(新课标)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第10讲 导数的概念及运算(理)习题-人教版
2020版高考数学总复习第二篇函数、导数及其应用第10节导数的概念及计算应用能力提升理(含解析)
第10节导数的概念及计算【选题明细表】基础巩固(建议用时:25分钟)1.(2018·山东齐鲁名校、湖北部分重点中学联合调研)已知函数f(x)=f′(1)x2+2x+2f(1),则f′(2)的值为( D )(A)-2 (B)0 (C)-4 (D)-6解析:由题意f(1)=f′(1)+2+2f(1),化简得f(1)=-f′(1)-2,而f′(x)=2f′(1)x+2,所以f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,所以f′(2)=2f′(1)×2+2=-6,故选D.2.(2018·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( C )(A)f(x)=3cos x (B)f(x)=x3+x2(C)f(x)=1+sin 2x (D)f(x)=e x+x解析:A项中,f′(x)=-3sin x,是奇函数,图象关于原点对称,不关于y轴对称;B项中,f′(x)=3x2+2x=3(x+)2-,其图象关于直线x=-对称;C项中,f′(x)=2cos 2x,是偶函数,图象关于y轴对称;D项中,f′(x)=e x+1,由指数函数的图象可知该函数的图象不关于y轴对称.故选C.3.(2018·广东模拟)已知函数f(x)满足f()=x3-3x,则函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为( C )(A)0 (B)9 (C)18 (D)27解析:令t=,则x=2t,所以f(t)=8t3-6t,即f(x)=8x3-6x,则f′(x)=24x2-6,所以f′(1)=18.故选C.4.函数f(x)=x-g(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-x-1,则g(2)+g′(2)等于( A )(A)7 (B)4 (C)0 (D)-4解析:因为f(x)=x-g(x),所以f′(x)=1-g′(x),因为函数f(x)=x-g(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-x-1,所以f(2)=-3,f′(2)=-1,所以g(2)+g′(2)=2-f(2)+1-f′(2)=7,故选A.5.(2018·四川乐山四校联考)设曲线y=ax-2ln(x+2)在点(0,f(0))处的切线垂直于直线x+2y=0,则a等于( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由曲线y=f(x)=ax-2ln(x+2),得f′(x)=a-,所以f′(0)=a-1,由于曲线f(x)=ax-2ln(x+2)在点(0,f(0))处的切线方程垂直于直线x+2y=0,所以(a-1)·(-)=-1,解得a=3,故选D.6.(2018·四川雅安高三三诊)若曲线y=x2与曲线y=aln x在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a等于( A )(A)1 (B)(C)-1 (D)2解析:由函数y=x2的导数为y′=可知函数对应的曲线在点P(s,t)处的斜率为k=.由函数y=aln x的导数为y′=,可知函数对应的曲线在点P(s,t)处的斜率为k=.曲线y=x2与曲线y=aln x在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,可得=,并且t=s2,t=aln s,即所以ln s=,所以s2=e.可得a===1.故选A.7.在函数f(x)=aln x-(x-1)2的图象上,横坐标在(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数a的取值范围是( C )(A)[1,+∞) (B)(1,+∞)(C)[6,+∞) (D)(6,+∞)解析:函数f(x)=aln x-(x-1)2,求导得 f′(x)=-2(x-1),由横坐标在区间(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1,可得-2(x-1)>1对x∈(1,2)恒成立.即有a>x(2x-1)=2x2-x对x∈(1,2)恒成立.令g(x)=2x2-x,则由函数的对称轴方程为x=可知(1,2)为函数g(x)的单调递增区间,所以有g(x)max<g(2)=6,因此满足a>x(2x-1)=2x2-x对x∈(1,2)恒成立的实数a满足a≥6.故选C.8.(2018·四川省高考模拟)已知直线l是曲线y=e x与曲线y=e2x-2的一条公切线, l与曲线y=e2x-2切于点(a,b),且a是函数f(x)的零点,则f(x)的解析式可能为( B )(A) f(x)=e2x(2x+2ln 2-1)-1(B) f(x)=e2x(2x+2ln 2-1)-2(C) f(x)=e2x(2x-2ln 2-1)-1(D) f(x)=e2x(2x-2ln 2-1)-2解析:设直线l与曲线y=e x切点为(m,e m), y=e x的导数为y′=e x, y=e2x-2的导数为y′=2e2x,曲线y=e x在(m,e m)处的切线的方程为y-e m=e m(x-m),即y=e m(x-m+1),曲线y=e2x-2在点(a,b)处的切线方程为y-(e2a-2)=2e2a(x-a),即y=2e2a x+e2a(1-2a)-2,可得则m=2a+ln 2,即e2a(2a+2ln 2-1)-2=0,即有f(x)=e2x(2x+2ln 2-1)-2,故选B.9.