【精品】2015-2016年上海市虹口区复兴高中高二上学期数学期末试卷与答案
2015-2016学年高二上学期12月教学质量检测数学试卷(无答案)
2015 年 12 月教课质量检测高二数学试题一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一个切合题目要求的）1．双曲线 x 2y 21的渐近线方程是（）3A.yx B.y1 x C. y3xD . y3 x332. 已知直线 l 1 : xay 1 0 与直线 l 2 : y1 x2 垂直，则 a 的值是（）2A2B －2 C ．1D ．1223．假如 ac ＜ 0， bc ＜0，那么直线 ax+by+c=0 不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 若直线 l // 平面，直线 m ，则 l 与 m 的地点关系是（）A. l // mB. l 与 m 异面 C 、 l 与 m 订交 D 、 l 与 m 没有公共点5 ．已知椭圆x 2y 21(a b 0) 的右焦点为 F (3,0) , 过点 F 的直线交椭圆于A, BE :2b 2a两点 . 若 AB 的中点坐标为 (1, 1) , 则 E 的方程为（）A ．x 2 y 21 x 2y 2 C ．x 2 y 2 1x 2 y 2145 36B ．12718 D ．936 27186. 若椭圆 x 2 y 21 (a b0) 和圆 x 2y 2( b c)2 ,(c 为椭圆的半焦距 ), 有四个a 2b 2e 的取值范围是2不一样的交点 , 则椭圆的离心率( )A.( 5,3) B. ( 2, 5 )C.( 2,3) D. (0,5 )5 55 55 557. 如图， ABCDA 1B 1C 1D 1 是正方体， B 1E 1 D 1F 1 A 1 B 1 ，则 BE 1 与 DF 1 所成角的4余弦值是（）A.1518D .317B.C.21728. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC 极点 A （－ 4，0）和 C （ 4，0），极点 B第 7题图在椭圆x 2y 21 上，则 sin Asin C =（）259sin BA ．3B ．2C ．4D．543549. 已知点 A(2, 3)、 B( 3, 2) 直线 l 过点 P(1,1) ，且与线段 AB 订交，则直线 l 的斜率的取值 k 范围是 （）3或 k4 B. k3 或 k1 C.4 k3 D.3A ． k444k 44410. 若直线ykx4 2k 与曲线 y4 x 2 有两个交点，则k 的取值范围（ ）．A ．1,B[ 1, 3 )(3,1]．(, 1]． 4C ． 4D二、填空题（本大题共6 小题，每题4 分，共 28 分）11. 已知一个几何体的三视图及其尺寸如下图（单位cm ），则它的体积为cm 312. 已知圆2 4 x y 2x －－ ＋ ＝0上的点（，） 求4P x y ,x 2 y 2 的最大值．13．已知圆x 2y 24 和圆外一点 P( 2, 3) ，求过点 P 的圆的切线方程为14．如图，在正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中， E 为 BC 1 的中点，则 DE 与面 BCC 1 B 1 所成角的正切值为15. 假如对任何实数 k ，直线 (3 ＋ k)x ＋ (1-2k)y ＋ 1＋5k=0 都过一个定点 A ，那么点 A 的坐标 是．16. 空间四个点 P 、 A 、B 、 C 在同一球面上， PA 、 PB 、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=a ，那么这个球面的面积是．17. 如图，已知 F 2 是椭圆 C :x2y 2 1 (a b0) 的右焦点，a 2b 2点 P 在椭圆 C 上，线段 PF 2 与圆 x 2 y 2 b 2 相切于点 Q ，且点 Q 为线段 PF 2 的中点，则椭圆 C 的离心率为.三、解答题（此题有 4 小题，总合 42 分，请写出必需的解答过程。
上海市虹口区2015-2016学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学试卷
上海市虹口区 2015-2016 学年度第一学期期终教课质量监控测试高三数学试卷考生注意：1.本试卷共 4 页， 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 .2.本考试分设试卷和答题纸. 作答一定涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分 .一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 题，只需求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，不然一律得零分 .1．函数 f ( x)2 x 1 的反函数 f 1( x)_________.2．设全集 U R, 若会合 Ax x 1 1 ,则 e U A______.3．若复数 z 知足 zi 2015 i 2016（为虚数单位） ，则复数 z ______.1 i4．在二项式 (3x 1) 8 的睁开式中，常数项的值为______.（结y果用数字表示）x5．队列式 12cos(2 x) tan x 的最大值为 ______. B5cos x cot( x)6. 在等差数列 a n 中， a 1 a 3 a 5 9, a 2 a 4 a 615,OA Fx则数列 a n 的前 10 项的和等于 _____.7．如图，已知双曲线 C 的右焦点为 F ，过它的右极点 A作实轴的垂线，与其一条渐近线订交于点B ；若双曲线C 的焦距为 4， OFB 为等边三角形（ O 为坐标原点，即双曲线 （第7题图）C 的中心），则双曲线 C 的方程为 _________________.8. 已知数据 x 1 , x 2 ,, x 8 的方差为 16，则数据 2 x 11,2 x 2 1, , 2 x 8 1.R 的标准差为O9. 已知抛物线 x 2 8 y 的弦 AB 的中点的纵坐标为 4 ，则AB 的最大值为 __________.（第10题图）10．如下图，半径 R 2 的球 O 中有一内接圆柱，当 圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完整同样 . 从中随意舀取 4 个水饺，则每种水饺都起码取到 1 个的概率为 ___________.（结果用最简分数表示）12. 设等比数列a n的前n项和为S n,若a1a2a364,且S2 n5(a1a3a5a2n 1) (n N ),则an ______.13．在由正整数构成的无量数列a n中，对随意的n N , 都有anan 1,且对随意的k N ,数列a n中恰有 k 个 k ，则a2016________.2x a, x 1,14. 若函数f xx 3a , x 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ___________.x a 1二、选择题（本大题共 4 题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5 分，不然一律零分 .15. 设、为两个不一样平面，若直线l 在平面内，则“”是“ l ” 的（）（ A ）充足不用要条件（B ）必需不充足条件（ C）充要条件（ D）既不充足也不用要条件16 . 已知直线 x 和 x 5 是函数 f ( x) sin( x ) ( 0, 0 ) 图像的两条相邻的对称轴，则4 4的值为（）（ A ）（B ）（ C）（ D）33 44 217. 已知a、b均为单位向量，且a b 0. 若 c 4 a c 3b 5, 则 c a 的取值范围是( )（A）3, 10 （B）3, 5 （C）3, 4 （ D）10, 518．设函数f ( x) x 2 , x 0,若对于 x 的方程 f ( x)a 有四个不一样的解x1 , x2 , x3 , x4 , log2 x , x 0,且 x1 x2 x3 x4 , 则 x3 (x1 x2)1的取值范围是( ) x3 2 x4（ A ）3, （ B）, 3 （C）3, 3 （ D）3, 3三、解答题（本大题共 5 题，满分74 分）解答以下各题一定在答题纸的规定地区内写出必需的步骤.19．(此题满分12 分) 此题共 2 个小题，每题 6 分 .如图，在正三棱柱 ABCA 1B 1C1中，已知它的底面边长为10，A 1C 1高为 20.B 1(1) 求正三棱柱ABC A 1B 1C1的表面积与体积；Q(2) 若 P 、Q 分别是 BC 、CC 1 的中点，求异面直线 PQ 与AC 所AC成角的大小（结果用反三角函数表示）.PB（第 19题图）20． ( 此题满分 14 分) 此题共 2 个小题，每题 7 分 .已知 ABC 的面积为 S ，且 AB ACS .（1）求 sin A , cos A , tan 2 A 的值；（2）若 B , CA CB 6,求 ABC 的面积 S.421．( 此题满分 14 分) 此题共 2 个小题，第 1小题 6 分， 第 2 小题 8 分.对 于 函 数 f ( x)1 , 定 义f 1 ( x ) f ( x), f n 1 ( x)f f n ( x) (nN ). 已 知 偶 函 数 g ( x ) 的 定 义 域 为1 x( ,0) (0,), g (1) 0 ；当 x 0, 且 x 1 时， g ( x ) f 2015 ( x).（ 1）求 f 2 ( x), f 3 ( x ), f 4 ( x ), 并求出函数 y g ( x) 的分析式；(2) 若存在实数 a, b (ab) 使得函数 g ( x) 在 a , b 上的值域为mb , ma ，务实数 m 的取值范围 .22. (此题满分16 分)此题共3 个小题，第1 小题6 分，第2 小题4 分，第2 小题6 分 .已知数列a n的前n 项和为S n ，且 S 20, 2 S n n na n ( nN ).（ 1） 计算a 1, a 2, a 3, a 4,并求数列 a n的通项公式；（ 2） 若数列 b n 知足 b 1 3b 2 5b 3 (2 n 1)b n2n a n 3, 求证：数列 b n 是等比数列；（ 3）由数列a n 的项构成一个新数列c n ： c1 a1, c2 a2 a3 , c3 a4 a5 a6 a7 , ,c n a2n 1 a2n 1 1 a2n 1 2 a2n1, . 设 T n为数列c n 的前 n 项和，试求lim T n 的值 .4 nn23. (此题满分 18 分) 此题共 3 个小题，第1小题 4分，第 2小题 6分，第 2小题 8分.已知椭圆 C : x 2y2y2 2 1 (a b 0) 的左焦点为F , B 短轴的两个端点分别为a b MA、B,且AB2, ABF 为等边三角形 . o JF H x(1)求椭圆 C 的方程；N(2) 如图，点 M 在椭圆 C 上且位于第一象A（第23题图）限内，它对于坐标原点O 的对称点为 N；过点M 作x轴的垂线，垂足为H，直线 NH 与椭圆C 交于另一点 J，若HM HN 1 ，试求以线段NJ 为直径的圆的方程；2（ 3）已知l1、l2是过点A的两条相互垂直的直线，直线 l 1与圆 O : x2 y 2 4 订交于 P、Q 两点，直线 l2与椭圆 C 交于另一点R；求PQR 面积取最大值时，直线l1的方程.虹口区 2015 学年度第一学期期终教课质量监控测试高三数学参照答案和评分标准2016年1月一、填空题（本大题共14题,每题 4 分,满分 56 分）1．log x 1( x 0) 2 ．0,2 4 ． 2825． 136. 80 7. x2 y 2 18．839. 12 10 ．8 11 ． 50 12. 4 n 19113 ．63 14 ．1,1 2, 3二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）15. B 16. A 17. B 18. D三、解答题（本大题共 5 题，满分74 分）19．(此题满分12 分) 此题共 2 个小题，每题 6 分 .解：（ 1 ）A1 C1B1QA CPB（第 19题图）S正三棱柱侧 =2SABC 3S矩形=2 3 102 +3 10 20 600 50 3(cm2 ) (3 分)ABC A1 B1C1 ABB1 A1 4V正三棱柱ABC A B C =S ABC AA1 = 3 102 20 500 3(cm3)(6 分 )1 1 1 4（2）连接BA1, BC1,则 BC1 / /PQ,又 A1C1 / /AC ,故BC 1 A1等于异面直线PQ与AC 所成角. (8 分)易得BC1 BA1 10 5, 而 A1C1 10 ，故cos BC 1 A1 BC 1 2 A1C 1 2 BA 1 2 5 .2 BC 1 A1 C1 10于是异面直线PQ 与 AC 所成角的大小为arc cos5.(12 分) 1020．(此题满分14 分) 此题共 2 个小题，每题7 分 .解：（ 1）由 AB AC S 得c b cos A 1 c b sin A2tan A 2 , 于是 A0,.(4 分 )2从而求得sin A 2 5 , cos A 5, tan 2 A 4 . (7 分 )5 5 3（2）由 CA CB 6 得 BA 6 , 即 c 6. (9 分)b c c sin B 6 2(12 分 )由正弦定理，有 b 2sin B sin C sin( A B) 2 5 2 52 5, 25 2 5 2于是 S 1bc sin A 1 2 5 6 2 5 12. (14 分) 2 2 521．(此题满分14 分) 此题共 2 个小题，第1小题 6分，第2小题 8分. 解：（ 1）因为f1( x) f ( x) 1 x 1 , 故1 xf 2 ( x ) f1110, x 1 , f1 ( x )1x1 x1 xf3 ( x ) f f1x ( x 0, x 1), 2 ( x)1 )1 (1xf4 ( x ) f f 3 ( x) 1 ( x 0, x 1),1 x故对随意的 n N , 有f3 n i ( x ) f i ( x ) (i 2,3, 4),于是f2015 ( x) f3 671 2 ( x) f2 (x) 11( x 0, x 1); 故当 x 0, xx又 g (1) 0, 故当 x 0 时， g ( x) 1 1 .x由 g ( x) 为偶函数，当x 0 时， x 0, g( x) g ( x)1 1 , x 0,1 .所以g ( x ) x 11 1 ，x 0. xx(2) 由于y g ( x) 的定义域为( , 0) (0, ) ，又 a b, mb ma ,可知 a 与 b 同号，且m 0; 从而g(x)在 a,b 递减 , 且 a b 0. (8 分)(3分 )1 时， g( x) f 2015( x)1111.x x(6 分)y1-1O 1（第 21题解图）11.xx函数 y g ( x ) 的图像，如下图.由题意，有g ( a) 1 1ma,a (10 分)g ( b) 1 1mb, b故 a, b 是方程 1 1 m x 的两个不相等的负实数根，即方程m x2 x 1 0在,0 上有x两个不相等的实根，于是1 4m 0a b 1m (12 分)ab1m1m 0. 4综合上述，得：实数m 的取值范围为 1 , 0 . (14 分 )4注：若采纳数形联合，得出直线y m x 与曲线 y 1 1有两个不一样交点，并进行求解也可.( x 0)x22. ( 此题满分16 分) 此题共 3 个小题，第1小题 6分，第 2 小题 4分，第2小题 6分.解：（1）当n 1 时，由 2S1 1 a1 , 得 a1 1; 由 S2 a1 a2 0, 得 a2 1;当 n 3 时，由 2 S3 3 2a3 3 3a3 , 得 a3 3 ;当 n 4 时，由 2 S4 4 2a4 10 4a4 , 得 a4 5.猜想： a n 2n 3 ( n N ). (3 分)下边用数学概括法证明：①当 n 2 时， a2 1, 结论明显建立；②假定当 n k 2 时， a k 2 k 3. 