《数学归纳法》的地位及重要作用
数学归纳法及其应用
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【内封面】南通大学毕业论文摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，它的应用极其广泛。
本文讨论了数学归纳法的原理，以数学归纳法原理为基础，在不同条件下对数学归纳法原理进行变易，扩大数学归纳法的应用范围。
并对数学归纳法的分类、应用进行总结，给出数学归纳法在初等代数、高等代数中的应用典例。
关键字：数学归纳法、原理、变易、应用。
ABSTRACTMathematical induction is a common method of proof, and its applications is very broad. This article discusses the principle of mathematical induction, promotes the principle of mathematical induction under different conditions, and expands the range of applications induction on the basis of the principle. It summarizes the classification and application of mathematical induction. Typical examples of applications of mathematical induction are given in elementary algebra and advanced algebra.Key words: Mathematical induction,Principle,Variation,Application目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................... I I1.引言 (1)2.数学归纳法原理及变易 (1)2.1数学归纳法的本原 (3)2.2数学归纳法原理 (3)2.3数学归纳法原理变易 (4)3．数学归纳法的表现形式 (6)3.1 第一数学归纳法 (6)3.2 第二数学归纳法 (6)3.3 跳跃归纳法 (7)3.4 双向归纳法 (8)3.5 反向归纳法 (8)4.数学归纳法的应用 (10)4.1数学归纳法在初等代数中的典型应用 (10)4.1.1 证明恒等式 (10)4.1.2 证明不等式 (12)4.1.3 证明整除问题 (12)4.1.4 证明几何问题 (12)4.2 数学归纳法在高等数学中的应用 (13)4.2.1 数学归纳法证明德摩根定律推广式 (13)4.2.2 数学归纳法证明行列式 (14)5.结论 (16)参考文献 (17)致谢......................................................................... 错误!未定义书签。
高中数学中的数学归纳法知识点总结
高中数学中的数学归纳法知识点总结数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，在高中数学课程中占有重要的地位。
它是通过对特定命题的逐一验证来证明一般性结论的方法。
本文将对高中数学中的数学归纳法的相关知识点进行总结。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种以自然数为基础的证明方法。
其基本思想是：假设某个命题对自然数1成立，然后假设对于任意的自然数k成立，可以证明对于自然数k+1也成立，最后通过数学归纳法原理得出该命题对所有自然数成立。
二、数学归纳法的基本步骤使用数学归纳法证明一个命题通常包括以下几个步骤：1. 基础步骤：证明该命题在自然数1上成立；2. 归纳假设：假设对于任意的自然数k，命题成立；3. 归纳证明：证明对于自然数k+1，命题也成立；4. 数学归纳法原理：根据数学归纳法原理，可以得出该命题对于所有自然数成立。
三、数学归纳法的示例下面通过几个具体的数学归纳法示例来说明其应用：1. 数列的性质证明：证明斐波那契数列的性质，即F(1)=1，F(2)=1，并且对于自然数n≥3，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
（1）基础步骤：当n=1或2时，斐波那契数列成立；（2）归纳假设：假设对于任意的自然数k，斐波那契数列成立；（3）归纳证明：考虑n=k+1的情况，有F(k+1)=F(k)+F(k-1)，根据归纳假设，F(k)和F(k-1)都成立，因此F(k+1)也成立；（4）根据数学归纳法原理，得出斐波那契数列对所有自然数成立。
2. 数学命题的证明：证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