(2018·达州测验)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是( B )(A)a<f′(2)<f′(4) (B)f′(2)<a<f′(4)(C)f′(4)<f′(2)<a (D)f′(2)<f′(4)<a解析:由题中图象可知,在(0,+∞)上函数的增长速度越来越快,故曲线上点的斜率随x的增大越来越大,所以(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率=a在点(2,f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f′(4)之间,所以f′(2)<a<f′(4),故选B.10.(2018·山东烟台模拟)已知直线2x-y+1=0与曲线y=ln x+a相切,则实数a的值是.解析:函数y=ln x+a的导数为y′=,设切点是(x0,ln x0+a),则y′==2,故x0=.ln x0=-ln 2.将切点(,-ln 2+a)代入直线方程得2×+ln 2-a+1=0.解得a=2+ln 2.答案:2+ln 2能力提升(建议用时:25分钟)11.若直线y=x+1与曲线y=aln x相切,且a∈(n,n+1)(n∈N*),则n等于( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设直线y=x+1与曲线y=aln x相切的切点为(x0,aln x0),则在该点处曲线的切线方程为y-aln x0=(x-x0),即y=x+aln x0-a,又该直线与直线y=x+1重合,所以a=x0且aln x0-a=1,即aln a-a=1.构造函数g(a)=aln a-a-1,则g′(a)=ln a,当a>1时,g′(a)>0,g(a)单调递增,又g(3)=3ln 3-4<0,g(4)=4ln 4-5=8ln 2-5>0,所以函数g(a)在(1,+∞)内唯一的零点在区间(3,4)内,所以n=3.故选C.12.(2018·辽宁辽南协作校一模)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( D )(A)y=-2x+3 (B)y=x(C)y=3x-2 (D)y=2x-1解析:由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,可得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8-8x,即f(2-x)=2f(x)-x2-4x+4代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,可得f(x)=4f(x)+8-8x-2x2-x2+8x-8,即f(x)=x2,故f′(x)=2x,所以f(1)=1,f′(1)=2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.故选D.13.(2018·陕西延安市高考模拟)已知函数f(x)=+sin x,其中f′(x)为函数f(x)的导数,则f(2 018)+f(-2 018)+f′(2 019)-f′(-2 019)等于( A )(A)2 (B)2 019 (C)2 018 (D)0解析:函数f(x)=+sin x=sin x++1,设g(x)=sin x+,则g(-x)=sin(-x)+=-(sin x+)=-g(x),即g(-x)+g(x)=0,即f(-x)+f(x)=2,则f(2 018)+f(-2 018)=2,又f′(x)=g′(x),由g(x)为奇函数,得g′(x)为偶函数,可得f′(2 019)-f′(-2 019)=g′(2 019)-g′(-2 019)=0,即有f(2 018)+f(-2 018)+f′(2 019)-f′(-2 019)=2,故选A.14.(2018浙江温州市高考模拟)若函数f(x)满足对任意的x∈R都有|f(x)+f′(x)|≤2(其中f′(x)为f(x)的导数),则f(x)的解析式不可能是( D )(A)f(x)=sin x (B)f(x)=e-x(C)f(x)= (D)f(x)=解析:A中由f(x)=sin x,则f′(x)=cos x,则|f(x)+f′(x)|=|sin x+cos x|=|sin(x+)|,满足|f(x)+f′(x)|≤2,不符合题意;B中由f(x)=e-x,则f′(x)=-e-x,则|f(x)+f′(x)|=|e-x-e-x|=0,不符合题意;C中由f(x)=,则导数f′(x)=-,|f(x)+f′(x)|=|-|=≤2;D中由f(x)=,其导数f′(x)=,则|f(x)+f′(x)|=|+|,不能满足|f(x)+f′(x)|≤2,故选D.15.曲线y=ln 2x到直线2x-y+1=0距离的最小值为.解析:曲线y=ln 2x到直线2x-y+1=0距离的最小值就是与直线2x-y+1=0平行的直线与曲线y=ln 2x相切时的切点与直线的距离,曲线y=ln 2x的导数为y′=,设切点坐标为(a,ln 2a),可得=2,解得a=,ln 2a=0,切点坐标为(,0),曲线y=ln 2x到直线2x-y+1=0距离的最小值为=.答案:。
