2019届高考理科数学第一轮复习测试题75

A级 基础达标演练
(时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少
于1 m的概率是( )．

A.14 B.13 C.12 D.23
解析 把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故
所求概率为P＝24＝12.
答案 C
2．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这
个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )．

A.14 B.13 C.427 D.415
解析 面积为36 cm2时，边长AM＝6，

面积为81 cm2时，边长AM＝9，∴P＝9－612＝312＝14.
答案 A
3．(2018·济南模拟)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，
豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是( )．

A.14 B.18
C.π4 D.π8
解析 设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为
1
2
π×1
2

4＝π8
.
答案 D
4．(2018·西安模拟)如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区

域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的
面积为( )．

A.43 B.83 C.23 D．无法计算
解析 由几何概型知，S阴S正方形＝23，故S阴＝23×22＝83.
答案 B
5．在面积为S的△ABC的边上AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率
是
( )．

A.14 B.12 C.34 D.23
解析 由△ABC，△PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分
之一分点E与A之间，这是一个几何概型，∴P＝AEAB＝34.
答案 C
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于
2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投
一点，则落入E中的概率为________．
解析 如题图所示，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示
单位圆及其内部，因此P＝π×124×4＝π16.
答案 π16
7．(2018·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投
掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小

于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析 设A＝{小波周末去看电影}，
B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，
D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，

则P(D)＝1－122π－142ππ＝1316.
答案 1316
8．(2018·南京模拟)已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，
y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的
概率为________．
解析 依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，

由图可知SU＝18，SA＝4，则点P落入区域A的概率为P＝SASU＝29.

答案 29
三、解答题(共23分)
9．(11分)如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与
该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解 弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长
超过1}．

由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝32.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－32.
10．(12分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.
(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个
数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；

(2)实数m，n满足条件 m＋n－1≤0，－1≤m≤1，－1≤n≤1，
求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．
解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，
(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函
数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，

(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A)＝610＝35.

(2)m、n满足条件 m＋n－1≤0，－1≤m≤1，－1≤n≤1的区域如图所示：
要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、
三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P＝1272＝17.
B级 综合创新备选
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机
取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )．

A.π4 B．1－π4 C.π8 D．1－π8
解析 如图，要使图中点到O的距离大于1，

则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝2－π22＝1－π4.
答案 B
2．(2018·郑州模拟)分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图
中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为
( )．

A.4－π2 B.π－22
C.4－π4 D.π－24
解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接

正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝
2π－4
4
＝π－22.
答案 B
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的
概率为________．
解析 由题意得Δ＝4a2－4b2≥0，

∵a，b∈ [0,1]，∴a≥b.∴ 0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b，画出该不
等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求
概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.
答案 12
4．(2018·北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边
上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．

解析 如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内
的概率为60360＝16.
答案 16
三、解答题(共22分)
5．(★)(10分)已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满
足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
思路分析 由题意画出图象可求面积之比．
解 如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内
部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域
为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．

∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.
【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区
域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.
6．(12分)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在
集合M内随机取出一个元素(x，y)．
(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；

(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D： x－y＋2≥0，x＋y－2≤0，y≥－1内(含边界)的概率．
解 (1)记“以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上”
为事件A，则基本事件总数为6.因落在圆x2＋y2＝1上

的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A包含的基本事件数为2，所以P(A)＝26＝13.
(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域内”为事件B，
则基本事件总数为6，由图知位于区域D内(含边界)
的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)，

共4个，即B包含的基本事件数为4，故P(B)＝46＝23.