（1）基础步骤：当n=1时，等式成立；（2）归纳假设：假设对于任意的自然数k，等式成立；（3）归纳证明：考虑n=k+1的情况，有1+2+3+...+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=[(k+1)(k+2)]/2，根据归纳假设，等式成立；（4）根据数学归纳法原理，得出等式对所有自然数成立。
3. 方程求解：证明n^2-n+41是素数的情况。
浅谈数学归纳法
浅谈“数学归纳法”论文摘要：“观察—归纳—猜想—论证”的思想方法，既能发现问题，又能证明结论，还能激发学习兴趣，它是由揭露个别事物或某一对象的部分属性过渡到一般或整体的思维形式。
由于归纳推理的过程和人类认识进程的一致性，因而这种推理方法显得非常自然，容易被人接受，是认识数学真理的一个重要手段，其地位越来越重要，数学归纳法正是应用这一思想方法来证明某些与自然数n有关的数学命题的一种方法。
本文简单总结了一下它的基本依据和证明过程，以及它两个条件的内在联系，然后回顾了一下数学归纳法的各种其他形式，在原来的基础上拓宽了对数学归纳法的认识。
最后举例说明数学归纳法的应用，其中有代数、不等式方面的证明，也有几何方面的典型例子，从中可以窥见数学归纳法的强大功能。
正文：已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。
Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：（1）递推的基础：证明当n=1时表达式成立。
（2）递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。
这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。
如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。
或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。
这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。
数学归纳法教案1
课题：数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1.了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
2.会证明简单的与正整数有关的命题。
3.努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n 取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤作用，不易根据归纳假设作出证明。
2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
n1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；①第一块骨牌倒下；②任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
强调条件②的作用：)211a ++=)2322a --(12k a +-+(2221k -+【板书设计】这节课的小结是以“提出问题”的方式进行的，我设计以下问题并和学生共同讨论回答。
22n n ++=I.数学归纳法是怎样运作的？（在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题据有传递性,形成了逻辑推理链，以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.）II.数学归纳法适用于证明什么样的的命题?（数学归纳法适用于证明：和正整数有关的命题。
）III.数学归纳法基本思想是什么？（在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。
多米诺骨牌上的数学——数学归纳法
多米诺骨牌上的数学——数学归纳法五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授在给大学一年级学生讲高等数学课，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他在讲解数学归纳法的时候，先讲了这样一个故事：某主妇养小鸡十只，公母各半。
她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。
天天早晨她拿米喂鸡。
到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。
”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。
这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。