由条件知2S n na n n , 故2a k 1 2 S k 1 2 S k (k 1)a k 1 ( k 1) ( ka k k) ( k 1)a k 1 ka k 1,于是( k 1)a k 1 ka k 1 k(2 k 3) 1 ( k 1) (2 k 1), 从而 a k 1 2( k 1) 3.故数列a n 的通项公式为：a n 2n 3 ( n N ). (6 分 )另解（ 1）：当n 1时，由 2S1 1 a1 , 得 a1 1; 由 S2 a1 a2 0, 得 a2 1;当 n 3 时，由 2S 3 3 2 a 3 3 3a 3 , 得 a 3 3.当 n 4 时，由 2 S 4 4 2a 410 4a 4 , 得 a 4 5.(2 分)当 n3 时，由条件知 2 S n na n n , 故2a n2S n 2S n 1na n n( n 1)a n 1 (n 1) na n ( n1)a n 1 1,于是( n 2) a n( n 1)a n 1 1a nan 111 ,(4 分)n1 n2 n 2n1从而 a n(anan 1)(an 1an 2)(a3a 2) a 2故n 1 n 1 n 2n 2 n 32 11 11 1 1 1(111 111 () (2 3 ) ()n 3 n 2) () 21 23 4n 2 n 1n 1a n2n 3 ( n3). 于是数列 a n 的通项公式为： a n2n 3 (nN).(6 分)证：（2）当 n1 时，12a 131, 当 n 2 时，由条件得b(2n 1)b nb 13b 2 5b 3(2n 3)b n 1 (2n 1)b n b 1 3b 2 5b 3(2 n 3)b n 12 na n32 n 1an 13 2 n(2 n 3) 2 n 1(2 n 5) n 1(2n 1)分 )2(8 从而 b n2n1.故数列 b n是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列 .(10 分)解：（ 3）由题意，得c n a 2n 1a 2 n 1 1 a 2n 12a 2 n 1(2 2n13) (22 n 11) (2 2n 11)(2 2n 7) (2 2 n5) 2 n 1 (22n 13) (2 2n 5) 3 4n2 n 1(12分 )24故 T n c 1c 2c n32n23n 1(4 44) (222 )43 4(4 n1) 22 (2 n 1) 4 n 4 2 n3(14分 )4 4 1 2 1从而T n1n1 n(16 分)lim lim 14 3 1.4 n24nn注：在解答第（ 3）小题时，可直接求出 T n .23. ( 此题满分 18 分) 此题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 2 小题 8 分.2 b 2,解：（ 1）由题意，得c3 b,(2分 )b 2c 2 a 2 ,a 2, 故椭圆 C 的方程为x2y 2(4分 )解得b 1,1.c 3.4（2）设 M ( x 0 , y 0), 则由条件，知 x 0 0, y 0 0,且 N(x 0 ,y 0 ), H ( x 0 , 0).从而 HM (0, y 0 ), HN( x 0 , y 0 ).于是由 HMHN (0, y 0 ) ( x 0 , y 0 )y 021, 及 y 0 0, 得 y 02 .22再由点 M 在椭圆 C 上，得x 02y 0 21, 求得 x 02.4所以M(2,2 2,2 ),H( 2, 0 );(6分 )),N(22从而求得直线 NH 的方程 : x4y2 0.x 4 y20,72, 12).(8分)由2求得xJ (102 1, 54 y从而 NJ( 722)2( 12 1 2)23 34, 线段 NJ 的中点坐标为 (12，12).510 2555所以以线段 NJ 为直径的圆的方程为：( x 121 2) 2153. (10分 )5 2)( y505（ 3）当直线 l 1 的斜率不存在时，直线l 2 与椭圆 C 相切于点 A ，不合题意；当直线 l 1 的斜率为 0 时，能够求得S PQR 2 3.(12分)当直线 l 1 的斜率存在且不为0 时，设其方程为 yk x 1 (k0), 则点 O 到直线 l1 的距离为 d1 , 从k 2123 , 而由几何意义，得 PQ 24 d 22 4 k k 2 11 x24; 于因为 l 2l 1 , 故直线 l 2 的方程为 y1, 可求得它与椭圆 C 的交点 R 的坐标为 8 k , kkk 24k 2 4是 AR8 k2k 2 428 k 2 11k 24k 24k 24 .故SPQR 1PQ AR 8 4k 2 3 , (15 分) 2 k 2 4令 u4 k 2 3 3, 则S PQR 32u 32 16 13u2 13 13 13uu当且仅当 u 13( 3), 即 k 10时，上式取等号 . 21613 2 3, 故当k 10 SPQR max16 此时直线l1 的方程为：因为13 2 时，13 ；13y 10 x 1. （也可写成10x 2 y 2 0. ）(18 分) 2。
上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析
上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1.椭圆x^2/25 + y^2/6.25 = 1的长轴长为10.2.已知直线l的一个方向向量的坐标是(3.4.-5)，则直线l的倾斜角为53.13°。
3.已知二元一次方程组2x + 3y = 1.4x + ky = 2的增广矩阵是[2 3 1.4 k 2]，则此方程组的解是x = (2 - 3k)/(2k - 12)，y = (4 - 2x)/k。
4.行列式中-3的代数余子式的值为-1.5.已知△ABC的三个顶点分别为A(1.2)，B(4.1)，C(3.6)，则AC边上的中线BM所在直线的方程为x + 2y = 5.6.已知直线l1的方程为3x - y + 1 = 0，直线l2的方程为2x + y - 3 = 0，则两直线l1与l2的夹角是45°。
7.用数学归纳法证明“1 + 2 + … + n < n(n+1)/2（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是k+1.8.执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是12.9.若圆C的方程为x^2 + y^2 - 2ax - 1 = 0，且A(-1.2)，B(2.1)两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是(1.2)。
10.若x^2 + 2ax + 1 = 0，且存在y，使得y^2 + 2ay + 1 = 0，则实数a的取值范围是(-∞。
-1)∪(-1.0)∪(0.+∞)。
11.已知直线l1过点P(1.4)且与x轴交于A点，直线l2过点Q(3.-1)且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且PA = QB，则点M的轨迹方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 7 = 0.12.如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则∠APB的取值范围是(90°。
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2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．（3分）直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是．3．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．（3分）行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=．5．（3分）以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是．6．（3分）若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为．7．（3分）在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．8．（3分）已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．9．（3分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．10．（3分）已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=．11．（3分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为．12．（3分）在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（4分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．715．（4分）已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．816．（4分）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．（8分）已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．19．（10分）如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．20．（10分）如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21．（12分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C 上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C 的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．（3分）直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣5=0，∴直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，∴tanα＝，α∈[0，π]，∴α=ar ctan，故答案为：arctan．2．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是（，）．【解答】解：∵=（﹣5，4），=（7，9），∴=（12，5），||==13；∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．故答案为：（，）．3．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．4．（3分）行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=3．【解答】解：由题意可知：设A=，元素﹣3的代数余子式A12=﹣=k+4，∴k+4=7，∴k=3，故答案为：3．5．（3分）以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是（x+1）2+（y﹣5）2=17．【解答】解：∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），圆的半径r===．∴圆的方程为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．故答案为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．6．（3分）若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．【解答】解：∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，∴抛物线的焦点F（2，0），∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．7．（3分）在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．【解答】解：cosA===﹣．∴在方向上的投影是||?cos（π﹣A）=3×=．故答案为．8．（3分）已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），∴渐近线的斜率为=，∴k=．故答案为：．9．（3分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．【解答】解：如图，∵AB=3，BD=1，∠B=60°，∴===．故答案为：．10．（3分）已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=4．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，⊥，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2，△PF1F2的面积为16，∴mn=32∴4a2=（m﹣n）2=4c2﹣64，∴b2=c2﹣a2=16，∴b=4．故答案为：4．11．（3分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，|OP|2+|PF|2的最小值为2．故答案为：2．12．（3分）在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为y2=2x﹣1．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则∵2=+，∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），∴2x=a+1，2y=b，∴a=2x﹣1，b=2y，∵b2=4a，∴（2y）2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1．故答案为：y2=2x﹣1．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（4分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由?a1 b2≠a2 b1，?直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，?方程组有唯一解，故选：C．14．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A．15．（4分）已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．8【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，当x＞0，y＞0时，化简得：x+2y=5；当x＞0，y＜0时，化简得：x﹣2y=5；当x＜0，y＞0时，化简得：﹣x+2y=5；当x＜0，y＜0时，化简得：﹣x﹣2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合P∩Q=?，即P∩Q中元素的个数是0个，故选：A．16．（4分）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上【解答】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0∴平方a2y02＞b2x02∴﹣＞0∴焦点在y轴故选：B．