电磁场与电磁波理论基础第七章作业题解答

第七章 平面电磁波的反射和透射 习题解答7-1．空气中的平面电磁波电场幅值为10V/m ，垂直入射到εr =25的无耗非磁性介质的表面，试确定：（1）反射系数和透射系数；（2）在空气中的驻波比；（3）入射波、反射波和透射波的平均功率流密度。

解 （1）由于空气和无耗非磁性介质的磁导率为120μμμ=≈所以，空气和无耗非磁性介质中的波阻抗分别为()()12120120245;πηπηπ==Ω====Ω 由此得到垂直入射情况下，两理想介质分界面的反射系数和透射系数为 2121241200.6724120r ηηππηηππ--==≈-++22122240.3324120t ηπηηππ⨯==≈++（2）驻波比定义为 11max minE r SE r由此得到空气中的驻波比为 1106750611067r .S.r .（3）假定电场矢量沿x e 方向，入射波沿+Z 方向传播，则可写出垂直入射情况下，入射波、反射波和透射波的电场和磁场复振幅矢量表达式为()()()1110110001111i i i i jk zi x jk z jk zi i z x y E e E e E e z z z e e e e E H k E ηηη---⨯⎧=⎪⎨=⨯=⎩=⎪ ()()()()1110000111111r r jk zr x jk z jk zr r r r z x y z z z E e E e E e e e e e E H k E ηηη-⎧=⎪⎨=⨯⨯=⎪-⎩= ()()()2220220002111t t tt jk z t x jk z jk zt t z x y E e E e E e z z z e e e e E H k E ηηη---⨯⎧=⎪⎨=⨯=⎩=⎪ 根据平均功率流密度的定义式*1Re 2av S E H ⎡⎤=⨯⎣⎦ 有11*2*10010111Re Re 2212jk z jk zi i i i av i i x y z E e E e E S E H e e e ηη--⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥=⨯=⨯= ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()111*2*0010111Re Re 2221jk z jk zr r r r av r r x y z E e E e E S E H e e e ηη⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥=⨯=⨯-=- ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22*2*20020111Re Re 2212jk z jk z t t t tav t t x y z E e E e E S E H e e e ηη--⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥=⨯=⨯= ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦而1200012024106733i r iti ;;EV /m ;E rE .V /m ;EtE.V /m数值代入得到()212011000.13/2iav zz W m S e e π=⨯≈⨯()221 6.70.06/2120rav z z W m S e e π=-⨯-≈-⨯()221 3.30.07/224tav z z W m S e e π=≈⨯7-4．一均匀平面电磁波沿+Z 方向传播，其电场强度矢量为()()()100sin 200cos V/m x y t kz t kz ωω=-+-E e e（1）应用麦克斯韦方程求相伴的磁场H ；（2）若在传播方向上z =0处放置一无限大的理想导体板，求z ＜0区域中的合成波的电场E 1和磁场H 1；（3）求理想导体板表面的电流密度。