（赵访熊，1908年——1996年，我国最早提倡和从事应用数学与计算数学的教学与研究的学者之一。
）赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”。
显然这是一种错误的不完全归纳法。
我们经常会遇到涉及全体自然数的命题，对待这种问题，如果要否定它，你只要能举出一个反例即可。
如果要证明它，由于自然数有无限多个，若是一个接一个地验证下去，那永远也做不完。
怎么办？数学家想出了一种非常重要的数学方法来解决这类问题，那就是数学归纳法。
【数学史话】欧几里得的开端实际上，人们很早就遇到了无限集合的问题，而当时具体的推导或计算都只是针对有限对象，实施有限次论证。
怎样在具体的推导或计算中把握无限的难题，很早就摆在数学家面前了。
（欧几里得，公元前330年—公元前275年，古希腊伟大的数学家，被称为数学之父）最先是古希腊数学家欧几里得在他的《几何原本》中采用了近似于数学归纳法的思想。
该书第九卷第20命题是：“素数比任何给定的一批素数都多。
”欧几里得在证明这一命题时采用了独特的“几何”方式，他把数视为线段：设有素数a、b、c，另设d＝a·b·c＋1，则d或是素数或不是素数。
如果d是素数，则d是与a、b、c三者都不同的素数。
如d不是素数，则它必有素因数e，并且e与a、b、c都不同，所以一定有比给定的素数更多的素数。
数学归纳法要点讲解
《数学归纳法》要点讲解数学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．1．数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①当0n n =（N n ∈0）时，成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，成立．（2）第二数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①当0n n =（N n ∈0）时，成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，成立．2．数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法①当l n ,,3,2,1 =时，)(,),3(),2(),1(l P P P P 成立，②假设k n =时成立，由此推得l k n +=时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①对无限多个正整数成立；②假设k n =时，命题成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数时，成立．3．应用数学归纳法的技巧（1）起点前移或后移：有些命题对一切大于等于1的正整数都成立，但命题本身对也成立，而且验证起来比验证时容易，因此用验证成立代替验证，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．而有些命题在第一步证明中，不仅要证明时原不等式成立，还要证明当时，原不等式也成立．例1 已知n *∈N ，求证：2111(123)123n n n ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭≥． 分析：可结合不等式关系：111111(1)232n n +++++>≥来证明，但注意要将奠基的起点后移，即在第一步证明中，不仅要证明时原不等式成立，还要证明当时，原不等式也成立． 证明：（1）当时，原不等式显然成立，当时，不等式左边191(12)14222⎛⎫=+⨯+== ⎪⎝⎭， 右边224==，则左边＞右边，∴当时，原不等式成立．（2）假设当()n k k *=∈N 时，2111(123)123k k k ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭≥成立， 则1n k =+时，1111[123(1)]1231k k k k ⎡⎤⎛⎫+++++++++++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 111123111(123)11(1)123123k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫=++++++++++++++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2(1)11(1)12(1)2k k k k k +⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭≥ 2231(1)22k k k k >+++=+． 所以当1n k =+时原不等式也成立．由（1）和（2），可知原不等式对任何n *∈N 都成立．