三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…（3分）解得或，…（5分）故或．…（6分）（2）∵，∴，即，…（8分）∴，整理得，…（10分）∴，…（12分）又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）18．（8分）已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．【解答】解：由于直线l0：x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，由于直线l和直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），即x=﹣2，或x+y﹣1=0．如图：19．（10分）如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=b，解得b=2，则椭圆E的方程为，（2）直线BC的方程为y=x，代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±，∴S△ABC=|OA|?|y B﹣y C|=×2=6，△ABC的面积为6．20．（10分）如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，即有交点为（±2，2）；设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则﹣=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为﹣=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，由，解得x2=6，y2=2；由，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±，）和（±，﹣）．21．（12分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C 上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C 的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．【解答】解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；∵曲线（x﹣1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线（x﹣1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x﹣1）2+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：，整理得：（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，则=，∵1﹣a≤x2≤a+1，∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，即，当0＜a＜1时，2﹣a，则，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；当1≤a≤2时，2﹣a，则，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．。
期末资料-上海市浦东新区2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(解析版)
【精品期末资料】Jack2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是______．2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是______．3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=______．5．等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=______．6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为______．7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为______．8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为______．9．关于x的方程=0的解为______．10．若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为______．11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是______．12．定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n+1，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=______．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3 C．1+a D．114．下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a1+a2+…+a n D．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+115．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A． +=+B． +=+C． +=+D． +=+ 16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题17．已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．18．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．20．已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是5．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：5．2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式∴故答案为3．行列式中元素8的代数余子式的值为﹣1．【考点】三阶矩阵．【分析】由代数余子式的定义A12=﹣=﹣1即可求得答案．【解答】解：设A=，元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1；故答案为：﹣1．4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=（，）或（﹣，﹣）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），∴向量的单位向量==±=±（，）．故答案为：（，）或（﹣，﹣）．5．等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=6．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，∴a3=﹣1+2d=3，∴d=2，∵a n=9=﹣1+（n﹣1）×2，解得n=6，故答案为6．6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由⊥，可得•=0，即可得出．【解答】解：∵⊥，∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，解得x=，故答案为：﹣．7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为﹣3．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．【解答】解：∵=﹣，∴P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，∴=﹣3，故答案为：﹣3．8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为1320．【考点】程序框图．【分析】框图首先先给i赋值12，给s赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=s×i，i=i﹣1，不满足则跳出循环输出s的值．【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1．判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．故答案为：1320．9．关于x的方程=0的解为x=2或x=3．【考点】三阶矩阵．【分析】将行列式展开，整理得=x2﹣5x+6，由x2﹣5x+6=0，即可求得x 的值．【解答】解：=1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6，∴x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3，故答案为：x=2或x=3．10．若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为（0，3）∪（3，6）．【考点】数列的极限．【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由S n==3⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴S n==3，可得q=1﹣∈（﹣1，1），即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．故答案为：（0，3）∪（3，6）．11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是[0，1] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值；当点M位于边BC时，•取得最大值．即可得出．【解答】解：如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值0；当点M位于边BC时，•取得最大值：1．∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．12．定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n+1，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=（）n ﹣1．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意可知，分别求得||，代入求得=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），及||，进而求得，，，及||，||，||，即可求得||=（）n﹣1．【解答】解：由=，∴，当n=1，=（cosα，sinα），||=cos2α+sin2α=1=（）0，∴，=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），||===（），=2（﹣sinx，cosx），||==2=（）2，=2（﹣sinx﹣cosx，sinx﹣cosx），||=2=2=（）3，=4（﹣sinx，﹣cosx），||=4=4=（）4，…∴||=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1【考点】数学归纳法．【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：A．14．下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a1+a2+…+a n D．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+1【考点】数列的极限．【分析】对于A，可举a n=n，b n=，由数列极限的公式即可判断；对于B，可举a n=n，b n=，运用数列极限的公式即可判断；对于C，可举a n=（）n﹣1，S n=，求出极限即可判断；对于D，可举a n=，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断．【解答】解：对于A，若（a n•b n）=a≠0，可举a n=n，b n=，即有a n不存在，=0，故A错；对于B，若（a n•b n）=0，可举a n=n，b n=，则a n不存在，b n=0，故B 错；对于C，若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，可举a n=（）n﹣1，S n=，即有a n=0，S n=2，显然=a1+a2+…+a n不成立，故C错；对于D，若无穷数列{a n}有极限，可举a n=，=0，显然=0，故D正确．故选：D．15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A． +=+B． +=+C． +=+D． +=+【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【解答】解：∵=，，∴，∴．故选：B．16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列的性质求解．【解答】解：∵a7＞0，a8＜0，∴S7最大，故①正确；∵d＜0，∴a1最大，故②错误；由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0∴a8﹣a7=d＜0，故③正确；S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故④正确．故选：C．三、解答题17．已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】（1）根据方程组得解法求得D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2；（2）由线性方程组解得存在性，当丨A丨=0时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值；（3）由当≠0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解．【解答】解：（1）=，D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2（2）由A=，当丨A丨=0，即=m﹣4=0，解得：m=4，∴当m=4，方程组无解（3）当≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，由，①﹣4×②解得：y=，代入求得x=，∴方程的解集为：．18．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．【考点】数列的极限．【分析】对q讨论，分q=1，0＜q＜1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）当；（2）当，由．综上得．19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）点P是直线OC上的一个动点．可设=（2x，x）．利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出．（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出．【解答】解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．∴可设=（2x，x），==（1﹣2x，7﹣x），=﹣=（5﹣2x，1﹣x），∵∥，∴（1﹣2x）（1﹣x）﹣（7﹣x）（5﹣2x）=0，解得x=．∴=．（2），∴k=2时，•取的最小值﹣8，此时，∴．20．已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得a n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）a n=1000×=104﹣n，=，∴lga n=4﹣n，∴．（2）设数列{b n}的前n项之和为T n，则=﹣+，当n=6，7时，T n取得最大值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意列关于p，q的方程组，求解方程组得p，q的值；（2）把（1）中求得的p，q值代入S n+1=pS n+q，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可得数列{a n}是等比数列，进一步得到通项公式；（3）求出数列{a n}的前n项和，代入λ≥，构造函数，利用作差法判断函数单调性，由单调性求得实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，即，解得；（2）由（1）知，，①当n≥2时，，②①﹣②，得（n≥2），又，∴数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．∴{a n}的通项公式为（n∈N*）；（3）由，得，得，令，∵，∴f（n）为递增数列，且，∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即．2016年9月26日。