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10节导数的概念及运算教学案理(含解析)北师大
第十节导数的概念及运算［考纲传真］ 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝错误!，y＝错误!的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f（ax ＋b）的复合函数)的导数．1．导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′（x0)的几何意义是曲线y＝f(x）在点（x0，f（x0)）处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0）(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数）f′（x)＝0f(x)＝xα（α是实数）f′(x）＝αxα－1y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝－sin xf（x)＝e x f′(x）＝e xf（x）＝a x(a＞0，a≠1)f′(x)＝a x ln_af（x)＝ln x f′（x）＝错误!f(x）＝log a xf′(x）＝错误!(a＞0，且a≠1)(1)［f(x）±g（x）］′＝f′(x)±g′(x）;（2)[f（x）·g(x)］′＝f′(x)g（x）＋f（x)g′(x）；(3）错误!′＝错误!(g（x）≠0）．4．复合函数的导数复合函数y＝f（φ(x）)的导数和函数y＝f（u），u＝φ（x)的导数间的关系为y x′＝[f(φ(x)）］′＝f′(u)·φ′（x）．［基础自测］1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×"）(1)f′(x0）是函数y＝f(x）在x＝x0附近的平均变化率．( ）(2）f′(x0）与[f（x0）]′表示的意义相同．（)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（）（4）函数f(x）＝sin（－x)的导数是f′（x)＝cos x．( ）［答案］（1）×（2）×(3）×（4）×2．已知f（x）＝x ln x,若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．eC。
非常考案通用版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第10节导数的概念及其运算课件
2．(2015·郑州第二次质量预测)如图 2-10-2，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y
＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，令 g(x)＝xf(x)，其中 g′(x)是 g(x)的导
函数，则 g′(3)＝
.
图 2-10-2
【解析】 由图可得曲线 y＝f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－13，即 f′(3) ＝－13，因为 g(x)＝xf(x)，所以 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由 图可知 f(3)＝1，所以 g′(3)＝1＋3×－13＝0.
基础自测 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f′(x0)．( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (4)若 f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a＞0)，则 f′(x)＝2xf′(a)＋1x.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻
两次加油时的情况．
加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)
2015 年 5 月 1 日 12
35 000
2015 年 5 月 15 日 48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为( )
.
【解析】 函数 y＝kx＋ln x 的导函数为 y′＝k＋1x，由导数 y′|x＝1＝0，得
k＋1＝0，则 k＝－1.
【答案】 －1
研考点| 梯度提升
高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算课件文
1－ln x2
x
,
则
f ′ (1)=1,
故该切线方程为
y-(-2)=x-1, 即 x-y-3=0.
