初三数学学科精讲精练--垂径定理

【知识点】

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

直线与圆：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的一条弧；（5）平分弦所对的另一条弧.这五者只要具备其中两个，就可以推出另外三个，即“知二推三”.垂径定理是由（1）（2）→（3）（4）（5），推论是由（1）（3）→（2）（4）（5）.由（2）（3）→（1）（4）（5）即垂直平分弦的直线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧，尤其在找三角形的外接圆等作图题中经常运用.

【典型例题】

1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，已知CD=8，AE=2，求⊙O 的半径．

【考点】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．【解答】解：连接OC，

∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，

∴CE=CD=4，∠OEC=90°，

设OC=OA= x ，则OE= x - 2 ，

根据勾股定理得：CE 2+OE 2=OC 2，

即42 + (x - 2)2 =x2 ，

解得x =5，

所以⊙O 的半径为5．

2.如图，已知AB 是圆O 的直径，AB=10，弦CD 与AB 相交于点E，∠AEC=30°，OE：AE=2：3，求弦CD 的长．

OD 2 - OF 2 6 6

【考点】此题考查了勾股定理，垂径定理和含 30 度角的直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．

【解答】解：过点 O 作 OF ⊥CD 于 F ，连接 DO ，

∵AB=10，

∴AO=OB=OD=5，

∵OE ：AE=2：3，

∴OE=2cm ．

∵∠AEC=30°，

∴∠OEF=30°，

∴OF= OE=1（cm ）；

∴DF= = 2 ，

∵OF ⊥CD ，

∴CD=2DF= 4 ．

3. 如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB=90°，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A ，B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为 O ，E ．

（1）当 BC=1 时，求线段 OD 的长；

（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．

【考点】该题主要考查了垂径定理、三角形的中位线定理、勾股定理及其应用问题；牢固掌握定理是基础，灵活运用解答是关键．

【解答】解：

（1

）∵OD ⊥BC ，

∴BD=DC= 1

BC =0.5，

由勾股定理得：

OD2=OB2﹣BD2，而OB=2，

∴OD= 15

．

（2）存在，DE 的长度不变．

∵∠AOB=90°，OA=OB=2，

∴AB2=22+22，

∴AB= 2 2 ；

∵OD⊥BC，OE⊥AC，

∴BD=DC，AE=CE，

∴DE 为△ABC 的中位线，

∴DE=

AB= ．

4.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1 米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB 为0.6 米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8 米时，求水面上升的高度．

【考点】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

【解答】解：（1）作半径OD⊥AB 于C，连接OB，

由垂径定理得：BC=

AB=0.3，

在Rt△OBC 中，OC=

CD=0.5﹣0.4=0.1，

此时的水深为0.1 米；

（2）当水位上升到圆心以下时,水面宽0.8 米

OB2 BC2

则OC= =0.3，

0.52 0.42

水面上升的高度为：0.3﹣0.2=0.1 米；

当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3=0.7 米，

综上可得，水面上升的高度为0.1 米或0.7 米．

【练习】

1.如图，直径AB，CD 的夹角为60°，P 为⊙O 上的一个动点（不与点A，B，C，D 重合）PM，PN 分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N，若⊙O 的半径长度为2，则MN 的长为．

2. 已知：如图，在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交于点E，∠BED=60°，

DE=OE=2．求：（1）CD 的长；（2）⊙O 的半径．

3.如图，在半径为2 的扇形AOB 中，∠AOB=120°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A、B 重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=4 时，求线段OD 的长；

（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

4.赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400 年，历经无数次洪水冲击和8 次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB 约为40 米，主拱高CD 约10 米，

（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；

（2）如图2，求桥弧AB 所在圆的半径R．

【练习解析】

1.解：MN 的长没有变化；理由如下，

如图所示，延长PN 交圆于点E，延长PM 交圆于点F，连接EF、OE、OF，作OH⊥EF 于

H．根据垂径定理，PN=NE，PM=MF，

∴ MN / / EF 且MN =1

EF ，

∵∠MON=120°，∠PNO=∠PMO=90°，∴∠P=60°，∠EOF = 120?,

∴弦EF 的长为定值，MN 的长也为定值，

3 3 OF 2 + CF 2 BO 2 - BD 2 (2 3)2 - 22 在 Rt △EOH 中，易知∠EOH=60°，∠OEH=30°∵OE=2，

∴OH=1

EH= = 3 ，

∴EF= 2 ，

∴ MN = 1 EF = ，

故答案为 3 ．

2.解：（1）过点 O 作 OF ⊥CD 于点 F ．

∴DF=CF ．

在△OEF 中，

∵∠OFE=90°，∠OEF=60°，OE=2，∴EF=1．

∴CF=DF=DE+EF=3．

∴CD=6．

（2）连接

OC ．在△OEF

中，

∵∠OFE=90°，∠OEF=60°，OE=2，

∴OF= 在△OFC 中，

= 3 ．

∵∠OFC=90°，CF=3，OF=

，

∴OC= = 2 3 ．

3.解：（1）∵OD ⊥BC ，

∴ BD = 1 BC = 2 ，

∴ OD = = = 2 2 ．

（2）存在，DE 是不变的，

理由是：如图，连接 AB ，

过点 O 作 AB 的垂直平分线，与 AB 交于点 F ，与弧 AB 交于点 M ，

22 -12 OE 2 - EF 2

3 则 OM 平分∠AOB 与弧 AB ，

∴∠AOF=60°，

在 Rt △AOF 中，∵ ∠AOF = 60?,OA = 2 ，

∴ AF = 3 OA

= 3 ，

∴AB=2AF=6，

由垂径定理可知，点 D 、E 分别是 BC 和 CA 的中点，

∴DE 是△ABC 的中位线，

∴ DE = 1 AB = 3 ．

4.解：（1）如图 1 所示；

（2）连接 OA ．如图 2．

由（1）中的作图可知：△AOD 为直角三角形，D 是 AB 的中点，CD=10，

∴AD= 1

AB=20．

∵CD=10，

∴OD=R ﹣10．

在 Rt △AOD 中，由勾股定理得，OA 2=AD 2+OD 2，

∴R 2=202+（R ﹣10）

2．解得：R=25．

即桥弧 AB 所在圆的半径 R 为 25 米．