2015-2016学年上学期高二数学(理)期末模拟金卷(江苏版)05(原卷版)
高二（上）数学期末模拟五一、填空题1．对于实数,a b ，命题：“若0a b ==，则0ab =”的否命题是．2．复数1z i =+，且)(1R a zai ∈-是纯虚数，则实数a 的值为_________. 3．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，那么该双曲线的离心率为． 4．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．5．设函数()()02>+=x x x x f ，观察： ()()21+==x x x f x f ， ()()()4312+==x x x f f x f ， ()()()8723+==x x x f f x f ， ()()()161534+==x x x f f x f ， 根据以上事实，由归纳推理可得：当*N n ∈且2≥n 时，()()()x f f x f n n 1-==__________。
6．已知函数f x ()在R 上可导，且222f x x x f '=+⋅()()，则()1f -=．7．已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//．（1）当满足条件时，有β//m ；（2）当满足条件时，有β⊥m ．8．已知过点)2,(m P 作直线l 与圆O ：122=+y x 交于B A ,两点，且A 为线段PB 的中点,则m 的取值范围为.9．设F 是椭圆C ：221(0,0)x y a b a b+=>>的右焦点，C 的一个动点到F 的最大距离为d ，若C 的右准线上存在点P ，使得PF d =，则椭圆C 的离心率的取值范围是．10．已知点(1,0,2)A 与点(1,3,1)B -，则线段AB 之间的距离是11是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b=． 12．空间中，两条不重合的直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是．13．如果实数y x ,满足1)2()2(22=-+-y x ，则22y x +的最小值为．14．曲线C 是平面内与两个定点)0,1(1-F 和)0,1(2F 的距离的积等于常数)1(>a a 的点的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C 关于坐标轴对称；②曲线C 过点)1,0(-a ；③若点P 在曲线C 上（不在x 轴上），则21F PF ∆的面积不大于a 21. 其中，所有正确结论的序号是________.二、解答题 15．m 取何实数时，复数z ＝26 3m m m －－＋＋(m 2－2m －15)i. (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．16．命题p 实数x 满足03422<+a ax -x （其中0a >），命题q 实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x- （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．17．已知圆M 经过第一象限，与y 轴相切于点(0,0)O ，且圆M 上的点到x 轴的最大距离为2，过点(0,1)P -作直线l ．（1）求圆M 的标准方程；（2）当直线l 与圆M 相切时，求直线l 的方程；（3）当直线l 与圆M 相交于A 、B 两点，且满足向量PA PB λ=，[2,)λ∈+∞时，求||AB 的取值范围．18．如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，1,2==AB AD ， 60=∠ABC ，⊥PA 面ABCD ，设E 为PC 中点，点F 在线段PD 上且FD PF 2=．（1）求证：//BE 平面ACF ；（2）设二面角D CF A --的大小为θ，若，求PA 的长． 19．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 上的任意一点到点A （-1，0），B （1，0）的距离之和为22 （Ⅰ）求曲线1C 的方程； （Ⅱ）设椭圆123:222=+y x C ，若斜率为k 的直线OM 交椭圆2C 于点M ，垂直于OM 的直线ON 交曲线1C 于点N ，求证：MN 的最小值为2．20．已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行．（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程2()2f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（3）记函数21()()2g x f x x bx =+-，设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值．高考一轮复习：。
2015-2016学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷
2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．（3分）数1与9的等差中项是．2．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．3．（3分）行列式中元素8的代数余子式的值为．4．（3分）若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=．5．（3分）等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=．6．（3分）已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为．7．（3分）已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为．8．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为．9．（3分）关于x的方程=0的解为．10．（3分）若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为．11．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是．12．（3分）定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则+1||=．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．（3分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3C．1+a D．114．（3分）下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a 1+a2+…+a nD．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+115．（3分）如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A．+=+B．+=+C．+=+D．+=+ 16．（3分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题17．（8分）已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．18．（8分）已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．19．（10分）已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．20．（12分）已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．21．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．（3分）数1与9的等差中项是5．【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：5．2．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式∴故答案为3．（3分）行列式中元素8的代数余子式的值为﹣1．【解答】解：设A=，元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1；故答案为：﹣1．4．（3分）若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=（，）或（﹣，﹣）．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），∴向量的单位向量==±=±（，）．故答案为：（，）或（﹣，﹣）．5．（3分）等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=6．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，∴a3=﹣1+2d=3，∴d=2，∵a n=9=﹣1+（n﹣1）×2，解得n=6，故答案为6．6．（3分）已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为．【解答】解：∵⊥，∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，解得x=，故答案为：﹣．7．（3分）已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为﹣3．【解答】解：∵=﹣，∴P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，∴=﹣3，故答案为：﹣3．8．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为1320．【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1．判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．故答案为：1320．9．（3分）关于x的方程=0的解为x=2或x=3．【解答】解：=1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6，∴x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3，故答案为：x=2或x=3．10．（3分）若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为（0，3）∪（3，6）．【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴S n==3，可得q=1﹣∈（﹣1，1），即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．故答案为：（0，3）∪（3，6）．11．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是[0，1] ．【解答】解：如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值0；当点M位于边BC时，•取得最大值：1．∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．12．（3分）定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（co sα，sinα），O为坐标原点，则||=（x n+1（）n﹣1．【解答】解：由=，∴，当n=1，=（cosα，sinα），||=cos2α+sin2α=1=（）0，∴，=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），||===（），=2（﹣sinx，cosx），||==2=（）2，=2（﹣sinx﹣cosx，sinx﹣cosx），||=2=2=（）3，=4（﹣sinx，﹣cosx），||=4=4=（）4，…∴||=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．（3分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3C．1+a D．1【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：A．14．（3分）下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a 1+a2+…+a nD．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+1【解答】解：对于A，若（a n•b n）=a≠0，可举a n=n，b n=，即有a n不存在，=0，故A错；对于B，若（a n•b n）=0，可举a n=n，b n=，则a n不存在，b n=0，故B错；对于C，若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，可举a n=（）n﹣1，S n=，即有a n=0，S n=2，显然=a1+a2+…+a n不成立，故C 错；对于D，若无穷数列{a n}有极限，可举a n=，=0，显然=0，故D正确．