（2）起点增多：有些命题在由k n =向1+=k n 跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．例2 试证：任何一个正方形都可以分割成5个以上的任意多个正方形． 分析：一个正方形分割成4个正方形是很容易的．由此猜想：若能把一个正方形分割成k 个正方形，则必能分割成(4)13k k +-=+个正方形．故第一步应对678n =，，的情形加以验证．第二步，则只需从k 递推到k +3．证明：（1）当678n =，，时，由以下各图所示的分割方法知，命题成立．（2）假设当(6)n k k k *=∈N ，且≥时命题成立，即一个正方形必能分割成k 个正方形．那么，只要把其中任意一个正方形两组对边的中点分别连结起来，即把该正方形再分割成4个小正方形，则正方形的个数就增加了3个．因而原正方形就分割成了个正方形，即当3n k =+时命题也成立．因为任何一个大于5的自然数n 都可以表示成637383()p p p p +++∈N ，，中的一种形式，所以根据（1）和（2），可知命题对任何大于5的自然数n 都成立．（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设k n =时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．例3 已知01p <<，定义11a p =+，且11n na p a +=+．试证明：对一切n *∈N ，都有1n a >．分析：显然有11a >，但若假设1k a >，则很难由递推公式11k ka p a +=+推得11k a +>．为此，必须知道小于什么数值才行． 其实，要使111k k a p a +=+>，即11k p a >-，只须11k a p<-．所以本题可转化为证明如下更强的不等式：111n a p<<-．① 证明：（1）当时，显然有11a >． 又因为211111p a p p-=<--， 所以1111a p<<-． （2）假设当()n k k *=∈N 时，111k a p <<-成立，则有 11(1)1k k a p p p a +=+>-+=， 21111111k k p a p p a p p+-=+<+=<--， 所以1111k a p+<<-，即当1n k =+时不等式①也成立． 由（1）和（2），可知对任何n *∈N ，不等式①都成立，从而原命题获证．4．归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．。
竞赛培训讲义：数学归纳法(如皋中学：童云飞)
1第五讲：数学归纳法数学归纳法是初等数论的基础，它刻画了整数的基本性质.虽然数学界仍然有一些数学家不认可数学归纳法，但是它在初等数论，组合数学，图论，离散数学的研究中被广泛运用，它在中学数学竞赛中的地位更是不言而喻，凡是遇到和自然数有关的命题都要考虑数学归纳法. 本讲我们主要介绍第一数学归纳法，第二数学归纳法，最小自然数原理，最大自然数原理以及它们的一些简单应用.这一部分内容大家可以参看《奥数教程》，《漫话数学归纳法》（苏淳著，中国科技大学出版社），《数列与数学归纳法》（单墫著，上海科技教育出版社）. 一．数学归纳法的基本形式1. 第一数学归纳法：设 ()P n 是关于正整数 n 的命题，如果 ① (1)P 成立（奠基步）；② 假设 ()P k （k 为任意正整数） 成立，可以推出 (1)P k +成立（归纳递推步）， 那么，()P n 对一切正整数 n 都成立.注1：如果 ()P n 定义在 N 上，则 ① 中 “(1)P 成立”应由 “(0)P 成立”取代.注2: 第一数学归纳法有如下变化形式：跳跃数学归纳法：设 ()P n 是关于正整数 n 的命题，如果 ① (1)P ，(2)P ，…, ()P l 成立（奠基步）；② 假设 ()P k 成立，可以推出 ()P k l +成立（归纳递推步）， 那么，()P n 对一切正整数 n 都成立.2. 第二数学归纳法：设 ()P n 是关于正整数 n 的命题，如果 ① (1)P 成立（奠基步）；② 假设 n k ≤（k 为任意正整数）时()P n （1n k ≤≤）成立，可以推出 (1)P k +成立 （归纳递推步），那么，()P n 对一切正整数 n 都成立.二：例题选讲1. 求证：23211(1)4nk n k n ==+∑2. 设1112,()2n n na n a a N a ++==+∈1n a n <<.3. 设 5n > ，证明：每一个正方形可以分为 n 个正方形.4. 已知数列{}n a 满足 01212,10,6n n n a a a a a ++===-， 求证：n a 可以写成两个整数的平方和.25. 设 正数123,,,...,2np p p p满足 123 (12)np p p p++++=，证明：1212223232...log log log log 22n nn p p p p p p p p++++≥-.22((1)(1)1)log log x x x x +--≥-6. 求证：对任何正整数 n ，方程 22n y x z += 都有正整数解.7. 