一切现象仅仅是由于处于空间和时间中的能量变化构成的”。
在统计学中，麦克斯韦- 玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。
它一开始在物理中定义并使用是为了描述（特别是统计力学中描述理想气体）在理想气体中粒子自由移动的在一个固定容器内与其它粒子无相互作用的粒子速度，除了它们相互或与它们的热环境交换能量与动量所产生的非常短暂的碰撞。
在这种情况下粒子指的是气态粒子（原子或分子），并且粒子系统被假定达到热力学平衡。
在这种分布最初从麦斯威尔1960年的启发性的基础上衍生出来时，玻尔兹曼之后对这种分布的物理起源进行了大量重要调查粒子速度概率分布指出哪一种速度更具有可能性：粒子将具有从分布中随机选择的速度，并且比其它选择方法更可能在速度范围内。
声波衰减的格子-boltzmann方法模拟
声波衰减的格子-boltzmann方法模拟一、啥是声波衰减呀？咱先得搞明白声波衰减是个啥概念。
简单来说呢，声波在传播的时候呀，它的能量会越来越小，就像跑步跑着跑着没力气了一样。
比如说吧，你在一个特别空旷的大广场上喊一嗓子，那声音传出去老远之后就变得很微弱了，这就是声波衰减在起作用。
这衰减的原因可不少呢，像介质的吸收啦，散射啦，都会让声波的能量一点点地减少。
二、格子 - Boltzmann方法是啥玩意儿？这名字听起来就特别高大上对吧？其实呢，它就是一种模拟物理现象的方法。
想象一下啊，我们把空间分成好多好多小格子，就像搭积木一样。
然后呢，每个小格子里都有一些小粒子在跑来跑去，这些小粒子的运动就能够反映出物理现象啦。
对于声波衰减这个事儿呢，我们就可以用这些小格子和小粒子的运动来模拟声波是怎么一点点衰减的。
这种方法可厉害了，它能够处理那些很复杂的物理过程，就像一个超级聪明的小助手。
三、为啥要用格子 - Boltzmann方法来模拟声波衰减呢？这里面学问可大了。
你想啊，传统的方法有时候会遇到一些麻烦事儿，比如说计算特别复杂的情况就搞不定了。
但是格子 - Boltzmann方法就不一样啦。
它能够很自然地处理那些复杂的边界条件，就像一个特别灵活的小机灵鬼。
而且呀，它还能很清楚地展现出微观的物理过程，就像给我们一双透视眼一样，让我们能看到那些小粒子是怎么影响声波衰减的。
再加上现在计算机技术这么发达，用这个方法来模拟，速度也能挺快的，就像开着小跑车在信息高速公路上飞驰一样。
四、具体怎么模拟呢？这可就有点复杂了，不过咱也能大概说说。
首先呢，得确定那些小格子的大小和形状，这就像是给我们的小世界定个框架一样。
然后呢，要给那些小粒子设定初始的状态，比如说它们的速度啦，位置啦之类的。
接下来呀，就根据一些物理规律，让这些小粒子在小格子里跑来跑去。
在这个过程中呢，我们要时刻关注那些和声波衰减有关的因素，像小粒子之间的碰撞啦，和小格子边界的相互作用啦。
格子玻尔兹曼方程
格子玻尔兹曼方程格子玻尔兹曼方程，又称玻尔兹曼霍金斯方程，是一种量子系统不受外力作用时状态变化的描述方法，它是由玛丽威廉斯特玻尔兹曼在1925年提出的量子力学方法，他主要是在描述粒子的量子态时使用。
此时，粒子的态可以用矩阵来表示，而格子玻尔兹曼方程是用来描述矩阵变换的一种方法，有效地描述了量子系统状态的变化。
二、格子玻尔兹曼方程的原理格子玻尔兹曼方程的基本原理是基于玻尔兹曼的量子力学，玻尔兹曼提出量子力学的基本思想，即粒子的态可以用矩阵来描述。
格子玻尔兹曼方程就是在这一基础上建立起来的，就是描述矩阵变换的一种方法。
格子玻尔兹曼方程的基本形式可以用H表示：H|psi>=E|psi>其中，H是一个矩阵，表示系统在不受外力作用的状态下的能量值，E则是能量值，|psi>量子系统的态函数，描述了粒子的量子态。
三、格子玻尔兹曼方程的应用格子玻尔兹曼方程在实际应用中有着重要的地位，它能够有效地描述量子系统的能量变化，能够方便地计算量子系统的物理量，如粒子的运动轨迹。
此外，由于格子玻尔兹曼方程可以用有限维矩阵来描述，所以它有着计算量小、简单的优势。
基于此，格子玻尔兹曼方程广泛应用于物理、化学、生物学等领域，如电子结构态的计算、量子化学的研究、分子动力学的模拟等。
四、格子玻尔兹曼方程未来的发展格子玻尔兹曼方程已经取得了重大的研究成果，但仍有许多不足之处。
例如，目前格子玻尔兹曼方程只能有效解决复杂量子系统中少数几个特定的结构，而其他复杂结构则仍无法得到解决。
此外，格子玻尔兹曼方程仍然存在计算方法的改进空间。
