数学归纳法说课课件
数学归纳法讲课(整理好)ppt
原理分析
可以看出 , 使所有骨牌都倒下的条 件有两个:
1第一块骨牌倒下 ;
2 任意相邻的两块骨牌 , 前一块倒下一定导致后 一块 倒下.其中, 条件 2事实上就是一个递推关 系:当第k 块
倒下时, 相邻的第k 1块也倒下 .
只要保证1, 2成立, 那么所有的骨牌一定可 以全部 倒下.
证明：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+· · · +2k=k2+k+1, 那么,当n=k+1时，有 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1, 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立.
案例二 (未证递推步) 设n∈N+，求证：2+4+6+· · · +2n=n2+n 证明: (1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,等式成立. · · +2k=k2+k, (2)假设当n=k时等式成立,即 2+4+6+· 那么,当n=k+1时，有 (k+1)[2+2(k+1)] 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) = 2 2 (k 1)(k 2) k 3k 2 =(k+1)2+(k+1) 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立. 评注：证明递推步时一定要用假设的结论，否则 递推关系不能成立.
选修4-5《数学归纳法》课件
05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。
《数学归纳法》ppt课件
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
数学归纳法完整PPT课件
“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二 是“凑”目标式。
.
11
课后作业
1、阅读作业：通读教材 2、书面作业：习题2.3A组第1，2题 3、弹性作业：简析我国古代烽火传递军情的
合理性 (可以上网查阅)
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
.
12
.
13
则 当n=k+1时，ak+1 = ak + d
= =
a
a
1 1
+(k-1)d+d +[(k+1)-1]d凑结论
∴当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
4.4 数学归纳法课件ppt
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
《数学归纳法》课件PPT
探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立
课件2 ：2.3 数学归纳法
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
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数学归纳法说课课件
高中数学《数学归纳法》说课稿
一、准备阶段
1. 学习需要分析
教是为了学，学习需要就是我们的教学需要。
在教学中的学习需要是指学生学习的
“目前状况与所期望达到的状况之间的差距”，即学习需要是学生的学习现状与教学目标
或标准之间的差距。
1学生起点分析:
◆知识准备状态:学生对等差比数列、数列求和、二项式定理等知识有较全面的把握
和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的。
◆能力储备状态:对数学语言的抽象性的理解和把握高于低年级的学生，思维方法向
理性层次跃进，并逐步形成了辨证思维体系，但层次参差不齐。
2学生目标分析:
◆知识目标:理解“归纳法”和“数学归纳法”的含义和本质;掌握数学归纳法证题的
三个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。
◆能力目标:初步掌握归纳与推理的能力;在学习中培养大胆猜想，小心求证的辨证思
维素质以及发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力。
◆情感目标:通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学
思想和辨证唯物主义观点;体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发
学习热情，初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
2. 分析教材
“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。
本节课有两大难点:使学生理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中归纳假设的利用。
3.教学环境描述
本节课采用多媒体网络教学，通过老师与学生、学生与学生的交流与合作逐步往前推进，使教学在一种更为平等、民主，合作的环境下进行，真正体现教学相长。
4.确定教法
根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用了引导发现法和感性体验法进行教学。
5、选择学法
在学生明确本堂课的学习目标的基础上，伴随着课堂进程的推进，学生除了掌握相应
学习内容，还要检查、分析自己的学习过程，对如何学、如何巩固，进行自我检查、自我
校正、自我评价。
二、实施阶段
1. 设计问题情境
问题情境一:意图:引出不完全归纳法概念
1、大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的?
答:从大球中取出的`5个小球，发现全是绿色的。
问:若大球中有nn>5个小球，能否由前5个小球都是绿色的，就判断后面的小球都是
绿色的。
答案显然是不能成立的。
从而引出不完全归纳法概念:考察部分对象，得到一般结论的方法，叫不完全归纳法。
问:不完全归纳法得到的结论正确吗?不一定正确
问题情境二:意图:加深学生对不完全归纳法得到的结论是不正确的
数学家费马运用不完全归纳法得出错误结论的事例。
利用数学典故来加深学生对不完全归纳法的缺憾。
由此引入本节课主要内容--数学归
纳法。
问题情境三:在多米诺骨牌中，如何保证众多的骨牌一块接一块地倒下?
与学生共同分析总结:能够使游戏一直连续运行的条件是什么?
1第一张骨牌必须能倒下;
2假期第kk≥2张能倒下时一定能压倒紧挨着它的第k+1张。
以上第1点是能开始游戏的基础;第2点游戏能继续的条件。
问:如果我们把关于自然数n的命题看作多米诺骨牌，产生一种符合运行条件的方法，应具有哪几个步骤?
1验证第一个命题成立;
2假设第k个命题成立时，能推导出紧挨着它的第k+1个命题也成立。
从而导出本节课的重心:数学归纳法概念及其证明的两个步骤。
2. 深入探索，学以致用
例1:意图:让学生注意:①数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关问题;②两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立;③在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换
已知数列{an}，其通项公式为an=2n-1，试猜想该数列的前n项和公式Sn，并用数学归纳法证明你的结论。
答:1 + 3 + 5 + …… + 2n ? 1 = n2
问:如果同学们相信前n个奇数之和，刚好等于n2，即一个正方形，那么当我们再加上第n+1奇数时，结果又会怎样?
答:仍是一个正方形。
注:第n+1个奇数应该等于2n+1
3.反馈练习
设计方法及意图:这里我共设计了三组练习题，分为选择题、填空题和解答题，难度由浅入深，要求学生根据个人需要及个人水平自主选题，且配套提供了详细的解答，充分体现了网络教学的优越性。
这样的设计，体现了分层教学的思想，达到因材施教的目的。
基础题的设计，目的在于通过练习反馈学生对于数学归纳法步骤的掌握情况，进一步解决存在的问题。
提高题部分，既要求掌握数学归纳法的基本步骤，又要求初步具备猜想的能力。
4.小结
三、反思总结阶段
1. 丰富情境，指导学生自行发现、主动建构知识
2. 几个转化
一、从注重知识传授转向注重学生的全面发展
二、从“以教师为中心”转向“以学生为中心”
三、从注重教学的结果转向注重教学的过程
四、从统一规格的教学模式转向个性化教学模式
五、从操练式学习转向有效学习
3. 不足之处
在具体的实施过程，依旧碰到了许多困难，如:
一、学生的个体差异该怎样得到更及时的，更全面的关注?
二、教学的个体化该如何得以加强?
三、弱势学生群体的独立性、自主性的培养和发展，需要什么样的教育环境?
四、如何才能实现“不同的人学习不同的数学”的课程目标?
感谢您的阅读，祝您生活愉快。