设()f n 定义在正整数集上，且满足2(1)2,(1)()1().(())f f n f n n f n N +=+=-+∈求证：对所有正整数1n >，1111111...1(1)(2)()2222n nf f f n --<+++<-.8. 实数列 {}n a 满足 i j i j a a a +≤+，,i j N ∈.证明：对任意 n N ∈，都有231...23n n a a aa a n++++≥.39. 证明：(1) 对一切正整数 n ，2221111 (23)2n++++<.( 用数学归纳法证明 ) (2 ) 证明：对一切正整数 n ，22211111 (23)2n n ++++≤-.10.求证：1...3()n N ++<∈.11. 证明：存在正整数的无穷数列 {}n a : 123...,a a a <<<使得对所有自然数 n ，22212...n a a a +++ 都是完全平方数.12. 证明：任何多项式都可以表示成两个单调递增的多项式之差.413. 设 123,,,...x x x 是互不相同的正实数，证明：123,,,...x x x 是一个等比数列的充要条件是：对所有整数 (2)n n ≥，都有 2221112212121.n nnk k k x x x x x x x x x -=+-=∑-14. 正整数数列 123,,,...c c c 满足下述条件：对任意正整数 ,m n ，若 11ni i m c =≤≤∑，则存在整数12,,...,,n a a a 使得 1.nii ic m a ==∑ 问：对每个给定的 *i N ∈，i c 的最大值为多少？15. 设 12,,...,n a a a 为正数，且 11nj j a ==∑，又 1230....n λλλλ<≤≤≤证明：21111()()()4nnjn j j j j jn a a λλλλλλ==+∙≤∑∑.16. 设 0a >1<.5三：课后研讨题1. 证明：对于一切自然数 3n ≥，都有 1(1)nn n n +≥+.2. 已知对一切 *n N ∈，0n a >，且 2311()nnj jj j a a ===∑∑.证明：n n a =.3. 设 0,0,a b >> 且 111a b+=.证明：对一切自然数 n ，都有 21()22nn n n n a b a b +--≥-+4. 设 {}n a 中的每一项都是正整数，并有 122;7;a a ==21211,322n n n a n a a ---≤-≤≥.证明：自从第二项开始，数列的各项都是奇数.5. 设k是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．（x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数.）证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．6. 设实数 12,,...,n a a a 中任意两个的和非负，证明：对任意满足 12...1n x x x +++= 的非负实数12,,...,,n x x x 有 22211221122......n n n n a x a x a x a x a x a x +++≥+++ 成立.67. 设 1222...2s nn n M =+++，12,,...,s n n n 是互不相同的正整数，求证：(1222222...21s n n n +++<+8. 证明：（1）对任何给定的自然数 n 和实数 x ，都有121[][][]....[][]n x x x x nx n n n-+++++++=. ( []x 表示不超过 x 的最大整数. )(2) 对任何给定的自然数 n 和正实数 x ，都有[2][][]....[].2x nx x nx n+++≤. ( []x 表示不超过 x 的最大整数. )9. 设 {}n a 都是正实数列，且存在正的常数 c ，使得对所有 n ，2222121....n n c a a a a ++++≤证明：存在常数 b ，使得对所有 n ，121....n n b a a a a ++++<10. (Euler 问题）证明：对任何自然数 3n ≥ ，数字 2n 都可以表示成 2272n y x =+的形式，其中 ,x y 都是奇数.。