未来，人们将会进一步加强对玻尔兹曼方程的研究，希望能够解决更复杂的量子系统，并找到更高效的计算方法。
五、结语格子玻尔兹曼方程是量子力学方法的重要组成部分，它有效地描述了量子系统的状态变化，它的应用也极其广泛。
未来，人们要继续加强对格子玻尔兹曼方程的研究，以期解决更复杂的量子系统和更高效的计算方法。
格子玻尔兹曼算法
格子玻尔兹曼算法
格子玻尔兹曼算法是一种基于微观粒子运动的计算流体力学方法，它可以用来模拟流体的运动和传输过程。
该算法的核心思想是将流体分成许多小的格子，然后在每个格子内模拟流体粒子的运动和相互作用，从而得到整个流体的宏观运动状态。
格子玻尔兹曼算法的基本原理是通过离散化的方式来模拟流体的微观运动。
在每个格子内，流体粒子的运动状态可以用一个分布函数来描述，该函数包含了流体粒子在不同速度下的密度和速度信息。
通过对分布函数的离散化和更新，可以得到流体的宏观运动状态，如速度、密度和压力等。
格子玻尔兹曼算法的优点是可以处理复杂的流体运动和传输过程，如湍流、多相流和热传导等。
同时，该算法具有高效、可扩展和易于并行化等特点，可以在大规模计算机集群上进行高性能计算。
然而，格子玻尔兹曼算法也存在一些挑战和限制。
首先，该算法需要对流体的微观运动进行离散化，因此需要选择合适的离散化方法和参数，以保证模拟结果的准确性和稳定性。
其次，该算法需要进行大量的计算和存储，因此需要高性能计算机和存储系统的支持。
最后，该算法在处理复杂流体问题时，需要考虑多种物理过程的相互作用，因此需要进行多物理场的耦合和协同计算。
格子玻尔兹曼算法是一种重要的计算流体力学方法，它可以用来模
拟各种复杂的流体运动和传输过程。
随着计算机技术的不断发展和进步，该算法将在更广泛的领域得到应用和发展。
气体分子运动论和热力学基础之玻尔兹曼分布律
此外，可以结合量子力学和经典力学理论，深入研究气体分子在不同 尺度下的运动规律和相互作用机制。
04
通过这些研究，有望进一步揭示气体分子行为的奥秘，为相关领域的 发展提供新的思路和方法。
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该理论在统计物理学、热力学 、化学反应动力学等领域有着 广泛的应用，对于理解气体分 子行为的本质和规律具有重要 意义。
对未来研究的展望
01
随着实验技术和计算机模拟方法的不断发展，对气体分子运动和热力 学性质的研究将更加深入。
02
未来研究可以进一步探索玻尔兹曼分布律在不同条件下的适用范围和 局限性，例如极端温度、高压等极端条件下的气体分子行为。
02 气体分子运动论基础
分子运动论的基本概念
1 2
分子
物质的最小单位，具有热运动和相互碰撞的性质。
分子的热运动
分子在不停地做无规则的热运动，温度越高，热 运动越剧烈。
3
分子的碰撞
分子之间会发生碰撞，碰撞过程中会传递能量和 动量。
分子动理论的基本假设
分子无规则热运动的假设
分子在空间中的运动是无规则的，即每个分子的运动方向和速度 都是随机的。
该定律基于微观分子运动和宏观热力 学性质之间的关系，为理解气体性质 和热力学过程提供了基础。
玻尔兹曼分布律的重要性
玻尔兹曼分布律是热力学统计物理学的基石之一，对于理解气体分子在平 衡态下的行为至关重要。
该定律有助于解释和预测气体在不同温度和压力下的性质，如密度、压强、 内能等。
玻尔兹曼分布律在物理学、化学、生物学等领域都有广泛的应用，对于理 解物质的宏观性质和微观机制具有重要意义。
分子之间相互碰撞的假设
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完全气体格子 Boltzmann热模型*
( a) t= 60
( b) t = 100 图 2 热扩散率随 τ的变化 图 4 e 的等值线
3 总 结
eq
∑ mbd
κ κ
κ
,
( 7) ( 8)
∑ mbd
κ
1 c2 + d ep , 2κ
52
清 华 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 )
2000, 40( 4)
0 jκ