故选：D．15．（3分）如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A．+=+B．+=+C．+=+D．+=+【解答】解：∵=，，∴，∴．故选：B．16．（3分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵a7＞0，a8＜0，∴S7最大，故①正确；∵d＜0，∴a1最大，故②错误；由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0∴a8﹣a7=d＜0，故③正确；S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故④正确．故选：C．三、解答题17．（8分）已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．【解答】解：（1）=，D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2 （3分）（2）由A=，当丨A丨=0，即=m﹣4=0，解得：m=4，∴当m=4，方程组无解（5分）（3）当≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，由，①﹣4×②解得：y=，代入求得x=，∴方程的解集为：．18．（8分）已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．【解答】解：（1）当；（2）当，由．综上得．19．（10分）已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．【解答】解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．∴可设=（2x，x），==（1﹣2x，7﹣x），=﹣=（5﹣2x，1﹣x），∵∥，∴（1﹣2x）（1﹣x）﹣（7﹣x）（5﹣2x）=0，解得x=．∴=．（2），∴k=2时，•取的最小值﹣8，此时，∴．20．（12分）已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．【解答】解：（1）a n=1000×=104﹣n，=，∴lga n=4﹣n，∴．（2）设数列{b n}的前n项之和为T n，则=﹣+，当n=6，7时，T n取得最大值．21．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，即，解得；（2）由（1）知，，①当n≥2时，，②①﹣②，得（n≥2），又，∴数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．∴{a n}的通项公式为（n∈N*）；（3）由，得，得，令，∵，∴f（n）为递增数列，且，∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即．。
2015年上海市复旦大学附中高二上学期数学期末试卷
2015年上海市复旦大学附中高二上学期数学期末试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点，则的方程是．2. 若过点可以向圆作两条切线，则实数的取值范围是．3. 参数方程（）化为普通方程是．4. 是椭圆上动点，，是椭圆的两焦点，则的最大值为．5. 圆与椭圆有公共点，则实数的取值范围是．6. 与圆外切，且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．7. 双曲线的焦点坐标是（用表示）．8. 已知是圆上一点，则的最大值为．9. 直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则实数的取值范围是．10. 椭圆：的右顶点为，过的右焦点作斜率为的直线与交于，两点，则的面积为．11. 设实数，满足，则的最小值是．12. 椭圆向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆．设直线，当实数变化时，被截得的最大弦长是．二、选择题（共4小题；共20分）13. 圆上到直线的距离为的点共有A. 个B. 个C. 个D. 个14. “”是“方程表示双曲线”的A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不必要也不充分条件15. 过点和双曲线仅有一交点的直线有A. 条B. 条C. 条D. 不确定16. 双曲线的左、右焦点为，，为的右支上动点（非顶点），为的内心．当变化时，的轨迹为A. 双曲线的一部分B. 椭圆的一部分C. 直线的一部分D. 无法确定三、解答题（共5小题；共65分）17. 已知抛物线和直线，为坐标原点．（1）求证：与必有两交点；（2）设与交于，两点，且直线和斜率之和为，求的值．18. 斜率为的动直线与椭圆交于，两点，是上的点，且满足，求点的轨迹方程．19. 已知椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围．20. 已知双曲线的渐近线方程为，且点到双曲线上动点的最小距离为，求的方程．21. 设定点，常数，动点，设，，且．（1）求动点的轨迹方程；（2）设直线与点的轨迹交于，两点，问是否存在实数使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. 或【解析】（）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是轴，并且经过点，设它的标准方程为，所以，解得：，所以；（）对称轴是轴，并且经过点，抛物线的方程为，所以，得：，所以抛物线的方程为：．所以所求抛物线的标准方程为：或．2.【解析】圆，可化为．因为方程表示圆，所以，解之得．又因为过点可以向圆作两条切线，所以点在圆外，可得，解之得或，综上所述，可得的取值范围是．3.【解析】由题意，消去参数，可得普通方程是．4.【解析】椭圆的，，，由椭圆的焦点三角形中，焦距所对角最大，可得最大，此时为短轴端点．则可得的最大值为．5.【解析】因为椭圆焦点在轴上，，，，，圆的圆心坐标，半径．所以若椭圆与圆有公共点，则实数的取值范围是．6. 或【解析】若动圆在轴右侧，则动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在轴左侧，则动圆圆心轨迹是轴的负半轴．7.【解析】双曲线，化为，根据双曲线方程可知，所以双曲线焦点坐标为．8.【解析】圆的标准方程为，设，则，所以的最大值为：．9.【解析】提示：结合图形，求出直线与圆在第一象限相切时的值为，求出直线过点时的值为，进而得出的取值范围．10.【解析】由题意可知：椭圆：右焦点，右顶点，设直线的方程为，，，由整理得：，由韦达定理可知：，，则到直线的距离，的面积，所以的面积为．11.【解析】抛物线的准线方程为，最小值是与焦点的距离减去，即的最小值是．12.【解析】直线，化为：，令解得，，因此直线经过定点，为椭圆的中心．因此当实数变化时，被截得的最大弦长是．第二部分13. C 14. C 【解析】若，，，则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程表示双曲线，则，异号，是必要条件，故是方程表示双曲线的必要不充分条件．15. B【解析】直线斜率不存在时，不满足条件；直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，所以过点和双曲线仅有一交点的直线有条．16. C 【解析】如图设切点分别为，，，则的内切圆的圆心的横坐标与横坐标相同．由双曲线的定义，．由圆的切线性质，因为，所以，，所以，所以内切圆与轴的切点坐标为，所以当变化时，的轨迹为直线的一部分．第三部分17. （1）联立抛物线和直线，可得，所以，所以与必有两交点；（2）设，，则因为，，代入，得因为，，代入得．18. 设直线的方程为：，，，．则，，．联立化为：，，解得：，所以，．，同理可得：，因为，所以，所以或．所以点的轨迹为椭圆，其方程为或．19. 因为椭圆，焦点在轴上，设椭圆上两点，关于直线对称，中点为，直线的斜率为，则得：，由中点坐标公式可知：，，即，所以．所以，代入直线方程得，；因为在椭圆内部，所以，即，解得．实数的取值范围是．20. 因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以设双曲线方程为，，设，则，点到双曲线上动点的距离为：当时，上式取得最小值由题意可得解得．则双曲线的方程为．21. （1）由题意，，所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，方程为．（2）由直线与点的轨迹方程，联立可得，设，，则，．因为，所以，所以，所以，，因为，所以，检验时，，所以不存在．。
【精品】2015-2016年重庆市部分区县高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2015-2016学年重庆市部分区县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∃x∈R，x2＜0 B．∃x∈R，x2≥0 C．∀x∈R，x2＜0 D．∀x∈R，x2≤0 2．（5分）直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y=0之间的距离为（）A．1 B．C．D．23．（5分）已知直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量=（﹣1，0，﹣2），则（）A．l⊂α B．l⊥α C．l∥α D．l与α斜交4．（5分）已知两直线l1，l2的斜率恰是方程x2+bx﹣1=0的两实根，则l1，l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．无法确定5．（5分）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）双曲线﹣=1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一焦点的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．127．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）在圆x2+y2+2x﹣4y=0内，过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是（）A．B．C．D．9．（5分）给出下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行；②分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直其中为真命题的是（）A．②和④B．②和③C．③和④D．①和②10．（5分）如图所示的正四面体A﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，则AB与截面ADM所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．无法确定11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，若△PQF2为正三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）过点M（0，2）的直线l与抛物线y2=﹣4x交于A，B两点，与x轴交于点C，则有（）A．|MA|+|MB|=2|MC| B．|MA|•|MB|=|MC|2C．|MA|=|MB|•|MC| D．|MA|2=|MB|2+|MC|2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是．14．（5分）如图，圆O内切于正方形ABCD，将圆O、正方形ABCD绕直线AC 旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V1V2，则V1：V2=．15．（5分）已知命题p：+=1表示椭圆，命题q：+=1表示双曲线，若命题“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是．16．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知直线l：2x+（m+1）y+2m=0（m∈R）在x轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．18．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上．（Ⅰ）求此双曲线方程；（Ⅱ）求以抛物线焦点为球心，且与双曲线渐近线相切的球的表面积．19．（12分）已知，棱长为2的正方体内有一内接四面体A﹣BCD，且B，C分别为正方体某两条棱的中点，其三视图如图所示：（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求四面体A﹣BCD的体积．20．（12分）平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|=|AC|．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．21．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值．22．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，上顶点为B（0，1）．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与此椭圆交于M，W两点，且线段MW的中点为（1，），求弦MW的长；（Ⅲ）是否存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．2015-2016学年重庆市部分区县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∃x∈R，x2＜0 B．∃x∈R，x2≥0 C．∀x∈R，x2＜0 D．∀x∈R，x2≤0【解答】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为：∃x∈R，x2＜0．故选：A．2．（5分）直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y=0之间的距离为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y=0，∴由平行线间的距离公式可得d==，故选：B．3．（5分）已知直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量=（﹣1，0，﹣2），则（）A．l⊂α B．l⊥α C．l∥α D．l与α斜交【解答】解：∵直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量=（﹣1，0，﹣2），，∴，∴l⊥α．故选：B．4．（5分）已知两直线l1，l2的斜率恰是方程x2+bx﹣1=0的两实根，则l1，l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．无法确定【解答】解：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2+bx﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．∴l1⊥l2．故选：C．5．