答案：C
角度二：求切点坐标
2．(2016·郑州质检)曲线 f(x)＝x3－x＋3 在点 P 处的切线平行于直线
y＝2x－1，则 P 点的坐标为
()
A．(1,3)
B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3)
[演练冲关]
1．(2017·郑州质量预测)函数 f(x)＝excos x 的图象在点(0，f(0))处
的切线方程是
()
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
解析：依题意，f(0)＝e0cos 0＝1，因为 f′(x)＝excos x－exsin
x，所以 f′(0)＝1，所以切线方程为 y－1＝x－0，即 x－y
第十节
变化率与导数、导数的运算
1．导数的概念 (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数： 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 Δlxim→0 ΔΔxy＝Δlxim→0 fx0＋ΔΔxx－fx0为函数 y＝f(x)在 x＝ x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
fx＋Δx－fx 称函数f′(x)＝_Δl_ixm→_0_______Δ__x_____为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0)
f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f′xgx－fxg′x
(3) gfxx′＝
高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10节导数的概念及运算学案文北师大版
第十节 导数的概念及运算[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(对应学生用书第30页)[基础知识填充]1．导数与导函数的概念(1)当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f x 1－f x 0x 1－x 0＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数． 2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数y ＝c (c 为常数) y ′＝0 y ＝x α(α∈常数)y ′＝αx α－1 y ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝e x y ′＝e x y ＝a x (a ＞0，a ≠1)y ′＝a x ln_a y ＝ln x y ′＝1xy ＝log a x (a ＞0，a ≠1)y ′＝1x ln ay ＝tan x y ′＝1cos 2x y ＝cot xy ′＝－1sin 2x4．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．[知识拓展]1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A ．194B ．174C ．154D ．134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]3．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.]4．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．x －y ＋1＝0 [∵y ′＝2x －1x2，∴y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1， 解得a ＝1.](对应学生用书第31页)导数的计算求下列函数的导数： (1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝cos xex .【导学号：00090059】[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝cos x ′e x －cos x e x ′e x 2＝－sin x ＋cos xex.[规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练1] (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(1)C (2)3 [(1)f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)， 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝30－24＝6. (2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]导数的几何意义角度1 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[思路点拨] (1)点P (2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程； (2)点P (2,4)不一定是切点，先设切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，由此求出切线方程，再把点P (2,4)代入切线方程求x 0.[解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′＝4，∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.角度2 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]角度3 求参数的值(1)已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．1(2)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12(1)B (2)A [(1)设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－12＋1x，则y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，由－12＋1x 0＝12得x 0＝1，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1.(2)由y ′＝－2x －12得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A ．][规律方法] 1.导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P 处的切线是以点P 为切点，曲线过点P 的切线则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.。
高考数学一轮复习 第2章 第10节 导数的概念及其运算课件 新人教A版
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第十节 导数的概念及其运算
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1
[考情展望] 1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线 方程.2.考查导数的有关计算．
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2
一、导数的概念
1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数： (1)定义：称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率
f′(x)＝_n_·_x_n_－_1_
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f′(x)＝_c_o_s_x___ f′(x)＝_－__s_in__x_
f(x)＝ax
f′(x)＝_a_x_ln__a__ (a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝__e_x__
f(x)＝logax f(x)＝ln x
1 f′(x)＝_x_l_n__a___
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6
导数的运算法则特例及推广 (1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中 a，b 为常数． (2)f1x′＝－f[′ fxx]2(f(x)≠0)． (3)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有 限 个 可 导 函 数 的 情 形 ， 即 [u(x)±v(x)±…±ω(x)] ＝ u′(x)±v′(x)±…±ω′(x)．