另外 , 比热比为 V 的完全气体满足状态方程 p = (V 1 - 1)d u , 这里 u= e - v 2是比热力学能 。 而压力表 2 示如下 1 2 1 2 p= mbdκcκ d v . ( 9) D∑ D κ 在低 Mach 数条件下可忽略 v , 得到 1 2 (V- 1)d e = ∑mbdκ c κ. ( 10) D κ 当粒子有二级速度 (κ = 1, 2)时 , 由式 ( 7, 8, 10) 解得: d1 = d2 = ep = d c - D (V- 1)d e 2 2 , bm ( c2 - c1 ) D (V- 1)d e- d c1 2 2 , bm ( c2 - c1 ) 12 2 2 2
孙成海 , 王保国 , 沈孟育
(清华大学 工程 力学系 , 北京 100084)
文 摘 : 为 建立一 种具有 任意比热 比的完 全气体 多速度 格 子 Boltzmann 热模型 ,引入粒子的势 能来调整压能与热 力学 能 的 关 系 ; 利 用 Chapman -Ensko g 方法 从 BG K 型 的 格 子 Bo ltzma nn 方 程推 导出 了 Nav ie r-Sto kes 方程 和能 量 方程 。 对一维正弦波形式的能量衰减过程进行 了模拟 ,测得的 热扩 散率与理论预测值相吻合 。还模拟了绕加热平 板的二维强制 热对流问题 , 结果合理 。 关键词 : 格子 Bo ltzma nn; 完全气体 ; 热模型 中图分类号 : O 354 文献标识码 : A
1 LB热模型
在规则的网格上 , 设 cjκ 是第 j 个网格方向的模 为 c κ的粒子速度 ; κ = 1, 2; j= 1, … , b; b 是粒子速
收稿日期 : 1998-0627 作者简介 : 孙成海 ( 1960-) , 男 (汉 ) , 山东 , 副教授 * 基金项目 : 国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 ( 19672030, 19972037) 和 教 育 部 留 学 回 国 人 员 经 费 项目
∑F X.
n n n= 0
( 15)
T 1 2 cκ + ep 。将 2 方程 ( 2)进行 Taylo r 展开 , 再将式 ( 3, 14, 15)代入展 开后的方程 , 考虑式 ( 4 ～ 6) , 比较 X 的同次项可确定
m , m cj κ, m
出: F = F = N jκ+
1 1 0
∑η c - ∑η c
eq jκ
D ( D+ 2) c κ 2 D 2 + 4 2 cjκ v ( cjκ v ) - v 2c κ D cκ
2
, ( 1)
其中 : D 是空间维数 , v 是流体速度 , dκ是由流体 密度和能量决定的量 。 BGK型格子 Bol t zmann方程为 N jκ( x + cjκ Δt , t + Δ t ) - N jκ( x , t ) = Kjκ, ( 2) 其中 : K jκ = 1 eq ( N jκ( x , t ) - N jκ) f ( 3)
孙成海 , 等 : 完全气体格子 Bolt zmann 热模型
53
c1 c2 D . ( 27) 2De + (V- 1) 1 - 2 (V- 1) e 采用六边形网格 , 粒子的速度分别为 1 和 3 (见图 1)。 如果速度很小可以忽略对流项 , 且忽略热 扩散率 a 的变化 , 则式 ( 26)有解析解 e ( x , t ) = a′ + b′ exp( - at ) si n( 2 πx /L ) . ( 28)
+
( 21)
为了获得 N-S方程 , 要求粒子速度 4 阶张量之 和是各向同性的 , 即 bcκ D ( D + 2) j (W T V W U W+ W T W W U V+ W T U W V W) e T eUeVeW
∑c
4
j κ jκ jκ jκ
c c c =
( 11) ( 12)
D (V- 1) e . 2 为了方便将宏观变量写成向量形式 Y = (d ,d v ,d e) T ,
κ ,j κ ,j
jκ j κ
jκ jκ
N , Δ
0
0 jκ
( 16)
T 0 L N jκ 0 , ( 17) N jκ cjκ+ F 2 L Y Δ Δ 0 1 L N jκ N jκ = - f T N0 jκ cjκ+ F0 . ( 18) L Y Δ 如果只取前 2 阶 ,将式 ( 16 ～ 18)代入式 ( 15)可得守 恒方程 L d 0 1 = - div ∑ m cjκ N jκ+ X T - f L t 2 κ ,j 0 0 L N jκ 0 , ( 19) N jκ cjκ+ L Y F Δ 0 L(d v) 1 m cjκcjκ N jκ+ X T 2 - f L t = - div ∑ κ ,j
