(完整word版)2016全国二卷理科数学高考真题及答案

2016年全国高考理科数学试题全国卷2

、选择题：本题共

12

小题，每小题

5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1、已知z=(m+3)+(m–1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )

A．(–

3,1)

B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞ 3,)–

2、已知集合

A={1,2,3}

，

B={x|(x+1)(x –2)<0，x∈Z}，

则

A∪B=( )

A．{1} B ．{1,2} C．{0,1,2,3} D．

{–

1,0,1,2,3}

3、已知向量a=(1,m) ，

b=(3,–

2)，

且( a+b)⊥ b ，则

m=( )

A．–8 B

．

–6 C．6 D．8

22

4、圆x2+y2–2x–8y+13=0 的圆心到直线ax+y–1=0 的距离为1，则a=( )

4

A．–3

5、如下左 1 图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于

动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A．24 B．18 C．12 D．9

6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．20πB．24πC．28πD．32π

π

7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )

kππkππkππkππ

A．x=2–6(k∈Z) B．x=2 +6(k∈Z) C．x=2–12(k∈Z) D．x= 2+12(k∈Z)

3 图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=( )

10、从区间[0,1]随机抽取2n 个数x1，x2，?，x n，y1，y2，?，y n，构成n 个数对(x1,y1)，(x2,y2)，?，(x n,y n)，其

3

B．–

4

G处的老年公寓参加志愿者活

8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左

A．7 B．12 C．17 D．34

9、若cos(4–

3

) sin2 α= ( )

7

A．25

1

B．15C．D．25

中两数的平方和小于 1的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率

率为 ( )

m

(x i y i ) ( ) i1

(3)如果 α∥β， m? α，那么 m ∥β。

α∥β，那么 m 与 α所成的角和 n 与β所成的角相等。

其中正确的命题有 ____________________ ( 填写所有正确命题的编号 )。

15、有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3， 2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说： “我

的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 ___________ ．

16、若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln(x+1)的切线，则 b= __________

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(本题满分 12分)S n 为等差数列 {a n }的前 n 项和，且 a 1=1，S 7=28。记 b n =[lga n ]，其中 [x]表示不超过 x 的最大

整数，如 [0.9]=0，[lg99]=1 ．

(1) 求 b 1， b 11， b 101； (2) 求数列 {b n }的前 1 000 项和．

18、 (本题满分 12 分)某险种的基本保费为 a(单位：元 )，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年 度

的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

4n

2n 4m A ．

B ．

C ．

m

m

n

22

2m

D ．

n

1

M 在 E 上， MF 1 与 x 轴垂直， sin ∠MF 2F 1=3,则 E 的

π的近似值为 ( )

A ． 2

3 B ．

2

C ． 3

D ． 2

12、已知函数 f(x)(x ∈ R)满足 f(–x)=2–f(x) ，若函数 x+1

y=

与 y=f(x) 图像的交点为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )，则 A ．0 B ． m C ．2m D ． 4m

、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分

13、 △ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ， 4 cosA=5， cosC=153， a=1，则 b= _________

14、 α、 β是两个平面， m ， n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果 m ⊥n ，m ⊥α，n ∥ β，那么 α⊥β。

(2) 如果 m ⊥α， n ∥ α，那么 m ⊥n 。

(4)如果 m ∥n ， 11、已知 F 1、F 2 是双曲线 E ：x a 2–y b 2=1 的左，右焦

点，点

[]

(1)

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

(3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD

5上，AE=CF=4，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△ D'EF位置，OD'= 10．

(1)证明：D'H⊥平面ABCD；

(2)求二面角B–D'A–C 的正弦值．

22

xy

20、(本小题满分12分)已知椭圆E：t +3 =1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于

A，

M 两点，点N 在 E 上，MA ⊥NA．

(1)当t=4，|AM|=|AN| 时，求△AMN 的面积；

(2)当2|AM|=|AN| 时，求k 的取值范围．

x–2

21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=x+2e x的单调性，并证明当x>0时，(x–2)e x+x+2>0；

x e –ax–a

(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)= x2 (x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．

x

请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22、(本小题满分10 分)［选修4–1：几何证明选讲］如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过 D 点作DF⊥ CE，垂足为F．

