平面向量典型例题

平面向量典型例题

平面向量经典例题：

1.

已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13

C ．－1

D ．－23

[答案] C

[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2.

(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C

[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，

∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0，∴k ＝－3.

(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611

B ．－116

C.611

D.116 [答案] C

[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，

∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6

11.

3.

设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150°

B ．120°

C ．60°

D ．30° [答案] B

[解析] 如图，在?ABCD 中，

∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.

(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3

2

，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.13 C.14 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝

32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34

，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°， 设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝1

2

.

4.

若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形

[答案] B

[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5.

若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B

[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)， ∴??? λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴???

λ＝1μ＝－3

，∴c ＝a －3b ，故选B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →

等于( )

A.14a ＋12b

B.23a ＋1

3b C.12a ＋14

b D.13a ＋23b [答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴

|AB ||DF |＝|EB |

|DE |

，

∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝2

3|CD |，

∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →

－

OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋1

3b .

6.

若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D

[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×()

－1935＝－19.

7.

若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6 [答案] D

[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋

y ＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．

8.

若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →

＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.

－1＋5

2

D.1＋5

2

[答案] A

[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →

＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →

＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9.

(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →

)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关

[答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →

＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，

设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →

＝(x ，－3)，

∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.

(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →

|的最小值是( )

A.12

B.32

C. 2

D.22

[答案] D

[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →

|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，

∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，

∴|AD →|≥2

2

.

10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD

分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →

，

AF →＝12

AD →，AK →＝λAC →

，则λ的值为( )

A.15

B.14

C.13

D.12

[答案] A

[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝1

5

.

11. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )

A.1

2 B ．2 C ．－2 D ．－12

[答案] C

[解析] ma ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m ＝－2，故选C.

12. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6 [答案] B

[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB →

＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13

AB →·CB →

＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22

＝3. 13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →

＝

________. [答案]

15

2

[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →

〉＝60°， 〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23

CB →，

∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.

14. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．

[答案] －255。[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－25

5.

15. 已知向量a 与b 的夹角为

2π

3

，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________. [答案] 1

[解析] ∵〈a ，b 〉＝

2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3

＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.

16. 已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →

(m ，

n ∈R ＋

)，则m n

＝________.

[答案] 3

[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →

，

∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →

|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，

两式相除得：m 3n ＝|OC →

|cos30°|OC →|sin30°

＝1tan30°＝3，∴m

n ＝3.

17. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →

＝

－2i ＋j ，OB →

＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________． [答案] 5

[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →

|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，

∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝25

5，

∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →〉＝12×5×5×25

5

＝5.

(理)三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)

①sin A ＋cos A ＝15 ②AB →·BC →

<0 ③b ＝3，c ＝33，B ＝30° ④tan A ＋tan B ＋tan C >0.

[答案] ④

[解析] 若A 为锐角，则sin A ＋cos A >1，∵sin A ＋cos A ＝15，∴A 为钝角，∵AB →·BC →<0，∴BA →·BC →

>0，

∴∠B 为锐角，由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形；由正弦定理b sin B ＝c sin C 得，3sin30°＝33

sin C

，∴sin C ＝

32，∴C ＝60°或120°，∵c ·sin B ＝332，3<33

2

<33，∴△ABC 有两解，故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形．

④由tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C >0，及A 、B 、C ∈(0，π)，A ＋B ＋C ＝π知A 、B 、C 均为锐角，

∴△ABC 为锐角三角形．

18. 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．

(1)若a ⊥b ，求x 的值． (2)若a ∥b ，求|a －b |.

[解析](1)若a⊥b，

则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，

整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.

(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，则x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2，当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，

∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝(－2)2＋02＝2，

当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，

∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝22＋(－4)2＝2 5.

19.已知向量a＝(sin x，－1)，b＝(3cos x，－1

2)，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.

(1)求函数f(x)的最小正周期T；

(2)将函数f(x)的图象向左平移π

6上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到

函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标．

[解析](1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝a2＋a·b－2＝sin2x＋1＋3sin x cos x＋1

2－2

＝1－cos2x

2＋

3

2sin2x－

1

2＝

3

2sin2x－

1

2cos2x＝sin(2x－

π

6)，

∴周期T＝2π

2＝π.

(2)向左平移π

6个单位得，y＝sin[2(x＋

π

6)－

π

6]＝sin(2x＋

π

6)，横坐标伸长为原来的3倍得，

g(x)＝sin(2

3x＋π

6)，令

2

3x＋

π

6＝kπ得对称中心为(

3kπ

2－

π

4，0)，k∈Z.

20.(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，

c)，若m∥n.

(1)求角B的大小；

(2)若sin A＋sin C的取值范围．

[解析](1)由m∥n知c－a

a＋b

＝

b－a

c，

即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知cos B＝1

2，得B＝

π

3.

(2)sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋sin(A＋π3)

＝sin A＋1

2sin A＋

3

2cos A＝

3

2sin A＋

3

2cos A＝3sin(A＋

π

6)，

∵B＝π

3，∴A＋C＝

2π

3，∴A∈(0，

2π

3)，

∴A＋π

6∈(

π

6，

5π

6)，∴sin(A＋

π

6)∈(

1

2，1]，

∴sin A＋sin C的取值范围为(

3

2，3]．

(理)在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.

(1)求角A的大小；