（5分）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）双曲线﹣=1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一焦点的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：双曲线﹣=1的a=4，设双曲线的焦点为F1，F2，由题意可设|PF1|=2，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=8，即有|2﹣|PF2||=8，解得|PF2|=10（﹣6舍去），故选：C．7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C，∵△AD1C为等边三角形，∴∠AD1C=60°．故选：C．8．（5分）在圆x2+y2+2x﹣4y=0内，过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=，∴过（0，1）的直径斜率为=﹣1，∴与此直径垂直的弦的斜率为1，∴过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是故选：B．9．（5分）给出下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行；②分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直其中为真命题的是（）A．②和④B．②和③C．③和④D．①和②【解答】解：在①中，平行于同一平面的两条直线互相平行或相交，故①错误；②分别和两条异面直线均相交的两条直线不一定是异面直线，如右图此各情况下两直线相交，故②错误；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么由面面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直，故③正确；④若两个平面垂直，那么由面面垂直的性质定理得一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直，故④正确．故选：C．10．（5分）如图所示的正四面体A﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，则AB与截面ADM所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．无法确定【解答】解：∵如图所示的正四面体A﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，∴M是BC的中点，∵AB=AC=BD=DC，∴AM⊥BC，DE⊥BC，∵AM∩DM=M，∴BC⊥平面AMD，∴∠BAM是直线AB与截面ADM所成角，∵BM=，BM⊥AM，∴sin∠BAM==，∴∠BAM=30°．∴AB与截面ADM所成角为30°．故选：A．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，若△PQF2为正三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得，PF1=∵tan30°====∴∵0＜e＜1∴e=故选：D．12．（5分）过点M（0，2）的直线l与抛物线y2=﹣4x交于A，B两点，与x轴交于点C，则有（）A．|MA|+|MB|=2|MC| B．|MA|•|MB|=|MC|2C．|MA|=|MB|•|MC| D．|MA|2=|MB|2+|MC|2【解答】解：如图，设直线l的方程为y=kx+2，∴，代入抛物线方程并整理得：；设A（x1，y1），B（x2，y2），则；∴=；∵；∴，；∴；∴|MA||MB|=|MC|2．故选：B．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是0或．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由=≠1，解得：a=．综上，a=0或，故答案为：0或；14．（5分）如图，圆O内切于正方形ABCD，将圆O、正方形ABCD绕直线AC旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V1V2，则V1：V2=．【解答】解：设AC=BD=2，则正方形ABCD旋转后得到两个底面半径为1，高为1的圆锥形成的组合体，故V1=2××π=，圆O绕对角线AC旋转一周得到一个半径为的球，故V2=（）3=，故V1：V2=：=1，故答案为：．15．（5分）已知命题p：+=1表示椭圆，命题q：+=1表示双曲线，若命题“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是﹣1＜m＜3，且m≠2．【解答】解：命题p：+=1表示椭圆，则，解得﹣2＜m＜6，且m≠2．命题q：+=1表示双曲线，则（m﹣3）（m+1）＜0，解得﹣1＜m＜3．若命题“p∧q”为真命题，则，解得﹣1＜m＜3，且m≠2．故答案为：﹣1＜m＜3，且m≠2．16．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．【解答】解：由题意可得，圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，根据两圆圆心距d==|a|，可得2﹣1＜|a|＜2+1，即：＜|a|＜，∴﹣＜a＜﹣或＜a＜，故实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，），故答案为：（﹣，﹣）∪（，）．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知直线l：2x+（m+1）y+2m=0（m∈R）在x轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．【解答】解：∵2x+（m+1）y+2m=0（m∈R），令x=0，得y=﹣，令y=0，得x=﹣m，∵直线l：2x+（m+1）y+2m=0（m∈R）在x轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，∴﹣m=﹣2×，解得m=3或m=0，当m=0时，直线为2x+y=0，当m=3时，直线为x+2y+3=0．18．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上．（Ⅰ）求此双曲线方程；（Ⅱ）求以抛物线焦点为球心，且与双曲线渐近线相切的球的表面积．【解答】解：（Ⅰ）双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为x﹣y=0，可得=，又一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，可得：c=1，即a2+b2=1，解得a=，b=，则双曲线的方程为4x2﹣y2=1；（Ⅱ）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），由球与双曲线渐近线相切，可得：半径r==，可得球的表面积为S=4πr2=4π•=3π．19．（12分）已知，棱长为2的正方体内有一内接四面体A﹣BCD，且B，C分别为正方体某两条棱的中点，其三视图如图所示：（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求四面体A﹣BCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由已知中的三视图，可得A，B，C，D四点位置如下图所示：∵正方体的棱长为2，故AB=BD=AC=CD=，AD=2，BC=，令E为AD的中点，连接BE，CE，则BE⊥AD，CE⊥AD，则AD⊥平面BCE，∴AD⊥BC；（Ⅱ）解：由勾股定理可得：BE=CE=，由海伦公式平面BCE的面积S=，又由AD=2，故四面体A﹣BCD的体积V=××2=1．20．（12分）平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|=|AC|．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x，y），则∵B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|=|AC|，∴（x+1）2+y2=2（x﹣1）2+2y2，∴x2+y2﹣6x+1=0∴顶点A的轨迹方程为x2+y2﹣6x+1=0；（Ⅱ）x2+y2﹣6x+1=0可化为（x﹣3）2+y2=8，∴A到x轴的最大距离为2，∴△ABC的面积的最大值为=2．21．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ取BC中点O，连结AO，以O为原点，OB为x轴，过O作BB1平行线为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B1（1，2，0），A1（0，2，），B（1，0，0），D（﹣1，1，0），=（1，2，﹣），=（1，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣1，﹣），•=1﹣4+3=0，•=﹣1﹣2+3=0，∴AB1⊥A1B，AB1⊥A1D，∵A1B∩A1D=A1，∴AB1⊥平面A1BD．解：（Ⅱ）=（1，1，），=（1，﹣1，），=（2，﹣1，0），设平面AA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），设平面A1DB的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，2，﹣），设二面角A﹣A1D﹣B的平面角为θ，则cosθ===，∴sinθ==．∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值为22．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，上顶点为B（0，1）．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与此椭圆交于M，W两点，且线段MW的中点为（1，），求弦MW的长；（Ⅲ）是否存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，上顶点为B（0，1）．∴=，b=1．又a2﹣c2=b2，从而a=，c=1．∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x12+2y12=2，x22+2y22=2，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵线段MW的中点为（1，），∴2（x1﹣x2）+2（y1﹣y2）=0，∴直线MN的斜率为﹣1，∴直线MN的方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0，与椭圆方程联立可得3x2﹣6x﹣2.5=0，∴|MN|=•=．（Ⅲ）假设存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F．∵B（0，1），F（1，0），∴k BF=﹣1．由BF⊥MN，知k MN=1．设直线l的方程为y=x+m，代入=1得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且x1+x2=﹣，x1x2=．由题意，有•=0．∴x 1（x 2﹣1）+y 2（y 1﹣1）=0，即x 1（x 2﹣1）+（x 2+m ）（x 1+m ﹣1）=0，∴2x 1x 2+（x 1+x 2）（m ﹣1）+m 2﹣m=0．于是2•2+（﹣）（m ﹣1）+m 2﹣m=0．解得m=﹣或m=1．经检验，当m=1时，△PQN 不存在，故舍去m=1．当m=﹣时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为y=x ﹣．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =第21页（共22页）①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f(q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第22页（共22页）。
[精品]2015-2016年上海中学高一(上)数学期末试卷带答案PDF
2015-2016学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分）1．（4.00分）f（x）,g（x）是定义在R上的函数,h（x）=f（x）+g（x）,则“f（x）,g （x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件2．（4.00分）已知定义域为R的函数f（x）在（8,+∞）上为减函数,且函数y=f （x+8）函数为偶函数,则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）3．（4.00分）已知函数y=log2x的反函数是y=f﹣1（x）,则函数y=f﹣1（1﹣x）的图象是（）A．B．C．D．4．（4.00分）方程3x+4x=6x解的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（4.00分）设函数f（x）=﹣（x∈R）,区间M=[a,b]（a＜b）,集合N={y|y=f （x）,x∈M},则使M=N成立的实数对（a,b）有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个6．（4.00分）对于定义在D上的函数f（x）,点A（m,n）是f（x）图象的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有f（x）+f（2m﹣x）=2n,现给出下列三个函数：（1）f（x）=x3+2x2+3x+4（2）（3）这三个函数中,图象存在对称中心的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（每题3分）7．（3.00分）若函数y=a x（a＞0,a≠1）在区间x∈[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则实数a的值为．8．（3.00分）设g（x）=,则g（g（））=．9．（3.00分）已知函数y=f（x+1）的定义域为[1,3],则f（x2）的定义域为．10．（3.00分）函数y=的值域是．11．（3.00分）幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是偶函数,且在（0,1）上单调递增,则f（2）=．12．（3.00分）设f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x）,若〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27,则f（m+n）=．13．（3.00分）函数y=|x|﹣的值域是．14．（3.00分）已知函数,若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f（x1）=f（x2）成立,则实数a的取值范围是．15．（3.00分）函数的单调递增区间是．16．（3.00分）已知f（x）=在（﹣∞,+∞）上单调递增,则实数a的取值范围是．17．（3.00分）已知a,b∈R,函数f（x）=|x﹣a|+|a﹣|是偶函数,则2015﹣3ab2的取值范围是．18．（3.00分）若实数x0满足f（x0）=x0,称x0为函数f（x）的不动点．有下面三个命题：（1）若f（x）是二次函数,且没有不动点,则函数f（f（x））也没有不动点；（2）若f（x）是二次函数,则函数f（f（x））可能有4个不动点；（3）若f（x）的不动点的个数是2,则f（f（x））的不动点的个数不可能是3．它们中所有真命题的序号是．