2016版优化方案高一数学人教版必修三学案第二章统计2.1.1简单随机抽样

2．1 随机抽样

2．1.1 简单随机抽样

1．问题导航

(1)什么叫简单随机抽样？

(2)最常用的简单随机抽样方法有哪两种？

(3)抽签法是如何操作的？

(4)随机数表法是如何操作的？

2．例题导读

通过教材中的“思考”，我们了解抽签法的优、缺点及适用条件．

1．简单随机抽样的定义

设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2．简单随机抽样的分类

简单随机抽样

?????抽签法（抓阄法）随机数法

3．随机数法的类型

随机数法?????随机数表法随机数骰子法计算机产生的随机数法

1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)

(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最小；( )

(2)有同学说：“随机数表只有一张，并且读数时只能按照从左向右的顺序读取，否则产

生的随机样本就不同了，对总体的估计就不准确了”．()

解析：(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，与第几次抽取无关；

(2)随机数表的产生是随机的，读数的顺序也是随机的，不同的样本对总体的估计相差并不大．

答案：(1)×(2)×

2．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是()

A．1 000名学生是总体

B．每名学生是个体

C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本

D．样本的容量是100

解析：选D.该问题中，1 000名学生的成绩是总体，每个学生的成绩是个体，抽取的100名学生的成绩是样本，样本的容量是100.

3．抽签法的优点、缺点各是什么？

解：优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，每个个体有均等的机会被抽中，从而保证样本的代表性．缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大．

1．简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．

2．随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型．

3．简单随机抽样中每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开来，避免在解题中出现错误．

简单随机抽样的概念

下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？

(1)从无数个个体中抽取20个个体作为样本；

(2)从50台冰箱中一次性抽取5台冰箱进行质量检查；

(3)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽取6个号签．

[解](1)不是简单随机抽样．因为总体的个数是无限的，而不是有限的．

(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性”抽取和“逐个”抽取不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样的定义要求的是“逐个不放回地抽取”．

(3)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能地进行抽样．

方法归纳

判断一个抽样是否为简单随机抽样的依据是其四个特征

1．下列抽样方式是否是简单随机抽样？

(1)在某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上每隔30分钟抽一包产品，称其质量是否合格；

(2)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．

解：由简单随机抽样的特点可知，(1)(2)均不是简单随机抽样．

抽签法的应用

2015年，某师范大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名免费师范毕业生中选取6人组成志愿小组，请用抽签法确定志愿小组成员，写出抽样步骤．

[解]抽样步骤是：

第一步，将18名志愿者编号，号码是1，2， (18)

第二步，将号码分别写在同样大小的小纸片上，揉成团，制成号签；

第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；

第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号；

第五步，与所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．

方法归纳

(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．

(2)应用抽签法时应注意以下几点：

①编号时，如果已有编号可不必重新编号；

②号签要求大小、形状完全相同；

③号签要均匀搅拌；

④要逐一不放回地抽样．

2．某校高一(1)班有学生48人，为了调查某种情况，打算抽取一个样本容量为10的样本，问若采用抽签法抽样将如何进行？

解：首先把该校学生都编上号，号码是1，2，3，4，…，48.并制成48个形状、大小相同的号签，然后将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀后，逐个无放回地抽取10个号签，这样就可以得到一个容量为10的样本．

随机数表法的应用

(2015·衡阳模拟)已知某总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表中第1行的第5列和第6列的数字开

A．08 B．07

C．02 D．01

[解析]从随机数表第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，依次为65，72，08，02，63，14，07，…，其中08，02，14，07，…符合条件，故选B.

[答案] B

[互动探究]如将本例中的“从随机数表中第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字”改为“从随机数表中第1行的倒数第2列和第3列的数字开始由右到左依次选取两个数字”，其他条件不变，则选出来的第4个个体的编号为多少？

解：从随机数表中第1行的倒数第2列和第3列的数字开始由右到左依次选取两个数字，依次为91，08，27，99，63，42，07，04，13，…，其中08，07，04，13，…符合条件，故选出来的第4个个体的编号为13.

