论全等三角形判定与性质及其技巧

令狐采学

袁崧浩

三角形是平面几何中最重要也是最基础的图形之一，大部分的平面几何都建立在三角形的基础上，本文将论述全等三角形的基础及其拓展。

一、全等三角形的判定公理

1、边边边（SSS）

三边对应相等的两个三角形全等

2、边角边（SAS）

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

3、角边角（ASA）

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

4、角角边（AAS）

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形

全等

5、斜边、直角边（HL）

直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等

的两个直角三角形全等

二、全等三角形的性质

1．全等三角形的对应角相等。

2．全等三角形的对应边相等。

3．全等三角形的对应边上的高对应相等。

4．全等三角形的对应角的角平分线相等。

5．全等三角形的对应边上的中线相等。

6．全等三角形面积相等。

7．全等三角形周长相等。

三、全等三角形题型的解题技巧

1、制造全等三角形

在一些题目中，你需要通过全等来解题但是在图形中找不到全等三角形，这时就需要通过辅助线来制

造全等三角形以解题，可利用等角和等边来作辅助

线，一下介绍两种比较经典的方法：

（1）倍长中线法：

延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往

需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相

等。常用于构造全等三角形,例题如下:

如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证:2AD

证明：延长AD至E，使DE=AD，连结CE

∴易证三角形△ADB≌△EDC

∴AB=CE

在三角形ACE中，2AD

故证毕

（2）角平分线作垂线：

利用定理（角平分线上的点到两边的距离相等）

来在角平分线上的特定点做边的垂线，以构造全

等三角形。

定理证明：

证明：OP是∠MON的平分线，过P做

PA⊥OM与A，PB⊥ON于B

∵OP平分∠MON

∴∠MOP=∠NOP

即∠AOP=∠BOP

∵PA⊥OM，PB⊥ON

∴∠PAO=∠PBO=90°

∴△AOP≌△BOP

∴PA=PB

故证毕

（逆定理证明类似）

例题如下：

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分

∠CAB，BC=8，BD=5，DE⊥AB，求DE

解：∵BC=8，BD=5

∴CD=3

∵DE⊥AB

2、特殊三角形的性质与判定

Ⅰ等腰三角形：

（1）等腰三角形三线合一

等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重

合。

（在三角形中，只要有两条线重合，那这个三角形一

定是腰三角形）

三线合一的证明：

如图，已知AB=AC，D为BC中点，求证：AD

平分∠BAC，AD⊥BC

证明：

∵△ABC为等腰三角形

∴AB=AC

∴∠B=∠C

∵AD为中线

∴BD=DC

∴易证△ADB≌△ADC（SAS)

可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC

∵∠ADB+∠ADC=∠BDC，且∠BDC=180度

∴∠ADB=∠ADC=90°

故证毕

反之可证有两条线重合的三角形是等腰三角形，

由三线合一亦可得垂直平分线上的点到线段

两边的距离相等

（2）等腰三角形底角相等

（3）两条边或两个角相等的三角形为等腰三角形

等边三角形：

（4）等边三角形三边相等且三个角皆为60°

（5）含60°角的等腰三角形为等边三角形

（6）三边相等的三角形为等边三角形

解题技巧：利用等腰三角形和等边三角形的性质来解题，例题如下：

如图，直角三角形ABC中，∠BAC=90°，

AC=AB，∠DAC=∠DCA=15°，求证，求证：

AB=DB

证明：以AD为边，向右作等边三角形ADE，连结EB

则易证△AEB≌△ADC

则∠AEB=∠ADC=150°

∴∠DEB=150°

∴易证△AEB≌△DEB

故证毕

技巧，截长补短：

当遇到两条不在一条直线上的线段而要求让这两条线段长度和与另一个长度进行对比时，需要用到截长补短的技巧：延长短的线段或切分长的线段，例题如下：

1、补短

如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AM⊥CM，AD=AB，求证2AM=AB+AC

证明：

延长AM至N使MN=AM，连接CN

∵AM⊥CM

∴CM是AN的垂直平分线

∴AC=CN

∴∠CAM=∠N

∵∠BAM=∠CAM

∴∠BAM=∠N

∴AB//CN

∴∠B=∠NCD

∵AB=AD

∴∠B=∠ADB

∴∠CDN=∠ADB

∴∠NCD=∠CDN

∴DN=CN=AC

∵AN=2AM=AD+DN

∴2AM=AB+AC

2、截长

∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线，求证AC+DC=AB

证明：在AB上取点E，使AE=AC，连结DE 则易证△AED≌△ACD

∵∠C=90°，AC=BC

∴∠ABD=45°，∠EDC=135°

∴∠ABD=∠EDB

∴EB=ED

故证毕

Ⅱ 直角三角形

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明如下：

已知∠2+∠3=90°，AD为BC边上的中线，

求证AD=BD=CD

证明：

延长AD至E，使DE=AD，连结BE

则易证△ABE≌△BAC

∴AE=BC

又∵D为BC中点，D为AE中点

故证毕

例题如下：

如图，在△ABC中，AD⊥BC，E、F分别为

AB、AC中点，且DE=DF，求证AB=AC

证明：∵AD⊥BC

∴DE=DF=CF=AF=AE=EB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

故证毕

（2）直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，证明如下：

△ABC，∠C=90°，∠B=30°，求证：

2AC=AB

证明：

取AB中点D，连结CD

∵∠A=60°，且AD=CD=BD（斜边中线定

理）

∴△ACD为等边三角形

∴AC=AD=DB

故证毕

例题如下：

如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分

∠BAC，DE⊥AC且平分∠ADC，求证

2BD=CD

证明：

∵∠B=90°，且∠AED=90°，且AD平分∠BAC

∴易证△ABD≌△AED

又∵DE平分∠ADC

∴易证△ADE≌△CDE

且∠ADB=∠ADE=∠EDC=60°

∴AB=2BD=CD

故证毕

（3）勾股定理：设直角三角形三边长为a、b、c，斜边长c，则a2+b2=c2，证明如下：

如图，四边形ABCD和四边形EFGH均为正

方形，设AD=c，AE=a，DE=b，求证

a2+b2=c2

证明：

易证△AED≌△BHA≌△CGB≌△DFC

∵EFGH和ABCD均为正方形

∴AD=CD=CB=AB=c，EF=FG=HG=EH=a-

b，AE=BH=GC=FD=a，ED=AH=BG=CF=b

∴2b+(a-b)2=c2

即a2+b2=c2

例题如下：

已知△ADB和△EBC都是等腰直角三角形，CD=8，BE=3，

求AC

解：

∵DB=AB,CB=EB=3,CD=8

∴BD=AB=5

∴AC2=AB2+BC2=52+32=34

∴AC=√34