2 算 例
2. 1 用正弦波形测量热扩散率 这个算例是在流动速度很小的条件下进行的 。 这要求压力梯度很小 , 即 d e 很小。 如果将其忽略 , Δ 则能量方程 ( 24)可化简成 : L e D e = div ( a e ) , ( 26) + (V- 1) v L t 2 Δ Δ 1 a= X T f2
其中 : eT, T = 1, … , D 是空间的一组正交单位基向 量。 在二维空间中 , 正六边形网格可以满足上式 。 方 程 ( 19 ～ 21)经过化简可得到如下的连续方程、 N-S 方程和能量方程 : L d v ) = 0, ( 22) L t + div (d L(d v ) + div (d vv ) = - p + L t Δ 2 T div (_ v ) + [ (_ v ) ] div (_ v ) I , ( 23) D Δ Δ L e 1 d + d v e= X T f(V- 1) L t 2 Δ 2 2 2 2 c1c2 c1 + c2 div d + d e+ 2D (V- 1) 2 Δ D 2 1(V- 1) d e - e (d e) + d v ep , 2 Δ Δ ( 24) 其中 : I 是二阶单位张量 , _ 是粘度 , 且 X T 1 2 _ = fmbdκcκ. ( 25) D+ 2 2 ∑ κ 在式 ( 24)中 , 右端最后一项 d v e p 是由于粒子 Δ 势能的变化引起的。 它破坏了能量方程的 Galilean 不变性。
( 13)
采用 Chapman-Enskog 方法由方程 ( 2)推导宏观守 eq 恒方程 。 将 N jκ在 N jκ附近进行渐近展开得 N jκ( x , t ) =
0 eq
∑N
n= 0 ∞
∞
n jκ
( x , t )X,
n
( 14)
其中 : N jκ= N jκ, X 为一小量 。 再将宏观变量对时间 的导数进行渐近展开 L Y L t= 令 : Δ扩散问题 在相对值 u = 0. 5, d = 2. 5, e= 2. 0 的均匀流场 中放入一加热板 , 观察其能量扩散情况 。 采用六边形 网格 , 100 × 80个结点 ; 上下边界采用周期性边界 条件 ; 在 x = 25, y = 40为中心处 ,放一尺寸为 30 × 4个节点 、 e= 2. 5 的加热板 ; 取 V = 1. 4, f = 1. 0. 在 图 4a 和 4b 中分别给出了在相对值 t= 60和 t= 100 时 e 的等值线。 从中可以看出能量向下游扩散的情 况。 与 u= 0. 5的流动速度相比 , 能量向下游扩散的 速度相对实际情况要慢一些。 这是由于能量方程的 非 Galilean 不变性造成的 。 在方程 ( 26)中对流项 v e 的因数本应该为 1, 这里却是 0. 4 。 Δ
度方向的个数 ; N jκ 表示具有速度 cjκ的粒子数密度 。 Fermi-Di rac 型 的 平 衡 分 布 使 格 子 气 失 去 了 Galilean 不变性 。 这是格子气的缺陷 。 对于 L B方法 , 平衡分布的选择有一定的自由度。 如果选择适当可 以避免这个问题 [4 ]。 平衡分布由下式给出 + N = dκ 1
式中: m 是 粒子的质 量 , ep 是粒子单 位质量的 势 能。 这里引入了粒子势能是为了能够增加一个自由
2 度 ,从而获得任意比热比 。 粒子的能量由动能 1 mcκ 2 和势能 me p 两部分组成。 下面确定 e p 和式 ( 1)中的
dκ 。 平衡分布 N jκ应该满足式 ( 4 ～ 6)。 其中式 ( 5)自 然满足 ,式 ( 4)和 ( 6)变为 d= d e=
图 1 粒子速度
如果在某一时刻 t = t1 ( t1 可取为振幅衰减一半 所用的时间 )测得 e ( x , t1 ) , 则可根据式 ( 28)算出热 扩散率 a。 这样就可以通过数值模拟测出模型所对 应的扩散系数。 取 a′ = 2, b ′ = 0. 05, V = 1. 4; 100 × 4个网格结点。 图 2给出了热扩散率随 f 的变化 。实 线是由式 ( 27)计算出的理论值 , 圆点是利用上述方 法得到的测量值 , 两者吻合很好。 图 3给出了 t= 0 和 t= 400时相对值 e 的分布 。 与式 ( 28)给出的解析 解相一致。