函数的凹凸性与拐点87081
§5.函数的凹凸性与拐点解读
§5. 函数的凹凸性与拐点教学内容：函数的凹凸性与拐点的定义以及判断。
教学目的：清楚函数凸性与拐点的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。
教学重点：利用导数研究函数的凸性。
教学难点：利用凸性证明相关命题。
教学方法：讲授与练习。
教学学时：2学时。
引言：前面我们已经讨论了函数的单调性与极值及最值，这对函数性态的了解是有很大作用的。
为了更深入和较精确地掌握函数的性态，本节再讲述一下有关函数凸性与拐点的概念及判断与求解方法。
一、函数凹、凸性的定义：在讨论函数图象时，我们经常会遇到具有以下两种特性的函数： y yB AB Ao 1x x 2x x o 1x x 2x x 凸函数 凹函数特点⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---+≥∈∀⎪⎩⎪⎨⎧---+≤∈∀)()()()()(),()()()()()(),(1121212*********x x x x x f x f x f x f x x x AB AB x x x x x f x f x f x f x x x AB AB ，总有的上方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凹函数，总有的下方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凸函数 ， 而)1,0(,)1(10),(2112221∈-+=⇔<--=<⇔∈∀λλλλx x x x x xx x x x便于我们研究应用，对凸函数与凹函数作如下定义：定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有：（1）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数； （2）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数。
以上不等式严格成立时，则分别称为严格凸函数与严格凹函数。
二、函数凹、凸性的性质及判定：由定义易见，如果函数f 为区间I 上的凸函数，那么函数f -就为区间I 上的凹函数，也就是说，凹函数的性质及判定可通过凸函数的性质及判定完成，所以以下我们只需讨论凸函数的性质及判定即可。
函数的凸性与拐点
f ( x1 (1 ) x3 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x3 ),
所以 f 为 I 上的凸函数.
同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于
I 中的任意三点 x1 x2 x3 , 有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x2 ) . (4) x2 x1 x3 x1 x3 x2
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定理 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述 论断互相等价：
(i) f ( x ) 为 I 上的凸函数 ; (ii) f ( x ) 为 I 上的增函数 ;
(iii) 对于 I 上的任意两点 x1 , x2 , 有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )( x2 x1 ).
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将(6)式乘以， (7) 式乘以(1 )作和，并注意到
x1 (1 ) x2 x0 0, 故
f ( x0 ) f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ).
我们在这里再一次强调，
f ( x0 h ) f ( x 0 ) 令 F ( h) , 则 F ( h) 在 (0, b x0 ) h
上递增. 取 x (a, b), x x0 , 由引理又得
f ( x0 ) f ( x ) f ( x 0 h) f ( x 0 ) , h (0, b x0 ). x0 x h
y
B
函数 f 是凸函数的几何意
义是:曲线 y = f (x) 的弦位 于相应曲线段的上方;而它 的切线位于曲线的下方.
