人教版初二(上)数学第41讲：因式分解方法(2)(学生版)

因式分解方法（2）
1.二次三项式
（1）多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．
例如：和都是关于x的二次三项式．
（2）在多项式中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．
（3）在多项式中，看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．
2.十字相乘法的依据和具体内容
(1)对于二次项系数为1的二次三项式
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
1.利用十字相乘法分解因式
【例1】（2014安徽省中考）分解因式：
【解析】将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(－2y)(－3y)，而(－
2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．
【答案】解：
练习1.（2014四川凉山一中月考）；
练习2.（2014贵州黔南三中周测）__________．
2.二次项系数不为1的十字相乘
【例2】把下列各式分解因式：
（1）；（2）．
【解析】我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而．另外，二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘
法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是
用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．【答案】解：（1）；
（2）．
练习3. (x－3)(__________)．
练习4.
练习5．
练习6.
3.把其中一个量看成一个整体
【例3】分解因式：
【解析】把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式；注意，要深刻理解换元的思想，
这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次
三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能
分解，要分解到不能再分解为止．
【答案】解：
＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．
练习7.（2014湖北恩施中考）
练习8.（2014青海西宁中考）分解因式：．
练习9.（2014内蒙古呼和浩特一中期中）；
4. 换元法分解因式
【例4】分解因式：．
【解析】把看作一个变量，利用换元法解之．
【答案】解：设，则
原式＝(y－3)(y－24)＋90
＝(y－18)(y－9)
．
注意：本题中将视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．
练习10．分解因式．
练习11．．
练习12.；
5.重新分组分解因式
【例5】分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．
【解析】先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．
【答案】解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)
＝(a－b)(c－a)(c－b)．
练习13．；
练习14. 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
6.因式分解的综合题
【例6】．
【解析】仔细观察式子，把这个式子变形为（x2+xy+y2）（x2+xy+y2+y2）-12y4，再把式子乘开，把x2+xy+y2看成一个整体即可因式分解。

【答案】原式
练习15. ．
练习16. ；
1．如果，那么p等于( )
A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)
2．如果，则b为( )
A．5 B．－6 C．－5 D．6
3．多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为( )
A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是( )
A．B．
C．D．
5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有( )
①；②；③；
④；⑤；⑥
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．(m＋a)(m＋b)．
a＝__________，b＝__________．
8．____(x－y)(__________)．
9．．
10．当k＝______时，多项式有一个因式为(__________)．11．若x－y＝6，，则代数式的值为__________．12．把下列各式分解因式：
（1）；（2）；
（3）；
13．把下列各式分解因式：
（1）；（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
14．把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
15．已知有因式2x－5，把它分解因式．
16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值．
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
1．分解因式6x2－5x+1=(2x－m)(3x－n),那么m、n的值是( )
A．m=2,n=3 B．m=－2,n=－3 C．m=n=1 D．m=n=－1 2．多项式x2＋3x－54分解因式为（）
A．(x＋6)(x－9) B．(x－6)(x＋9) C．(x＋6)(x＋9) D．(x－6)(x－9) 3．分解a2-a-12的结果为（）
A．(a-3)(a+4) B．(a+3)(a-4) C．(a-6)(a+2) D．(a+6)(a-2) 4．分解x2+2x-8的结果为（）
A．(x+4)(x-2) B．(x-4)(x+2) C．(x+4)(x+2) D．(x-4)(x-2) 5．若分解x2-x+m得到两个因式x-2与x-n，则m+n的值= ．
6．因式分解x2+5x+6 = ．
7．因式分解x2+x-30= ．
8．因式分解x2+4x-32= ．
9．因式分解x2-7x+6= ．
10．因式分解x2-4x-21= ．
11．因式分解t2-2t-8= ．
12．因式分解m2+7m-18= ．
分解因式
13．2x2＋3x＋1
14．
15．
16．
17．
18．
19．
课程顾问签字： 教学主管签字：。