解 （1）根据给定的电场强度矢量的表达式，有()()2Re 100200j j t kz j t kz x y e e e E e e πωω---⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()2Re 100200j t kz j t kz x y e e e e πωω⎛⎫-- ⎪-⎝⎭⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦2Re 100200j kz jkz j t x y e e e e e πω⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由此可写出电场强度矢量的复振幅表达式为2100200j kz jkz x y ee E e e π⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭=+由复数形式的麦克斯韦方程 j ωμ∇⨯=-E H得到201002000xy zx y z j kz xyjkzjjj xy z x y z E E ee πωμωμωμ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭∂∂∂∂∂∂=∇⨯==∂∂∂∂∂∂e e e e e e H E 22200100200100j kz j kz jkz jkz x y x y j k jk e jk e e e ππωμωμ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎡⎤=-=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦e e e e21200100j kz jkzx y ee πη⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦e e 则有()()()()()22Re 1Re 2001001Re 2001001200cos 10021200cos 100j tj kz jkz j t x y j t kz j t kz x y x y x y z,t z e e e e e e t kz t kz t kz ωπωπωωηηπωωηωη⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭⎛⎫-- ⎪-⎝⎭⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫=--+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=--+H H e e e e e e cos e e s ()()t kz A /m ω⎡⎤-⎣⎦in （2）如果在z =0处放置一无限大平面导体板，可看成是理想介质与理想导体分界面的垂直入射，有001r i E r E ==-，00ti E t E ==根据入射波电场矢量和磁场矢量的复振幅表达式，可写出反射波电场矢量和磁场矢量的复振幅表达式为 20j kz r r jkzr x x y y E eE e π⎛⎫- ⎪⎝⎭=+E e e ()()()01200200111j kz r r jkz x x y y j k r r r z z r r jk x y y z x z E e E e ()E z e E e ππηηη⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-⨯-H e e e k E e e把00000100;200;120rir ix x y y E E E E ηηπ=-=-=-=-==代入，得到2100200j kz jkz r x y ee E e e π⎛⎫- ⎪⎝⎭=--()21100212000r y j kz jkz x e e z ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=e H e入射介质一方（z <0）的合成波电场和磁场的复振幅为[][]221221002001002001001002002001002sin 2002sin ()()()j kz j kz jkz jkz x y x y j kz j kz jkz jkzx x y y x y i r e e e e e z z z e e e kz j kz e e e e e e e e e E e E E ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎡⎤++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-+=-=+==[]222211200100200()()2002002co ()1100120120100120120100120s j kz j kz jkz jkz x y x j kz j kz i r y jkz jkz x y x e e e z e e e e e kz z z e e e e e H H H e e πππππππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎡⎤-++-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦⎢⎥=+==-⎣=⎦-+()[][]2200120100122cos 2012cos 0j jkz jkz y x y e e e kz j kz e e e ππππ--⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+-=-合成波的电场E 1和磁场H 1的瞬时表达式为()[][]()[][]11002sin 2002sin 200sin cos 400sin si ;Re ()Re n j x y x tj ty kz j kz z t z e z t kz t e k e e E e e E ωωωω⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=⎣⎦=-+-+[][][][]11(;)Re ()200Re 124002cos cos 400cos cos cos s 01202001i 10n 202x y j tx j t y kz j kz kz z t z e e t kz t e e e e H H ωωπωπωππ⎡⎛⎫⎤=⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-+- ⎪⎝⎭+（3）根据边界条件 12SnH H J由于理想导体板中的磁场为零，有()()()[][]()101400cos co 20s cos sin 400cos cos cos s 012012020012012in 10si c 5n s 03o 3S z z x y y x z x y kz t kz t kz t kz tt z;t t A /m ωωωππππππωωω=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==⨯=-⨯=-⨯+++=J n H e e H e e e e e e 7-7．一圆极化平面电磁波的电场为()()0V/m j x y z j E e E e e β-=+平面电磁波沿+X 方向从空气垂直入射到εr =4、μr =1的理想介质表面上。

求：（1）反射波和透射波的电场；（2）它们分别属于什么极化？解 （1）两种介质均为无耗理想介质，其参数如下：1200;1110022200rk ;k001212120r;垂直入射情况下的反射系数和透射系数为02102113ri E r Eηηηη-=====-+02021223ti E t E ηηη=====+ 即0000001122;3333riti E E E E E E =-=-== 反射波沿-X 方向，由此可写出反射波的电场为()()()()0001133V/m j x j xj x r y z y z i y z r E j e j e j e E E E e e e e e e βββ=+=+=+-- 透射波沿+X 方向，则透射波的电场为()()()()00022/33V m j xj xj x t y z y z y t i z j e E e E j e j E E e e e e e e βββ---=+=+=+ （2）由题知，入射波为圆极化平面电磁波，其电场的瞬时表达式为()()()()020000;Re Re Re cos cos 2j t j x j ti y z j t x j t x y z y z x t e j E e e E e E e E t x E t x E E e e e e e e ωβωπωβωβπωβωβ-⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭⎡⎤⎡⎤==+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭ 分量形式为()()000cos cos sin 2y z E E t x E E t x E t x ωβπωβωβ=-⎧⎪⎨⎛⎫=-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎩电场矢量与Y 方向的夹角为00sin 0arctancos E t ;t t E t由此可见，圆极化波为左旋圆极化波。