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔxy＝
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3
(2)几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是
高考数学大一轮复习配套课时训练：第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算(含答案)
第10节导数的概念与计算课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则为( C )(A)Δx++2 (B)Δx--2(C)Δx+2 (D)Δx-+2解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2=(Δx)2+2·(Δx),∴=Δx+2,选C.2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( D )(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x,∴f′(1)=2f′(1)+2,∴f′(1)=-2,∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.故选D.3.(2013合肥模拟)函数y=x2cos x在x=1处的导数是( B )(A)0 (B)2cos 1-sin 1(C)cos 1-sin 1 (D)1解析:∵y′=(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x,∴在x=1处的导数为2cos 1-sin 1,故选B.4.(2013中山市期末)函数f(x)=x2-bx+a的图象如图所示,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( B )(A)(,)(B)(,1)(C)(1,2)(D)(2,3)解析:由题图知f(1)=1-b+a=0,0<f(0)=a<1,所以1<b<2.g(x)=ln x+2x-b,易知g(x)为(0,+∞)上的增函数,又g(1)=2-b>0,g()=ln +1-b<0,故函数g(x)的零点所在区间为(,1),故选B.5.(2013深圳调研)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程为( C )(A)y=-x-1 (B)y=-x+3(C)y=x+1 (D)y=x-1解析:y′=2-,所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为k=2-1=1,因此,在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即y=x+1,故选C.6.(2013潍坊模拟)若曲线f(x)=x·sin x+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于( D )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2解析:f′(x)=sin x+xcos x,依题意,f′()=1,且-×1=-1,解得a=2,故选D.7.(2013惠阳一中实验学校高三月考)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( D )(A)6e2(B)4e2(C)2e2(D)e2解析:∵y′=·,∴y′|x=4=·e2.∴曲线y=在点(4,e2)处的切线方程为y-e2=·e2(x-4).令y=0,得x=2,令x=0,得y=-e2,所以,切线与坐标轴所围成的三角形面积S=×2×|-e2|=e2.故选D.二、填空题8.设直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为.解析:由已知条件可得直线的斜率k=,y′=(ln x)′==,得切点的横坐标为x=2,切点坐标为(2,ln 2).由点(2,ln 2)在切线y=x+b上可得b=ln 2-×2=ln 2-1.答案:ln 2-19.(2013广东六校第三次联考)设P为曲线C:y=x3-x上的点,则曲线C 在点P处的切线的倾斜角的取值范围为.解析:设点P的横坐标是x,则曲线C在点P处的切线斜率是k=3x2-1≥-1,设切线的倾斜角是α,则tan α≥-1,α∈[0,π),解得α∈[0, )∪[,π).答案:[0, )∪[,π)10.等比数列{a n}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为.解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)],∴f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)]′∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a2012=(a1·a2012)1006=41006=22012.∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22012x.答案:y=22012x11.(2013广州高三调研)若直线y=2x+m是曲线y=xln x的切线,则实数m的值为.解析:设切点为(x0,x0ln x0),由y′=(xln x)′=ln x+x·=ln x+1得切线斜率为k=ln x0+1,故切线方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)·(x-x0),整理得y=(ln x0+1)x-x0,与y=2x+m比较得解得答案:-e三、解答题12.(1)求下列函数的导数.①y=(2x2+3)(3x-1);②y=(-2)2;③y=x-sin cos;(2)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f′(x)=xcos x.解:(1)①法一y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.法二∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.②∵y=(-2)2=x-4+4,∴y′=x′-(4)′+4′=1-4×=1-2.③∵y=x-sin cos=x-sin x,∴y′=x′-(sin x)′=1-cos x.(2)由已知f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]′=[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′=(ax+b)′sin x+(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′=asinx+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. ∵f′(x)=xcos x,∴必须有即⇒a=d=1,b=c=0.13.已知函数f(x)=在x=处的切线为l,直线g(x)=kx+与l平行,求f(x)的图象上的点到直线g(x)的最短距离.解:因为f(x)=,所以f′(x)=.所以切线l的斜率为k=f′()=1,切点为T(,).所以切线l的方程为x-y+=0.因为切线l与直线g(x)=kx+平行,所以k=1,即g(x)=x+.f(x)的图象上的点到直线g(x)=x+的最短距离为切线l:x-y+=0与直线x-y+=0之间的距离,所以所求最短距离为=.14.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,∴当x=2时,y′=-1,y=,∴斜率最小的切线过,斜率k=-1,∴切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k≥-1,∴tan α≥-1,∴α∈∪.B组15.(2012年高考辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( C )(A)1 (B)3 (C)-4 (D)-8解析:y=,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2,点P的坐标为(4,8),点Q的坐标为(-2,2),∴在点P处的切线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2,解得A(1,-4),则A点的纵坐标为-4.故选C.16.(2013河北保定一模)设函数f(x)=|sin x|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大值为α,则α等于( B )(A)-cos α(B)tan α(C)sin α(D)π解析:如图,若直线与函数有且仅有三个公共点,则直线y=kx与曲线y=-sin x(x∈[π,2π])相切,设切点为(α,-sin α),则-sin α=kα且k=-cos α,所以α=tan α.故选B.。
2020版高考数学总复习第二篇函数、导数及其应用第10节导数的概念及计算课件理
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 导数的概念与计算 【例 1】 求下列函数的导数.