(1) 证明：B，C，G，F 四点共圆；

(2)若AB=1，E为DA 的中点，求四边形BCGF的面积．

22

23、(本小题满分10 分)［选修4–4：坐标系与参数方程］在直角坐标系xOy 中，圆C的方程为

(x+6)2+y2=25．(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；

x=tcos α

(2)直线l的参数方程是y=tsin (ααt为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|= 10，求l的斜率．

11

24、(本小题满分10分)［选修4–5：不等式选讲］已知函数f(x)=|x –2|+|x+ 2|，M 为不等式f(x)<2的解集

(1)求M ；

(2)证明：当a，b∈M 时，|a+b|<|1+ab| ．

参考答案

1、解析：∴ m+3>0， m –1<0，∴ –3

2、解析： B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}={x|–1

3、解析： 向量 a +b =(4,m –2)，∵ (a +b )⊥b ，∴(a +b ) b ·=10–2(m –2)=0，解得 m=8，故选 D ．

2 2 2 2 |a+4 –1| 4

4、解析：圆 x 2+y 2

–2x –8y+13=0 化为标准方程为： (x –1)2+(y –4)2=4，故圆心为 (1,4)， d= 2 =1，解得 a=– ， a +1 3

故选 A ．

5、解析一： E →F 有 6 种走法， F →G 有 3 种走法，由乘法原理知，共 6× 3=18种走法，故选 B ． 解析二：由

题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短有 C 24条路，再从 F 处到 G 处最短共有 C 13条路，则小明到 老年公寓可以选择的最短路径条数为

C 42·C 13=18 条，故选 B 。

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为 r ，周长为 c ，圆锥母线长为 l ，圆柱高为 h ．

由图得 r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得： l= 22+(2 3)2=4，S 表=πr 2+ch+21cl=4π+16π +8π =，28故π选 C ．

7、解析：由题意，将函数 y=2sin2x 的图像向左平移 1π2 个单位得 y=2sin2(x+1π2)=2sin(2x+6π

)，则平移后函数的对

称轴为 2x+6π

=2π

+k π，k ∈ Z ，即 x=6π

+k 2π

， k ∈ Z ，故选 B 。

8、解析：第一次运算： s=0 × 2+2=，2第二次运算： s=2 × 2+2=，6 第三次运算： s=6 × 2+5=1，7故选 C ．

解法三：换元法

10、解析：由题意得： (x i ,y i )(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图的阴影中

π

9、解析：∵ cos(4–

2

s i

，

=

α

2

π

s (

–

=

π

2c o(

s

α1)=–275，故选 D ．

α

–

π

s (

3)

展= 开后直接平方

对

22

18、 (1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A ， P(A)=1–P( A )=1–

(0.30+0.15)=0.55．

π4/m

4m

由几何概型概率计算公式知

π1

4/

=m n ，∴π=4n m ，故选 C ．

F 1F 2 F 1F 2

sinM 3

11、解析： 离心率 e=

MF 2–MF 1

，由正弦定理得 e=

MF 2–MF 1=sinF 1–sinF 2= 1= 2．故选 A ．

2 1 2 1 1 2

1 –3

x+1 1

12、解析：由 f(–x)=2–f(x)得 f(x)关于 (0,1)对称，而 y= x =1+x 也关于 (0,1)对称， ∴对于每一组对称点 x i +x'i =0， y i +y'i =2，

m m m

m

∴

x i y i x i

y i 0 2 m m ，故选 B ．

i1 i 1 i1 2

5 3 12 63

cosC=13 ，sinA=5， sinC=13 ，∴ sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC 6=5，

由正弦定理：

si b nB =si a

nA ，解得

b=1213．

14、解析：对于 ① ，m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α， β的位置关系无法确定，故错误；对于 ② ，因为 n// ，所 以

