二次函数与一元二次方程教学设计
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级数学上册第22章的第2节，这一节内容是在学生已经学习了函数、方程等基础知识的基础上进行讲解的。
二次函数和一元二次方程是中学数学中的重要内容，也是高考的必考内容。
本节内容主要介绍了二次函数的定义、性质以及一元二次方程的解法。
通过本节内容的学习，使学生能够掌握二次函数和一元二次方程的基本概念和性质，能够运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程等概念已经有了初步的认识。
但是，对于二次函数和一元二次方程的性质和应用可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握二次函数和一元二次方程的概念和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解二次函数的定义和性质，掌握一元二次方程的解法，能够运用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，培养学生的动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义和性质，一元二次方程的解法。
2.教学难点：二次函数和一元二次方程的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学模具、实物模型等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数和一元二次方程的概念。
2.讲解：讲解二次函数的定义和性质，演示一元二次方程的解法。
3.实践：让学生动手操作，进行实验和探究，加深对二次函数和一元二次方程的理解。
4.应用：通过解决实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识。
5.总结：对本节内容进行总结，强化学生的记忆。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数和一元二次方程的概念和性质。
《二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）》教学设计◆教学目标1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学抽象素养；2．能用二次函数的观点，看一元二次方程和一元二次不等式，并能求解二次方程和二次不等式问题，感悟数学知识的整体性和关联性，提升逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养．◆教学重难点◆教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，并会借助二次函数求解一元二次不等式，体会函数思想、化归思想及数形结合的思想．教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．◆课前准备GEOGEBRA、PPT课件．◆教学过程一、情境引入★资源名称：【情景演示】二次函数与一元二次方程、不等式★使用说明：本资源类比一次函数与一元一次方程、不等式的联系，提出对二次函数与一元二次方程、不等式之间联系的思考，引发学生以类比的视角来学习函数、方程、不等式之间的关系．注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m ，围成的矩形区域的面积要大于20 m 2，则这个矩形的边长为多少米？师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来． 预设的答案：1．因为学生已经学习过基本不等式，所以部分学生会令矩形的一边长为x ，另一边为y ，可以得到⎩⎨⎧>=+.20,12xy y x 此时还需要消元从而转化为一元二次不等式求解．2．部分学生用一个未知数x 即可表示问题中的不等式20)-12>x x （，但学生容易忘记自变量x 的取值范围．追问：不等式20)-12>x x （即020122<+-x x ，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？师生活动：学生可以回答这个问题．之后学生阅读课本获得定义，或者教师给出一元二次不等式的定义，一元二次不等式的一般形式：0022<++>++c bx ax c bx ax 或，并且强调二次项的系数a ≠0．设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．二、探究新知1．探究一元二次不等式的解法问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．★资源名称： 【数学探究】二次函数与一元二次方程、不等式的关系★使用说明：本资源动态展示了二次函数的零点与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，直观观察三者之间的关系．注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数20122+-=x x y 为例．师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．追问1：教师用信息技术画出函数20122+-=x x y 的图象，图象与x 轴有两个交点，并在函数图象上任取一点P （x ，y ）．当点P 在抛物线上移动时，请你观察：随着点P 的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？师生活动：学生观察思考后回答．预设的答案：当点P 移动到x 轴上时，它的纵坐标等于0（即0=y ）；当点P 移动到x 轴上方时，它的纵坐标大于0（即0>y ）；当点P 移动到x 轴下方时，它的纵坐标小于0（即0<y ）．追问2：当点P 的纵坐标y =0时、y ＞0时、y ＜0时所对应的横坐标x 的取值范围分别是什么？师生活动：学生独立获得答案．师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x 轴的相关位置确定不等式对应的x 的取值范围，而确定x 的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．Δ＞0Δ＝0Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2}{x |x ≠－b2a}Rax 2＋bx ＋c ＜0(a＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．3．应用举例例1 求下列不等式的解集：（1）0652>+-x x （2）01692>+-x x （3）03-2-2>+x x追问：求解不等式的依据是什么？步骤是什么？第（3）题与（1）（2）题有何异同？能否转化为（1）（2）题．师生活动：学生独立完成后展示交流，师生总结求解思路．