方法归纳

利用随机数表法抽样时应注意的问题：

(1)编号要求位数相同，若不相同，需先调整到一致后再进行抽样，如当总体中有100个个体时，为了操作简便可以选择从00开始编号，那么所有个体的号码都用两位数字表示即可，从00～99号．如果选择从1开始编号，那么所有个体的号码都必须用三位数字表示，从001～100.很明显每次读两个数字要比读三个数字节省读取随机数的时间．

(2)第一个数字的抽取是随机的．

(3)当随机数选定，开始读数时，读数的方向可左，可右，可上，可下，但应是事先定好的．

3．有一批机器编号为1，2，3，…，112，请用随机数表法抽取10台入样，写出抽样过程(随机数表见教材P103附表)．

解：第一步，将原来的编号调整为001，002， (112)

第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第9行第7个数“3”向右读．

第三步，从“3”开始向右读，每次取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读．前面已经读过的数不读，依次可得到074，100，094，052，080，003，105，107，083，092.

第四步，对应原来编号为074，100，094，052，080，003，105，107，083，092的机器便是要抽取的对象．

为了了解参加第27届世界大学生冬运会的2 015名运动员的身高情况，从中抽取100名运动员进行调查，就这个问题，下面说法中正确的是()

①2 015名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；

④样本容量为100；⑤每个运动员被抽到的可能性相等．

A．④⑤B．①②③

C．①②④⑤D．①②③④⑤

[解析]抽样的目的是了解参加冬运会的2 015名运动员的身高情况，故总体应该是2 015名运动员的身高，而不是这2 015名运动员，同理，个体应该是每个运动员的身高，样本应该是所抽取的100名运动员的身高．故①②③都不正确，④⑤正确．

[答案] A

[错因与防范]

(1)解决本题易搞错考察的对象，误认为考察对象为运动员，从而误认为①②③也正确．

(2)解决此类问题时，关键是明确考察的对象，根据有关的概念可得总体、个体与样本的考察对象是相同的．

4．(2014·高考四川卷)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是()

A．总体B．个体

C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本

解析：选A.调查的目的是“了解某地5 000名居民某天的阅读时间”，所以“5 000名居

民的阅读时间的全体”是调查的总体．

1．一个总体共有15个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为5的样本，每个个体被抽到的可能性是( )

A.13

B.15

C.110

D.115

解析：选A.简单随机抽样具有等可能性，每个个体被抽到的可能性是515＝13

. 2．下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )

A ．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖

B ．从20个零件中一次性抽出3个进行质量检查

C ．某学校分别从行政人员、老师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见

D ．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

解析：选D.根据简单随机抽样的定义及特点可判断D 为简单随机抽样．

3．在某年的高考中，A 省有20万名考生，为了估计他们的数学平均成绩，从中逐个抽取2 015名学生的数学成绩作为样本进行统计分析，请回答以下问题：本题中，总体、个体、样本、样本容量各指什么？

解：总体是指在该年的高考中，A 省20万名考生的数学成绩；个体是指在该年的高考中，A 省20万名考生中每一名考生的数学成绩；样本是指被抽取的2 015人的数学成绩；样本容量是2 015.

[A.基础达标]

1．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是( )

A.1100

B.125

C.15

D.14

解析：选C.简单随机抽样是等可能性抽样，每个个体被抽到的机率都是20100＝15

.故选C.

