2021中考数学 压轴专题训练之动点问题(含答案)

2021中考数学 压轴专题训练之动点问题

1. 如图

1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，

A (3，33)，

B (9，53)，

C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB

－BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，5

2(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． (1)求AB 所在直线的函数表达式．

(2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值．

(3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．

图1 图2

2. 如图，抛物线

y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于

点N ，过A 点的直线l :y=kx+n 与y 轴交于点C ，与抛物线y=-x 2+bx+c 的另一个交点为D ，已知A (-1，0)，D (5，-6)，P 点为抛物线y=-x 2+bx+c 上一动点(不与A ，D 重合).

(1)求抛物线和直线l 的解析式;

(2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE+PF 的最大值;

(3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.

3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线

y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、

B (2, 0)三点．

（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；

（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．

4. 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为

H ，则称直线l 1与

l 2是点H 的直角线．

（1）已知直线①122

y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④

24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的

直角线（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．

5. 如图①，在平面直角坐标系

xOy 中，已知抛物线y=ax 2-2ax -8a 与x 轴相交于A ，

B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点

C (0，-4).

(1)点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ，线段AC 的长为 ，抛物线的解析式为 .

(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点.如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标.

①

6. 如图，已知抛物线211(1)444

b

y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

7. 如图，已知

A 、

B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中

心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；

（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？

8. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

9. 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

10. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y 轴，求MN的最大值；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．