对于二次项系数是负数（即0<a )的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解．预设的答案：（1）解：对于方程0652=+-x x ，因为∆＞0， 所以它有两个实数根，解得3,221==x x ，画出二次函数652+-=x x y 的图象（图2.3-2）结合图象得不等式0652>+-x x 的解集为}{3,2><x x x 或．（2）解：对于方程01692=+-x x ，因为∆=0，所以它有两个相等的实数根，解得3121==x x ，画出二次函数169y 2+-=x x 的图象（图2.3-3），结合图象得不等式01692>+-x x 的解集为}31|{≠x x ．（3）解：不等式可化为032-2<+x x ，因为∆=-8＜0，所以方程032-2=+x x 无实数根，画出二次函数32y 2+-=x x 的图象（图2.3-4），结合图象得不等式032-2<+x x 的解集为∅．因此原不等式的解集为∅．追问：通过这三道题的学习，请你试着总结一下：解一元二次不等式的一般步骤是什么？师生活动：学生总结，教师完善．预设的答案：步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．设计意图：这三道例题对应的三个二次函数的图象分别与x 轴有两个交点、有一个交点和没有交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应用，培养学生思维的严谨性．例 2 已知一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为{}53-><x x x ，或，则02<+-c bx ax 的解集为________．追问：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？ 师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定a 0<．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出a ，b ，c 之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．预设的答案：解：根据题意可知a 0<．图2-3-5令)0(02≠=++a c bx ax ．由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=,53,53-ac ab解得⎩⎨⎧-=-=.15,2a c a b 代入所求不等式得01522<-+a ax ax ．①又∵0<a ，∴①化为01522>-+x x ． 对于方程015-22=+x x ，因为∆＞0，所以它有两个实数根，解得3,-521==x x ，画出二次函数15-22x x y +=的图象（图2-3-5），结合图象得不等式15-22>+x x 的解集为}{53-<>x x x ，或．设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．三、归纳小结，布置作业★资源名称： 【知识点解析】二次函数与一元二次方程、不等式★使用说明：本资源为二次函数与一元二次方程、不等式的知识讲解视频，主要以二次函数为视角讨论了三个“二次”之间的关系，让学生明确二次函数的零点、一元二次方程的根和一元二次不等式的解集之间的统一性．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式。
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思《二次函数与一元二次方程》教学设计【课题】九年级下册5.6《二次函数与一元二次方程》（第1课时）一、教材分析本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
二、学情分析1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系。
因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。
三、教学目标知识与技能：1.探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系2.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的系数，判断它的图象与x轴的位置关系3.应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题过程与方法：经历探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用。
四、教学重难点重点：应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题难点：理解二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系五、教法学法教法：类比探究法、归纳总结法、讲练结合法学法：合作探究法、小组讨论法六、教学内容与过程（一）、立体式复习检测（1）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________（2）不解方程，判断方程x2－3x＋3=0根的情况是________（3）解方程： x2－2x－3=0（4）（中考·白银）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________【师生活动】：同桌提问判别式△与方程实数根的关系，然后请4位同学分别板书以上4个题目，其他同学在导学案完成以上题目。
二次函数与一元二次方程,不等式教案
二次函数与一元二次方程,不等式教案
一、教学内容：
二次函数与一元二次方程及不等式的概念、特征及应用
二、教学目标：
1、掌握二次函数的定义及一般式形式；
2、掌握一元二次方程的定义及解法；
3、掌握不等式的定义及解法；
4、能够应用一元二次方程和不等式解决实际问题；
三、教学重点：
1、引出二次函数的概念，掌握一般式形式；
2、了解一元二次方程的定义，熟练掌握解题步骤；
3、理解不等式的定义和解题步骤；
4、熟练运用一元二次方程和不等式解决实际问题；
四、教学过程：
Step1. 问题引入
1. 用图像说明二次函数的特点
2. 提出求抛物线顶点坐标的问题，引出一元二次方程 Step2. 探究解题思路
1. 引入一元二次方程的概念，介绍其一般式形式和解法
2. 通过案例让学生掌握解一元二次方程的步骤
Step3. 深入学习
1. 引入不等式的概念，介绍其定义及解答
2. 通过案例让学生熟练掌握不等式的解法
Step4. 应用与练习
1. 通过实际问题让学生熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的概念，特征及应用
2. 通过实际问题让学生熟练掌握求解一元二次方程、不等式的步骤
Step5. 总结
1. 总结一元二次方程及不等式的定义、特征及求解步骤
