初中数学竞赛定理大全

欧拉（Euler ）线：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角

形的欧拉线；

且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

:外心重心重心垂心

2 Q0厘米4X）0厘

米

九点圆：

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；

其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半

0A = W厘米0B =

「07厘米0K? = 2.43

厘米

BD = 4&厘米

费尔马点:

已知 P 为锐角△ ABC 内一点，当 / APB=Z BPC=Z CPA= 120° 时，PA + PB+ PC 的值最小，

这个点P 称为△ ABC 的费尔马点。

海伦（Heron ）公式：

海伦（Heen ）公式： 1

在△▲吕C 中，边BC. CA.

的长分别为甘、b. c,若p=- （a+b+c ）,

则厶ABC 的而积S=Jp Cp —a) (p —b) (p -c)

AB = 43厘米

厘米

CA = 53厘米

— ■(AB + BC + CA) - 7.54厘米 p

= H54厘米

__________________ 7

Vp/p - AB)^(p - BC) (p - CA) = 9.94 厘將 -EUAD = 9.94 厘將

BP+CP^-AP BE+CE^AE

10.90^

^BPC= 7 孙 ^CPA = 120^ ZAPB = 120"

BE = 3.45 厘米

CE = 500厘米 AE = 33厘米 BP = 4勺3厘

来

CP = 3.63M^

AD = 3.27

塞瓦(Ceva)定理：

在厶ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别

交边BC CA AB与点 D E、F,则(BD/DC) ? (CE/EA) ? (AF/FB) = 1 其逆亦真

AF = 3.41 厘米

FB = 3.&)厘米

密格尔(Miquel )点:

葛尔刚(Gergonne)点:

密格尔(Miquel)

= 厘米

DC = 3.估厘米

CE = 2亍3厘米

EA = 2帧厘米

若AE AF、ED FB四条直线相交于A、B、C、D E、F六点, 构

成四个三角形，它们是△ ABF △ AED △ BCE △ DCF

则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点

西摩松（Simson ）线：已知P

ABC 外接圆周上任意一点，PDL BC PEL ACP 吐AB, D E 、

F 为垂足，

黄金分割: 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

△ ABC 勺内切圆分别切边 AB BC CA 于点D E 、F , 则AE

则D E 、

帕普斯(Pappus)定理：

已知点A i、A、A在直线l 1上，已知点B i、B2、B3在直线l 2上，

且A i B2与A2 B i交于点X，A1B3与A3 B i交于点Y, A2 B 3于A3 B2交于

点乙则X、Y、Z三点共线。

已知在△ ABC与厶A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点Q

BC与BC、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z,贝卩X、Y、

摩莱（Morley ）三角形：

在已知△ ABC三内角的三等分线中，分别与BC CA AB相邻的每两

线相交于点D E、F,则厶DEF是正三角形，

这个正三角形称为.摩莱三角形。

帕斯卡（Paskal ）定理：

已知圆内接六边形ABCDEF勺边AB DE延长线交于点G,边BC EF

延长线交于点H,边CD FA延长线交于点K则H G K三点共线

在圆内接四边形中,AB- CD ^AD- BC= AC- BD

设 PABC 边 BC 上一点，且 BP: PO n ： m 贝U

2 2 2 2 2 m- (AB) + n - (AC) = m- (BP ) + n - (PC) +(时 n )

(AP )

托勒密（Ptolemy ）定理：

（任意四边形都可！哇哈哈）

斯图尔特(Stewart )定理：