(1)y= 2x 1 ; x2
解:(1)y′=( 2x 1 )′= 2x 1 x 2 2x 1 x 2 = 3 .
x2
x 22
x 22
(2)y= 1 + 1 ; 1 x 1 x
所以 y′= 1 · 1 ·(1+2x)′= 1 .
2 1 2x
1 2x
(4)因为 y=1+cos2x=1+ 1 cos 2x = 3 + 1 cos 2x,
2
22
所以 y′=( 3 + 1 cos 2x)′=-sin 2x. 22
反思归纳
求复合函数导数的一般步骤: (1)分清复合关系,适当选定中间变量,正确分解关系; (2)分层求导,弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数.
反思归纳
求曲线在点P(x0,f(x0))处的切线方程的方法: (1)求出y=f(x)在x=x0处的导数,即y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处的切线斜率; (2)由点斜式求得切线方程y-f(x0)=f(x)·(x-x0).
【跟踪训练2】 设函数y=f(x)的图象在x=0处的切线方程是x-y+1=0,则函数
即2x-y+2=0. 答案:2x-y+2=0
考查角度 2:求切点坐标 【例 3】 (2018·河北石家庄模拟)设 a∈R,函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数
是 f′(x),且 f′(x)是奇函数.若曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是 3 ,则 2
切点的横坐标为( ) (A)ln 2 (B)-ln 2
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word 1 / 8 2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第10讲 导数的概念及运算(理)习题 A组 基础巩固 一、选择题
1．下列各组函数中导函数相同的是导学号 25400473( ) A．y＝x2与y＝2x B．y＝ln(－x)与y＝lnx C．y＝lnx2与y＝2lnx D．y＝sinxcosx与y＝12sin2x [答案] D [解析] 对于选项C，(lnx2)′＝1x2·2x＝2x(x≠0)，(2lnx)′＝2x(x＞0)，否定C． 对于选项A，(x2)′＝2x，(2x)′＝2x·ln2，否定A． 对于选项B，(ln(－x))′＝(－1x)×(－1)＝1x(x＜0)，(lnx)′＝1x(x＞0)，否定B，故选D． 2．(2015·某某大学附属中学上学期期中)函数f(x)＝lnx－2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为导学号 25400474( ) A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y－3＝0 [答案] D [解析] ∵f(1)＝－2，∴点(1，－2)在函数的图象上．
∴f ′(x)＝1－lnxx2，∴f ′(1)＝1－ln112＝1，∴切线方程是y－(－2)＝1·(x－1)，即x－y－3＝0.故选D．
3．(2015·某某某某十一高中上学期阶段性考试)已知曲线y＝x24－3lnx＋1的一条切线
的斜率为12，则切点的横坐标为导学号 25400475( ) A．3 B．2 C．1 D．12 word 2 / 8 [答案] A [解析] 设切点为(x0，y0)，则f ′(x0)＝x02－3x0＝12，解得x0＝3或x0＝－2.又x0＞0，所以x0＝3.故选A． 4．(2015·某某八县(市)一中上学期联考)函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为导学号 25400476( )
A．π4 B．0 C．3π4 D．1 [答案] A [解析] f ′(x)＝excosx－exsinx，所以f ′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1，所以倾斜角α
＝π4.故选A． 5．(2015·日照一中检测)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f ′(1)的值是导学号 25400477( )
A．12 B．1 C．32 D．2 [答案] D [解析] ∵函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，∴f(1)＝1，
f ′(1)＝12.∴f(1)＋2f ′(1)＝2，故选D．
6．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝导学号 25400478( )
A．0 B．22 C．2 D．2 [答案] C [解析] 如图所示，直线l与y＝lnx相切且与y＝x＋1平行时，word 3 / 8 切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝1x，令1x＝1，得x＝1.故P(1,0)．故|PQ|min＝22＝2.故选C．
二、填空题 7．直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋lnx相切于点P(1,4)，则b的值为________.导学号 25400479 [答案] －1 [解析] 由点P(1,4)在曲线上可得a×12＋2＋ln1＝4，解得a＝2，故y＝2x2＋2＋lnx，
y′＝4x＋1x，从而曲线在点P处切线的斜率k＝y′|x＝1＝4×1＋11＝5，则切线方程为y＝5x＋b，由点P在切线上得4＝5×1＋b，解得b＝－1. 8．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f ′(1)＝________.导学号 25400480 [答案] 2 [解析] 方法1 令t＝ex，故x＝lnt，∴f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，∴f ′(x)
＝1x＋1，∴f ′(1)＝2. 方法2 f ′(ex)＝1＋ex，f ′(1)＝f ′(e0)＝1＋e0＝2. 9．(2015·某某)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.导学号 25400481 [答案] (1,1) [解析] y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝1x(x＞0)上点P