2. 总结二次函数的定义及特征。
二次函数与一元二次方程、不等式的实例分析 教学设计
二次函数与一元二次方程、不等式的实例
分析教学设计
一、前言
二次函数在中学数学中是一个非常重要的数学概念，二次函数是关于自变量的二次多项式函数，是高中数学的重要内容之一。
而一元二次方程、不等式是最常见的数学问题之一，在中学数学教育中也是重中之重。
本文将就这两个数学概念的实例分析为主线，探讨如何在课堂中开展有效的教学。
二、二次函数的实例分析
二次函数是中学数学中的重要概念，其函数图像可以帮助学生更好地理解函数的基本概念。
我们可以通过以下实例来进行教学：
1. **抛物线的实例**
从一个抛物线的实例开始，通过结合图像，可以帮助学生更好地理解二次函数的基本概念。
2. **线性函数和二次函数的实例**
通过将线性函数和二次函数进行对比，帮助学生理解二次函数的特点。
三、一元二次方程与不等式的实例分析
一元二次方程和不等式是中学数学中最常见的数学问题之一，其实例教学也是非常关键的。
下面将通过以下实例来讲解：
1. **零点判别式的实例**
通过零点判别式对一元二次方程的解进行讲解。
2. **一元二次不等式的实例**
通过实例讲解一元二次不等式的解法及思路。
四、总结
通过2种数学概念的实例分析教学，能够帮助学生掌握数学知识，同时也增强同学们的学习兴趣。
因此，在日常教学中，讲解数学概念的时候，一定要注重实例分析。
同时也要充分发挥教师自身的创造力，制定出适合学生的教学方案，帮助学生快速掌握数学知识。
高中数学必修一 (教案)二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
《二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）》教学设计◆教学目标1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，提升数学建模的核心素养．2．能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．◆课前准备PPT课件◆教学过程一、知识回顾★资源名称：【知识点解析】一元二次不等式的解法★使用说明：本资源为一元二次不等式的解法讲解视频，通过具体例子，引导学生理解并归纳出一元二次不等式求解的一般步骤．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格。
师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错．预设的答案：Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅（1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．（2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍。
问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现．预设的答案：设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助．二、新知探究 利用一元二次不等式解决实际问题例1 一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：x x y 2200202+-=．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？对于实际问题还需要注意什么？师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解。
二次函数与一元二次方程(第一课时)教案
Being with positive people can make us feel good.（页眉可删）
二次函数与一元二次方程(第一课时)教案【教学目标】
1、知识与技能：
（1）体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；
（2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的`实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征；（3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
2、过程与方法：
（1）由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系；（2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。
3、情感、态度与价值观：
培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。
【重点与难点】
重点：经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。
难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。
【教法与学法】
教法(=)：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用”的探究过程。
学法：探究式学习。
【课前准备】
多媒体、PPT课件。
【教学过程】
附：板书设计：。
二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)教学设计
2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．二、教学重难点1.理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的联系2.会运用二次不等式模型求解范围及最值等问题及化归思想的呈现三、教学方法“问题链”教学法；“以学生为中心的课堂展开”四、教学过程1.复习引入有两个相等的实数根2.变式探究（1）一元二次不等式的本质问题1：现在，让我们回到问题的本质上去，为什么一元二次不等式的解是这个是形式？如果是一元高次不等式呢，我们又将如何解决？【活动预设】引导学生回归问题本质，运用乘法的性质来重新认识一元二次不等式，让理解力强的同学能举一反三解决三次不等式.【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识一元二次不等式的本质，加深外延的理解,为后续高次不等式的学习作铺垫.1．不等式0)1(12722>+++-x x x x ）（的解集为 ( ) A ．），（），（∞+--∞-34 B ．），（），（∞+∞-43 C ．），（34-- D ．），（43 【预设的答案】B问题2：若上述不等式改为三次不等式如：0)1(1272>++-x x x ）（：，那么我们有什么办法求解呢？问题的本质是怎么样的呢？【预设的答案】⎩⎨⎧>+->+0127012x x x 或⎩⎨⎧<+-<+0127012x x x当我们将）（1272+-x x 因式看作一个整体时，上述问题就归化为一元二次不等式的解题本质上去了，其本质是两同号因式相乘结果为正，两异号因式相乘结果为负。