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１浅谈数学归纳法在中学数学中的应用浅谈数学归纳法在中学数学中的应用Һ李英爽㊀郭㊀微㊀（北华大学数学统计学院，吉林㊀吉林㊀１３２０１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ在中学数学中，数学归纳法是比较常用的证明方法，虽然它仅适用于一些与正整数相关的数学命题，但是在中学数学中的地位十分重要．为了帮助学生更好地了解数学归纳法的主要应用，本文首先介绍了数学归纳法的概念，然后给出了数学归纳法在解决问题时采用的步骤，最后列出数学归纳法在中学数学中的主要应用并举出相关的例子进行说明．ʌ关键词ɔ数学归纳法；中学数学；应用数学归纳法表面看着很简单，形式固定，但是很多学生难以理解其本质．有的同学在使用数学归纳法时完全靠生硬的记忆，不能掌握其真正的思想．那么，应该怎样理解数学归纳法的主要思想，解决问题时数学归纳法分哪几步，在中学数学中它都有哪些应用？本文就是在理解数学归纳法的概念，了解数学归纳法解题步骤的基础上，论述数学归纳法在中学数学中的主要应用，帮助学生使用数学归纳法证明一些复杂的命题．一㊁数学归纳法的概念数学归纳法是一种数学证明方法，主要用于证明某个命题在自然数范围内成立．在自然数之外的一些数学定理的证明也可以使用数学归纳法．数学归纳法在中学数学中是一种比较严谨的推理方法，主要用来解决与整数相关的数学问题，如证明一些等式和公式成立．二㊁数学归纳法的步骤数学归纳法在应用时分两步进行：第一步，证明命题在常数的情况下成立．从数学的角度看，命题在常数的情况下成立，那么命题在特殊的情况下也成立，这是证明命题成立的基础，是最基本的步骤，在实际解决问题中，通常用 １ 作为证明命题的起点．第二步，证明命题在任意常数下都成立．在实际解决问题中，我们通常采用未知数ｋ来代表一般情况．在ｎ＝ｋ的情况下命题成立，然后推导出ｎ＝ｋ＋１的时候命题也成立．这是证明命题成立关键的一步，同时它也代表着所要证明的结论具有普遍性．在归纳分析的时候，要将特殊的情况推广到一般的情况才能证明命题的正确．总的来说，数学归纳法的基本思路就是通过归纳总结来证明命题的成立．数学归纳法的第一步是很容易进行验证的，就是证明命题在特殊情况下成立．但归纳法的第二步是有点难度的，也是最核心的步骤．利用数学归纳法证明命题时，只有在这两步同时成立的情况下，才能证明命题正确．下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中比较常见的应用，加深学生对数学归纳法的理解．三㊁数学归纳法的应用数学归纳法可以解决很多类型的问题．下面主要介绍数学归纳法在恒等式和不等式证明中的应用，以及在数列㊁几何问题㊁整除性问题中的应用．（一）数学归纳法在恒等式证明中的应用利用数学归纳法进行恒等式证明时，整个过程只需做到等式两侧的数值相等．例１㊀证明：ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋ ＋（３ｎ－２）＝（２ｎ－１）２（ｎɪＮ∗）．证明㊀当ｎ＝１时，左边＝１＝（２ˑ１－１）２＝右边，等式成立．假设当ｎ＝ｋ时，等式同样成立，即ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）＝（２ｋ－１）２，则当ｎ＝ｋ＋１时，有㊀（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）＋（３ｋ－１）＋３ｋ＋（３ｋ＋１）＝［ｋ＋（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋ ＋（３ｋ－２）］＋８ｋ＝（２ｋ－１）２＋８ｋ＝４ｋ２＋４ｋ＋１＝（２ｋ＋１）２＝［２（ｋ＋１）－１］２，也就是说，当ｎ＝ｋ＋１时等式成立，所以等式对于任意一个正整数ｎ都满足．（二）数学归纳法在不等式证明中的应用应用数学归纳法解决不等式的证明问题时，可以对不等式两边的形式观察分析，特别是不等式左边的形式，然后再找出当ｎ＝ｋ和ｎ＝ｋ＋１时左式的差异，弄清这些是解决这类问题的关键．例２㊀证明：１＋１３＋１５＋ ＋１２ｎ－１ɤ２ｎ－１（ｎɪＮ∗）．证明㊀当ｎ＝１时，不等式显然成立．假设当ｎ＝ｋｋȡ１，ｋɪＮ∗()时，不等式同样成立，即１＋１３＋１５＋ ＋１２ｋ－１ɤ２ｋ－１，则当ｎ＝ｋ＋１时，左边＝１＋１３＋１５＋ ＋１２ｋ－１＋１２ｋ＋１ɤ２ｋ－１＋１２ｋ＋１＝２ｋ－１２ｋ＋１＋１２ｋ＋１ɤ（２ｋ－１）＋（２ｋ＋１）２＋１２ｋ＋１. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ １１＝２ｋ＋１２ｋ＋１＝２ｋ＋１，即ｎ＝ｋ＋１时，不等式成立．所以不等式对于任意一个正整数ｎ都成立．（三）数学归纳法在数列中的应用有时应用数学归纳法解决数列的有关问题时，相对于其他方法思路可能要更通畅一些．例３㊀设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ．已知ａ１＝１，２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），求：（１）ａ２的值；（２）数列｛ａｎ｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明；（３）求数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ．解㊀（１）将ｎ＝１代入２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），得ａ２＝４．