三、解答题（8+6+8+8+10）：19．（8.00分）求下列函数的反函数：（1）y=1+log2（x﹣1）（2）y=x2﹣1（﹣1≤x≤0）20．（6.00分）（1）解方程：log2（4x+4）=x+log2（2x+1﹣3）（2）解不等式：log2（log3（log4x））＜0．21．（8.00分）在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时,平均速度为v（米/单位时间）,单位时间内用氧量为cv2（c为正常数）；②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时,平均速度为（米/单位时间）,单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y．（1）将y表示为v的函数；（2）设0＜v≤5,试确定下潜速度v,使总的用氧量最少．22．（8.00分）写出函数f（x）=﹣4的定义域,判断并证明其奇偶性和单调性,并求出其所有零点和值域．23．（10.00分）对定义在[1,+∞）上的函数f（x）和常数a,b,若f（2x）=af（x）+b恒成立,则称（a,b）为函数f（x）的一个“凯森数对”．（1）若（1,1）是f（x）的一个“凯森数对”,且f（1）=3,求f（16）；（2）已知函数f1（x）=log3x与f2（x）=2x的定义域都为[1,+∞）,问它们是否存在“凯森数对”？分别给出判断并说明理由；（3）若（2,0）是f（x）的一个“凯森数对”,且当1＜x≤2时,f（x）=,求f （x）在区间（1,+∞）上的不动点个数．2015-2016学年上海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分）1．（4.00分）f（x）,g（x）是定义在R上的函数,h（x）=f（x）+g（x）,则“f（x）,g （x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值．【解答】解．若“f（x）,g（x）均为偶函数”,则有f（﹣x）=f（x）,g（﹣x）=g（x）,∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x）,∴“h（x）为偶函数”,而反之取f（x）=x2+x,g（x）=2﹣x,h（x）=x2+2是偶函数,而f（x）,g（x）均不是偶函数”,故选：B．2．（4.00分）已知定义域为R的函数f（x）在（8,+∞）上为减函数,且函数y=f （x+8）函数为偶函数,则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）【分析】根据y=f（x+8）为偶函数,则f（x+8）=f（﹣x+8）,即y=f（x）关于直线x=8对称．又f（x）在（8,+∞）上为减函数,故在（﹣∞,8）上为增函数,故可得答案．【解答】解：∵y=f（x+8）为偶函数,∴f（x+8）=f（﹣x+8）,即y=f（x）关于直线x=8对称．又∵f（x）在（8,+∞）上为减函数,∴f（x）在（﹣∞,8）上为增函数．由f（8+2）=f（8﹣2）,即f（10）=f（6）,又由6＜7＜8,则有f（6）＜f（7）,即f（7）＞f（10）．故选：D．3．（4.00分）已知函数y=log2x的反函数是y=f﹣1（x）,则函数y=f﹣1（1﹣x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】函数y=log2x,可求其反函数y=f﹣1（x）,关于y轴对称的函数y=f﹣1（﹣x）,向右平移1单位得到函数y=f﹣1（1﹣x）．【解答】解：∵y=log2x⇔x=2y⇒f﹣1（x）=2x⇒f﹣1（1﹣x）=21﹣x．∴函数y=f﹣1（1﹣x）的图象是C．故选：C．4．（4.00分）方程3x+4x=6x解的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】方程转化为+（）x﹣1=0,根据指数函数的单调性得到f（x）+（）x﹣1为减函数,再根据函数零点存在定理即可判断．【解答】解：方程3x+4x=6x等价于3x+（2x）2=2x•3x,即为+（）x﹣1=0,因为y=（）x,y=（）x,均为减函数,所以f（x）=+（）x﹣1为减函数,因为f（1）=+﹣1=＞0,f（2）=+﹣1=﹣＜0,所以f（x）在（1,2）上有唯一的零点,故方程3x+4x=6x解的个数是1个,故选：B．5．（4.00分）设函数f（x）=﹣（x∈R）,区间M=[a,b]（a＜b）,集合N={y|y=f（x）,x∈M},则使M=N成立的实数对（a,b）有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个【分析】由已知中函数,我们可以判断出函数的奇偶性及单调性,再由区间M=[a,b]（a＜b）,集合N={y|y=f（x）,x∈M},我们可以构造满足条件的关于a,b的方程组,解方程组,即可得到答案．【解答】解：∵x∈R,f（﹣x）==﹣f（x）,∴f（x）为奇函数,∵x≥0时,f（x）==,当x＜0时,f（x）==1﹣∴f（x）在R上单调递减∵函数在区间[a,b]上的值域也为[a,b],则f（a）=b,f（b）=a即﹣,﹣解得a=0,b=0∵a＜b使M=N成立的实数对（a,b）有0对故选：A．6．（4.00分）对于定义在D上的函数f（x）,点A（m,n）是f（x）图象的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有f（x）+f（2m﹣x）=2n,现给出下列三个函数：（1）f（x）=x3+2x2+3x+4（2）（3）这三个函数中,图象存在对称中心的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据点A（m,n）是f（x）图象的一个对称中心的充要条件,逐一分析给定三个函数的对称性,可得答案．【解答】解：当m=﹣,n=时,函数f（x）=x3+2x2+3x+4满足：f（x）+f（2m﹣x）=f（x）+f（﹣x）=x3+2x2+3x+4+（﹣x）3+2（﹣x）2+3（﹣x）+4==2n,故f（x）=x3+2x2+3x+4的图象存在对称中心（﹣,）；当时,f（x）+f（﹣2016﹣x）=﹣（）=0,故的图象存在对称中心（﹣1003,0）,当时,f（x）+f（4﹣x）=+=+=0,故的图象存在对称中心（2,0）,故选：D．二、填空题（每题3分）7．（3.00分）若函数y=a x（a＞0,a≠1）在区间x∈[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则实数a的值为2．【分析】本题要分两种情况进行讨论：①0＜a＜1,函数y=a x在[0,1]上为单调减函数,根据函数y=a x在[0,1]上的最大值与最小值和为3,求出a②a＞1,函数y=a x在[0,1]上为单调增函数,根据函数y=a x在[0,1]上的最大值与最小值和为3,求出a即可．【解答】解：①当0＜a＜1时函数y=a x在[0,1]上为单调减函数∴函数y=a x在[0,1]上的最大值与最小值分别为1,a∵函数y=a x在[0,1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2（舍）②当a＞1时函数y=a x在[0,1]上为单调增函数∴函数y=a x在[0,1]上的最大值与最小值分别为a,1∵函数y=a x在[0,1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2故答案为：2．8．（3.00分）设g（x）=,则g（g（））=．【分析】根据分段函数的解析式,先求出g（）的值,再求g（g（））的值．【解答】解：∵g（x）=,∴g（）=ln=﹣ln2＜0,∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．9．（3.00分）已知函数y=f（x+1）的定义域为[1,3],则f（x2）的定义域为[﹣2,﹣]∪[,2] ．【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵函数y=f（x+1）的定义域为[1,3],∴1≤x≤3,则2≤x+1≤4,由2≤x2≤4,得﹣2≤x≤﹣或≤x≤2,即函数f（x2）的定义域为[﹣2,﹣]∪[,2],故答案为：[﹣2,﹣]∪[,2]10．（3.00分）函数y=的值域是[,] ．【分析】将函数化为y=1+,讨论x=0,x＞0,x＜0,分子常数化,运用基本不等式即可得到所求最值,进而得到范围．【解答】解：函数y==1+,当x=0时,y=1；当x＞0时,y=1+≤1+=,当且仅当x=2时取得最大值；当x＜0时,y=1+≥1﹣=,当且仅当x=﹣2时取得最小值．则函数y=的值域是[,]．故答案为：[,]．11．（3.00分）幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是偶函数,且在（0,1）上单调递增,则f（2）=16．【分析】根据幂函数的定义和性质,分别进行讨论即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=（t3﹣t+1）x3t+1是偶函数,∴t3﹣t+1=1,即t3﹣t=0,则t（t2﹣1）=0,则t=0或t=1或t=﹣1,当t=0时,f（x）=x是奇函数,不满足条件．当t=1时,f（x）=x4是偶函数,在（0,1）上单调递增,满足条件．此时f（2）=24=16,当t=﹣1时,f（x）=x﹣2是偶函数,在（0,1）上单调递减,不满足条件,故答案为：1612．（3.00分）设f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x）,若〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27,则f（m+n）=2．【分析】先求出f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x）,由〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27,解出m+n,进而求出f（m+n）．【解答】解：∵f﹣1（x）=3x﹣6故〔f﹣1（m）+6〕•〔f﹣1（x）+6〕=3m•3n =3m+n =27,∴m+n=3,∴f（m+n）=log3（3+6）=2．故答案为2．13．（3.00分）函数y=|x|﹣的值域是[﹣1,+∞）．【分析】换元,分类讨论,可得函数的值域．【解答】解：由题意,设t=,x≥0,t≥1,y=t2﹣t﹣1=∈[﹣1,+∞）；﹣1≤x＜0,1＞t≥0,y=1﹣t2﹣t=∈（﹣1,1],∴函数的值域是[﹣1,+∞）．故答案为[﹣1,+∞）．14．（3.00分）已知函数,若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f（x1）=f（x2）成立,则实数a的取值范围是（﹣∞,2）．【分析】若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f（x1）=f（x2）成立,则f（x）不是单调函数,结合二次函数和一次函数的图象和性质,分类讨论不同情况下函数的单调性,综合讨论结果可得答案．【解答】解：由题意得,即在定义域内,f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时,f（x）=﹣x2+ax不是单调的,即对称轴在x=满足＜1,解得：a＜2（2）x≤1时,f（x）是单调的,此时a≥2,f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时,f（x）=ax﹣1为单调递增,最小值为f（1）=a﹣1,因此f（x）在R上单调增,不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞,2）故答案为：（﹣∞,2）15．（3.00分）函数的单调递增区间是（0,）．【分析】先求函数的定义域,利用复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：x+﹣＞0得①当x＞0时,4x2﹣17x+4＞0,得x＞4或0＜x＜,②当x＜0时,4x2﹣17x+4＜0,得＜x＜4,此时无解,即函数的定义域为（4,+∞）∪（0,）,设t=g（x）=x+﹣,则y=log t为减函数,要求函数的单调递增区间,即求函数t=g（x）=x+﹣的递减区间,由g′（x）＜0得g′（x）=1﹣＜0,得x2＜1,即﹣1＜x＜1,∵函数的定义域为（4,+∞）∪（0,）,∴此时0＜x＜,即函数g（x）的单调递减区间为（0,）,即函数f（x）的单调递增区间为（0,）,故答案为：（0,）．16．（3.00分）已知f（x）=在（﹣∞,+∞）上单调递增,则实数a的取值范围是≤a≤3．【分析】根据题意,函数f（x）在（﹣∞,+∞）上单调递增,结合函数的单调性分析可得,解可得a的取值范围,即可得答案．【解答】解：根据题意,f（x）=在（﹣∞,+∞）上单调递增,则必有,解可得≤a≤3；故答案为：≤a≤3．17．（3.00分）已知a,b∈R,函数f（x）=|x﹣a|+|a﹣|是偶函数,则2015﹣3ab2的取值范围是{2015} ．【分析】利用偶函数的定义求得a=0,可得2015﹣3ab2的取值．【解答】解：∵函数f（x）=|x﹣a|+|a﹣|是偶函数,∴a=0,f（x）=|x|+||．∴2015﹣3ab2=2015﹣0=2015,故答案为：{2015}．18．（3.00分）若实数x0满足f（x0）=x0,称x0为函数f（x）的不动点．有下面三个命题：（1）若f（x）是二次函数,且没有不动点,则函数f（f（x））也没有不动点；（2）若f（x）是二次函数,则函数f（f（x））可能有4个不动点；（3）若f（x）的不动点的个数是2,则f（f（x））的不动点的个数不可能是3．它们中所有真命题的序号是（1）（2）．【分析】（1）由题意知关于x的方程f（x）=x没有实数根,转化为：函数y=f（x）和y=x的图象没有交点,根据二次函数、一次函数的图象判断即可；（2）根据二次函数、四次函数的图象判断即可；（3）设f（x）=x2﹣1,化简f（f（x））=x后判断出方程根的个数,结合新定义判断．【解答】解：（1）由题意得,关于x的方程f（x）=x没有实数根,即函数y=f（x）和y=x的图象没有交点,①当a＞0时,二次函数y=f（x）﹣x,则y=ax2+（b﹣1）x+c的图象在x轴的上方,∴∀x∈R,f（x）﹣x＞0恒成立,则∀x∈R,f（x）＞x恒成立,∴∀x∈R,f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立；②当a＜0时,同理可证f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立；综上,f（x）没有不动点,则函数f（f（x））也没有不动点,（1）正确；（2）因为f（x）是二次函数,所以函数f（f（x））是一元四次函数,则函数图象与x轴可能有4个交点,则则函数f（f（x））可能有4个不动点,（2）正确；（3）当f（x）=x2﹣1时,则x2﹣1=x,即x2﹣x﹣1=0有两个根,即f（x）的不动点的个数是2,则f（f（x））=x为：（x2﹣1）2﹣1=x,化简得,x4﹣2x2﹣x=0,即x（x2﹣2x﹣1）=0,则方程x（x2﹣2x﹣1）=0有3个实数根,即f（f（x））的不动点的个数是3,（3）不正确,综上可得,所有真命题的序号是（1）（2）,故答案为：（1）（2）．三、解答题（8+6+8+8+10）：19．（8.00分）求下列函数的反函数：（1）y=1+log2（x﹣1）（2）y=x2﹣1（﹣1≤x≤0）【分析】（1）（2）利用方程的解法,用y表示x,求出其范围,再把x与y互换即可得出．【解答】解：（1）由y=1+log2（x﹣1）,化为：x﹣1=2y﹣1,即x=1+2y﹣1,把x与y互换可得反函数：y=1+2x﹣1,（y＞1）．（2）y=x2﹣1,﹣1≤x≤0,可得y∈[﹣1,0],解得．把x与y互换可得反函数为：y=﹣,x∈[﹣1,0],20．（6.00分）（1）解方程：log2（4x+4）=x+log2（2x+1﹣3）（2）解不等式：log2（log3（log4x））＜0．