二次函数的拐点与凹凸性判断
二次函数的拐点与凹凸性判断二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般表示形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状，而拐点和凹凸性是抛物线特征之一。
在本文中，将讨论如何判断二次函数的拐点以及凹凸性。
一、拐点的判断拐点也被称为转折点，是指函数曲线由凸向上转为凸向下，或由凸向下转为凸向上的点。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其拐点可以通过函数的导数来确定。
首先，我们需要求出二次函数的导数。
二次函数的导数是一次函数，其一般表示形式为y' = 2ax + b。
由于二次函数是曲线而非直线，因此存在拐点的情况。
当导数y' = 0时，表示函数的斜率为零，即函数出现了拐点。
那么我们可以通过求导数y' = 0的解来确定二次函数的拐点。
假设y' = 2ax + b = 0，则有x = -b / (2a)。
这样，我们就获得了二次函数的拐点横坐标x值。
将该x值代入原函数中，即可求得拐点的纵坐标y值。
通过上述步骤，我们可以准确地确定二次函数的拐点坐标。
需要提醒的是，在判断二次函数的拐点时，应先求出导数，再求导数为零时的解，最后代入求得拐点坐标。
二、凹凸性的判断凹凸性是指函数图像曲线的凹凸形状，即函数图像的上凸与下凸。
同样地，二次函数的凹凸性可以通过二次函数的导数来判断。
凹凸性与导数的正负相关。
当导数y' > 0时，函数图像为凸向上的抛物线；当导数y' < 0时，函数图像为凸向下的抛物线。
因此，我们只需求出二次函数的导数，并判断导数的正负性即可确定二次函数的凹凸性。
需要注意的是，二次函数的凹凸性在拐点处发生改变。
在拐点左侧，二次函数的凹凸性与导数的正负性一致；而在拐点右侧，二次函数的凹凸性与导数的正负性相反。
由于凹凸性与导数的正负有关，若要确定二次函数的凹凸性，可按照以下步骤进行：1. 求出二次函数的导数y'。
函数的凹凸性ppt课件
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
9
10
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
f
(x ) 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
14
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
ax2 x 1
当
x
0时， a R ，当
x (0,1]时①即 ax2x恒成立1
a 即
a
1
x2 1
1
x 1
(1 1)2 x2
(1 1)2 1
1 4
恒成立，当
2
2
作
DC
x
轴交
f
(x)
于
D（
x1
2
x2
,
yD )
D
在
f (x)
上
有
：
yD
f
( x1
2
x2
)
yC
f (x1) f (x2 ) 故④不正确 2
11
点评:本题主要考查了 f (x) lg x 函数运算性质以及直
线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
12
定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 ： 如 果 对 任 意 x , x R 都 有 12
f
(
x 1
x 2
)
1
f (x ) f (x ) 则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数，已知二次函
函数凸凹性与拐点关于
§5函数的凸性与拐点教学目的与要求：掌握凸函数凹函数的定义掌握可导函数为凸函数的充要条件掌握拐点的定义掌握判断函数拐点的必要条件和充分条件教学重点，难点：可导函数为凸函数的充要条件拐点的判别方法教学内容：作函数的图形时，仅知道函数单调性是不够的，还应知道其曲线弯曲的情形，即曲线凹凸的概念, 读者已经熟悉函数2)(x x f =和x x f =)(的图象。
它们不同的特点是：曲线2x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y =则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方，我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数：后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数。
定义1 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数)1,0(∈λ总有),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ （1）则称f 为I 上的凸函数. 反之，如果总有),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ （2） 则称f 为I 上的凹函数。
如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。
图6-12中的（a ）和(b)分别是凸函数和凹函数的几何形状，其中B AC x f B x f A x x x )1(),(),(,)1(2121λλλλ-+===-+=。
容易证明：若f -为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此今后只需讨论凸函数的性质即可。
引理 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点321x x x <<，总有 23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- （3） (析) 必要性 要证(3)式成立, 需证)()()()()()(123212223x f x x x f x x x f x x -≤-+-)()(312x f x x -+即. ),()()()()()(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤- 记1323x x x x --=λ，则312)1(x x x λλ-+=，由f 的凸性易知上式成立.充分性 在I 上任取两点),(,3131x x x x <在],[31x x 上任取一点)1(12λλ-+=x x ·),1,0(,3∈λx 即1323x x x x --=λ，由必要性的推导逆过程，可证得 )())1((131x f x x f λλλ≤-+)()1(3x f λ-+,故f 为I 上的凸函数。
函数的增减性曲线的凹凸性与拐点
部分的证明，只须把那里最值改为极值即可.
(2) f (x0 ) 0 只是函数 f (x) 在点 x0 处取得极值的必要 条件，而不是充分条件. 例如，我们熟悉的函数 y x3 在 x 0 时，导数等于零，但在该点并不取得极值.
经验:从例2、例3可以看到在讨论函数的单调性或单调区 间时，函数的驻点或函数有定义、但一阶导数不存在的点 都可能成为单调区间的分界点.