过直线 n 作平面 γ与平面 β相交于直线 c ，则 n ∥ c ，因为 m ⊥α，∴m ⊥c ，∴ m ⊥n ，故② 正确；对于 ③ ， 由两个平面平行的性质可知正确； 对于 ④ ，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确， 故正确的有 ②③④

15、解析：由题意得：丙不拿 (2,3)，若丙 (1,2)，则乙 (2,3)，甲 (1,3)满足；若丙 (1,3)，则乙 (2,3)，甲 (1,2)不满

足； 故甲 (1,3)，

17、解析： (1)设｛a n ｝的公差为 d ，S 7=7a 4=28，∴ a 4=4，∴ d=a43

–a1

=1，∴ a n =a 1 +(n –1)d=n ．

∴ b

1=[lga 1]=[lg1]=0 ，b 11=[lga 11]=[lg11]=1，b 101=[lga 101]=[lg101]=2．

(2)记 ｛b n ｝的前 n 项和为 T n

，则 T

1000=b 1+b 2+...+b 1000=[lga 1]+[lga 2]+...+[lga 1000]．

当 0≤lga

n <1

时，n=1，2，...，9；当 1≤ lg n a<2 时，n=10，11，...，99；当 2≤lg n a<3时，n=100，101， (999)

当 lga n =3 时， n=1000 ．∴ T 1000=0× 9+1× 90+2 × 900+3 × 1．=1893

4

13、解析：∵ cosA=5，

16、解析： y=lnx+2 的切线为： 1

y=x ·x+lnx 1+1(设切点横坐标为 x 1) 1

x 2 1

y=ln(x+1) 的切线为： y=x2+1·x+ln(x 2+1)–x2+1，∴

1 x 1 x 2+1

lnx 1+1=ln(x 2+1)–x +1

1

解得 x =1，

x 2=–21。∴ b=lnx 1+1=1–ln2．

(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P(B|A)=P P((A A B))=0.100.+505.05=131

⑶解：设本年度所交保费为随机变量X．

X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05

平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a ×0.20+1.5a ×0.20+1.75a ×0.10+2a ×0.05，=1.23a

∴平均保费与基本保费比值为 1.23．

5 AE CF

19、解析：(1)证明：如下左1图，∵ AE=CF=4，∴AD=CD，∴ EF∥AC．

∵四边形ABCD为菱形，∴ AC⊥ BD，∴ EF⊥ BD，∴ EF⊥DH，∴ EF⊥D'H．

AE

2 2 2

∵AC=6，∴ AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=AO·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'| 2=|OH|

2+|D'H| 2，

又∵ OH∩EF=H，∴ D'H⊥面ABCD．

5 5 15 (2)方法一、几何法：若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵ AE=4，AD=AB=5，∴ DE=5–4= 4，∵EF∥AC，∴DE=EH=DH=15/4=3，∴ EH=9，EF=2EH=9，DH=3，OH=4–3=1，

AD=AC=OD= 5 =4 4 2

∵HD'=DH=3，OD'=2 2，∴满足HD'2=OD'2+OH2，则△OHD'为直角三角形，且OD'⊥OH，即OD'⊥底面ABCD，即OD'是五棱锥 D 'A–BCFE的高．

9

( +6) ×1

1 (EF+AC)O·H 1

2 21 69

底面五边形的面积S=

2×ACO·B+ 2=2×6×4+2 =12+ 4=4，

则五棱锥D'A–BCFE体积V=13S·OD'=13×649×22=2322

方法二、向量法。建立如下左 2 图坐标系H–xyz．B(5,0,0)，C(1,3,0)，D'(0,0,3)，A(1,–3,0)，

∴向量AB=(4,3,0)，AD'=(–1,3,3)，AC=(0,6,0)，

设面ABD'法向量n1=(x,y,z)，

由

n n11··A A D B='

=00得

4x+3y=0

–

x+3y+3z=0，

x=3

取y= –4，∴ n1=(3,–

4,5)．z=5

同理可得面AD'C 的法向量n2=(3,0,1)，

∴D'H⊥OH．