（２）由于ａ１＝１，２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３（ｎɪＮ∗），可以求出ａ２＝４，ａ３＝９，ａ４＝１６，ａ５＝２５，ａ６＝３６， 由此猜想：ａｎ＝ｎ２．下面用数学归纳法进行证明：１）当ｎ＝１时，ａ１＝１２＝１，命题成立．２）假设当ｎ＝ｋ（ｋɪＮ∗）时命题成立，即ａｋ＝ｋ２成立，则当ｎ＝ｋ＋１时，有㊀ａｋ＋１＝２Ｓｋｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２ａ１＋ａ２＋ ＋ａｋ()ｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２１２＋２２＋ ＋ｋ２()ｋ＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝２ｋˑｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）６＋ｋ２３＋ｋ＋２３＝ｋ２＋２ｋ＋１＝（ｋ＋１）２．即当ｎ＝ｋ＋１时命题也成立．综上可知，ａｎ＝ｎ２对于任何ｎɪＮ∗都成立．（３）由（２）知ａｎ＝ｎ２（ｎɪＮ∗），则ａｎ＋１＝ｎ＋１()２＝ｎ２＋２ｎ＋１，又因为２Ｓｎｎ＝ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３，则Ｓｎ＝ｎ２㊃ａｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３()＝ｎ２㊃ｎ２＋２ｎ＋１－１３ｎ２－ｎ－２３()＝ｎ２㊃２３ｎ２＋ｎ＋１３()＝１３ｎ３＋ｎ２２＋ｎ６．（四）数学归纳法在几何问题中的应用数学归纳法不仅适用于平面的几何问题，也适用于部分立体几何问题．下面举例说明数学归纳法在几何问题中的应用．例４㊀设多个圆心在同一条直线且两两相交的半圆，试求：这些半圆的交点最多将半圆分割成多少个圆弧？解㊀设半圆个数为ｎ，最多分割圆弧的个数为函数ｆ（ｎ），如图１所示，可知当ｎ＝２时，ｆ（ｎ）＝ｆ（２）＝４＝２２．当ｎ＝３时，为了让三个半圆相交得到的圆弧最多，就应该让第三个半圆和前两个半圆都相交，如图２所示，可得ｆ（３）＝９＝３２．同理可知，当ｎ＝４时，ｆ（４）＝１６＝４２．因此猜想有ｎ个半圆时，最多可以将半圆分割成ｆ（ｎ）＝ｎ２个圆弧．图１㊀㊀㊀图２用数学归纳法进行证明：当ｎ＝２时命题成立．假设当ｎ＝ｋ时命题成立，即ｆ（ｋ）＝ｋ２．也就是说，当直线一边有ｋ个两两相交的半圆时，最多可以分割成ｋ２个圆弧．当ｎ＝ｋ＋１时，求第ｋ＋１个半圆与之前的ｋ个半圆都相交时可以得到最多的圆弧．此时，原来前ｋ的半圆都被第ｋ＋１个半圆割出了一条新圆弧，有ｋ条圆弧，第ｋ＋１个半圆都被原来所有的半圆分割成了ｋ＋１个圆弧，因此ｆ（ｋ＋１）＝ｋ２＋ｋ＋ｋ＋１＝（ｋ＋１）２，故当ｎ＝ｋ＋１时命题成立．即当有ｎ个半圆时，可以将半圆最多分成ｆ（ｎ）＝ｎ２个圆弧．（五）数学归纳法在整除性问题中的应用利用数学归纳法解决整除性问题，首先需要知道一些整除性方面的知识，即如果ａ能被ｃ整除，那么ａ的倍数ｎａ也能被ｃ整除；如果ａ，ｂ都能被ｃ整除，那么它们的和或差ａʃｂ也能被ｃ整除．例５㊀证明：ｆ（ｎ）＝（３ｎ＋１）㊃７ｎ－１（ｎɪＮ∗）能被９整除．证明㊀当ｎ＝１时，ｆ（１）＝（３＋１）㊃７－１＝２７，２７显然能被９整除，故命题成立．假设当ｎ＝ｋ时，原命题成立，即ｆ（ｋ）＝（３ｋ＋１）㊃７ｋ－１能被９整除，则ｆ（ｋ＋１）－ｆ（ｋ）＝［（３ｋ＋４）㊃７（ｋ＋１）－１］－［（３ｋ＋１）㊃７ｋ－１］＝９㊃（２ｋ＋３）㊃７ｋ，故ｆ（ｋ＋１）＝ｆ（ｋ）＋９㊃（２ｋ＋３）㊃７ｋ能被９整除．综上可知，对于一切ｎɪＮ∗原命题都恒成立．结束语数学归纳法是中学数学中比较重要的学习内容，是证明命题成立的重要方法之一，它的核心就是递推思想，它可以很好地弥补不完全归纳法的不足，在多个教学环节得到了广泛应用．ʌ参考文献ɔ［１］田定京．数学归纳法在高考数列题中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１３，（２１）：７９．［２］王治平．例谈数学归纳法的应用［Ｊ］．高中数学教与学，２０１７，（１）：４５－４６．［３］张搏翰．数学归纳法在几何解题中的应用［Ｊ］．中学数学，２０１７，（１１）：７３－７４．. All Rights Reserved.。
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《数学归纳法》说课稿
一、教材分析
1.教材的地位与作用：
数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一，这不仅因为其中大量问题都与自然数有关，更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程。
它给我们提供了思考问题的原则：从简单入手，在看透简单的基础上再复杂一步，找出一般规律。
这正是数学归纳法的精髓，也正是它被广泛应用的根本原因之所在。
本节课安排在数列、极限之后，先用不完全归纳法得出数列的有关公式，接着用数学归纳法对这些公式进行严格的证明，这样既可以使学生对数列的学习进一步深化，又可以使数学归纳法的引入显得自然。