2019年5月14日星期二
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求单调区间的基本步骤： （1）确定定义区间； （2）求函数f ( x )的导数； （3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点； （4）以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分 成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符 号，进而确定单调区间。
2019年5月14日星期二
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2. 利用导数来证明不等式
例 5 证明：当 x 0时，有
1 1 x 1 x . 2
证 设 f (x) 1 1 x 1 x ，则 2
f (x) 1 1 1 x 1 2 2 1 x 2 1 x
在 (0, ) 内 f (x) 0 ，因此 f (x) 在[0, ) 上是单调递增的，
例 3 讨论函数 y 3 x2 的单调性．
解： D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当 x 0 时，导数不存在．
y 3 x2
当 x 0 时， f (x) 0 ， (, 0] 上单调减少；
当 0 x 时， f (x) 0 ， [0, ]上单调增加；
高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
函数的凸性与曲线的拐点ppt课件
n
f
n ti xi
ti f xi
i1
i1
琴生不等式
其中x1, x2,L , xn不全相等。
特别地，当t1 t2 L
tn
1 时，有 n
f
x1
x2 L n
xn
f x1 L
n
f xn
7
8
例1 判断函数 y x3 的凸性. 解 y 3x2, y 6x,
x x
x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例1 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
解 D : (,1) (1,).
lim f x 有铅直渐近线x 1 x1
lim
x
f
x
x
lim
x
2
x
x
2x x 1
3
2
a
25
lim f x ax
x
lim
注 f x0 0只是 x0, f x0 为f x的拐点的
必要条件而不是充分条件.
例 y x4有y0 0,但0, y0 0,0却不是曲线的拐点.
11
定理3 (拐点的充分条件)
设 f x在a,b内二阶可导，x0 a,b，f x0 0.
1若在点x0的两侧附近f x异号,则点 x0, f x0
为曲线y f x的拐点;
2若在点x0的两侧附近f x保持同号,则点 x0, f x0
不是曲线y f x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
12
例2 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
数学分析6.5函数的凸性与拐点(讲义)
第六章 微分中值定理及其应用 5 函数的凸性与拐点(讲义)定义I ：设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点x 1,x 2和任意实数λ∈(0,1)总有：f(λx 1+(1-λ)x 2)≤λf(x 1)+(1-λ)f(x 2)，则称f 为I 上的凸函数，反之，若总有：f(λx 1+(1-λ)x 2)≥λf(x 1)+(1-λ)f(x 2)，则为凹函数. 若为严格不等式，则相应的称为严格凸函数或严格凹函数.几何意义：(如图a 和图b)分别是凸函数和凹函数的几何形状： 其中x=λx 1+(1-λ)x 2，A= f(x 1)，B=f(x 2)，C=λA+(1-λ)B.(a)凸函数(b)凹函数若-f 为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数。
引理：f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点x 1<x 2<x 3，总有23231212x -x )f(x -)f(x x -x )f(x -)f(x. 证：[必要性]记λ=1323x -x x -x ，则x 2=λx 1+(1-λ)x 3. 由f 的凸性可知： f(x 2)=f(λx 1+(1-λ)x 3)≤λf(x 1)+(1-λ)f(x 3)=1323x -x x -x f(x 1)+1312x -x x-x f(x 3)，从而有(x 3-x 1)f(x 2)≤(x 3-x 2)f(x 1)+(x 2-x 1)f(x 3)，即 (x 3-x 2)f(x 2)+(x 2-x 1)f(x 2)≤(x 3-x 2)f(x 1)+(x 2-x 1)f(x 3)， (x 3-x 2)f(x 2)-(x 3-x 2)f(x 1)≤(x 2-x 1)f(x 3)-(x 2-x 1)f(x 2)， (x 3-x 2)(f(x 2)-f(x 1))≤(x 2-x 1)(f(x 3)-f(x 2))，∴23231212x -x )f(x -)f(x x -x )f(x -)f(x ≤. [充分性]在I 上任取两点x 1<x 3，在[x 1,x 3]上任取点x 2=λx 1+(1-λ)x 3,λ∈(0,1), 即λ=1323x -x x -x . 