【分析】（1）由,log2（4x+4）=x+log2（2x+1﹣3）,可得4x+4=2x（2x+1﹣3）,化简解出即可得出．（2）由log2（log3（log4x））＜0,可得x＞0,log3（log4x）＜1,利用对数的运算性质及其单调性进一步化简即可得出．【解答】解：（1）∵,log2（4x+4）=x+log2（2x+1﹣3）,∴4x+4=2x（2x+1﹣3）,∴（2x）2﹣3•2x﹣4=0,2x＞0,解得2x=4,解得x=2,经过检验满足条件．∴原方程的解为：x=2．（2）∵log2（log3（log4x））＜0,∴x＞0,log3（log4x）＜1,∴x＞0,log4x＜3,∴x＞0,x＜43,因此0＜x＜64．21．（8.00分）在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时,平均速度为v（米/单位时间）,单位时间内用氧量为cv2（c为正常数）；②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时,平均速度为（米/单位时间）,单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y．（1）将y表示为v的函数；（2）设0＜v≤5,试确定下潜速度v,使总的用氧量最少．【分析】（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量,即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得时取等号,再结合0＜v≤5,即可求得确定下潜速度v,使总的用氧量最少．【解答】解：（1）潜入水底用时,用氧量为,水底作业时用氧量为5×0.4=2,返回水面用时,用氧量为=,∴总用氧量y=（v＞0）；（2）y=≥2+2=2+12,当且仅当,即时取等号当≤5,即时,时,y的最小值为2+12,当＞5,即时,y′=0,∴函数在（0,5]上为减函数∴v=5时,y的最小值为．综上,当时,下潜速度为时,用氧量最小值为2+12；当时,下潜速度为5时,用氧量最小值为．22．（8.00分）写出函数f（x）=﹣4的定义域,判断并证明其奇偶性和单调性,并求出其所有零点和值域．【分析】根据函数成立的条件,求出函数的定义域,结合函数奇偶性的定义以及求出函数的导数,研究函数的单调性,从而可以求出函数的值域．【解答】解：要使函数有意义,则得,即﹣5≤x≤5,函数的定义域为[﹣5,5],f（﹣x）=+﹣4=f（x）,则函数f（x）是偶函数,函数的导数f′（x）=﹣=,由f′（x）＞0得﹣＞0,得＞,即5﹣x＞5+x,得﹣5≤x＜0,此时函数单调递增,由f′（x）＜0得﹣＜0,得＜,即5﹣x＜5+x,得0＜x≤5,此时函数单调递减,即函数的单调递增区间为[﹣5,0],单调递减区间为[0,5],即当x=0时,函数取得最大值f（0）=2,∵f（5）=﹣4,f（﹣5）=﹣4,∴函数的最小值为﹣4,则函数的值域为[﹣4,2]．∵f（4）=+1﹣4=3+1﹣4=0,f（﹣4）=+1﹣4=3+1﹣4=0,∴函数f（x）的零点为﹣4,4．23．（10.00分）对定义在[1,+∞）上的函数f（x）和常数a,b,若f（2x）=af（x）+b恒成立,则称（a,b）为函数f（x）的一个“凯森数对”．（1）若（1,1）是f（x）的一个“凯森数对”,且f（1）=3,求f（16）；（2）已知函数f1（x）=log3x与f2（x）=2x的定义域都为[1,+∞）,问它们是否存在“凯森数对”？分别给出判断并说明理由；（3）若（2,0）是f（x）的一个“凯森数对”,且当1＜x≤2时,f（x）=,求f （x）在区间（1,+∞）上的不动点个数．【分析】（1）（1,1）是f（x）的一个“凯森数对,构造f（2n）=f（2n﹣1）+1,即可求出f（16）,（2）分别根据新定义,判断即可,（3）当2n＜x≤2n+1,则1＜≤2,根据题意可得当2n＜x≤2n+1时,函数y=f（x）﹣x在区间（1,+∞）无零点,问题得以解决．【解答】解：（1）由题意,f（2x）=f（x）+1,且f（1）=3,则f（2n）=f（2n﹣1）+1,则数列{f（2n）}成等差数列,公差为d=1,首项f（1）=3,于是f（16）=7；（2）对于函数f1（x）=log3x,定义域为[1,+∞）,∴log32x=alog3x+b,∴log32+log3x=alog3x+b,∴a=1,b=log32,∴（1,log32）为函数f1（x）的一个“凯森数对,对于函数f2（x）=2x,定义域为[1,+∞）,∴22x=a2x+b,∴a=2x,b=0,∴不存在“凯森数对“（3）当2n＜x≤2n+1,则1＜≤2,则由题意得f（x）=2f（）=22f（）=…=2n f（）=2n,∴=,由f（x）﹣x=0,得=x,解得x=0,或x2=2n均不符合条件,即当2n＜x≤2n+1时,函数y=f（x）﹣x在区间（1,+∞）无零点,由于（1,+∞）=（1,2]∪（2,22]∪…∪（2n,2n+1]…,∴f（x）在区间（1,+∞）上无零点,f（x）在区间（1,+∞）上的不动点个数为0个．。
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第1页（共21页） 2015-2016学年上海市虹口区复兴高中高二（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1．（4分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为 ． 2．（4分）已知复数z与（z+2）2+5均为纯虚数，则复数z= ． 3．（4分）已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为 ． 4．（4分）若圆C经过点A（1，2）及点B（3，1），且以AB为直径，则圆C的标准方程为 ． 5．（4分）已知|z|=1，则的取值范围是 ．
6．（4分）抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为 ． 7．（4分）已知直线x﹣y﹣1=0与抛物线y2=4x交于A、B两点，则|AB|= ．
8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 ． 9．（4分）与椭圆有相同的焦点且以y=为渐近线的双曲线方程为 ． 10．（4分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是 ． 11．（4分）已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是 ． 12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为 ． 第2页（共21页）
13．（4分）已知集合M={（x，y）|x﹣3≤y≤x﹣1}，N={P|PA≥PB，A（﹣1，0），B（1，0）}，则表示M∩N的图形面积为 ．
14．（4分）关于曲线，有如下结论：
①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线x±y=0对称； ③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点； ⑤曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形．其中所有正确结论的序号为 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．（5分）”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 16．（5分）已知直线，则下列说法错误的是（ ）
A．直线的倾斜角为 B．直线必过点 C．当t=1时，直线上对应点到点（1，2）的距离是 D．直线不经过第二象限 17．（5分）若直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），
那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 18．（5分）F1，F2分别是双曲线的左右焦点，过点F1的直线l与双曲 第3页（共21页）
线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则的值为（ ） A．2 B． C． D．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（12分）已知复数z满足z=﹣4． （1）求复数z的共轭复数； （2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围． 20．（14分）已知圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程． 21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 22．（16分）设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应． （1）若β是关于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值； （2）设复数β满足条件|β+3|+（﹣1）n|β﹣3|=3a+（﹣1）na（其中n∈N*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，
动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点，求轨迹C1与C2的方程； （3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于，求实数x0的取值范围．
23．（18分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． 第4页（共21页）
（1）求椭圆C的标准方程； （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q． ①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； ②当最小时，求点T的坐标． 第5页（共21页） 2015-2016学年上海市虹口区复兴高中高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1．（4分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为 （0，﹣1） ． 【解答】解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4 ∴=1 ∴抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1） 故答案为：（0，﹣1）
2．（4分）已知复数z与（z+2）2+5均为纯虚数，则复数z= ±3i ． 【解答】解：设z=bi（b∈R，b≠0）， ∵（z+2）2+5=（bi+2）2+5=9﹣b2+4bi为纯虚数，
∴，解得b=±3， ∴z=±3i． 故答案为：±3i．
3．（4分）已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为 ．
【解答】解：设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α． 则=a﹣b=0， ∴=tanα， ∴α=， 第6页（共21页）
故答案为：． 4．（4分）若圆C经过点A（1，2）及点B（3，1），且以AB为直径，则圆C的标准方程为 （x﹣2）2+（y﹣）2= ．
【解答】解：∵A（1，2），B（3，1），设圆心为C， ∴圆心C的坐标为C（2，）；
∴|AC|=，即圆的半径r=， 则以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣）2=． 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣）2=．
5．（4分）已知|z|=1，则的取值范围是 [﹣1，3]． ． 【解答】解：∵|z|=1，∴|z|﹣|1﹣i|≤|z﹣1+i|≤|z|+|1﹣i|，即﹣1≤|z﹣1+i|≤3， 故答案为：[﹣1，3]．
6．（4分）抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为 y2=12x ． 【解答】解：椭圆的右焦点，（3，0），则抛物线的p=6，
物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点， 所求抛物线方程为：y2=12x． 故答案为：y2=12x．
7．（4分）已知直线x﹣y﹣1=0与抛物线y2=4x交于A、B两点，则|AB|= 8 ． 【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），直线x﹣y﹣1=0经过抛物线的焦点． 第7页（共21页）
联立方程组，得x2﹣6x+1=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，x1•x2=﹣1，k=1， ∴|AB|=x1+x2+p=8． 故答案为：8．
8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由图象可知当点M位于A时，直线的斜率最小， 由，解得， 即A（3，﹣1）， ∴OM的斜率k=，
故答案为：．
9．（4分）与椭圆有相同的焦点且以y=为渐近线的双曲线方程为 ． 【解答】解：∵椭圆的焦点为（5，0）（﹣5，0）， 第8页（共21页）
故双曲线中的c=5，且满足 ∴ 所以双曲线的方程为． 故答案为：．
10．（4分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是 +1 ． 【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ）， 则|++|≤|++|+||=+1． ∴|++|的最大值是 +1， 故答案为：+1．
11．（4分）已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是 （x﹣1）2+（y﹣1）2=4 ． 【解答】解：联立函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m得x=1±． 当x=1﹣时，y=1﹣m， 当x=1+时，y=1+m， 设动点P（x，y）， 则=（1﹣﹣x，1﹣m﹣y），
=（1+﹣x，1+m﹣y）， 第9页（共21页）
则+=（2﹣2x，2﹣2y）， 由|+|=2，得（2﹣2x）2+（2﹣2y）2=4，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1， ∴P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=1， 故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．
12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为 18 ． 【解答】解：∵动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为， ∴，
化为|a﹣b|+|a+b﹣2|=4．
分为以下4种情况：或或或． 可知点（a，b）是如图所示的正方形的4条边． 可知：当取点A时，取得最大值=． ∴a2+b2的最大值为18． 故答案为：18．
13．（4分）已知集合M={（x，y）|x﹣3≤y≤x﹣1}，N={P|PA≥PB，A（﹣1，0），B（1，0）}，则表示M∩N的图形面积为 +2 ．
【解答】解：建立坐标系：M为直线y=x﹣1和y=x﹣3之间的点的集合（含线上的点），设P点的坐标为（x，y） 则可将PA≥PB表示成：≥，