处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝1x(x＞0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝1x上，所以b＝1，故P(1,1)． 10．(2014·某某)若直线l与曲线C满足下列两个条件： (ⅰ)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，word 4 / 8 则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).导学号 25400482 ①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3 ②直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2 ③直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sinx ④直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tanx ⑤直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝lnx [答案] ①③④ [解析] 对于①，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′|x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1,0)处的切
线，②错误；对于③，y′＝cosx，y′|x＝0＝1，在点P(0,0)处的切线为l：y＝x，画图可知
曲线C：y＝sinx在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝1cos2x，y′|x
＝0＝1cos20＝1，在点P(0,0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C：y＝tanx在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，④正确；对于⑤，y′＝1x，y′|x＝1＝1，在点P(1,0)处的切线为l：y＝x－1，令h(x)＝x－1－lnx(x＞0)，可得h′(x)＝1－1x＝x－1x，所以h(x)min＝h(1)＝0，故x－1≥lnx，可知曲线C：y＝lnx在点P(1,0)附近位于直线l的下侧，⑤错误． 三、解答题 11．已知函数f(x)＝x3＋x－16.导学号 25400483 (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． [答案] (1)y＝13x－32 (2)y＝13x，(－2，－26) [解析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1. ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32. (2)设切点坐标为(x0，y0)， word 5 / 8 则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x20＋1，y0＝x30＋x0－16， ∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16. 又∵直线l过坐标点(0,0)， ∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16， 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， 得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
12．(2015·某某一模)已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．导学号 25400484
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值X围； (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值X围． [答案] (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞) [解析] (1)由题意得f ′(x)＝x2－4x＋3， 则f ′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值X围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知， k≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． B组 能力提升 1．(2015·某某)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f ′(x)满足f ′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是导学号 25400485( )
A．f(1k)＜1k B．f(1k)＞1k－1 word 6 / 8 C．f(1k－1)＜1k－1 D．f(1k－1)＞kk－1 [答案] C [解析] 取满足题意的函数f(x)＝2x－1，若取k＝32，则f(1k)＝f(23)＝13＜23＝1k，所以
排除A；若取k＝1110，则f(1k－1)＝f(11110－1)＝f(10)＝19＞11＝11101110－1＝kk－1，所以排除D；取满足题意的函数f(x)＝10x－1，若取k＝2，则f(1k)＝f(12)＝4＞1＝12－1＝1k－1，所以排除B．故结论一定错误的是C． 2．(2015·某某七校联盟联考)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是导学号 25400486( ) A．2 B．1 C．3 D．－2 [答案] A [解析] 由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8两边求导得，f ′(x)＝2f ′(2－x)×(－1)－2x＋8.令x＝1得f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，故所求切线斜率是2. 3．(2015·某某某某月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f ′(x)存在，且导数f ′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记为f ″(x)＝[f′(x)]′，若f ″(x)
＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上).导学号 25400487 ①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x； ③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex. [答案] ①②③