又23231212x -x )f(x -)f(x x -x )f(x -)f(x ≤， ∴(x 3-x 2)(f(x 2)-f(x 1))≤(x 2-x 1)(f(x 3)-f(x 2))， (x 3-x 2)f(x 2)-(x 3-x 2)f(x 1)≤(x 2-x 1)f(x 3)-(x 2-x 1)f(x 2)， (x 3-x 2)f(x 2)+(x 2-x 1)f(x 2)≤(x 3-x 2)f(x 1)+(x 2-x 1)f(x 3)， (x 3-x 1)f(x 2)≤(x 3-x 2)f(x 1)+(x 2-x 1)f(x 3)， ∴f(x 2)≤1323x -x x -x f(x 1)+1312x -x x-x f(x 3)=λf(x 1)+(1-λ)f(x 3)； 即f(λx 1+(1-λ)x 3)≤λf(x 1)+(1-λ)f(x 3). ∴f 为I 上的凸函数.同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对I 上任意三点x 1<x 2<x 3， 有232313131212x -x )f(x -)f(x x -x )f(x -)f(x x -x )f(x -)f(x ≤≤.定理6.13：设f 为I 上的可导函数，则下述论断互相等阶： 1、f 为I 上的凸函数；2、f ’为I 上的增函数； 3、I 上的任意两点x 1,x 2，有f(x 2)≥f(x 1)+f ’(x 1)(x 2-x 1). 证：若1、f 为I 上的凸函数成立，则对I 上任意两点x 1<x 2，取充分小的正数h ，则x 1-h<x 1<x 2<x 2+h ，由h)f(x -h)f(x x -x )f(x -)f(x h h)-f(x -)f(x 22121211+≤≤，又f 可导，令h →0+时可得 f ’(x 1)≤1212x -x )f(x -)f(x ≤f ’(x 2)，∴2、f ’为I 上的增函数得证.若2、f ’为I 上的增函数成立，则在[x 1,x 2]⊆ I 上应用拉格朗日中值定理及f ’的增性，有f(x 2)-f(x 1)=f ’(ξ)(x 2-x 1)≥f ’(x 1)(x 2-x 1)，即3、f(x 2)≥f(x 1)+f ’(x 1)(x 2-x 1)得证. 若3、I 上的任意两点x 1,x 2，有f(x 2)≥f(x 1)+f ’(x 1)(x 2-x 1)成立，则 取x 3=λx 1+(1-λ)x 2,λ∈(0,1), 有x 1-x 3= x 1-λx 1-(1-λ)x 2=(1-λ)(x 1-x 2); x 2-x 3= x 2-λx 1-(1-λ)x 2=λ(x 2-x 1). 又 f(x 1)≥f(x 3)+f ’(x 3)(x 1-x 3)=f(x 3)-(1-λ)f ’(x 3)(x 2-x 1), f(x 2)≥f(x 3)+f ’(x 3)(x 2-x 3)=f(x 3)+λf ’(x 3)(x 2-x 1),∴λf(x 1)+(1-λ)f(x 2)≥λf(x 3)-λ(1-λ)f ’(x 3)(x 2-x 1)+(1-λ)f(x 3)+(1-λ)λf ’(x 3)(x 2-x 1) = f(x 3)=f(λx 1+(1-λ)x 2)，∴1、f 为I 上的凸函数得证.可导凸函数的几何意义是：曲线y=f(x)总是在它的任一切线的上方。
函数曲线的凹向与拐点
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
线的拐点 •讨论
如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)0存在问f (x0)？ 如何找可能的拐点？
拐点
下页
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
例4 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间
解 (1)函数y3x44x31的定义域为( )
(2)
y 12x3 12x2
y36x2
24x 36x(x
2) 3
(3)解方程 y0
得x1 0
x2
2 3
(4)列表判断
x ( 0) f (x) ＋ f (x) ∪
0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )
0
－0
＋
1
∩ 11/27 ∪
在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的 在区间[02/3]上 曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点
下页
•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
(2)函数f (x) x2 在区间(1,1•)内
1 x
（A）单调增加
（B）单调减少
（C）有增有减
（D）不增不减
解：选（C）
（3）函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有：
（A）f '(x0)=0
（B）f '(x0)<0
（C）f '(x0)=0且f"(x0)<0
（D）f(x0+△x)<f(x0)