2.教学目标的确定及依据
教参指出：通过数列、极限、数学归纳法的教学，加深学生对由具体到抽象，由特殊到一般的认识规律的认识，发展学生的逻辑思维能力。
教学原则强调将思想教学的内容渗透到数学教学中，使学生获得知识和培养能力的同时，在思想教育方面也得到良好的熏陶。
依据教学目的和原则及学生的现状制定本节课将要完成的目标如下：
a.知识目标：使学生了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证明方法。
b.能力目标：培养学生探索能力，发展学生的逻辑思维能力。
c.德育目标：培养学生对待知识的科学态度及辩证唯物主义观点。
d.情感目标：培养学生的数学兴趣，是他们显示对数学的偏爱。
e.操作目标：使学生能应用数学归纳法证明一些简单的问题。
3.重点、难点的确定及依据
数学归纳法用有限个步骤证明了关于无限的问题，学生往往会对其可靠性产生怀疑，或仅仅是形式上的模仿而不知其所以然。
因此使学生体会到数学归纳法的基本思想和数学归纳法的有效性是本节的难点，而证明中各步的必要性及其依赖关系是重点。
二、教材处理
1.学生的现状分析及对策
虽然高二学生已经具有一定的逻辑思维能力，但他们的逻辑思维能力是初步的，尤其是学生的基础又参差不齐，为此教学要照顾全体，注重提高差生兴趣，耐心讲解，耐心辅导，循序渐进。
2.教学内容的组织安排
为了更好地完成本节课的教学任务，让学生尽快掌握知识和方法，针对学生的认识规律，借助电教及多媒体教学手段，通过实例，使学生直观感觉知识的正确性，在此基础上讲解数学归纳法原理，使学生的认识上升到理性认识。
三、教学方法和手段
1.教学方法的采用
教无定法，教必有法，贵在得法。
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，学习数学归纳法的正确途径是，向学生提出一些必须用数学归纳法才能解决的问题，迫使他们直观地使用这个方法，从而发现这个方法，在学生发现和懂得这个方法之后再帮助他们用抽象的形式把它叙述出来。
根据本节课的内容特点和教学目标，我采用启发，引导，探索式相结合的方法，将逻辑演绎编写的教材还原成生动活泼的思维创造活动，启发学生积极思考，勇于探索，激发学生的兴奋点，从而使学生产生浓厚的兴趣，发挥学生的主观能动性，体现学生的主体作用。
2.教学手段的采用
根据本节内容的特点，为了更有效地突出重点，突破难点，增大课堂容量，提高课堂效率，使学生尽快掌握本节的教学内容，除采用常规的教学手段外，特采用多媒体教学手段，激发学生兴趣，强化记忆，节省教学时间，会收到事半功倍的效果。
四、教学程序
1.通过一些例子导入新课
袋子中装有10个球，我们把它们都拿出来看一下，都是红的，我们可以说这个袋中全是红球。
这种方法就是归纳法。
从而导入新课。
2.新课
（1）常用的推理方法
a.归纳法：由有限的、特殊的事例而得出一般的结论的推理方法。
归纳法分为完全
归纳法和不完全归纳法。
完全归纳法是严密的推理方法，而不完全归纳
法不是严密的推理方法，得出的结论不可靠。
b.演绎法：由一般结论推出特殊事例的推理方法。
属于逻辑推理，是严密的。
c.类比法：由两个对象具有某些相同或类似的结构属性，从一个推出另一个的推理
方法。
属于合情推理，是不严密的。
介绍这些方法为以后的归纳猜想埋下伏笔。
（2）数学归纳法
通过设置“一排自行车全倒下”问题，使学生初步体会数学归纳法原理的实质。
通过下面的例子引导学生发现一种新的重要证明方法——数学归纳法。
例：不等式2k >2k+1对哪些自然数k成立？证明你的结论！
试验——估计——验证——一般化（把无穷多步类似的检验浓缩成一步）（3）强调数学归纳法两步的关系及每一步的必要性。
通过例子“a n =（n2－5n+5）2是否恒为１”及“Ｓn＝2+4+6+…+2n是否等于n2”说明：数学归纳法的第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。
仅有第一步，没有第二步仍属于不完全归纳法，不可靠；仅有第二步，没有第一步，假设无存在基础。
（4）例题讲解
例1证明公差为d等差数列{a }的通项公式是：a n =a1 +（n－1）d
通过本例使学生初步了解数学归纳法的证题步骤。
例2用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n－１）＝n2
通过本例强调证明第二步一定要利用归纳假设。
3.反馈练习
为突出本节课所学的内容，使学生尽快掌握，特选一些反馈练习，充分调动学生学习积极性同时也给差生创造一些主动请教他人的条件。
练习注重训练第一步的验证与第二步递推关系的证明。
4.归纳总结
给学生总结本节所学的原理及证明步骤，目的是强化学生记忆，加深学生理解，便于学生应用。
5.布置作业
学生通过作业，进一步掌握和巩固本节内容。
为便于学生掌握本节课的知识点，并突出重点，培养学生的逻辑推理能力和书写表达的规范化，特把本节的原理及例题证明过程与注意事项作为本节的板书内容。
附：板书设计。