2．(2015·昌乐二中检测)用随机数法进行抽样有以下几个步骤：

①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．

这些步骤的先后顺序应为()

A．①②③④B．①③④②

C．③②①④D．④③①②

解析：选B.先编号，再选数．

3．下列抽样试验中，适合用抽签法的是()

A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验

B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验

C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验

D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验

解析：选B.A、D中个体总数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适于用抽签法；B中个体数和样本容量均较小，且同厂生产的两箱产品，性质差别不大，可以看成是搅拌均匀了．

4．某工厂的质检人员对生产的100件产品采用随机数表法抽取10件检查，对100件产

品采用下面的编号方法：①01，02，03，…，100；②001，002，003，…，100；③00，01，02，…，99.其中正确的序号是()

A．①②B．①③

C．②③D．③

解析：选C.根据随机数表法的要求，只有编号数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．5．(2015·青岛检测)对于简单随机抽样，下列说法中正确的为()

①它要求总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．

A．①②③B．①②④

C．①③④D．①②③④

解析：选D.这四点全是简单随机抽样的特点．

6．下列调查的样本合理的是________．

①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的教师是谁；②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任情况；③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取3名学生进行调查．

解析：①中样本不具有代表性、有效性，在班级前画“√”与了解最受欢迎的老师没有关系；③中样本缺乏代表性；而②④是合理的样本．

答案：②④

7．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，以每人被抽取的可能性均为0.2，从该中学抽取一个容量为n的样本，则n＝________．

解析：∵n

400＋320＋280

＝0.2，

∴n＝200.

答案：200

8．一个总体数为60的个体编号为00，01，02，…，59，现需从中抽取一个容量为7的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11～12列的18开始，依次向下，到最后一行后向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是________．

95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95

38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80

82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 50

24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49

96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60

解析：先选取18，向下81、90、82不符合要求，下面选取05，向右读数，07、35、59、26、39，因此抽取的样本的号码为：18、05、07、35、59、26、39.

答案：18、05、07、35、59、26、39

9．某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？

解：法一：(抽签法)将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着逐个不放回地抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径．

法二：(随机数表法)将100件轴编号为00，01，…，99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始(见教材P103附表)，向右选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10个号码对应的轴即为所要抽取的对象．

10．要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．

解：应使用抽签法，步骤如下：

①将30辆汽车进行编号，号码是1，2，3， (30)

②将1～30这30个编号写到大小、形状都相同的号签上；

③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；

④从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录下上面的编号；

⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．

[B.能力提升]

1．采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，某个个体前两次未被抽到，则第三次被抽到的机会是( )

A.12

B.13

C.16

D.15

解析：选A.从含有6个个体的总体中，抽取容量为3的样本，则每个个体在每次被抽到

的机会都是12

，这与第几次抽取无关． 2．为了了解全校240名高一学生的体重情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是( )

A ．总体是240

B ．个体是每一名学生

C ．样本是40名学生

D ．样本容量是40

解析：选D.本题中的研究对象是学生的体重，而不是学生自身．总体是240名学生的体重，个体是每一名学生的体重，样本是抽取的40名学生的体重，总体容量是240，样本容量是40.

3．齐鲁风彩“七乐彩”的中奖号码是从1～30个号码中选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________．

解析：当总体的个数不多时，宜采用抽签法．因为它简便易行，可用不同的方式制签，抽签也方便．

答案：抽签法

4．2014年10月10日，袁隆平“超级稻”亩产创1 026.7公斤新纪录．要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行试验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号：________．(随机数表见教材P 103附表)

解析：从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字是665，第三个数字是650，第四个数字是267，符合题意．

答案：227，665，650，267

5．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机挑选10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．

解：第一步：先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；(2)运用相同的办法分别从18名香港艺人中抽取6人，从10名台湾艺人中抽取4人．

第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可．

6．(选做题)(2015·洛阳高一检测)现在有一种够级游戏，其用具为四副扑克，包括大小鬼(又

称为花)在内共216张牌，参与人数为6人，并围成一圈．够级开始时，从这6人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫开牌)，然后按逆时针方向，根据这张牌上的数字来确定抓牌的先后，这6人依次从216张牌中抓取36张牌，问这种抓牌的方法是否是简单随机抽样？

解：简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始的牌，其他各张牌虽然是逐张抓牌，但是各张在谁手里已被确定，只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的，其他215张牌已经确定，即这215张扑克牌被抽取的可能性与第一张扑克牌被抽取的可能性不相同，所以不是简单随机抽样．