（2）分式不等式问题3：在明确了问题的本质后，如果两个因式相乘与相除有什么不同呢，在具体的求解中我们又要注意些什么？【活动预设】引导学生回归问题本质，既然乘法与除法在结果上有相似性，那么对一元二次不等式问题进行迁移就可以解决分式不等式【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识分式不等式的本质，并理解乘法与除法的区别在于：分母不能为零2.解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 【预设的答案】解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 【预设的答案】 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.（3）不等式恒成立问题问题4：在理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的联系后，能否提炼出一元二次不等式恒成立问题的解题核心？【活动预设】引导学生回归一元二次函数图象来解决恒成立问题. 【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识恒成立问题，渗透数形结合这一思想，加深对一元二次不等式，一元二次方程，二次函数三者的联系的理解,为后续函数的学习作铺垫. 3.(1)若对∀x ∈R 不等式x 2＋mx >4x ＋m －4恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x 2>4x ＋m －4在R 上恒成立，求m 的取值范围．【预设的答案】解 (1)原不等式可化为x 2＋(m －4)x ＋4－m >0，∴Δ＝(m －4)2－4(4－m )＝m 2－4m <0， ∴0<m <4，∴m 的取值范围为{m |0<m <4}．(2)原不等式可化为x 2－4x ＋4＝(x －2)2>m 恒成立， ∴m <0，∴m 的取值范围为{m |m <0}．[素养提升] 一元二次不等式恒成立的情况： ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.1．知识清单：(1)简单的分式不等式的解法(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：①选取合适的字母表示题目中的未知数；②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；③求解所列出的不等式(组)；④结合题目的实际意义确定答案．2．方法归纳：转化、恒等变形．3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．。
二次函数与一元二次方程,不等式 教案
必修 2.3 二次函数，一元二次方程与不等式
教学设计
活动四：完成教材52页例1，例2，例3，（利用函数图像） 例１ 求不等式0652
>+-x x 的解集
例2 求不等式01692
>+-x x 的解集
例3 求不等式03-2-2
>+x x 的解集
活动五：总结一元二次不等式的解题步骤。
（三）及时反馈，数学应用 活动六、巩固训练 1. 教材53页练习1， 2，教材53页练习2 能力提升： 1.教材55页综合运用3，5
教师组织，学生完成
学生分组讨论交流，教师启发引导
最后学生复述总结
画出函数图像 学生独立完成 小组讨论，教师巡回指导，学生口述
体会过程，抽象数学
抽象数学，表达数学
锻炼学生作图能力，培养学生数形结合的思想
合作学习，学习方法指导，抽象数学
三、课堂小结
四、课下作业
1.整理笔记
2.完成质量检测A 学生版演，教师
巡回指导，
学生总结
数学运算，计算
能力培养
深化理解
体会数学的整体性
板书设计2.3 二次函数，一元二次方程与不等式
02
2<
+
+
>
+
+c
bx
ax
c
bx
ax或
课后
反思
按照学生认知程度层层递进，在原有知识基础上建立新知。
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武威第二十三中学课堂教学设计
时间：20 年 月 日 总第 16 课时 备课组：
课题 二次函数与一元二次方程（1） 授课年级 周次 授课人
教学目标 知识与能力 理解和掌握二次函数与一元二次方程的关系 过程与方法 通过复习一元二次方程根的个数引出课题，强化知识点。
情感态度价值观 培养学生分析和解决问题的能力。
教学重点 理解和掌握二次函数与一元二次方程的关系
教学难点 理解和掌握二次函数与一元二次方程的关系
教学方法 讲练结合 课 型 新
教学准备 PPT
教 学 过 程 设 计 备注
【复习回顾】 （1）一元二次方程根的个数与什么有关？怎么确定？ （2）一次函数与x轴的交点与一元一次方程有什么关系？ 【新课探究】 一、 出示学习目标 理解和掌握二次函数与一元二次方程的关系 二、指导学生自学 自学教材43—45的内容，完成下列填空题。 (1)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ） (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由b2-4ac如何决定？ 【自学检测】 1、2题见课件 3.判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标. （1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
三、教师强调
二次函数图象与x轴的交点 方程的根 b2-4ac 二次函数的图象
【跟踪练习】
1.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0 （B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0
2.已知抛物线y=x2-kx-2+k.求证:不论k取何值时，这个抛物线与x轴有两个交点。
【课堂小结】
1.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由b2-4ac如何决定？
【布置作业】47页4，5题.
【当堂达标】
1.已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则方程x2+px+q=0
的根是 。
2.已知抛物线y=x2-4x+4与x轴有 个交点，交点坐标是 。
3.已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有
两个交点，则a的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a的范
围是 ；
【课后反思】
主备人：郭利明备课组成员：张立奇，刘丁山，史光昊，王鹏，石玉金，翟晓蓉